2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）第27講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系（講義）（解析版）

第27講與圓有關(guān)的位置關(guān)系目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識(shí)建構(gòu)考點(diǎn)一點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系題型01判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系題型02根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求半徑題型03判斷直線與圓的位置關(guān)系題型04根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求半徑題型05根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求點(diǎn)到直線的距離題型06求圓平移到與直線相切時(shí)圓心坐標(biāo)題型07求圓平移到與直線相切時(shí)運(yùn)動(dòng)距離題型08根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求交點(diǎn)個(gè)數(shù)題型09圓和圓的位置關(guān)系考點(diǎn)二切線的性質(zhì)與判定題型01判斷或補(bǔ)全使直線成為切線的條件題型02利用切線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)題型03利用切線的性質(zhì)求角度題型04證明某條直線時(shí)圓的切線類型一由公共點(diǎn)：連半徑，證垂直類型二無(wú)公共點(diǎn)：作垂直，證半徑題型05利用切線的性質(zhì)定理證明題型06切線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用題型07作圓的切線題型08應(yīng)用切線長(zhǎng)定理求解題型09應(yīng)用切線長(zhǎng)定理求證考點(diǎn)三三角形內(nèi)切圓與外接圓題型01判斷三角形外接圓圓心位置題型02求外心坐標(biāo)題型03已知外心的位置判斷三角形形狀題型04求特殊三角形外接圓的半徑題型05由三角形的內(nèi)切圓求長(zhǎng)度題型06由三角形的內(nèi)切圓求角度題型07由三角形的內(nèi)切圓求周長(zhǎng)、面積題型08求三角形的內(nèi)切圓半徑題型09直角三角形周長(zhǎng)、面積和內(nèi)切圓半徑的關(guān)系題型10圓外切四邊形模型題型11三角形內(nèi)心有關(guān)的應(yīng)用題型12三角形外接圓與內(nèi)切圓綜合考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系探索并掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.能用尺規(guī)作圖:過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓.了解直線與圓的位置關(guān)系.本專題內(nèi)容也是各地中考數(shù)學(xué)中的必考考點(diǎn)之一，主要內(nèi)容包括點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)切圓和外接圓三塊，在解答題中想必還會(huì)考查切線的性質(zhì)和判定，和直角三角形結(jié)合的求線段長(zhǎng)的問(wèn)題和三角函數(shù)結(jié)合的求角度的問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)綜合，考查形式多樣，多以動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)圖的形式給出，難度較大.關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，力爭(zhēng)拿到全分．切線的性質(zhì)與判定掌握切線的概念.探索并證明切線長(zhǎng)定理.三角形內(nèi)切圓與外接圓了解三角形的內(nèi)心與外心.通過(guò)尺規(guī)作作三角形的外接圓、內(nèi)切圓.考點(diǎn)一點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系已知⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部d>r點(diǎn)P在圓外點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上d=r點(diǎn)P在圓上點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部d<r點(diǎn)P在圓內(nèi)【說(shuō)明】掌握已知點(diǎn)的位置，可以確定該點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．2.直線和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)性質(zhì)及判定相離沒(méi)有公共點(diǎn)d>r直線l與⊙O相離相切有唯一公共點(diǎn)d=r直線l與⊙O相切相交有兩個(gè)公共點(diǎn)d<r直線l與⊙O相交【小技巧】判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可．3.圓和圓之間的位置關(guān)系設(shè)⊙O1、⊙O2的半徑分別為r、R（其中R>r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)性質(zhì)及判定外離無(wú)d>外切1個(gè)切點(diǎn)d=相交兩個(gè)交點(diǎn)R-內(nèi)切1個(gè)切點(diǎn)d=內(nèi)含無(wú)0≤兩圓相切、相交的重要性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，它們是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.11.由于圓是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形，當(dāng)題目中未給出具體圖形時(shí)，要結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，并進(jìn)行分類討論，否則比較容易漏解．2.經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)作圓,圓心的位置具有任意性；經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)作圓,圓心的位置就有了規(guī)律性,即圓心位于兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.3.直線和圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)研究；也可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來(lái)研究，這兩個(gè)角度的論述其實(shí)是等價(jià)的.4.圓與圓之間的有些位置關(guān)系有兩種情況，做題時(shí)要分類討論，防止漏解：①兩圓沒(méi)有交點(diǎn)：外離或內(nèi)含；②兩圓有一個(gè)交點(diǎn)：外切或內(nèi)切；③兩圓有兩個(gè)交點(diǎn)：兩圓心在公共弦同側(cè)或異側(cè)．題型01判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系【例1】（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的圓心在原點(diǎn)，半徑為5，則點(diǎn)P0,4與⊙OA．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) B．點(diǎn)P在⊙O上 C．點(diǎn)P在⊙O外 D．無(wú)法確定【答案】A【分析】本題根據(jù)題意可作圖可知d<r，即可判定點(diǎn)P與⊙【詳解】解：由題意可作圖，如下圖所示：∵d=4<5∴點(diǎn)P在⊙O內(nèi)故A正確，B、C、D錯(cuò)誤，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟記d，r法則是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）A，B兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，4），（﹣5，1），以原點(diǎn)O為圓心，5為半徑作⊙O，則下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)A，點(diǎn)B都在⊙O上 B．點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)B在⊙O外C．點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，點(diǎn)B在⊙O上 D．點(diǎn)A，點(diǎn)B都在⊙O外【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理，可得OA、OB的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離d，則d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．【詳解】解：∵OA＝32+4OB＝52+12＝∴點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)B在⊙O外．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．【變式1-2】（2022·江蘇揚(yáng)州·校聯(lián)考一模）若⊙O的半徑為5cm，點(diǎn)A到圓心O的距離為4cm，那么點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是：點(diǎn)A在⊙O．（填“上”、“內(nèi)”、“外”）【答案】?jī)?nèi)【分析】點(diǎn)與圓心的距離d，則d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．據(jù)此作答．【詳解】解：∵⊙O的半徑為5cm，點(diǎn)A到圓心O的距離OA為4cm，即點(diǎn)A到圓心的距離小于圓的半徑，∴點(diǎn)A在⊙O內(nèi)．故答案為：內(nèi)．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．題型02根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求半徑【例2】（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先利用勾股定理可得AC=3，再根據(jù)“點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外”【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB∴AC∵點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙∴AC<r觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)C符合，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則PD的最小值為（A．45 B．1 C．75 D【答案】B【分析】根據(jù)題意，分別以B,C為圓心BC的長(zhǎng)為半徑，作⊙B,⊙C，作BC的垂直平分線，則符合題意的點(diǎn)P，在⊙【詳解】如圖，分別以B,C為圓心BC的長(zhǎng)為半徑，作⊙B,⊙C，作BC的垂直平分線，則符合題意的點(diǎn)P當(dāng)P位于CD的延長(zhǎng)線與⊙C∵四邊形ABCD是矩形，AB=3，BC∴∴PD≥PC故選B【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出兩圓一線是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·山東棗莊·校考一模）點(diǎn)P是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最小距離是4cm，最大距離是9cm，則⊙O的半徑是【答案】6.5cm或【分析】分點(diǎn)P在⊙O外和⊙O內(nèi)兩種情況分析；設(shè)⊙O【詳解】設(shè)⊙O的半徑為xcm當(dāng)點(diǎn)P在⊙O外時(shí)，根據(jù)題意得：4+2∴x=2.5當(dāng)點(diǎn)P在⊙O內(nèi)時(shí)，根據(jù)題意得：2∴x=6.5故答案為：6.5cm或2.5【點(diǎn)睛】本題考查了圓、一元一次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)，從而完成求解．【變式2-3】（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知矩形ABCD的邊AB=6，BC=8，現(xiàn)以點(diǎn)A為圓心作圓，如果B、C、D至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，那么⊙A半徑r【答案】6<r<10【分析】先求出矩形對(duì)角線的長(zhǎng)，然后由B、C、D至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，即可確定⊙A半徑r【詳解】解：連接AC，如圖，∵AB=6，BC由勾股定理可得：AC=∵AB=6，BC=8，AC又∵B、C、D至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，∴點(diǎn)B在⊙A內(nèi)，點(diǎn)C在⊙∴6<r<10．故答案為：6<r<10．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．題型03判斷直線與圓的位置關(guān)系【例3】（2023·廣東廣州·華南師大附中校考一模）如圖，RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，以點(diǎn)B為圓心，r為半徑作⊙B，當(dāng)A．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】根據(jù)RtΔABC中，∠C=90°，cosA=45，求出AC的值，再根據(jù)勾股定理求出BC的值，比較BC與半徑【詳解】解：∵RtΔABC中，∠C=90°，∴cosA=AC∵AB=5∴AC=4∴BC=B當(dāng)r=3時(shí)，⊙B與故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了由三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理以及直線和圓的位置關(guān)系等知識(shí)，利用勾股定理解求出BC是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）如圖是“光盤行動(dòng)”的宣傳海報(bào)，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．平行【答案】B【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系的進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵餐盤看成圓形的半徑大于餐盤的圓心到筷子看成直線l的距離為d.∴d<r，∴直線和圓相交．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意：已知⊙O的半徑為r，如果圓心O到直線l的距離是d，當(dāng)d>r時(shí)，直線和圓相離，當(dāng)d=r時(shí)，直線和圓相切，當(dāng)d<r時(shí)，直線和圓相交．【變式3-2】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=34．D、E分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，DE∥AC，且BD=2CD．如果A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【答案】B【分析】設(shè)圓E交DE于點(diǎn)F，則EF=AE，設(shè)CD=x，可得BD=2x，BC=3x，再由tanA=34．可得AC=4x，AB=5x，然后根據(jù)DE∥AC，可得DE=83x，【詳解】解：如圖，設(shè)圓E交DE于點(diǎn)F，則EF=AE，設(shè)CD=x，∵BD=2∴BD=2x，BC=3x，∵tanA∴AC=4x，∴AB=5x，∵DE∥∴BEAE=BD∴BE=2AE，DE=∴EF=AE=53∴DE=∴CD=DE，∵⊙E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與⊙∴⊙D的半徑為x∵∠C=90°，即AC⊥∴⊙D與直線AC故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，切線的判定，圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，切線的判定，圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·四川內(nèi)江·威遠(yuǎn)中學(xué)校?？家荒＃┮阎矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)P（x0,y0）和直線Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全為0），則點(diǎn)P到直線Ax＋By＋C＝0的距離例如：求點(diǎn)P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離，因?yàn)橹本€y＝2x＋1可化為2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以點(diǎn)P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離為：d=根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：（1）求點(diǎn)M（0，3）到直線y=（2）在（1）的條件下，⊙M的半徑r＝4，判斷⊙M與直線y=3x+9的位置關(guān)系，若相交，設(shè)其弦長(zhǎng)為【答案】（1）3；（2）直線與圓相交，n【分析】（1）直接利用公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)半徑和點(diǎn)到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系，再根據(jù)垂徑定理求弦長(zhǎng)．【詳解】解：（1）∵y＝3x＋9可變形為3x－y＋9＝0，則其中A＝3，B＝－1，C＝9，由公式可得d=∴點(diǎn)M到直線y＝3x＋9的距離為3，（2）由（1）可知：圓心到直線的距離d＝3，圓的半徑r＝4，∵d＜r∴直線與圓相交，則弦長(zhǎng)n=2×【點(diǎn)睛】本題考查了閱讀理解和圓與直線的位置關(guān)系，垂徑定理，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用公式求解和熟練運(yùn)用圓的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算．題型04根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求半徑【例4】（2023·重慶開(kāi)州·統(tǒng)考一模）如圖，OA是⊙О的一條半徑，點(diǎn)P是OA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PB，點(diǎn)B為切點(diǎn)．若PA=1，PB=2，則半徑OA的長(zhǎng)為（

）A．43 B．32 C．85【答案】B【分析】由題意得，△PBO是直角三角形，設(shè)OA=x，則OB=x，在Rt△PBO中，PO=x【詳解】解：由題意得，PA=1，PB=2，∴△PBO設(shè)OA=x，則OB=x，在Rt△PBO中，xx解得x=則半徑OA的長(zhǎng)為32故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．【變式4-1】（2023·上海浦東新·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，以點(diǎn)A4,3為圓心、以R為半徑作圓A與x軸相交，且原點(diǎn)O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是（

A．0<R<5 B．3<R<4 C．【答案】C【分析】分別根據(jù)原點(diǎn)O在圓A的外部，圓A與x軸相交，可得半徑R的取值范圍．【詳解】解：∵A∴OA=∵原點(diǎn)O在圓A的外部，∴R<OA，即∵圓A與x軸相交，∴R>3∴3<R故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，直線、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，能熟記直線、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，sinA=513，以點(diǎn)C為圓心，R【答案】5<R<12【分析】求出線段AC、BC，再根據(jù)點(diǎn)與圓得位置關(guān)系判斷即可．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB∴BC=∴AC=∵以點(diǎn)C為圓心，R為半徑作圓，使A、B兩點(diǎn)一點(diǎn)在圓內(nèi)，一點(diǎn)在圓外，∴5<R故答案為：5<R【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出BC=5，AC【變式4-3】（2020·河北石家莊·石家莊市第五十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．點(diǎn)O為邊AB上一點(diǎn)（不與A重合）⊙O是以點(diǎn)O為圓心，AO為半徑的圓．當(dāng)⊙O與三角形邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3時(shí)，則OA的范圍（）A．0＜OA≤158或2.5≤OA＜5 B．0＜OA<158或C．OA＝2.5 D．OA＝2.5或15【答案】B【分析】根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形，然后即可得到OA的取值范圍，本題得以解決．【詳解】解：如右圖所示，當(dāng)圓心從O1到O3的過(guò)程中，⊙O與三角形邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，當(dāng)恰好到達(dá)O3時(shí)則變?yōu)?個(gè)交點(diǎn)，作O3D⊥BC于點(diǎn)D，則∠O3BD＝∠ABC，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，設(shè)O3A＝a，則O3B＝5﹣a，∴a5-a=35∴當(dāng)0<OA<158時(shí)，當(dāng)點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)時(shí)，⊙O與三角形邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，此時(shí)OA＝2.5，由上可得，0<OA<158或OA＝2.5時(shí)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、勾股定理，準(zhǔn)確畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2020·江蘇鹽城·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在矩形ABCD中，AB=8，BC=6.點(diǎn)O為對(duì)角線AC上一點(diǎn)（不與A重合），⊙O是以點(diǎn)O為圓心，AO為半徑的圓.當(dāng)⊙O與矩形各邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5個(gè)時(shí)，半徑OA的范圍是【答案】15【分析】在圓心從點(diǎn)O1運(yùn)動(dòng)到O3過(guò)程中，⊙O在⊙O2與⊙O3之間時(shí)與矩形有5個(gè)交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O2作O【詳解】如圖所示，⊙O2與矩形有4個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)O2再往點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)一點(diǎn)就會(huì)與矩形有⊙O3與矩形有6個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)O3往點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)一點(diǎn)就與矩形有所以，⊙O在⊙O2與⊙O3之間時(shí)與矩形有過(guò)點(diǎn)O2作O2E⊥CD設(shè)⊙O的半徑為r，∵在Rt△ABC中，AB=8，BC∴AC=10∵O∴O2∴10-r∴r=∵O3∴O∴10-rr=∴154故答案為：154【點(diǎn)睛】本題考查了圓與直線的位置關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到⊙O與矩形有5個(gè)交點(diǎn)的兩種臨界點(diǎn)，畫出相應(yīng)的圖形，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．【變式4-5】（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，在RtΔABC中，∠C=90°,∠B=30°,AC=2，以C為圓心，r為半徑作圓．若該圓與線段【答案】r=3【分析】先根據(jù)題意畫出符合的兩種情況，根據(jù)勾股定理求出BC，即可得出答案．【詳解】解：過(guò)C作CD⊥AB于D，在Rt△BCA中，∵∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°，∴AB=4，∴BC=根據(jù)三角形的面積公式得：AB?CD=AC?BC，∴CD=當(dāng)圓與時(shí)AB相切時(shí)，r=3，當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)，點(diǎn)B在圓外或圓上時(shí)，r的范圍是2＜r≤23，綜上所述：r的取值范圍是r=3或2＜r≤23，故答案為：r=3或2＜r≤23．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，能求出符合題意的所有情況是解此題的關(guān)鍵，用了分類討論思想．【變式4-6】（2020·上海金山·統(tǒng)考一模）如圖，已知RtΔABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)，那么⊙A．0≤r≤125 B．125【答案】C【分析】作CD⊥AB于D，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=13，再利用面積法計(jì)算出CD=125然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到當(dāng)125≤r≤4【詳解】解：作CD⊥AB于D，如圖，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB∵∴CD∴以C為圓心、r為半徑作的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)時(shí)，r的取值范圍為12故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d：直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．題型05根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求點(diǎn)到直線的距離【例5】（2021·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考一模）如圖，⊙C的圓心C的坐標(biāo)為1,1，半徑為1，直線l的表達(dá)式為y=-2x+6，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，Q是A．355-1 B．655【答案】A【分析】求出點(diǎn)C1,1到直線y=-2x+6的距離【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CP⊥直線l，交圓C于Q點(diǎn)，此時(shí)PQ的值最小，連接BC、AC，作CM⊥OA于M，CN∵y=-2∴A3,0，B∴OA=3，OB∴AB=∵四邊形OMCN是正方形，∴OM=∴AM=3-1=2，BN設(shè)PC=d，PB=∵BN2+∴52+1解得：d=∵⊙C的半徑為1∴PQ=故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查與圓相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理的應(yīng)用、點(diǎn)到直線的距離的性質(zhì)．【變式5-1】（2020·福建福州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知⊙O的半徑為3，點(diǎn)O到直線m的距離為d，若直線m與⊙O公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)，則A．0 B．3 C．3.5 D．4【答案】A【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系判斷方法，可得結(jié)論．【詳解】解：∵直線m與⊙O公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2∴直線與圓相交，∴d<r故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，掌握直線和圓的位置關(guān)系判斷方法是解題的關(guān)鍵題型06求圓平移到與直線相切時(shí)圓心坐標(biāo)【例6】（2023·山東日照·日照市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，已知⊙P的半徑為1，圓心P在拋物線y＝12x2﹣1上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，圓心P的坐標(biāo)為【答案】（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）【詳解】當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)可求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵⊙P與x軸相切，∴P到x軸的距離等于半徑1，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1或﹣1，當(dāng)y＝1時(shí)，代入可得1＝12x2﹣1，解得x＝2或x＝﹣2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）或（﹣2，1當(dāng)y＝﹣1時(shí)，代入可得﹣1＝12x2﹣1，解得x＝0，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1），故答案為：（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）．【點(diǎn)睛】此題注意應(yīng)考慮兩種情況．熟悉直線和圓的位置關(guān)系應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2020·遼寧盤錦·統(tǒng)考二模）如圖，半徑r=22的⊙M在x軸上平移，且圓心M在x軸上，當(dāng)⊙M與直線y=x+2A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0)或（-6，0）【答案】D【分析】根據(jù)題意，進(jìn)行分情況討論，分別為圓位于直線右側(cè)并與直線相切和位于直線左側(cè)并于直線相切兩種情況，進(jìn)而根據(jù)相切的性質(zhì)及等腰直角三角形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解即可得解．【詳解】①當(dāng)圓位于直線右側(cè)并與直線相切時(shí)，連接MA，如下圖所示：∵y∴A(0,2)，B(-2,0)，△∴AB∵r∴△ABM是等腰直角三角形，∴⊙M與直線AB相切于點(diǎn)A∵AO∴OB∴圓心M的坐標(biāo)為(2,0)；②當(dāng)圓位于直線左側(cè)并與直線相切時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥AB于點(diǎn)∵⊙M與直線AB相切，MC∴MC根據(jù)直線AB的解析式：y=x∴△BCM∴MB∵B∴圓心M的坐標(biāo)為(-6,0)，綜上所述：圓心M的坐標(biāo)為(2,0)或(-6,0)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及動(dòng)圓問(wèn)題，熟練掌握相關(guān)幾何求解方法并進(jìn)行分類討論是解決本題的關(guān)鍵．題型07求圓平移到與直線相切時(shí)運(yùn)動(dòng)距離【例7】（2020·四川涼山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在半徑為5cm的⊙O中，直線l交⊙O于A、B兩點(diǎn)，且弦AB＝8cm，要使直線l與⊙O相切，則需要將直線l向下平移()A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】作出OC⊥AB，利用垂徑定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直線l與⊙O相切，則需要將直線l向下平移的長(zhǎng)度．【詳解】解：作OC⊥AB，又∵⊙O的半徑為5cm，直線l交⊙O于A、B兩點(diǎn)，且弦AB＝8cm∴BO＝5，BC＝4，∴由勾股定理得OC＝3cm，∴要使直線l與⊙O相切，則需要將直線l向下平移2cm．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)定理與垂徑定理，根據(jù)圖形求出OC的長(zhǎng)度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022上·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的圓P的圓心P的坐標(biāo)為（-3，0），將圓P沿x軸的正方向平移，使得圓P與y軸相切，則平移的距離為（

）A．1 B．3或6 C．3 D．1或5【答案】D【分析】分圓P在y軸的左側(cè)與y軸相切、圓P在y軸的右側(cè)與y軸相切兩種情況，根據(jù)切線的判定定理解答即可求得．【詳解】解：根據(jù)題意可得：OP=3，圓P的半徑為2，當(dāng)圓P在y軸的左側(cè)與y軸相切時(shí)，平移的距離為3-2=1，當(dāng)圓P在y軸的右側(cè)與y軸相切時(shí)，平移的距離為3+2=5，故圓P與y軸相切，則平移的距離為1或5，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定，圖形的平移，分類討論是解決本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022上·福建南平·九年級(jí)順昌縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=30°，半徑為1cm的圓的圓心P在直線AB上，且與點(diǎn)O的距離為8cm，若點(diǎn)P以1cm/s的速度由A向B的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為【答案】10s或6s【分析】⊙P在射線OA上或在射線OB上，設(shè)對(duì)應(yīng)的圓的圓心分別在M，根據(jù)切線的性質(zhì)，在Rt△OEM中，根據(jù)30度的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可求得OM的長(zhǎng)，進(jìn)而求得PM的長(zhǎng)，從而求得由P到M移動(dòng)的時(shí)間；根據(jù)ON=OM，即可求得PN【詳解】解：當(dāng)⊙P在射線OA上，設(shè)⊙P與CD相切于點(diǎn)E，P移動(dòng)到M時(shí)，連接∵⊙P與直線CD∴∠OEM∵在Rt△OEM中，ME=1∴OM=2則PM=∵⊙P以1cm/s的速度沿由∴⊙P移動(dòng)6s時(shí)與直線CD當(dāng)⊙P在射線OB上時(shí)，同理可求⊙P移動(dòng)10s時(shí)與直線故答案為：10s或6s．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，注意已知圓的切線時(shí)，常用的輔助線是連接圓心與切點(diǎn)，本題中注意到分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2020·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，0)，B(0，2)，若⊙M的半徑為1，圓心M在y在軸上，當(dāng)⊙M與直線l相切時(shí)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(0，2-52)或(0，2+【分析】根據(jù)勾股定理得到AB=42+22=25，設(shè)M坐標(biāo)為（0，m）（m＞0），即OM=m，若M在B點(diǎn)下邊時(shí)，BM=2-m，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠MN′B=90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到m=2-52，此時(shí)M（0，2-52）；若【詳解】解：∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，0)，B(0，2)，∴AB=42+設(shè)M坐標(biāo)為(0，m)(m＞0)，即OM=m，若M在B點(diǎn)下邊時(shí)，BM=2﹣m，當(dāng)AB是⊙O的切線，∴∠MN'B=90°．∵∠MBN'=∠ABO，∠MN'B=∠BOA=90°，∴△MBN'∽△ABO，∴MNOA=BM解得：m=2-52，此時(shí)M(0，2-若M在B點(diǎn)上邊時(shí)，BM=m﹣2，同理△BMN∽△BAO，則有MNOA=BM解得：m=2+52．此時(shí)M(0，2+綜上所述：M(0，2-52)或(0，2+故答案為：(0，2-52)或(0，2+【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是畫出示意圖，熟練掌握切線的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，難度一般．【變式7-4】（2018·吉林·統(tǒng)考一模）等腰Rt△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．（1）若△ABC以每秒2個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，⊙O不動(dòng)，則經(jīng)過(guò)多少時(shí)間△ABC的邊與圓第一次相切？（2）若兩個(gè)圖形同時(shí)向右移動(dòng)，△ABC的速度為每秒2個(gè)單位，⊙O的速度為每秒1個(gè)單位，則經(jīng)過(guò)多少時(shí)間△ABC的邊與圓第一次相切？（3）若兩個(gè)圖形同時(shí)向右移動(dòng)，△ABC的速度為每秒2個(gè)單位，⊙O的速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)△ABC的邊長(zhǎng)AB、BC都以每秒0.5個(gè)單位沿BA、BC方向增大．△ABC的邊與圓第一次相切時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)了多少距離？【答案】（1）5-22；（2）5-2；（【詳解】分析：（1）分析易得，第一次相切時(shí)，與斜邊相切，假設(shè)此時(shí)，△ABC移至△A′B′C′處，A′C′與⊙O切于點(diǎn)E，連OE并延長(zhǎng)，交B′C′于F．由切線長(zhǎng)定理易得CC′的長(zhǎng)，進(jìn)而由三角形運(yùn)動(dòng)的速度可得答案；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，根據(jù)題意得：CC′=2t，DD′=t，則C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，由第（1）的結(jié)論列式得出結(jié)果；（3）求出相切的時(shí)間，進(jìn)而得出B點(diǎn)移動(dòng)的距離．詳解：（1）假設(shè)第一次相切時(shí)，△ABC移至△A′B′C′處，如圖1，A′C′與⊙O切于點(diǎn)E，連接OE并延長(zhǎng)，交B′C′于F，設(shè)⊙O與直線l切于點(diǎn)D，連接OD，則OE⊥A′C′，OD⊥直線l，由切線長(zhǎng)定理可知C′E=C′D，設(shè)C′D=x，則C′E=x，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠ACB=45°，∴∠A′C′B′=∠ACB=45°，∴△EFC′是等腰直角三角形，∴C′F=2x，∠OFD=45°，∴△OFD也是等腰直角三角形，∴OD=DF，∴2x+x=1，則x=2-1，∴CC′=BD-BC-C′D=5-1-（2-1）=5-2，∴點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為5-2則經(jīng)過(guò)5-22秒，△（2）如圖2，設(shè)經(jīng)過(guò)t秒△ABC的邊與圓第一次相切，△ABC移至△A′B′C′處，⊙O與BC所在直線的切點(diǎn)D移至D′處，A′C′與⊙O切于點(diǎn)E，連OE并延長(zhǎng)，交B′C′于F，∵CC′=2t，DD′=t，∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，由切線長(zhǎng)定理得C′E=C′D′=4-t，由（1）得：4-t=2-1，解得：t=5-2，答：經(jīng)過(guò)5-2秒△ABC的邊與圓第一次相切；（3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t，DD′=t，則C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2.5t=4-1.5t，由切線長(zhǎng)定理得C′E=C′D′=4-1.5t，由（1）得：4-1.5t=2-1，解得：t=10-22∴點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的距離為2×10-223=點(diǎn)睛：本題要求學(xué)生熟練掌握?qǐng)A與直線的位置關(guān)系，并結(jié)合動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行綜合分析，比較復(fù)雜，難度較大，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的分析能力．題型08根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求交點(diǎn)個(gè)數(shù)【例8】（2020·廣東·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，圓心O的坐標(biāo)為（-3，4），以半徑r在坐標(biāo)平面內(nèi)作圓，（1）當(dāng)r時(shí)，圓O與坐標(biāo)軸有1個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)r時(shí)，圓O與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)；（3）當(dāng)r時(shí)，圓O與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)；（4）當(dāng)r時(shí)，圓O與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)；【答案】（1）r=3；（2）3<r<4；（3）r=4或5；（6【分析】分別根據(jù)直線與圓相切、相交的關(guān)系進(jìn)行逐一解答即可．【詳解】解：（1）∵圓心O的坐標(biāo)為(-3,4)，∴當(dāng)r=3時(shí)，圓O與坐標(biāo)軸有1（2）∵圓心O的坐標(biāo)為(-3,4)，∴當(dāng)3<r<4時(shí)，圓O與坐標(biāo)軸有（3）∵圓心O的坐標(biāo)為(-3,4)，∴當(dāng)r=4或5時(shí)，圓O與坐標(biāo)軸有3（4）∵圓心O的坐標(biāo)為(-3,4)，∴當(dāng)r>4且r≠5時(shí)，圓O與坐標(biāo)軸有故答案為：（1）r=3；（2）3<r<4；（3）r=4或5；（6）【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解答此題時(shí)要考慮到圓過(guò)原點(diǎn)的情況，這是此題易遺漏的地方．題型09圓和圓的位置關(guān)系【例9】（2022·上海崇明·統(tǒng)考二模）Rt△ABC中，已知∠C=90°,BC=3,AC=4，以點(diǎn)A、B、C為圓心的圓分別記作圓A、圓A．圓A與圓C相交 B．圓B與圓C外切 C．圓A與圓B外切 D．圓A與圓B外離．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊長(zhǎng)確定兩圓的圓心距，與兩圓的半徑的和比較后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】∵∠C∴AB=∵三個(gè)圓的半徑長(zhǎng)都等于2，∴任意兩圓的圓心距都是4，∴圓A與圓C外切，圓B與圓C相交，圓A與圓B外離，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓的兩邊的長(zhǎng)求得第三邊的長(zhǎng)，然后根據(jù)兩圓的半徑之和和兩圓的圓心距的大小關(guān)系確定兩圓的位置關(guān)系，難度不大．【變式9-1】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，cotA=65，那么以邊AC長(zhǎng)的A．外切 B．相交 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含【答案】C【分析】取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD，根據(jù)題意可設(shè)AC=6a,BC=5【詳解】解：如圖，取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD，Rt△ABC中，∠C∴ACBC可設(shè)AC=6∴32∴32AC-∴即以邊AC長(zhǎng)的32倍為半徑的圓A與以BC∴以邊AC長(zhǎng)的32倍為半徑的圓A與以BC故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，圓與圓的位置關(guān)系，掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)系．【變式9-2】（2022·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，在平面內(nèi)⊙O1，⊙O2，⊙O3兩兩外切，其中⊙O1的半徑為8，⊙O2，A．403 B．10 C．13 D．【答案】A【分析】當(dāng)半徑為R的圓形紙片與三個(gè)圓相切時(shí)，R的值最小，根據(jù)兩圓相切的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)⊙O與三個(gè)已知圓相切時(shí)，R∵四個(gè)圓相切，⊙O1的半徑為8，⊙O2，⊙O3的半徑都為∴O1O2=O1O3=5+8=13，OO2=OO3=R-5，O1O=R-8，O2O3=5+5=10，∴O1O⊥O2O3，設(shè)垂足為I，∴IO2=5，∴IO∴IO=12-(∴IO22解得，R=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相切圓的性質(zhì)和勾股定理，解題關(guān)鍵是明確兩圓相切時(shí)，圓心距與半徑的關(guān)系，根據(jù)勾股定理列出方程．【變式9-3】（2021·上海松江·統(tǒng)考二模）已知⊙O的半徑OA長(zhǎng)為3，點(diǎn)B在線段OA上，且OB＝2，如果⊙B與⊙O有公共點(diǎn)，那么⊙B的半徑r的取值范圍是（）A．r≥1 B．r≤5 C．1＜r＜5 D．1≤r≤5【答案】D【分析】求得⊙B在⊙O內(nèi)部且有唯一公共點(diǎn)時(shí)⊙B的半徑和⊙O在⊙B內(nèi)部且有唯一公共點(diǎn)時(shí)⊙B的半徑，根據(jù)圖形即可求得．【詳解】解：如圖，當(dāng)⊙B在⊙O內(nèi)部且有唯一公共點(diǎn)時(shí)，⊙B的半徑為：3-2=1，當(dāng)⊙O在⊙B內(nèi)部且有唯一公共點(diǎn)時(shí)，⊙B的半徑為3+2＝5，∴如果⊙B與⊙O有公共點(diǎn)，那么⊙B的半徑r的取值范圍是1≤r≤5，故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合和分類討論思想的應(yīng)用．【變式9-4】（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)Ma,b，將點(diǎn)P向左a≥0或向右a<0平移ka個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下b≥0或向上b<0平移kb個(gè)單位長(zhǎng)度k>0，得到點(diǎn)P'，再將點(diǎn)P關(guān)于直線MP'對(duì)稱得到點(diǎn)Q，稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的k倍“(1)已知點(diǎn)P3，0①若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，1)，畫出點(diǎn)P'，并直接寫出點(diǎn)P的2倍“對(duì)應(yīng)點(diǎn)②若OM=1，直線y=x+b上存在點(diǎn)P的2倍“(2)半徑為3的⊙O上有不重合的兩點(diǎn)M，P，若半徑為1的⊙O上存在點(diǎn)P的k倍“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，直接寫出【答案】(1)①畫圖見(jiàn)解析，Q1，-(2)1【分析】（1）①根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)平移的特點(diǎn)結(jié)合題目所給定義求出點(diǎn)P'的坐標(biāo)，再在坐標(biāo)系中畫出P'，再根據(jù)對(duì)稱求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可；②如圖2-1所示，假設(shè)M在第一象限，過(guò)點(diǎn)M作MT⊥x軸于T，分別過(guò)點(diǎn)P作PH∥x軸，P'H∥y軸，PH、P'H交于H，連接OM，連接OP，P'M交于A，證明△MTO∽△P'HP，得到PP'OM=PHOT=k；再證明△OMA∽△（2）由（1）可得點(diǎn)Q在以A為圓心，AP的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且APOA=k，則要使半徑為1的⊙O存在點(diǎn)P的k倍“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，則半徑為1的⊙O一定于⊙A有交點(diǎn)，如圖3-1所示，當(dāng)半徑為1的⊙O與⊙A外切時(shí)，如圖3-2所示，當(dāng)半徑為【詳解】（1）解：①∵M(jìn)0∴點(diǎn)P3，0向下平移2∴P'設(shè)直線MP'的解析式為∴3k∴k1∴直線MP'的解析式為在y=-x+1中，當(dāng)y=0時(shí)，∴OT=OM∴∠PT∴∠P∵點(diǎn)P關(guān)于直線MP'對(duì)稱得到點(diǎn)∴∠Q∴∠Q∴Q1②如圖2-1所示，假設(shè)M在第一象限，過(guò)點(diǎn)M作MT⊥x軸于T，分別過(guò)點(diǎn)P作PH∥x軸，P'H∥y軸，PH、由平移的特點(diǎn)可知PH=kOT，∵∠MTO=∠H=90°∴△MTO∴PP∵OM∥∴△OMA∴PAOA如圖2-2所示，當(dāng)P3，0，k∴AP=2由對(duì)稱性可知AQ=AP∴點(diǎn)Q在以A1，0∴當(dāng)直線y=x+b與⊙A有交點(diǎn)時(shí)，則直線y=x+b如圖2-2所示，當(dāng)b>0且直線y=x+b與⊙A相切于點(diǎn)∴∠AGK=90°又∵∠GKA=45°（可以同求∴△GAK∴AK=∴OK=2∴K-∴-22+1+同理可求出當(dāng)b<0且直線y=x+b綜上所述，當(dāng)-22-1≤b≤22-1時(shí)直線y（2）解：如圖3-1所示，連接P'M，由（1）可得點(diǎn)Q在以A為圓心，AP的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且APOA∵要使半徑為1的⊙O存在點(diǎn)P的k倍“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”∴半徑為1的⊙O一定與⊙如圖3-1所示，當(dāng)半徑為1的⊙O與⊙則2AP∴AP=1∴k=如圖3-2所示，當(dāng)半徑為1的⊙O與⊙A內(nèi)切時(shí)，可得∴k=綜上所述，當(dāng)12≤k≤2時(shí)，半徑為1的⊙O上存在點(diǎn)P的k【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，切線的性質(zhì)，圓與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形變化——平移等等，正確理解題意得到點(diǎn)Q在以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二切線的性質(zhì)與判定1.切線的性質(zhì)與判定定義線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，這條直線叫圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．性質(zhì)圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．（實(shí)際上過(guò)切點(diǎn)的半徑也可理解為過(guò)切點(diǎn)的直徑或經(jīng)過(guò)切點(diǎn)與圓心的直線．）解題方法：當(dāng)題目已知一條直線切圓于某一點(diǎn)時(shí)，通常作的輔助線是連接切點(diǎn)與圓心（這是圓中作輔助線的一種方法）．根據(jù)切線的性質(zhì)可得半徑與切線垂直，從而利用垂直關(guān)系進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算或證明．判定1）定義法：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說(shuō)這條直線是圓的切線.2）數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑時(shí)，直線與圓相切.3)判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.常見(jiàn)輔助線作法：判定一條直線是圓的切線時(shí)，1）若已知直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連接起來(lái)，然后證明直線垂直于這條半徑，簡(jiǎn)稱“連半徑，證垂直”；3）若直線與圓的公共點(diǎn)沒(méi)有明確，可過(guò)圓心作直線的垂線段，再證明圓心到直線的距離等于半徑，簡(jiǎn)稱“作垂直，證半徑”．2.切線長(zhǎng)定理定義在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用問(wèn)題解題方法：切線長(zhǎng)定理經(jīng)常用來(lái)證明線段相等，通常要連接圓心與切點(diǎn)構(gòu)造直角三角形來(lái)求解．題型01判斷或補(bǔ)全使直線成為切線的條件【例1】（2021·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)B在⊙A上，點(diǎn)C在⊙A外，以下條件不能判定BC是⊙A切線的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)切線的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；D、∵⊙A與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)，∴AB＝12AC，但不能證出∠B＝90°∴不能判定BC是⊙A切線；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2021·廣東揭陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，下列說(shuō)法不正確的是（A．若DE=DO，則DE是⊙O的切線 B．若AB=AC，則DEC．若CD=DB，則DE是⊙O的切線 D．若DE是⊙O【答案】A【分析】根據(jù)AB=AC，連接AD，利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)可以得到點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，OD是△ABC的中位線，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以證明DE是⊙O的切線，可判斷B選項(xiàng)正確；若DE是⊙O的切線，同上法倒推可證明AB=AC，可判斷D選項(xiàng)正確；根據(jù)CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位線，同上可以證明DE是⊙O的切線，可判斷C選項(xiàng)正確；若DE=DO，沒(méi)有理由可證明DE是⊙【詳解】解：當(dāng)AB=AC時(shí)，如圖：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴CD=BD，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線，所以B選項(xiàng)正確；當(dāng)DE是⊙O的切線時(shí)，如圖：連接AD，∵DE是⊙O的切線，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位線，∴CD∥BD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴AD是線段BC的垂直平分線，∴AB=AC，所以D選項(xiàng)正確；當(dāng)CD=BD時(shí)，又AO=BO，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線，所以C選項(xiàng)正確．若DE=DO，沒(méi)有理由證明DE是⊙O的切線，所以故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2019·新疆·?？贾锌寄M）已知⊙O的半徑為5，直線EF經(jīng)過(guò)⊙O上一點(diǎn)P（點(diǎn)E，F(xiàn)在點(diǎn)P的兩旁），下列條件能判定直線EF與⊙O相切的是（

）A．OP＝5 B．OE＝OFC．O到直線EF的距離是4 D．OP⊥EF【答案】D【分析】根據(jù)切線的證明方法進(jìn)行求解，即可得到答案.【詳解】∵點(diǎn)P在⊙O上，∴只需要OP⊥EF即可，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查切線的證明，解題的關(guān)鍵是掌握切線的證明方法.題型02利用切線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)【例2】（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）如圖，已知△ABC，點(diǎn)D在邊AB上，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點(diǎn)C，若AC=4,

A．5 B．25 C．1155【答案】D【分析】連接OC,過(guò)C點(diǎn)作CH⊥OA于H點(diǎn),如圖，如圖,根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ACO=90°,設(shè)⊙O的半徑為r,則OC=r,OA=r+2,利用勾股定理得到r2+4【詳解】連接OC,過(guò)C點(diǎn)作CH⊥OA于H點(diǎn)

∵⊙O與邊AC相切于點(diǎn)C∴OC⊥∴∠ACO設(shè)⊙O的半徑為r,則在Rt△OAC中,r2即OC=3∵∴CH在Rt△OCHOH=∴BH在Rt△BCHBC=故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.【變式2-1】（2023·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△OAB中，OA=OB=13，AB=24，以O(shè)為圓心，4為半徑作⊙O，P為線段AB上動(dòng)點(diǎn)(從A運(yùn)動(dòng)到B)，過(guò)P作⊙O的切線PC

A．3≤PC≤317 B．5≤PC≤13 C．4≤PC【答案】A【分析】連接OP、OC,根據(jù)當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PC最短，當(dāng)P在A或B點(diǎn)時(shí)，線段PC最長(zhǎng)，進(jìn)而分別求得【詳解】解：連接OP、OC．∵PQ是⊙∴OQ根據(jù)勾股定理知PC∴當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PC最短，當(dāng)P在A或B點(diǎn)時(shí)，線段①當(dāng)PO⊥AB時(shí)，∵在Rt△AOB中，∴AP∴OP∴PC=②當(dāng)P在A點(diǎn)時(shí)，在Rt△AOC中，OC=4∴PC=∴PC的取值范圍是3≤故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O的直徑AB=2，直線l與⊙O相切于點(diǎn)B，將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得線段BC，E是l上一點(diǎn)，連接CE，則CE

A．1 B．1.2 C．1.4 D．1.6【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)C作CM⊥l，垂足為M，利用切線的性質(zhì)可得∠ABM=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AB=BC=2,∠ABC=45°，從而可求出∠【詳解】如圖：過(guò)點(diǎn)C作CM⊥l，垂足為

∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)B∴∠ABM由旋轉(zhuǎn)得：AB∴∠∴∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，CE有最小值為2，∴CE≥∵2≈1.414∴CE≥1.414∴CE的長(zhǎng)可以是1.6，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023·陜西西安·西安市慶安初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線CM，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥MC交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE

(1)求證：CD=(2)若AB=10，AC【答案】(1)見(jiàn)解析(2)48【分析】（1）連接OC，由題意可得CM⊥OC，再由題意可得AD（2）連接BC，由題意可以得到△ACD∽△【詳解】（1）證明：如圖，連接OC，∵CM與⊙O相切于點(diǎn)C，∴CM⊥∵AD⊥MC交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，BE⊥∴AD∥∴CDCE∴CD=（2）解：連接BC．

∵AB是⊙O的直徑，AB=10∴∠ACB∴BC=∵OB=∴∠OCB∵∠ADC∴∠ADC∴△ACD∴CDBC∴CD=∴DE=2∴線段DE的長(zhǎng)是485【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)、弦切角定理、勾股定理的應(yīng)用、相似三角形的判定與性質(zhì)及平等線分線段成比例定理等是解題的關(guān)鍵.題型03利用切線的性質(zhì)求角度【例3】（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？级＃┤鐖D，線段AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，D都在⊙O上，DE與⊙O相切于點(diǎn)D，若∠BAC=α，

A．2α+β B．90°-α-β【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠C=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠ABC=90°-α【詳解】解：∵線段AB為⊙O∴∠C∵∠BAC∴∠ABC∵DE與⊙O相切于點(diǎn)D∴∠ODE∵∠BDE∴∠ODB∵OB=∴∠OBD∴∠CBD故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·四川瀘州·瀘縣五中校考三模）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠ABC＝25°，OC的延長(zhǎng)線交PA于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是(

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A．25° B．35° C．40° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠AOC=50°，根據(jù)切線的性質(zhì)可得【詳解】∵AC=AC，∠ABC∴∠AOC∵AB是⊙O的直徑，∴∠PAO∴∠P故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理與切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，AB、AC是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)A的切線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若∠BAD=35°，則∠【答案】35【分析】連接AO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，首先根據(jù)圓周角定理可得∠E+∠BAE=90°，再根據(jù)AD為⊙【詳解】解：如圖，連接AO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE∵AE為⊙∴∠ABE∴∠E∵AD為⊙∴∠DAE∴∠BAE∴∠E∴∠C故答案為：35．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·山東德州·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，∠B=90°，⊙O過(guò)點(diǎn)A、C，與AB交于點(diǎn)D，與BC相切于點(diǎn)C，若∠【答案】64°/64度【分析】根據(jù)同弧對(duì)應(yīng)的圓心角是圓周角的2倍計(jì)算出∠DOC，再根據(jù)AB//OC【詳解】如下圖所示，連接OC從圖中可以看出，∠DAC是圓弧DC對(duì)應(yīng)的圓周角，∠DOC是圓弧得∠DOC∵BC是圓O的切線∴OC⊥∵∠∴AB∴AB//∴∠ADO故答案為：64°【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A和平行線的相關(guān)知識(shí)．題型04證明某條直線時(shí)圓的切線類型一由公共點(diǎn)：連半徑，證垂直【例4】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，以線段AB為直徑作⊙O，交射線AC于點(diǎn)C，AD平分∠CAB交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作直線DE⊥AC于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接BD(1)求證：直線DE是⊙O(2)求證：AB=(3)若ME=1，∠F=30°【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)BF【分析】（1）連接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC證明OD∥AC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可證明直線DE是⊙O的切線；（2）由線段AB是⊙O的直徑證明∠ADB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等證明∠M＝∠ABM，則AB＝AM；（3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°證明∠BAM＝60°，則△ABM是等邊三角形，所以∠M＝60°，則∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再證明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．【詳解】（1）證明：連接OD，則OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半徑，且DE⊥OD，∴直線DE是⊙O的切線．（2）證明：∵線段AB是⊙O∴∠ADB∴∠ADM＝180°－∠ADB＝90°，∴∠M＋∠DAM＝90°，∠ABM＋∠DAB＝90°，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，∴△ABM是等邊三角形，∴∠M＝60°，∵∠DEM＝90°，ME＝1，∴∠EDM＝30°，∴MD＝2ME＝2，∴BD＝MD＝2，∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查切線的判定、直徑所對(duì)的圓周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)EC，AB交于點(diǎn)F，∠ECD＝∠BCF．（1）求證：CE為⊙O的切線；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）⊙O的半徑是4.5【分析】（1）如圖1，連接OC，先根據(jù)四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，得∠CDE＝∠（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AE于G，連接OC，OD，則∠OGE＝90°，先根據(jù)三個(gè)角是直角的四邊形是矩形得四邊形OGEC是矩形，設(shè)【詳解】（1）證明：如圖1，連接OC，∵OB＝∴∠OCB∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠又∠∴∠CDE∵CE⊥∴∠E∵∠ECD∴∠OCB∴∠OCE∵OC是⊙O的半徑，∴CE為⊙O的切線；（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AE于G，連接OC，OD，則∵∠E∴四邊形OGEC是矩形，∴OC＝設(shè)⊙O的半徑為x，Rt△CDE中，CD＝∴EC=∴OG=22，由勾股定理得：OD∴x2解得：x＝∴⊙O的半徑是4.5．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的綜合，涉及到圓的切線的證明、勾股定理以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是⊙O外一點(diǎn)，∠BCD=∠BAC，連接(1)求證：CD是⊙O(2)若CE=OA,【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)3【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，設(shè)BC=4x，則AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根據(jù)OF∥AC，得到BFCF=OBOA=1，證得OF為△ABC的中位線，求出OF【詳解】（1）證明：連接OC，∵AB為⊙O∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO,∵∠BCD∴∠BCD=∠ACO，∴∠BCD+∠OCB=90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，∵CE=∴設(shè)BC=4x，則AB=5x，OA=CE=2.5x，∴BE=BC-CE=1.5x，∵∠C=90°，∴AC=AB∵OA=OB，OF∥AC，∴BFCF∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，∴OF為△ABC的中位線，∴OF=12∴tan∠CEO=【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，證明直線是圓的切線，銳角三角函數(shù)，三角形中位線的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，正確引出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2020·甘肅酒泉·統(tǒng)考二模）如圖，已知BC是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)C，AB交O于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，連接CD，（1）求證：DE是⊙O（2）若BD=4，CD=3，求【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AC=【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線以及等腰三角形的性質(zhì)得出，∠EDC=∠ECD，∠（2）首先根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)度，然后證明△BCD∽△BAC【詳解】（1）證明：連接OD，如圖，∵BC是⊙O∴∠BDC∴∠ADC∵E為AC的中點(diǎn)，∴DE=∴∠EDC∵OD=OC∴∠ODC∵AC切⊙O于點(diǎn)C∴AC⊥∴∠EDC∴DE⊥∴DE是⊙O（2）解：在Rt△∵BD=4，CD∴BC∵∠BDC=∠BCA∴△BCD∴CDAC即3AC∴AC=【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合問(wèn)題，掌握切線的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AC=BC，點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，連接CD與⊙O交于點(diǎn)E，在AD

(1)試判斷直線EF與⊙O(2)若tan∠DEF=12【答案】(1)相切，理由見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）連接OC，OE，根據(jù)弧，角之間的關(guān)系，推出∠AOC=∠BOC=90°，等邊對(duì)等角，得到∠C（2）在Rt△OCD中，利用tan∠D=tan∠DEF=【詳解】（1）直線EF與⊙O連接OC，OE，

∵AC=∴∠AOC∵∠AOC+∠∴∠AOC∵OC∴∠C∵FD=∴∠D在Rt△∵∠C+∠∴∠FED∴∠OEF=180°-90°=90°即EF⊥又∵OE是⊙O∴直線EF與⊙O（2）在Rt△∵∠D=∠∴tan∵OC=∴4OD∴OD設(shè)FD=FE=在Rt△∵O∴42解得x=3∴DF的長(zhǎng)為3【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合應(yīng)用．重點(diǎn)考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理．解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用．類型二無(wú)公共點(diǎn)：作垂直，證半徑【例5】（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，CB=CD，連接BD，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑作（1）試判斷CD與⊙B（2）若AB=23，【答案】（1）相切，理由見(jiàn)解析；（2）2【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD，證明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可證明CD與圓B相切；（2）先證明△BCD是等邊三角形，根據(jù)三線合一得到∠ABD=30°，求出AD，再利用S△ABD-S扇形ABE求出陰影部分面積．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD≌△FBD（AAS），∴BF=BA，則點(diǎn)F在圓B上，∴CD與圓B相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠CBD=60°∵BF⊥CD，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=23∴AD=DF=AB?tan∴陰影部分的面積=S△ABD-S扇形ABE=1=23【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積，三角函數(shù)的定義，題目的綜合性較強(qiáng)，難度不小，解題的關(guān)鍵是正確做出輔助線．【變式5-1】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）如圖：在Rt△ABC中，∠B=90°，AO平分∠BAC，點(diǎn)E在AB上，OE=OC

(1)判斷AC與⊙O(2)若AB=6，EB=4，求【答案】(1)相切，見(jiàn)解析(2)1【分析】（1）過(guò)O作OF⊥AC于E，利用角平分線的性質(zhì)得到OF=（2）利用切線的性質(zhì)可得AB=AF，再證Rt△BOD≌Rt△COEHL，即有BE=CF【詳解】（1）解：相切．過(guò)O作OF⊥AC于點(diǎn)

∵AO平分∠BAC，∠∴OF=∵OB長(zhǎng)為⊙∴圓心點(diǎn)O到AC的距離等于半徑，即AC與⊙O（2）解：∵∠ABC=90°，OB為∴AB是⊙O又由（1）AC是⊙O∴AB=在Rt△BOE和Rt△∴Rt△∴BE=∴AC=在Rt△ABC中，設(shè)⊙O的半徑為r在Rt△OFC中，即r2解得r=3∴tan∠【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，正切函數(shù)，掌握?qǐng)A相關(guān)性質(zhì)并結(jié)合三角形的全等以及勾股定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023·湖南衡陽(yáng)·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=6，∠ACB的平分線CO交AB

(1)請(qǐng)判斷AC與⊙O(2)求⊙O【答案】(1)相切，理由見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出（2）根據(jù)勾股定理求出AB，證△AOD【詳解】（1）解：AC與⊙O理由如下：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)∵∠ABC∴OB⊥又∵CO平分∠ACB∴OD=∴AC與⊙O（2）∵在Rt△ABC中，AC=10∴AB=∵OD⊥∴∠ODA又∵∠A∴△AOD∴ODCB設(shè)⊙O的半徑為x∴x6解得：x=3即⊙O的半徑為3

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定和勾股定理，也考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，還考查了角平分線性質(zhì)，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為1，直線y=-33x+233(1)判斷直線AB與⊙O(2)求陰影部分的面積．【答案】(1)直線AB與⊙O(2)3【分析】（1）過(guò)O作OH⊥AB于H，求出A、B坐標(biāo)，利用三角函數(shù)定義得出（2）如圖所示，可知陰影部分面積是ΔOAH的面積減去一個(gè)扇形OCH【詳解】（1）解：直線AB與⊙O理由如下：過(guò)O作OH⊥AB于對(duì)于y=-33x+∴A(2,0)令x=0，得y∴B(0,在Rt△OAB中，∴∠OAB∴OH=∵⊙O的半徑為1，即OH∴直線AB與⊙O（2）解：在Rt△OAH中，AH∴S陰【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合問(wèn)題，涉及到直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求解、三角函數(shù)運(yùn)用、切線證明、扇形面積求解等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A的基礎(chǔ)知識(shí)及解決問(wèn)題的方法是解題關(guān)鍵．題型05利用切線的性質(zhì)定理證明【例6】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點(diǎn)A，交邊BC于點(diǎn)C，D，∠B=90°，連接OD，AD．

(1)若∠ACB=20°，求AD的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．(2)求證：AD平分∠BDO．【答案】(1)4(2)見(jiàn)解析【分析】（1）連接OA，由∠ACB=20°，得∠AOD=40°，由弧長(zhǎng)公式即得（2）根據(jù)AB切⊙O于點(diǎn)A，∠B=90°，可得OA//BC，有∠OAD=∠ADB，而【詳解】（1）解：連接OA，

∵∠ACB＝20°，∴∠AOD＝40°，∴AD===4（2）證明：∵OA∴∠OAD∵AB切⊙O于點(diǎn)∴OA∵∠B∴OA∴∠OAD∴∠ADB∴AD平分∠【點(diǎn)睛】本題考查與圓有關(guān)的計(jì)算及圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式及圓的切線的性質(zhì)．【變式6-1】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考一模）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F．(1)求證：CA＝CD；(2)若AB＝12，求線段BF的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）連接OC，欲證明CA＝CD，只要證明∠CAD（2）因?yàn)锳B為直徑，所以∠ACB=90°，可得出三角形CBF為等腰直角三角形，即可求出【詳解】（1）證明：連接OC∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C∴OC⊥∴∠OCD∵∠CDA∴∠COB∵BC所對(duì)的圓周角為∠CAB，圓心角為∠∴∠CAB∴∠CAD∴CA=（2）∵AB為直徑，∴∠ACB在Rt△ABC中，∠CAB∴BC=∵CE平分∠ACB∴∠ECB∵BF⊥∴∠CFB∴BF=【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)條件常用輔助線，屬于中考?？碱}型．【變式6-2】（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）已知AB為⊙O的直徑，AB=6，C為⊙O(1)如圖①，若C為AB的中點(diǎn)，求∠CAB的大小和AC(2)如圖②，若AC=2,OD為⊙O的半徑，且OD⊥CB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，與【答案】(1)∠CAB=45°(2)FD【分析】（1）由圓周角定理得∠ACB=90°，由C為AB的中點(diǎn)，得AC=BC，從而AC=（2）證明四邊形ECFD為矩形，F(xiàn)D=CE=12CB，由勾股定理求得BC【詳解】（1）∵AB為⊙O∴∠ACB由C為AB的中點(diǎn)，得AC=∴AC=BC，得在Rt△ABC中，∴∠CAB根據(jù)勾股定理，有AC又AB=6，得2∴AC=3（2）∵FD是⊙O∴OD⊥FD，即∵OD⊥CB，垂足為∴∠CED同（1）可得∠ACB=90°，有∴∠FCE∴四邊形ECFD為矩形，∴FD=CE，于是在Rt△ABC中，由AB=6,∴FD=2【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理和矩形的判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解答此題．【變式6-3】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，直線PO交⊙O于點(diǎn)D、E，交AB于點(diǎn)C．(1)求證：∠ADE=∠PAE．(2)若∠ADE=30°，求證：AE=PE．(3)若PE=4，CD=6，求CE的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)CE的長(zhǎng)為2．【分析】（1）連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAE+∠PAE=90°，根據(jù)圓周角定理得到∠OAE+∠DAO=90°，據(jù)此即可證明∠ADE=∠PAE；（2）由（1）得∠ADE=∠PAE=30°，∠AED=60°，利用三角形外角的性質(zhì)得到∠APE=∠AED-∠PAE=30°，再根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明AE=PE；（3）證明Rt△EAC∽R(shí)t△ADC，Rt△OAC∽R(shí)t△APC，推出DC×CE=OC×PC，設(shè)CE=x，據(jù)此列方程求解即可．【詳解】（1）證明：連接OA，∵PA為⊙O的切線，∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，∴∠OAE+∠PAE=90°，∵DE為⊙O的直徑，∴∠DAE=90°，即∠OAE+∠DAO=90°，∴∠DAO=∠PAE，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADE，∴∠ADE=∠PAE；（2）證明：∵∠ADE=30°，由（1）得∠ADE=∠PAE=30°，∠AED=90°-∠ADE=60°，∴∠APE=∠AED-∠PAE=30°，∴∠APE=∠PAE=30°，∴AE=PE；（3）解：∵PA、PB為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，直線PO交AB于點(diǎn)C．∴AB⊥PD，∵∠DAE=90°，∠OAP=90°，∴∠DAC+∠CAE=90°，∠OAC+∠PAC=90°，∵∠DAC+∠D=90°，∠OAC+∠AOC=90°，∴∠CAE=∠D，∠PAC=∠AOC，∴Rt△EAC∽R(shí)t△ADC，Rt△OAC∽R(shí)t△APC，∴ECAC∴AC2=DC×CE，AC2=OC×PC，即DC×CE=OC×PC，設(shè)CE=x，則DE=6+x，OE=3+x2，OC=3+x2-x=3-x2，PC∴6x=(3-x2)(4+x)整理得：x2+10x-24=0，解得：x=2(負(fù)值已舍)．∴CE的長(zhǎng)為2．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．題型06切線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用【例7】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點(diǎn)D，連接

(1)求證：CD是⊙O(2)若∠A=60°，AC=2【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）連接OD．由等腰三角形的性質(zhì)及圓的性質(zhì)可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根據(jù)余角性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切線的判定定理可得結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形內(nèi)角和定理可得∠BOD的度數(shù)，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得答案．【詳解】（1）證明：連接OD．

∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC．∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°．∴∠ADC+∠BDO＝90°．∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．又∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．（2）解：∵AC＝CD=23，∠A＝60°∴△ACD是等邊三角形．∴∠ACD＝60°．∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCO=23?tan30°＝∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝30°．∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．∴BD?的長(zhǎng)=【點(diǎn)睛】此題考查的是切線的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AC為⊙O的直徑，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PD經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)B且∠CBD=∠CAB，連接(1)PD是⊙O(2)A【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）連接OB，由等邊對(duì)等角及直徑所對(duì)的圓周角等于90°即可證明；（2）根據(jù)直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，得到∠OAP=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠【詳解】（1）連接OB，∵OA∴∠OAB∵AC為⊙O∴∠ABC∵∠CBD∴∠OBA∴∠CBD∴PD是⊙O（2）∵直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A∴∠OAP∵PD是⊙O∴∠AMO∴∠OAM∴∠OAM∴△OAM∴AM∴AM【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2021·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖1，在四邊形ABCD中，AD//BC，∠DAB=90°，AB是⊙O（1）求證：直線CD與⊙O（2）如圖2，記（1）中的切點(diǎn)為E，P為優(yōu)弧AE上一點(diǎn)，AD=1，BC=2.求【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）22【分析】（1）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出OB⊥CB，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得（2）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)圓周角定理可得∠APE=∠ABE，∠AEB=90°，再根據(jù)圓的切線的判定、切線長(zhǎng)定理可得CE=BC=2,DE=AD【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD∵AD//BC∴∠OBC=90°又∵CO平分∠BCD，∴O