2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）第32講 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（講義）（解析版）

第32講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識(shí)建構(gòu)考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)題型01理解正弦、余弦、正切的概念題型02求角的正弦值題型03求角的余弦值題型04求角的正切值題型05已知正弦值求邊長(zhǎng)題型06已知余弦值求邊長(zhǎng)題型07已知正切值求邊長(zhǎng)題型08含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算題型09求特殊角的三角函數(shù)值題型10由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀題型11用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值題型12已知角度比較三角函數(shù)值大小題型13根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍題型14利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解題型15求證同角三角函數(shù)關(guān)系式題型16互余兩角三角函數(shù)關(guān)系考點(diǎn)二解直角三角形題型01構(gòu)造直角三角形解直角三角形題型02網(wǎng)格中解直角三角形題型03在坐標(biāo)系中解直角三角形題型04解直角三角形的相關(guān)計(jì)算題型05構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積考點(diǎn)三解直角三角形的應(yīng)用題型01仰角、俯角問題類型一利用水平距離測(cè)量物體高度類型二測(cè)量底部可以到達(dá)的物體高度類型三測(cè)量底部不可到達(dá)的物體的高度題型02方位角問題題型03坡度坡比問題題型04坡度坡比與仰角俯角問題綜合考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)銳角三角函數(shù)利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA).知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值.會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角.銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)中考中比較重要的考點(diǎn),其考察內(nèi)容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數(shù)值，③解直角三角形與其應(yīng)用等.出題時(shí)除了會(huì)單獨(dú)出題以外，還常和四邊形、圓、網(wǎng)格圖形等結(jié)合考察，是近幾年中考填空壓軸題?？碱}型.預(yù)計(jì)2024年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時(shí)，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，是得分的關(guān)鍵.解直角三角形能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.解直角三角形的應(yīng)用考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)1.銳角三角函數(shù)的概念：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．（其中：0＜∠A＜90°）2.正弦、余弦、正切的概念定義表達(dá)式圖形正弦sinsin余弦coscos正切tantan3.銳角三角函數(shù)的關(guān)系：在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時(shí)，有以下兩種關(guān)系：1）同角三角函數(shù)的關(guān)系：tanA=sinA2)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：sinA=cosB,sinB=cosA,tan4.特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°2332313【補(bǔ)充】表中是特殊角的三角函數(shù)值.反過來，若已知一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，則可求出相應(yīng)的銳角.5.銳角三角函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)前提：0°＜∠A＜90°sinA隨∠A的增大而增大cosA隨∠A的增大而減小tanA隨∠A的增大而增大11.若銳角是用一個(gè)大寫英文字母或一個(gè)小寫希臘字母表示的，則表示它的正弦、余弦及正切時(shí)習(xí)慣省略角的符號(hào)“∠”,如tanA、sina、cosA.若銳角是用三個(gè)大寫英文字母或一個(gè)數(shù)字表示的,則表示它的正弦、余弦及正切時(shí),不能省略角的符號(hào)“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1.2.tanA乘方時(shí),一般寫成tannA,它與tanAn3.銳角三角函數(shù)是針對(duì)直角三角形中的銳角而言的.而且由銳角三角函數(shù)的定義可知,其本質(zhì)特征是兩條線段長(zhǎng)的比.因此,銳角三角函數(shù)只有數(shù)值,沒有單位，它的大小只與角的大小有關(guān)，而與它所在的三角形的邊長(zhǎng)無關(guān).4.根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.題型01理解正弦、余弦、正切的概念【例1】（2022·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，BD是斜邊AC上的高，AB≠BC，則下列比值中等于A．ADAB B．BDAD C．BDBC【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可；【詳解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．ADAB=cosAB．BDAD=tanAC．BDBC=cos∠DBC=cosAD．DCBC=sin∠DBC=sinA故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的概念，掌握直角三角形中銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2021·浙江杭州·統(tǒng)考一模）在△ABC中，∠C＝90°，BCABA．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【答案】D【分析】設(shè)AB=5a，BC=3a，則AC=4a，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義逐項(xiàng)排查即可．【詳解】解：設(shè)AB=5a，BC=3a，則AC=4a，則cosA＝ACAB＝4a5sinB＝BCAB＝4a5tanA＝BCAC=3tanB＝ACBC=4k3故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和勾股定理，掌握并靈活運(yùn)用三角函數(shù)的定義成為解答本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinAA．35 B．34 C．45【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BCAB=35，設(shè)BC=3k，【詳解】解：如圖，Rt△ABC中，∠C∴BC設(shè)BC=3k，由勾股定理得：AC=∴cos故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，梯子（長(zhǎng)度不變）跟地面所成的銳角為∠α

A．sinαB．cosαC．tanαD．陡緩程度與∠α【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律，正弦值和正切值隨著角的增大而增大，余弦值隨著角增大而減小，逐一判斷即可．【詳解】解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的變化規(guī)律，知sinα的值越大，梯子越陡，故Acosα的值越小，梯子越陡，故Btanα的值越大，梯子越陡，故C陡緩程度與∠α的函數(shù)值有關(guān)，故D故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2021·浙江杭州·統(tǒng)考三模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，下列結(jié)論正確的是（）A．b＝a?sinA B．b＝a?tanA C．c＝a?sinA D．a(chǎn)＝c?cosB【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義：（1）正弦：我們把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．（3）正切：銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．分別進(jìn)行分析即可．【詳解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，則sinA＝ac，則a=c·sintanA＝ab，則b＝atanAcosB＝ac，則a＝ccosB，故D故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．【變式1-5】（2019·湖南邵陽·校聯(lián)考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各邊都擴(kuò)大5倍，則tanA的值（

）A．不變 B．?dāng)U大5倍 C．縮小5倍 D．不能確定【答案】A【分析】利用∠A的大小沒有變進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵∠C＝90°，各邊都擴(kuò)大5倍所得的三角形與原三角形相似，∴∠A的大小沒有變，∴tanA的值不變．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C＝90°．把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．【變式1-6】（2021·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，cA．c＝bsinB B．b＝csinB C．a(chǎn)＝btanB D．b＝ctanB【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，即可解決問題．【詳解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠∴sinB=bc，即b=tanB=ba，即b=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，熟記定義是解題關(guān)鍵．題型02求角的正弦值【例2】（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，連接PO并延長(zhǎng)與⊙O交于點(diǎn)C、D，若CD=12，PA=8，則A．45 B．35 C．34【答案】A【分析】連接OA，根據(jù)切線長(zhǎng)的性質(zhì)得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再證△APD≌△BPD（SAS），然后證明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，利用勾股定理求出OP=OA【詳解】解：連接OA∵PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，∴∠APD=∠BPD，在△APD和△BPD中，AP=∴△APD≌△BPD（SAS）∴∠ADP=∠BDP，∵OA=OD=6，∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，在Rt△AOP中，OP=OA∴sin∠ADB=APOP故選A．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線性質(zhì)，三角形全等判斷與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，掌握?qǐng)A的切線性質(zhì)，三角形全等判斷與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2020·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C、D，則sin∠ADC的值為（A．21313 B．31313 C．【答案】A【分析】首先根據(jù)圓周角定理可知，∠ABC＝∠ADC，在Rt△ACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠ABC【詳解】∵∠ADC和∠ABC所對(duì)的弧長(zhǎng)都是AC∴根據(jù)圓周角定理知，∠ABC＝∠ADC∴在Rt△ACB中，AB=A根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知，sin∠ABC＝ACAB∴sin∠ADC=故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義和圓周角的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是利用圓周角定理把求∠ADC的正弦值轉(zhuǎn)化成求∠ABC【變式2-2】（2020·山東聊城·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sin∠ACBA．355 B．175 C．3【答案】D【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，在Rt△【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則∴AC=∴sin∠故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型03求角的余弦值【例3】（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若△ABC的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則cos∠BACA．55 B．105 C．25【答案】C【分析】過點(diǎn)C作AB的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作AB的垂線交AB于一點(diǎn)D，如圖所示，∵每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，∴AC=設(shè)AD=x，則在Rt△ACD中，在Rt△BCD中，∴10-(5-解得x=2∴cos∠故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形．【變式3-1】（2022·吉林長(zhǎng)春·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的直徑．若CD=10，弦AC=6A．45 B．35 C．43【答案】A【分析】連接AD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長(zhǎng)，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cos∠ABC的值．【詳解】解：連接AD，如右圖所示，∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD=CD2∴cos∠ADC=ADCD=8∵∠ABC=∠ADC，∴cos∠ABC的值為45故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是求出cos∠ADC的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式3-2】（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格上，則cos∠BAC的值為【答案】2【分析】根據(jù)AC2=12+32=10，BC2【詳解】如圖，∵AC2=12∴AC∴△ABC是直角三角形，∠∴cos∠故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角函數(shù)等．解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判斷直角三角形，銳角三角函數(shù)定義．【變式3-3】（2022·廣東中山·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在直徑AB上（點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)不重合），OC＝3，點(diǎn)D在⊙O上且滿足AC＝AD，連接DC并延長(zhǎng)到E點(diǎn)，使BE＝BD．(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)若BE＝6，試求cos∠CDA的值．【答案】(1)證明見解析(2)10【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，從而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及對(duì)頂角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠E＝∠BDE，從而可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則AC＝AD＝3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，從而求出BC＝2，然后在Rt△EBC中，根據(jù)勾股定理可求出EC的長(zhǎng)，從而利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠ADC，∵EB＝DB，∴∠E＝∠BDE，∴∠E+∠BCE＝90°，∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，∵OB是⊙O的半徑，∴BE是⊙O的切線；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，∵OC＝3，∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，∵BE＝6，∴BD＝BE＝6，在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，∴36+（r+3）2＝（2r）2，∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，在Rt△EBC中，EC＝EB2+BC2＝∴cos∠ECB＝BCEC＝2210∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝1010∴cos∠CDA的值為1010【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．題型04求角的正切值【例4】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）北京冬奧會(huì)開幕式的巨型雪花狀主火炬塔的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了環(huán)保低碳理念．如圖所示，它的主體形狀呈正六邊形．若點(diǎn)A，F(xiàn)，B，D，C，E是正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，則tan∠ABE＝．【答案】3【分析】由正六邊形的性質(zhì)得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC＝60°，則∠ABE＝12∠ABC＝30°【詳解】連接BC、AC，∵點(diǎn)A，F(xiàn)，B，D，C，E是正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵BE⊥AC，∴∠ABE＝12∠ABC＝30°∴tan∠ABE＝tan30°＝33故答案為：33【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及特殊角的銳角三角函數(shù)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是⊙O外一點(diǎn)，∠BCD=∠BAC，連接(1)求證：CD是⊙O(2)若CE=OA,【答案】(1)見解析；(2)3【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，設(shè)BC=4x，則AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根據(jù)OF∥AC，得到BFCF=OBOA=1，證得OF為△ABC的中位線，求出OF【詳解】（1）證明：連接OC，∵AB為⊙O∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO,∵∠BCD∴∠BCD=∠ACO，∴∠BCD+∠OCB=90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O（2）解：過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，∵CE=∴設(shè)BC=4x，則AB=5x，OA=CE=2.5x，∴BE=BC-CE=1.5x，∵∠C=90°，∴AC=AB∵OA=OB，OF∥AC，∴BFCF∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，∴OF為△ABC的中位線，∴OF=12∴tan∠CEO=【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，證明直線是圓的切線，銳角三角函數(shù)，三角形中位線的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，正確引出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·浙江紹興·一模）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，連接AF交CG于點(diǎn)K，H是AF的中點(diǎn)，連接CH．(1)求tan∠GFK的值；(2)求CH的長(zhǎng)．【答案】(1)1(2)CH【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,GF∥BE，∠G（2）由正方形的性質(zhì)求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長(zhǎng)AD交EF于M，連接AC、CF，求出AM=4，F(xiàn)M=2，∠AMF=90°，根據(jù)正方形性質(zhì)求出∠ACF=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出CH=12【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,GF∥∴DG=CG-CD=2，AD∥∴△ADK∴DK：GK=AD：GF=1：3，∴GK=∴tan∠GFK（2）解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長(zhǎng)AD交EF于M，連接AC、CF，如圖所示：則AM=BC+CE=1+3=4，F(xiàn)M=EF-AB=3-1=2，∠AMF=90°，∵四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H為AF的中點(diǎn)，∴CH=在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=∴CH=【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；本題有一定難度，特別是（2）中，需要通過作出輔助線運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)才能得出結(jié)果．題型05已知正弦值求邊長(zhǎng)【例5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA．5003 B．5035 C．60 D【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A=BCAC=35，AC∴BC=100×3÷5=60，∴AB=AC2故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，現(xiàn)測(cè)得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，則點(diǎn)AA．60sin50° B．60sin50° C．【答案】A【分析】先求出∠B=180°-88°-42°=50°，再用三角函數(shù)定義，求出【詳解】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)∵∠A=88°，∴∠B在Rt△ABD中，∴點(diǎn)A到BC的距離為60sin50°，故故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義．【變式5-2】（2020·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，點(diǎn)A(10,0)，sin∠COA=45．若反比例函數(shù)y=A．10 B．24 C．48 D．50【答案】C【分析】由菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求點(diǎn)C(6,8)，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式可求k【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)∵菱形OABC的邊OA在x軸上，點(diǎn)A(10,0)∴OC=∵sin∠∴CE=8∴OE∴點(diǎn)C坐標(biāo)(6,8)∵若反比例函數(shù)y=kx∴k故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是求出點(diǎn)C坐標(biāo)．題型06已知余弦值求邊長(zhǎng)【例6】（2022·廣西南寧·南寧二中校考三模）如圖，在△ABC中，∠C=90°,cosAA．4 B．8 C．83 D．【答案】B【分析】根據(jù)余弦的定義即可求解．【詳解】解：∵∠C∴AB故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了已知余弦求邊長(zhǎng)，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2016·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點(diǎn)E，且cosα＝45，則線段CE的最大值為【答案】6.4【分析】作AG⊥BC于G，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BG＝CG，再利用余弦的定義計(jì)算出BG＝8，則BC＝2BG＝16，設(shè)BD＝x，則CD＝16﹣x，證明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE＝﹣110x2+85x，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求CE【詳解】解：作AG⊥BC于G，如圖，∵AB＝AC，∴BG＝CG，∵∠ADE＝∠B＝α，∴cosB＝cosα＝BGAB＝45∴BG＝45×10＝8∴BC＝2BG＝16，設(shè)BD＝x，則CD＝16﹣x，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴∠CDE＝∠BAD，而∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴ABCD=BDCE∴CE＝﹣110x2+8＝﹣110（x﹣8）2+6.4當(dāng)x＝8時(shí)，CE最大，最大值為6.4.故答案為：6.4.

【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定及性質(zhì)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題，正確掌握各知識(shí)并綜合運(yùn)用解題是關(guān)鍵.【變式6-2】（2020·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖所示，ABCD為平行四邊形，AD=13，AB=25，∠DAB=α，且cosα=513，點(diǎn)E為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，將線段EA（1）求平行四邊形ABCD的面積；（2）當(dāng)點(diǎn)C，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，設(shè)EF與AB相交于點(diǎn)G，求線段BG的長(zhǎng)；（3）求線段CF的長(zhǎng)度的最小值．【答案】（1）300；（2）11722；（3）【分析】（1）如圖所示，過點(diǎn)A作AK⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，先根據(jù)現(xiàn)有條件求出AK，然后即可求出平行四邊形（2）如圖所示，延長(zhǎng)CD到P使得AP=AD，先證明ΔPEA?ΔCFE得出CE=AP=13，PE=CF（3）如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接EA'、AA'、A'F，以E為圓心，EA為半徑作圓，根據(jù)已知推出點(diǎn)F在與直線AA'夾角為α2且經(jīng)過點(diǎn)A'的直線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線A'F與CD交于點(diǎn)Q，直線AA'與直線CD交于點(diǎn)M，直線A'F與直線CB交于點(diǎn)R，過點(diǎn)C作CQ=22，CM=30，MQ=8，A'Q【詳解】（1）如圖所示，過點(diǎn)A作AK⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)∵AB∴∠ADK∵cos∠DAB∴DK∴AK∴平行四邊形ABCD的面積為AB×（2）如圖所示，延長(zhǎng)CD到P使得AP=∴∠ADP∵∠DAB=α∴∠ADP∴∠P又∠AEF=∠C由∠PEA∠EFC∴∠PEA∴ΔPEA∴CE=AP∴DE由（1）得AK=12∴在RtΔAKD中，KD=5∴PD∴PE∴BF∵BG∴ΔGBF∴BF∴9∴BG（3）如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接EA'、AA'、A∵EA∴點(diǎn)A'、F在⊙∵∠AEF∴∠A∴點(diǎn)F在與直線AA'夾角為α2設(shè)直線A'F與CD交于點(diǎn)Q，直線AA'與直線CD交于點(diǎn)M，直線A'F與直線CB交于點(diǎn)R，過點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)F與H重合時(shí)，CF取得最小值，易得RtΔA∴∠QCH又∠DCB∴∠BCH∴ΔQCR∴CQ由（2）得CR=22，MD∴CQ又CM=∴MQ∴在RtΔA'MQ由RtΔA∴A∴4∴CH即CF的長(zhǎng)度的最小值是6613【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線，熟練運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型07已知正切值求邊長(zhǎng)【例7】（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，連接CD，則CD長(zhǎng)的最大值是（

A．25+34 B．25+1 C．2【答案】B【分析】過點(diǎn)A作∠DAP=∠BAC，過點(diǎn)D作AD⊥DP交AP于點(diǎn)P，分別求出PD，PC，在△PDC中，利用三角形的三邊關(guān)系即可求出CD長(zhǎng)的最大值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作∠DAP=∠BAC，過點(diǎn)D作AD⊥DP交AP于點(diǎn)P，∵∠ABC=90°，tan∠∴tan∠∴DPAD∵AD=2，∴DP=1，∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC，∴△ADP∽△ABC，∴APAC∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC，∴∠DAB=∠PAC，APAC∴△ADB∽△APC，∴ADAP∵AP=∴PC=∴PD+PC=1+2在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC?PD<DC，∴25當(dāng)D，P，C三點(diǎn)共線時(shí)，DC最大，最大值為25故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023·山東日照·?？既＃┤鐖D，點(diǎn)A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝13，則AD的長(zhǎng)是【答案】2【分析】如圖，連接AB，設(shè)AD,BC交于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得AB是⊙O的直徑，∠ADB=90°，設(shè)AC=m，證明△CED∽△【詳解】解：如圖，連接AB，設(shè)AD,BC交于點(diǎn)∵∠ACB＝90°∴AB是⊙O∴∠ADB∵tan∠CBD＝13∴DE在Rt△DEB中，BE∵CD∴∠CBD∴tan∠∴設(shè)AC則CE=∵AC＝BC，∴EB∴DE=Rt△ACE中，∴AD∵DB=∴∠ECD又∠CED∴△CED∴CD∵CD∴AB∵AC∴AB∴2解得m=∴AD故答案為：22【點(diǎn)睛】本題考查了90°圓周角所對(duì)的弦是直徑，同弧所對(duì)的圓周角相等，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A在第一象限，AC⊥x軸，垂足為C，OA=25，tanA=12，反比例函數(shù)y=(1)求k值；(2)求△OBD【答案】(1)2(2)3【分析】（1）在RtΔACO中，∠ACO=90°，tanA=12，再結(jié)合勾股定理求出OC=2（2）在平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積，找平行于坐標(biāo)軸的邊為底，根據(jù)AD∥y軸，選擇AD為底，利用【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，在RtΔACO中，∠ACO∴AC∴O∴OC=2，∴A∵OA的中點(diǎn)是B，∴B∴k（2）解：當(dāng)x=2時(shí)，y∴D∴AD∴S△OBD=【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，涉及到勾股定理，三角函數(shù)求線段長(zhǎng)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式、待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式中的k，平面直角坐標(biāo)系中三角形面積的求解，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2021·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，已知，在△ABC中，O為AB上一點(diǎn)，CO平分∠ACB，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作⊙O，⊙O與BC相切于點(diǎn)B，交CO于點(diǎn)D，延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)E，連接BD，BE．（1）求證：AC是⊙O的切線．（2）若tan∠BDE=2，BC=6，求⊙O的半徑．【答案】（1）見解析；（2）4.5【分析】（1）作OF⊥AC于F，利用角平分線的性質(zhì)證明OF=OB，即可證明AC是⊙O的切線．（2）利用圓周角定理證明△CBE∽△CDB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：作OF⊥AC于F，∵⊙O與BC相切于點(diǎn)B，∴OB⊥BC，∵CO平分∠ACB，∴OF=OB，又OB是半徑，OF⊥AC于F，∴AC是⊙O的切線．（2）解：∵DE是直徑，∴∠DBE=90°，又tan∠BDE=2，∴BEDB由（1），知∵OE=OB，OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠DBC=∠OBE，∴∠E=∠OBE，∴∠E=∠DBC，又∠C=∠C，∴△CBE∽△CDB，∴BEDB∵BC=6，∴6CD∴CD=3，CE∴DE=9，∵OD=4.5，即⊙O的半徑是4.5．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．題型08含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算【例8】（2022·貴州·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算8+|-2|×cos45°A．2 B．32 C．22+【答案】B【分析】化簡(jiǎn)二次根式并代入特殊角的銳角三角比，再按照正確的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：8＝2＝2＝32故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的運(yùn)算、特殊角的銳角三角比等知識(shí)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023·湖南株洲·校考一模）計(jì)算：12-1+【答案】2【分析】先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的化簡(jiǎn)，特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算乘法，再合并即可．【詳解】解：12=2=2+2=2【點(diǎn)睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的含義，二次根式的化簡(jiǎn)，掌握“運(yùn)算基礎(chǔ)運(yùn)算”是解本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：12+【答案】1【分析】根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)，零指數(shù)冪的定義，特殊角的三角函數(shù)值，絕對(duì)值的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則分別化簡(jiǎn)后再進(jìn)行實(shí)數(shù)的加減法運(yùn)算．【詳解】解：12=2=1【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，正確掌握二次根式的化簡(jiǎn)，零指數(shù)冪的定義，特殊角的三角函數(shù)值，絕對(duì)值的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）先化簡(jiǎn)，再求值：a+1-3【答案】a-2【分析】先算括號(hào)內(nèi)的減法，再將除法變成乘法進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)，負(fù)指數(shù)冪和零次冪的性質(zhì)求出a，最后代入計(jì)算．【詳解】解：a====a∵a=∴原式=a【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，銳角三角函數(shù)，負(fù)指數(shù)冪和零次冪的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．題型09求特殊角的三角函數(shù)值【例9】（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）在實(shí)數(shù)2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)是（

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的意義，即可解答．【詳解】解：在實(shí)數(shù)2，x0（x≠0）=1，cos30°=32，38=2中，有理數(shù)是3所以，有理數(shù)的個(gè)數(shù)是2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023·廣東潮州·二模）計(jì)算|1-tan60°|的值為（A．1-3 B．0 C．3-1【答案】C【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案．【詳解】|1-故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，絕對(duì)值的性質(zhì)等知識(shí)，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．題型10由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀【例10】（2022·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測(cè)）在△ABC中，∠A、∠B均為銳角，且tanB-A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出tanB與cosA的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A【詳解】解：∵tan∴tanB-∴tanB=∴∠B=60°，cosA在△ABC中，∠C=180°-60°-30°=90°∴△ABC故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，并充分利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．【變式10-1】（2021·廣東廣州·廣州大學(xué)附屬中學(xué)校考二模）在△ABC中，sinA=cos90°-A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【答案】B【分析】計(jì)算出∠A和∠C的角度來即可確定．【詳解】解：∵sinA=cos（90°-C）=22∴∠A=45°，90°-∠C=45°，即∠A=45°，∠C=45°，∴∠B=90°，即△ABC為直角三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)，熟練掌握特殊角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2020·四川自貢·校考一模）在△ABC中，若sinA-32+12-【答案】等邊【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出∠A和∠B，繼而可判斷△ABC【詳解】解：∵sinA∴sinA-3∴sinA=3∴∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC故答案為：等邊．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷，解題關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．題型11用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值【例11】（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器計(jì)算sin36°18＇，按鍵順序正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)計(jì)算器按鍵順序計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)計(jì)算器的按鍵順序可知，正確的按鍵順序?yàn)镈選項(xiàng)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查用計(jì)算器計(jì)算三角函數(shù)值，熟悉計(jì)算器的按鍵順序是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，某超市計(jì)劃將門前的部分樓梯改造成無障礙通道．已知樓梯共有五級(jí)均勻分布的臺(tái)階，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比為1：2，將要鋪設(shè)的通道前方有一井蓋，井蓋邊緣離樓梯底部的最短距離ED＝2.55m．為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設(shè)通道的坡角不得小于多少度？（結(jié)果精確到1）（參考數(shù)據(jù)表）計(jì)算器按鍵順序計(jì)算結(jié)果（已精確到0.001）11.3100.00314.7440.005【答案】不得小于12度【分析】根據(jù)題意可得DF＝15AB＝0.15米，然后根據(jù)斜坡AC的坡比為1：2，可求出BC，CD的長(zhǎng)，從而求出EB的長(zhǎng)，最后在Rt△AEB【詳解】解：如圖：由題意得：DF＝15AB＝0.15∵斜坡AC的坡比為1：2，∴ABBC＝12，DFCD∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），∵ED＝2.55米，∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），在Rt△AEB中，tan∠AEB＝ABEB＝0.753.75＝查表可得，∠AEB≈11.310°≈12°，∴為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設(shè)通道的坡角不得小于12度．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，熟練掌握坡比是解題的關(guān)鍵．題型12已知角度比較三角函數(shù)值大小【例12】（2022·上?！ば？寄M預(yù)測(cè)）如果銳角A的度數(shù)是25°，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A．0<sinA<C．33<tan【答案】A【分析】根據(jù)“正弦值隨著角度的增大而增大”解答即可．【詳解】解：∵0°＜25°＜30°∴0<∴0<sin故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角形的增減性，當(dāng)角度在0°~90°間變化時(shí)，①正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。虎谟嘞抑惦S著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；③正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。咀兪?2-1】（2020·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）比較大小：sin81°tan47°(填“<”“=”或【答案】<【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得sin81°<1【詳解】∵sin∴sin故答案為：<．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)值大小比較的問題，掌握三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式12-2】（2020·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考二模）在直角三角形ABC中，角C為直角，銳角A的余弦函數(shù)定義為，寫出sin70o、cos40o、cos50o的大小關(guān)系．【答案】cosA=ACABsin70o＞【分析】根據(jù)余弦的定義即可確定答案；根據(jù)sin70°=cos20°且正弦隨角度的增大而增大，余弦隨角度的增大而減小即可確定大小關(guān)系．【詳解】解：∵直角三角形ABC中，角C為直角∴BC為斜邊，AC為直角邊且為∠A的一邊∴余弦的定義為cosA=∵sin70°=cos20°且正弦在銳角范圍內(nèi)隨角度的增大而增大，余弦在銳角范圍內(nèi)隨角度的增大而減小∴sin70o==cos20o＞cos40o，cos40o＞cos50o∴sin70o＞cos40o＞cos50o．故答案為cosA=ACAB，sin70o＞cos40o【點(diǎn)睛】本題考查了余弦函數(shù)的定義和正弦、余弦函數(shù)的增減性，掌握正弦在銳角范圍內(nèi)為增函數(shù)、余弦在銳角范圍內(nèi)為減函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．題型13根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍【例13】（2023·陜西西安·?？既＃┤魌anA=2，則∠A的度數(shù)估計(jì)在（

）A．在0°和30°之間 B．在30°和45°之間C．在45°和60°之間 D．在60°和90°之間【答案】D【分析】由題意直接結(jié)合特殊銳角三角函數(shù)值進(jìn)行分析即可得出答案.【詳解】解：∵tan60∴∠A∴60°故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用，熟練掌握tan30°【變式13-1】（2022·浙江金華·校聯(lián)考一模）若∠A是銳角，且sinA＝13，則（

A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【答案】A【分析】根據(jù)正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小），及30°、45°、60°的正弦值可求出.【詳解】解：∵∠A是銳角，且sinA＝13＜12＝∴0°＜∠A＜30°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的增減性，銳角的正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小），正確理解銳角正弦值的增減性是解題的關(guān)鍵．【變式13-2】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）若cos∠1=0.8，則∠1的度數(shù)在（

）范圍內(nèi)．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°【答案】B【分析】cos45°=【詳解】解：∵cos45°=22∴cos∴30故選：B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)銳角三角函數(shù)的數(shù)值，判斷角度的取值范圍，牢記特殊三角函數(shù)值是關(guān)鍵．【變式13-3】（2021·安徽安慶·統(tǒng)考一模）若銳角α滿足cosα＜22且tanα＜3，則α的范圍是(A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【答案】B【詳解】∵α是銳角，∴cosα>0，∵cosα<22∴0<cosα<22又∵cos90°=0,cos45°=22∴45°<α<90°；∵α是銳角，∴tanα>0，∵tanα<3，∴0<tanα<3，又∵tan0°=0,tan60°=3，0<α<60°；故45°<α<60°.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦函數(shù)、正切函數(shù)的增減性與特殊角的余弦函數(shù)、正切函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值和了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵題型14利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解【例14】（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）已知∠α為銳角，且sinα=5【答案】12【分析】根據(jù)sinα=5【詳解】∵sinα2+∴cosα又∵∠α∴cosα故答案為：1213【點(diǎn)睛】此題考查了同角三角函數(shù)的知識(shí)，求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值．【變式14-1】（2023·廣東東莞·統(tǒng)考三模）如圖，沿AE折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處．已知CF=4，sin∠EFC=

【答案】6【分析】由折疊可知AD=AF，∠AFE=∠D=90°，進(jìn)而得到AF=BC=【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD，AD根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，AD=AF，∴AF∴∠AFB∵∠AFB∴∠EFC∴sin在Rt△ABF中，sin∠解得：BF=6故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形，解題關(guān)鍵是利用矩形和折疊的性質(zhì)推理論證得出∠EFC題型15求證同角三角函數(shù)關(guān)系式【例15】（2021·北京·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，且AO（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）∠BDC的平分線DM交BC于點(diǎn)M，當(dāng)AB=3，tan∠【答案】（1）見解析；（2）3【分析】（1）由平行四邊形性質(zhì)和已知條件得出AC=（2）過點(diǎn)M作MG⊥BD于點(diǎn)G，由角平分線的性質(zhì)得出MG=MC．由三角函數(shù)定義得出BC=4，sin∠ACB【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC=2AO∵AO∴AC∴?ABCD（2）過點(diǎn)M作MG⊥BD于點(diǎn)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DCB∴CM∵DM為∠∴MG∵OB∴∠ACB∵AB=3，∴tan∴BC∴AC=BD設(shè)CM=MG=在△BMG中，∠∴sin解得：x=∴CM【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)定義等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．【變式15-1】（2022·福建福州·福建省福州屏東中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）求證：若α為銳角，則sin2(1)如圖，銳角α和線段m，用尺規(guī)作出一個(gè)以線段m為直角邊，α為內(nèi)角，∠ACB為90°的Rt(2)根據(jù)（1）中所畫圖形證明該命題．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作線段AC=m，過點(diǎn)C作CM⊥AC，作∠NAC=α，射線AN（2）利用勾股定理，三角函數(shù)的定義證明即可．【詳解】（1）解：如圖，Rt△（2）證明：∵∠ACB∴A∵sinα=∴sin【點(diǎn)睛】本題考查了作一個(gè)角等于已知角、作垂線、作三角形、勾股定理、三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理和三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式15-2】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：sin2sin2sin29°+sin37°+sin2據(jù)此，嘉嘉猜想：對(duì)于任意銳角α，β，若α+β=90°(1)當(dāng)α=30°，β=60°時(shí)，驗(yàn)證(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合如圖所示Rt△ABC給予證明，其中∠A所對(duì)的邊為a，∠B所對(duì)的邊為(3)利用上面的證明方法，直接寫出tanα與sinα，【答案】(1)成立，見解析(2)成立，見解析(3)tan【分析】（1）直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算驗(yàn)證即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的定義列出sinα=a（3）根據(jù)正切函數(shù)的定義列出表達(dá)式，然后結(jié)合Rt△ABC中，sinα【詳解】（1）解：∵sin30°=12∴sin2（2）解：成立．理由如下：在Rt△ABC中，sinα=a∴sin2（3）解：tanα在Rt△ABC中，sinα=a∴tanα∴tanα【點(diǎn)睛】本題考查余角之間的三角函數(shù)關(guān)系，以及同角三角函數(shù)關(guān)系的推理證明，理解三角函數(shù)的基本定義，靈活變形構(gòu)造是解題關(guān)鍵．題型16互余兩角三角函數(shù)關(guān)系【例16】（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)校考一模）化簡(jiǎn)sin28°-cos28°A．sin28°-cos28°C．cos28°-sin【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出sin28°-【詳解】解：sin28°-cos28°2∵cos28°=sin∴原式=cos故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)關(guān)系，掌握三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．【變式16-1】（2023·四川成都·成都實(shí)外校考一模）已知sin42°≈23，則cosA．53 B．13 C．32【答案】D【分析】根據(jù)42°的正弦值和48°余弦值都是42°的對(duì)邊斜邊【詳解】sin∴cos故選：D【點(diǎn)睛】此題考查銳角三角形函數(shù)值，解題關(guān)鍵是分清銳角三角函數(shù)中的對(duì)邊，鄰邊和斜邊分別是哪條邊．【變式16-2】（2023·云南昆明·校考三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sin【答案】6【分析】根據(jù)一個(gè)角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【詳解】解：∵∠C=90°，∴sinA∴cosB故答案為：67

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，由定義推出互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系：若∠A+∠B【變式16-3】（2019·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足為D．給出下列四個(gè)結(jié)論：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正確的結(jié)論有.【答案】①②③④【分析】根據(jù)∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用銳角三角函數(shù)的定義可列式進(jìn)行逐項(xiàng)判斷．【詳解】∵∠A=90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B，∠β=∠C，∴sinα=sinB，故①正確；sinβ=sinC，故②正確；∵在Rt△ABC中sinB=ACBC，cosC=AC∴sinB=cosC，故③正確；∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，∴sinα=cos∠β，故④正確；故答案為①②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角的三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握互余兩角的三角函數(shù)間的關(guān)系．考點(diǎn)二解直角三角形解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：1）直角三角形的五個(gè)元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B2）三邊之間的關(guān)系：a2+3）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°4）邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A所對(duì)的邊斜邊=ac，sinB=∠BcosA=∠A所鄰的邊斜邊tanA=∠A所對(duì)的邊鄰邊解直角三角形常見類型及方法：已知類型已知條件解法步驟兩邊斜邊和一直角邊(如c,a)①②③∠B=90°－∠A兩直角邊(如a,b)①②③∠B=90°－∠A一邊和一銳角斜邊和一銳角（如c，∠A）①∠B=90°－∠A②③一直角邊和一銳角（如a，∠A）①∠B=90°－∠A②③另一直角邊和一銳角（如b，∠A）①∠B=90°－∠A②③1.1.在直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素中，已知其中的兩個(gè)元素(至少有一條邊)，可求出其余的三個(gè)未知元素(知二求三).2.已知兩個(gè)角不能解直角三角形，因?yàn)橛袃蓚€(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定.題型01構(gòu)造直角三角形解直角三角形【例1】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠A．32 B．35 C．37【答案】D【分析】先解直角△ABC求出AD，再在直角△ABD中應(yīng)用勾股定理即可求出【詳解】解：∵BD=2∴CD=3∵直角△ADC中，tan∴AD=∴直角△ABD中，由勾股定理可得，AB故選D．【點(diǎn)睛】本題考查利用銳角函數(shù)解直角三角形和勾股定理，難度較小，熟練掌握三角函數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2021·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，則AC的長(zhǎng)為（

A．2 B．52 C．5 D．【答案】B【分析】過A點(diǎn)作AH⊥BC于H點(diǎn)，先由sin∠B及AB=3算出AH的長(zhǎng)，再由tan∠C算出CH的長(zhǎng)，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的長(zhǎng)．【詳解】解：過A點(diǎn)作AH⊥BC于H點(diǎn)，如下圖所示：

由sin∠B=AHAB由tan∠C=AHCH∴在RtΔACH中，由勾股定理有：AC=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形及勾股定理等知識(shí)，如果圖形中無直角三角形時(shí)，可以通過作垂線構(gòu)造直角三角形進(jìn)而求解．【變式1-2】（2022·陜西西安·西安市中鐵中學(xué)校考三模）如圖，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACBA．3+1 B．2 C．2 D．6-2【答案】B【分析】作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，分別解直角三角形ABD求得BD，AD和CD，從而求得BC，設(shè)EF=x，在直角三角形EFC中表示出【詳解】如圖，作AD⊥BC于D，作EF⊥在Rt△ABD中，BD在Rt△ADC中，∠DAC=90∴BC在Rt△BEF中，設(shè)BF在Rt△EFC中，∠CF=由CF+3x∴x∴EC故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，解決問題的關(guān)鍵是將作輔助線，將斜三角形劃分為直角三角形．【變式1-3】（2022·浙江杭州·校考一模）在△ABC中，AC=42，BC=6，(1)求△ABC(2)求AB的值；(3)求cos∠ABC【答案】(1)12(2)25(3)【分析】（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC，根據(jù)∠C的正切值確定∠C的度數(shù)，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出AD、（2）先利用線段的和差關(guān)系求出BD，然后在Rt△ABD中利用勾股定理求出（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為∴∠ADC∵∠C為銳角且tan∴∠C∴∠DAC∴∠DAC∴AD=在Rt△∵sinC=AD∴DC=∵BC=6∴S△∴△ABC的面積為12（2）∵DC=AD=4∴BD=在Rt△AB=∴AB的值為25（3）在Rt△ABD中，AB=2∴cos∠ABC∴cos∠ABC的值為5【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值、三角形的面積公式及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2022·河南安陽·模擬預(yù)測(cè)）公交總站(點(diǎn)A)與B、C兩個(gè)站點(diǎn)的位置如圖所示，已知AC=6km，∠B=30°，∠C=15°，求B站點(diǎn)離公交總站的距離即【答案】(3【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于D，易得△CDA是等腰直角三角形，由勾股定理可求得AD=CD的長(zhǎng)，再由含30°角直角三角形的性質(zhì)求得BC【詳解】過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于∵∠B=30°，∴∠DCB∵∠ACB∴∠ACD∴∠DCA∴CD∴△CDA由勾股定理得AD=∵∠B=30°，∴BC由勾股定理得BD=∴AB【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，構(gòu)造輔助線轉(zhuǎn)化為特殊直角三角形來解決是問題的關(guān)鍵．題型02網(wǎng)格中解直角三角形【例2】（2022·江蘇常州·?？级＃┮阎谟?0個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則tan【答案】233【分析】連接DE，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出∠α=30°，同理可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°結(jié)合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則AE=2a，DE=3a，由三角函數(shù)定義即可得出答案．【詳解】解：連接DE，如圖所示：在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，∴∠α=30°，同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．又∵∠AEC=60°，∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則AE=2a，DE=2×sin60°?a=3a，∴tan（α+β）=AEDE=2故答案為：23【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)以及圖形的變化規(guī)律，構(gòu)造出含一個(gè)銳角等于∠α+∠β的直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，D是AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則sin∠ADC2【答案】5【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根據(jù)直角三角斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=DB，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)可得∠B=1【詳解】解：根據(jù)題意由勾股定理得：AC∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥BC，∠C=90°，結(jié)合網(wǎng)格可知D分別為AB的中點(diǎn)，∴CD=AD=DB，∴∠B=∠DCB，又∵∠B+∠DCB=∠ADC，∴∠B∴sin∠ADC故答案為：55【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．關(guān)鍵是得出∠B【變式2-2】（2022·四川廣元·?？家荒＃┤鐖D，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)，線段AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD的正切值為．【答案】3【分析】作M、N兩點(diǎn)，連接CM，DN，根據(jù)題意可得CM∥AB，從而可得∠APD＝∠NCD，然后先利用勾股定理的逆定理證明△CDN【詳解】解：如圖所示，作M、N點(diǎn)，連接CM、DN，由題意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由題意得：CN2=12∴CN∴△CDN∴tan∠∴∠APD的正切值為：3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2021·北京延慶·統(tǒng)考一模）如圖所示，∠MON是放置在正方形網(wǎng)格中的一個(gè)角，則tan∠MON【答案】1【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可解問題即可．【詳解】解：如圖，連接AB．∵AB=12+32=10，OA=∴AB2+OA2=∴△OAB是等腰直角三角形，∴∠AOB=∠MON=45°，tan∠故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．題型03在坐標(biāo)系中解直角三角形【例3】（2023·上?！ひ荒＃┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P1,2，那么OP與x軸正半軸的夾角為α，tanα【答案】2【分析】過點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A，由P點(diǎn)的坐標(biāo)得PA、【詳解】解：過點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)∵點(diǎn)PA⊥∴PA=2，OA∴tanα故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系里的意義及解直角三角形．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．【變式3-1】（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB=5，連結(jié)AB并延長(zhǎng)至C，連結(jié)OC，若滿足OC2=BC?A．-2,4 B．-43,23【答案】C【分析】過點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，CE⊥x軸，垂足為E，根據(jù)已知易證ΔCBO∽ΔCOA，從而可得∠CAO【詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥y軸，CE⊥∵O∴OCAC∵∠ACO∴Δ∴∠CAO∵tan∴tan∴AO在RtΔABO中，∴4B∴BO∴AO在RtΔCDO中，∴CD∵∠CEO=∠BOA∴Δ∴OBCE∴1CE∴CE∴CD∴D(-2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2021·山東棗莊·校聯(lián)考一模）如圖，⊙A經(jīng)過平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，交x軸于點(diǎn)B(-4，0)，交y軸于點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)D為第二象限內(nèi)圓上一點(diǎn)．則∠CDO的正弦值是（

）A．35 B．25 C．34【答案】A【分析】首先連接BC，可得出點(diǎn)B，A，C共線，再根據(jù)勾股定理求出BC，即可求sin∠OBC=OCBC，最后根據(jù)【詳解】如圖，連接BC，∵∠BOC=90°，∴BC是⊙A∴點(diǎn)B，A，C三點(diǎn)共線．∵B（-4，0），C（0，3），∴OB=4，OC=3，∴BC=∴sin∠∵∠CDO=∠OBC，∴sin∠故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)等，連接BC得出直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上，矩形的邊AB=a,BC=b,∠A．a(chǎn)cosx+bsinx B．a(chǎn)【答案】A【分析】作CE⊥y軸于E．解直角三角形求出OD，DE即可解決問題．【詳解】作CE⊥y軸于E．在Rt△OAD中，∵∠AOD=90°，AD=BC=b，∠OAD=x，∴OD=ADsin∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠CDE+∠ADO=90°，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠OAD=x，∴在Rt△CDE中，∵CD=AB=a，∠CDE=x，∴DE=CDcos∴點(diǎn)C到x軸的距離=EO=DE+OD=acos故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型04解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【例4】（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長(zhǎng)為．【答案】2【分析】先求解AB=3【詳解】解：由題意可得：DE=1,∵∠∴AB同理：AD=∴BD故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角的正切的應(yīng)用，二次根式的減法運(yùn)算，掌握“利用銳角的正切求解三角形的邊長(zhǎng)”是解本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2020·浙江麗水·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）圖1是一個(gè)閉合時(shí)的夾子，圖2是該夾子的主視示意圖，夾子兩邊為AC，BD（點(diǎn)A與點(diǎn)B重合），點(diǎn)O是夾子轉(zhuǎn)軸位置，OE⊥AC于點(diǎn)E，OF⊥BD于點(diǎn)F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm，CE=DF，CE:AE=2:3.按圖示方式用手指按夾子，夾子兩邊繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)．(1)當(dāng)E，F(xiàn)兩點(diǎn)的距離最大值時(shí)，以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)是

cm．(2)當(dāng)夾子的開口最大（點(diǎn)C與點(diǎn)D重合）時(shí)，A，B兩點(diǎn)的距離為cm．【答案】1660【分析】（1）當(dāng)E、O、F三點(diǎn)共線時(shí)，E、F兩點(diǎn)間的距離最大，此時(shí)四邊形ABCD是矩形，可得AB=CD=EF=2cm，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出周長(zhǎng)即可．（2）當(dāng)夾子的開口最大（點(diǎn)C與D重合）時(shí)，連接OC并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)H，可得CH⊥AB，AH=BH，利用已知先求出CE=125cm，在Rt△OEF中利用勾股定理求出CO的長(zhǎng)，由【詳解】（1）當(dāng)E、O、F三點(diǎn)共線時(shí)，E、F兩點(diǎn)間的距離最大，此時(shí)四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=EF=2cm，∴以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)為2+6+2+6=16cm．（2）當(dāng)夾子的開口最大（點(diǎn)C與D重合）時(shí)，連接OC并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)H，∴CH⊥AB，∵AC=BD=6cm，CE∶AE=2∶3，∴CE=在Rt△OEF中，CO=∵sin∠ECO=∴AB=2AH=6013故答案為16，6013【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與旋轉(zhuǎn)的結(jié)合，做題時(shí)準(zhǔn)確理解題意利用已知的直角三角形進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·上海金山·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，BD是對(duì)角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB=12，則【答案】2【分析】過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，易證ΔABE?ΔCDF(AAS)，從而可求出AE=CF，BE=FD，設(shè)AB【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，設(shè)在ΔABE與ΔCDF中，∠AEB∴ΔABE∴AE=CF∵AE⊥BD，tan∠ADB＝AB設(shè)AB＝a，則AD＝2a，∴BD＝5a，∵S△ABD＝12BD?AE＝12AB?∴AE＝CF＝255∴BE＝FD＝55a∴EF＝BD﹣2BE＝5a﹣255a＝3∴tan∠DEC＝CFEF＝2故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在擰開一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正六角形螺帽時(shí)，扳手張開的開口b=20mm，則邊長(zhǎng)a為mm．【答案】20【分析】根據(jù)題意，即是求該正六邊形的邊心距的2倍．構(gòu)造一個(gè)由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，且其半邊所對(duì)的角是30度，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識(shí)求解．【詳解】解：如圖，設(shè)正六邊形的中心是O，其一邊是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四邊形ABCO是菱形，∵AB=a，∠AOB=60°，∴cos∠BAC=AMAB∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=12AC∵AC=20mm，∴a=AB=AMcos30°故答案為：203【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓的知識(shí)，構(gòu)造一個(gè)由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解是關(guān)鍵．題型05構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積【例5】（2022·四川綿陽·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，則這個(gè)四邊形的面積是（

）A．34 B．32 C．3 D【答案】C【分析】過B、D兩點(diǎn)分別作AC的垂線，利用∠AOD=60°，可推出DG=32DO，BH=32BO，再利用四邊形ABCD的面積等于△ACD的面積加上△【詳解】如圖，過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，∵∠AOD=60°，∴∠AOD=∠BOC=60°，∴DG=32DO同理可得：BH=32BOS四邊形ABCD=12×AC×DG+12×AC=12×AC×32×（DO+=3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查含30°的直角三角形的性質(zhì)和四邊形面積的計(jì)算，熟練掌握含30°直角三角形的性質(zhì)和不規(guī)則四邊形面積的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2020·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在?ABCD中，AB=BC=2,?∠ABC=60°，過點(diǎn)D作【答案】3+【分析】通過添加輔助線構(gòu)造出直角三角形，再根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)求得DE=1，∠【詳解】解：過點(diǎn)E作EF⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)∴∠∵AB=BC∴△ABC∴AC=AB∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD//BC∴∠∵DE∴∠∵DE∴DE∴在Rt△sin∠EDF∴EF=3∴AF∴在Rt△AEF∴△ADE的周長(zhǎng)為AD故答案是：3+【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、線段的和差、三角形的周長(zhǎng)公式等，適當(dāng)?shù)奶砑虞o助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2021·江西贛州·統(tǒng)考一模）圖1是一種可折疊臺(tái)燈，它放置在水平桌面上，將其抽象成圖2，其中點(diǎn)B，E，D均為可轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)測(cè)得AB=BE=ED=CD=14cm，經(jīng)多次調(diào)試發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)B，（1）求平穩(wěn)放置時(shí)燈座DC與燈桿DE的夾角的大??；（2）為保護(hù)視力，寫字時(shí)眼睛離桌面的距離應(yīng)保持在30cm，為防止臺(tái)燈刺眼，點(diǎn)A離桌面的距離應(yīng)不超過30cm，求臺(tái)燈平穩(wěn)放置時(shí)∠ABE的最大值．（結(jié)果精確到0.01°，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，sin16.07°≈0.2768【答案】（1）夾角是60°；（2）最大值是106.07°【分析】（1）由題意得：DF=12（2）如圖，過A作AH⊥BE交EB的延長(zhǎng)線于H，求得EF=14×32【詳解】解：（1）由題意得：DF=12∴cosD∴∠D答：平穩(wěn)放置時(shí)燈座DC與燈桿DE的夾角是60°．（2）如圖，過A作AH⊥BE交EB的延長(zhǎng)線于∴HF=30∵EF=14×∴BH=30-∴cos∠∴∠ABH∴∠ABE答：臺(tái)燈平穩(wěn)放置時(shí)∠ABE的最大值是106.07°【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，解題的關(guān)鍵是表示出線段的長(zhǎng)后，理清線段之間的關(guān)系．【變式5-3】（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）一酒精消毒瓶如圖1，AB為噴嘴，ΔBCD為按壓柄，CE為伸縮連桿，BE和EF為導(dǎo)管，其示意圖如圖2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm．當(dāng)按壓柄ΔBCD按壓到底時(shí)，（1）求點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D'（2）求點(diǎn)D到直線EF的距離（結(jié)果精確到0.1cm（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，【答案】（1）65π；（2）點(diǎn)D到直線EF的距離約為【分析】（1）根據(jù)題目中的條件，首先由∠DBE=∠BEF=108°，BD'//EF，求出∠D'BE，再繼續(xù)求出∠DBD'，點(diǎn)D（2）求點(diǎn)D到直線EF的距離，實(shí)際上是過點(diǎn)D作EF的垂線交EF于某點(diǎn)，連接兩點(diǎn)所確定的距離即為所求，但這樣做不好求解．于是把距離拆成兩個(gè)部分，放在兩個(gè)直角三角形中，分別利用直角三角形中銳角三角函數(shù)知識(shí)求出每段的距離，再求和即為所求．【詳解】解：（1）如圖，∵BD'//EF，∴∠D∵∠DBE∴∠DBD又∵BD=6∴點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D'的路徑長(zhǎng)=（2）如圖，過點(diǎn)D作DG⊥BD'于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH在Rt△DGC中，∴DG=在Rt△BHE∴EH=∴DG+又∵BD'//∴點(diǎn)D到直線EF的距離約為7.3cm．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間轉(zhuǎn)動(dòng)的路徑問題、點(diǎn)到直線的距離問題，銳角三角函數(shù)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：確定路徑是在圓上，占圓周長(zhǎng)的多少，就轉(zhuǎn)化成角度間的比值問題了；距離問題，當(dāng)直接求解比較困難的時(shí)候，看是否能把所求拆分成幾個(gè)部分，再逐一突破．【變式5-4】（2022·山西呂梁·統(tǒng)考一模）如圖，是放在水平桌面上的臺(tái)燈的幾何圖，已知臺(tái)燈底座高度為2cm，固定支點(diǎn)O到水平桌面的距離為7.5cm，當(dāng)支架OA、AB拉直時(shí)所形成的線段與點(diǎn)M共線且與底座垂直，此時(shí)測(cè)得B到底座的距離為31.64cm（線段AB，AO，OM的和），經(jīng)調(diào)試發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠OAB=115°，∠AOM=160°時(shí)，臺(tái)燈所投射的光線最適合寫作業(yè)，測(cè)量得A到B的水平距離為