分層參數(shù)估計的統(tǒng)計理論

17/23分層參數(shù)估計的統(tǒng)計理論第一部分分層抽樣的原理和優(yōu)點 2第二部分分層估計量的構造方法 3第三部分分層估計量的無偏性證明 6第四部分分層估計量的方差計算 7第五部分分層和非分層估計量的比較 10第六部分分層估計量的最優(yōu)性條件 12第七部分分層參數(shù)估計的漸近理論 13第八部分分層估計在實際中的應用案例 17

第一部分分層抽樣的原理和優(yōu)點關鍵詞關鍵要點【分層抽樣原理】：

1.分層抽樣是一種多階段抽樣方法，將總體劃分為若干層別，再從每層中隨機抽取樣本。

2.層別的劃分依據(jù)是總體單位之間存在異質性，而層內單位之間具有較高的同質性。

3.分層抽樣可以提高抽樣的代表性，減少抽樣誤差。

【分層抽樣的優(yōu)點】：

分層抽樣的原理

分層抽樣是一種多階段抽樣方法，其原理在于將總體劃分為不同的層或亞組，然后在每個層中獨立抽樣。分層的基礎通常是總體中某些已知特征或感興趣變量的異質性。

分層抽樣的步驟：

1.確定抽樣框架：抽樣框架是總體中所有單位的列表或集合。

2.將總體劃分為層：根據(jù)感興趣的特征或變量，將總體劃分為不同的層。

3.在每個層中進行樣本分配：確定從每個層中抽取的樣本大小。

4.在每個層中抽樣：在每個層中使用簡單的隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣進行樣本抽取。

分層抽樣的優(yōu)點

分層抽樣相較于簡單隨機抽樣具有以下優(yōu)點：

1.精度提高：通過根據(jù)感興趣的特征對總體進行分層，分層抽樣可以提高樣本的代表性，從而提高對總體參數(shù)的估計精度。

2.方差減?。悍謱映闃涌梢燥@著減小總體參數(shù)估計值的方差，尤其是在總體中存在高變異性的情況下。

3.降低成本：通過將總體劃分為較小的層，分層抽樣可以降低抽樣成本，因為可以對每個層使用不同的抽樣方法。

4.提高效率：分層抽樣可以提高抽樣的效率，因為可以根據(jù)每個層的異質性對樣本大小進行優(yōu)化。

5.便于分析：分層抽樣允許對不同層的樣本進行分層分析，這可以提供更深入的見解和對總體特征的更好理解。

6.適用性：分層抽樣適用于具有已知異質性的總體，特別是在總體中存在明顯分層或集群的情況下。

附加優(yōu)點：

*可以使用輔助變量提高估計精度。

*有助于識別總體中的亞群和模式。

*可以與其他抽樣方法（例如分群抽樣）相結合。

*適用于大規(guī)?？傮w。

分層抽樣的注意事項：

*分層抽樣的有效性取決于層內的同質性和層間的異質性。

*選擇合適的層劃界標準至關重要。

*樣本分配應考慮每個層的相對大小和方差。

*分層抽樣的分析需要考慮層效應。第二部分分層估計量的構造方法關鍵詞關鍵要點【層別劃分】

1.根據(jù)研究對象特征和研究目的，將總體按層次劃分為不同層級；

2.層與層之間相互獨立，層內單位相互依賴；

3.層級劃分應遵循影響因素、研究成本和信息可得性等原則。

【抽樣設計】

分層抽樣估計的構造方法

分層抽樣是將總體劃分為多個互不重疊、且包含總體全部元素的子群體（層），然后在每一層中獨立抽取樣本。分層抽樣估計量是根據(jù)各層樣本的估計量加權平均得到的。

構造方法

設總體Y的總體均值μ，總體分為L層，第l層的總體均值和總方差分別為μl和σl2，第l層樣本量為nl，樣本均值為?l，樣本方差為s2l。

1.等比例分配法

對于每一層，樣本量按比例分配，即：

```

n_l=n*(N_l/N)

```

其中，n是樣本總量，Nl是第l層的總體規(guī)模，N是總體規(guī)模。

2.最優(yōu)分配法

樣本量按層方差與層總體規(guī)模的比值分配，即：

```

n_l=n*(σ_l2*N_l)/Σ(σ_l2*N_l)

```

其中，Σ表示對所有層的求和。

3.隨機抽樣法

在每一層中，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣等方法抽取樣本。

4.概率比例到尺寸抽樣法

對于每一層，樣本量按層總體規(guī)模與層抽樣概率的比值分配，即：

```

n_l=n*(π_l*N_l)/Σ(π_l*N_l)

```

其中，πl(wèi)是第l層的抽樣概率。

加權平均

構造分層估計量，需要對各層樣本均值加權平均，權重為各層的樣本量與總體規(guī)模之比，即：

```

μ_hat=Σ(w_l*?_l)

```

其中，w_l=n_l/N。

估計量性質

*無偏性：如果各層樣本是隨機抽取的，則分層估計量是總體均值的無偏估計。

*方差：分層估計量方差等于各層估計量方差的加權平均，即：

```

σ_hat2=Σ(w_l2*σ_l2/n_l)

```

*效率：與簡單隨機抽樣相比，分層抽樣總是更有效的，即分層估計量方差更小。第三部分分層估計量的無偏性證明分層估計量的無偏性證明

在分層抽樣中，分層估計量是指按不同層計算出的樣本參數(shù)，并按照各層樣本大小的比例加權平均得到的總體參數(shù)估計值。證明分層估計量的無偏性至關重要，因為它確保了估計值與真實總體參數(shù)之間沒有系統(tǒng)性差異。

證明：

假設我們有一個包含L個層的分層總體，第h層有N(h)個單位，且各層樣本大小為n(h)(1≤h≤L)?？傮w均值為μ，且第h層均值為μ(h)。

分層估計量定義為：

θ?=Σ1[n(h)/N(h)]*θ?(h)

其中，θ?(h)是第h層的樣本均值。

要證明θ?是總體均值μ的無偏估計量，我們需要證明其期望值等于μ：

E(θ?)=E[Σ1[n(h)/N(h)]*θ?(h)]

=Σ1[n(h)/N(h)]*E[θ?(h)]

根據(jù)樣本均值的無偏性，E[θ?(h)]=μ(h)。因此：

E(θ?)=Σ1[n(h)/N(h)]*μ(h)

=Σ1[N(h)/N]*μ(h)

=μ

因此，分層估計量θ?是總體均值μ的無偏估計量。

直觀解釋：

這個證明的直觀解釋是，分層抽樣通過對不同層進行過抽樣或欠抽樣來平衡總體中各層的代表性。權重因子[n(h)/N(h)]確保了每個層的貢獻與該層的相對大小成正比。通過按比例加權平均各個層的樣本均值，分層估計量有效地消除了抽樣過程中可能出現(xiàn)的偏差，從而產生了對總體均值的無偏估計。

推論：

分層估計量的無偏性證明也適用于其他分層統(tǒng)計量，例如分層比率、分層方差和分層回歸系數(shù)。這表明分層抽樣在進行總體估計時提供了一種有效且無偏的方法。第四部分分層估計量的方差計算分層估計量的方差計算

分層估計量的方差是反映估計量準確程度的重要指標。在分層抽樣中，由于不同層內個體的異質性，分層估計量的方差會受到以下因素的影響：

*層內方差：同一層內個體的測量值之間的變異程度。

*層間方差：不同層之間個體測量值均值的差異程度。

*抽樣率：每一層中抽取的樣本數(shù)量與該層總體數(shù)量之比。

分層估計量的方差公式

總體方差的無偏估計量為：

```

s2=∑(n?-1)s?2/∑(n?-1)

```

其中：

*s2為總體方差的無偏估計量

*n?為第i層的樣本量

*s?2為第i層的樣本方差

對于分層估計量，其方差公式為：

```

Var(θ?)=∑(N?/N)2(s?2/n?)

```

其中：

*θ?為分層估計量

*N為總體的總體量

*N?為第i層的總體量

*s?2為第i層的樣本方差

*n?為第i層的樣本量

分層估計量方差的計算步驟

1.計算每一層的樣本方差s?2。

2.計算每一層的抽樣率f?=n?/N?。

3.計算每一層的權重w?=(N?/N)*f?。

4.計算分層估計量的方差：

```

Var(θ?)=∑w?2*(s?2/n?)

```

分層估計量方差的性質

*分層估計量的方差總是小于或等于簡單隨機抽樣估計量的方差。

*當層內方差較小、層間方差較大、抽樣率較高時，分層估計量的方差會更小。

*分層抽樣中，總體方差的無偏估計量與分層估計量是獨立的。

分層估計量方差計算示例

假設某市有三個區(qū)，總體量分別為N?=1000、N?=800、N?=600。從各區(qū)隨機抽取樣本，樣本量分別為n?=100、n?=80、n?=60。各區(qū)的樣本方差分別為s?2=100、s?2=150、s?2=200。計算總體均值的無偏估計量和分層估計量的方差。

總體方差的無偏估計量：

```

s2=∑(n?-1)s?2/∑(n?-1)=(100-1)*1002/(100-1)+(80-1)*1502/(80-1)+(60-1)*2002/(60-1)=125.86

```

分層估計量的方差：

```

Var(θ?)=∑(N?/N)2(s?2/n?)=(1000/2400)2*(1002/100)+(800/2400)2*(1502/80)+(600/2400)2*(2002/60)=85.44

```

因此，總體均值的無偏估計量為s2=125.86，分層估計量的方差為Var(θ?)=85.44。第五部分分層和非分層估計量的比較分層和非分層估計量的比較

偏差

*分層估計量的偏差通常低于非分層估計量的偏差，這是因為分層可以利用群體內的同質性來提高估計的精度。

方差

*分層估計量的方差通常高于非分層估計量的方差，這是因為分層增加了采樣誤差。但是，隨著層數(shù)的增加，分層估計量的方差會減小。

均方誤差（MSE）

*分層估計量的MSE通常低于非分層估計量的MSE，表明分層估計量的估計精度更高。MSE是偏差和方差的綜合衡量標準。

效率

*分層估計量的效率通常高于非分層估計量的效率，效率是指估計量與真實值之間的接近程度。

信息量

*分層估計量的信息量通常高于非分層估計量的信息量，信息量衡量的是樣本中包含的關于真實值的信息量。

樣本量

*在相同精度水平下，分層估計量通常需要更小的樣本量。

計算復雜度

*分層估計量的計算通常比非分層估計量的計算更復雜，因為需要考慮層信息。

其他因素

除了上述因素外，分層和非分層估計量的比較還受到以下因素的影響：

*層內方差的差異：層內方差差異越大，分層估計量的優(yōu)勢就越大。

*層大?。簩哟笮【鶆?，分層估計量的優(yōu)勢就越大。

*層數(shù)：層數(shù)越多，分層估計量的優(yōu)勢就越大，但計算復雜度也越高。

*總體分布：總體分布越正態(tài)，分層估計量的優(yōu)勢就越大。

結論

總的來說，分層估計量通常比非分層估計量更準確和有效，但也更復雜。分層是否能帶來顯著的優(yōu)勢取決于具體的情況，例如群體異質性、層內方差和樣本量。在實踐中，應根據(jù)具體情況選擇適當?shù)墓烙嫹椒?。第六部分分層估計量的最?yōu)性條件關鍵詞關鍵要點主題名稱：參數(shù)空間的凸性和緊性

1.分層參數(shù)空間的凸性可以通過參數(shù)轉換來實現(xiàn)，將非凸空間轉換為凸空間。

2.參數(shù)空間的緊性意味著參數(shù)值取值范圍有限，有助于保證分層估計量的最優(yōu)性。

3.在參數(shù)空間凸且緊的條件下，分層估計量可以達到漸近正態(tài)分布，并具有較高的效率。

主題名稱：分層方差的邊界

分層估計量的最優(yōu)性條件

在分層估計中，分層估計量是通過將總體劃分為若干層，再對每一層分別進行抽樣調查，并根據(jù)各層的抽樣結果進行加權估計得到的。為了使分層估計量達到最優(yōu)，需要滿足以下條件：

1.各層總體方差相等

如果各層總體方差相等，則分層估計量的方差最小。這是因為，當各層總體方差相等時，分層估計量的方差等于各層估計量方差的加權平均值，而各層估計量方差又與各層樣本量成反比。因此，當各層總體方差相等時，可以根據(jù)各層的樣本量進行最優(yōu)配重，使分層估計量的方差達到最小。

2.各層樣本量與總體規(guī)模成正比

如果各層樣本量與總體規(guī)模成正比，則分層估計量的偏差最小。這是因為，當各層樣本量與總體規(guī)模成正比時，各層估計值對總體平均值的偏離程度將近似相等，從而使分層估計量的總體偏離程度最小。

3.各層抽樣設計相同

如果各層抽樣設計相同，則分層估計量的方差和偏差都將減小。這是因為，當各層抽樣設計相同時，各層估計量的方差和偏差將具有相同的計算公式，從而方便計算和比較。此外，相同抽樣設計還可以避免由于不同抽樣方法造成的估計值間的差異，提高分層估計量的精度和可靠性。

4.各層總體均值已知

如果各層總體均值已知，則分層估計量的方差可以進一步減小。這是因為，當各層總體均值已知時，可以將總體均值作為分層估計量的無偏估計值，從而減小分層估計量的方差。

5.分層變量與研究變量高度相關

如果分層變量與研究變量高度相關，則分層估計量的精度將提高。這是因為，分層變量與研究變量相關程度越高，各層總體均值之間的差異就越大，分層后各層的樣本量將更能代表各層總體，從而提高分層估計量的精度。

滿足以上條件的分層估計量稱為最優(yōu)分層估計量。其方差最小、偏差最小，并且精度最高。在實際應用中，由于上述條件往往難以完全滿足，因此需要根據(jù)具體情況進行權衡和取舍，以獲得近似最優(yōu)的分層估計量。第七部分分層參數(shù)估計的漸近理論關鍵詞關鍵要點中心極限定理

1.中心極限定理表明，大量獨立同分布隨機變量的和在適當歸一化后收斂到正態(tài)分布。

2.該定理構成了分層參數(shù)估計漸近理論的基礎，因為它提供了用于構造漸近分布的框架。

3.中心極限定理的適用性取決于樣本量和隨機變量的分布，對于大樣本和有限方差的隨機變量最有效。

漸近方差的估計

1.在分層參數(shù)估計中，漸近方差是估計量方差的漸近估計值。

2.可以使用各種方法來估計漸近方差，例如領域方差公式、Bootstrap和Jackknife法。

3.漸近方差的準確性對于構造置信區(qū)間和假設檢驗至關重要。

假設檢驗

1.分層參數(shù)估計中假設檢驗涉及將估計值與已知或假設值進行比較，以確定是否有證據(jù)拒絕原假設。

2.假設檢驗可以通過構造統(tǒng)計檢驗量、確定檢驗的臨界值以及計算p值來進行。

3.p值代表拒絕原假設的證據(jù)強度，通常設置為0.05或更小。

置信區(qū)間

1.置信區(qū)間為一個范圍，估計參數(shù)的真實值很可能落在這個范圍內。

2.置信區(qū)間可以通過使用估計值的點估計、漸近方差和適當?shù)呐R界值來構造。

3.置信區(qū)間的寬度取決于樣本量和漸近方差，較大的樣本量和較小的漸近方差會產生較窄的置信區(qū)間。

效率

1.效率是指估計量的精度，它是相對于其他具有相同偏差的估計量的方差的度量。

2.分層參數(shù)估計的效率取決于分層策略、樣本量和隨機變量的分布。

3.提高效率可以最大限度地減少估計量的不確定性，并為更可靠的推斷提供更精確的估計。

魯棒性

1.魯棒性是指估計量對分布假設的違背的敏感性。

2.分層參數(shù)估計的魯棒性可能因分層策略、樣本量和隨機變量的分布而異。

3.對于分布的偏離比較敏感的估計量可能是不魯棒的，而對于偏離不太敏感的估計量可能是魯棒的。分層參數(shù)估計的漸近理論

引言

分層參數(shù)估計是一種廣泛用于分析具有分層結構數(shù)據(jù)的統(tǒng)計方法。漸近理論為分層參數(shù)估計器的統(tǒng)計性質提供了理論基礎，使我們能夠推斷其準確性和有效性。

最大似然估計量（MLE）

對于具有分層結構的數(shù)據(jù)，似然函數(shù)可寫為：

```

L(θ)=∏?∏?f(y??;θ)

```

其中：

*θ是待估計的參數(shù)向量。

*y??是第i個組第j個單位的觀測值。

*f(·;θ)是觀察值y的概率分布函數(shù)。

MLEθ?是通過最大化似然函數(shù)L(θ)獲得的：

```

θ?=argmaxθL(θ)

```

漸近分布

在某些條件下（例如樣本量足夠大），MLEθ?的漸近分布為：

```

sqrt(n)(θ?-θ)→N(0,Σ)

```

其中：

*n是總樣本量。

*Σ是漸近方差-協(xié)方差矩陣，可表示為：

```

Σ=(E[I(θ)])?1

```

*I(θ)是Fisher信息矩陣，其第(i,j)個元素為：

```

```

漸近方差

漸近方差是漸近方差-協(xié)方差矩陣的對角線元素，可表示為：

```

var(θ?)≈Σ??/n

```

漸近置信區(qū)間

漸近置信區(qū)間可以利用MLE的漸近正態(tài)分布構造：

```

θ±Z(α/2)*sqrt(var(θ?))

```

其中：

*Z(α/2)是標準正態(tài)分布的(1-α/2)分位數(shù)。

*α是顯著性水平。

其他漸近結果

除了MLE外，漸近理論還適用于其他分層參數(shù)估計方法，例如廣義最小二乘法（GLS）和廣義估計方程（GEE）。這些方法的漸近性質與MLE類似，但Fisher信息矩陣和漸近方差-協(xié)方差矩陣可能不同。

應用

分層參數(shù)估計的漸近理論在許多領域都有應用，包括：

*醫(yī)學研究：分析臨床試驗數(shù)據(jù)

*社會科學研究：分析調查和觀察性研究數(shù)據(jù)

*經濟學：分析多級數(shù)據(jù)

*生物統(tǒng)計學：分析縱向和聚集性數(shù)據(jù)

結論

分層參數(shù)估計的漸近理論為分析具有分層結構數(shù)據(jù)的統(tǒng)計模型提供了重要框架。它允許我們推斷估計器的統(tǒng)計性質，構建置信區(qū)間，并評估假設。理解漸近理論對于正確使用分層參數(shù)估計方法至關重要。第八部分分層估計在實際中的應用案例關鍵詞關鍵要點【農業(yè)產量預測】：

1.分層抽樣可將不同產區(qū)或作物類型作為不同的層，提高抽樣代表性。

2.根據(jù)分層后的小樣本數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計，可減少總體方差，提高預測精度。

3.結合遙感影像、氣象數(shù)據(jù)等協(xié)變量，構建分層模型，進一步提升產量預測準確度。

【人群流行病學調查】：

分層估計在實際中的應用案例

分層估計作為一種重要的統(tǒng)計抽樣技術，在實際應用中具有廣泛的用途，以下列舉一些常見的案例：

人群健康調查：

*分層根據(jù)地理區(qū)域、年齡組、性別等人口特征，分層抽樣收集健康數(shù)據(jù)，以估計特定人群的健康狀況和疾病患病率。

*例如，國家健康和營養(yǎng)檢查調查（NHANES）使用分層抽樣，覆蓋全國人口，以估計各種健康指標，如肥胖率、糖尿病患病率和營養(yǎng)狀況。

市場研究：

*分層根據(jù)人口特征（如年齡、收入水平、教育程度）或消費者行為（如購買習慣、忠誠度），分層抽樣收集市場數(shù)據(jù)。

*例如，市場調研公司可能會使用分層抽樣，以估計特定細分市場的產品滲透率、品牌認知度和購買意愿。

環(huán)境監(jiān)測：

*分層根據(jù)地理位置、土地利用類型或污染源類型，分層抽樣采集環(huán)境數(shù)據(jù)，以評估污染水平或生態(tài)健康狀況。

*例如，環(huán)境保護局（EPA）使用分層抽樣，對全國水體進行監(jiān)測，以估計水質指標，如溶解氧含量、營養(yǎng)物水平和細菌污染。

教育評估：

*分層根據(jù)年級、科目或學校類型，分層抽樣收集學生成績數(shù)據(jù)，以評估教育系統(tǒng)的有效性。

*例如，國家教育進步評估（NAEP）使用分層抽樣，對全國學生進行測試，以衡量他們在數(shù)學、閱讀和科學方面的成就。

農業(yè)普查：

*分層根據(jù)農場大小、作物類型或地理區(qū)域，分層抽樣收集農業(yè)數(shù)據(jù)，以估計農作物產量、畜牧數(shù)量和農場收入。

*例如，美國農業(yè)部（USDA）使用分層抽樣，對全國農場進行普查，以提供有關美國農業(yè)生產和經濟狀況的統(tǒng)計信息。

公共政策評估：

*分層根據(jù)政策目標受眾、地理范圍或社會經濟背景，分層抽樣收集數(shù)據(jù)，以評估公共政策的有效性。

*例如，社會政策評估機構可能會使用分層抽樣，以評估教育或醫(yī)療保健干預措施對目標人群的影響。

其他應用：

*醫(yī)療保健研究中的臨床試驗分層

*市場營銷中針對特定細分市場的廣告活動分層

*經濟學中對收入分布或消費模式的分層估計

分層估計的優(yōu)勢：

*提高估計精度的同時降低抽樣成本

*允許針對不同的亞組進行估計

*減少抽樣誤差

*增強數(shù)據(jù)收集的可行性

*提供代表特定人口或群體子集的統(tǒng)計數(shù)據(jù)關鍵詞關鍵要點主題名稱：參數(shù)估計的無偏性

關鍵要點：

1.定義無偏性：參數(shù)估計量是無偏的，如果其期望值等于被估計的參數(shù)真值。

2.無偏性的必要條件：估計量的方差必須為正，否則無法通過樣本信息準確估計參數(shù)。

3.無偏性的證明：通過證明估計量的期望值等于真值來證明其無偏性。

主題名稱：分層估計量的無偏性

關鍵要點：

1.分層抽樣的原理：分層抽樣是將總體按某些特征分為不同的層，然后從每層中隨機抽取樣本。

2.分層估計量的計算：分層估計量是根據(jù)分層樣本計算得到的，是每個層內估計量的加權平均。

3.分層估計量的無偏性證明：證明分層估計量的期望值等于真值，方法類似于總體無偏估計量的證明。

主題名稱：無偏估計量的統(tǒng)計性質

關鍵要點：

1.無偏估計量的優(yōu)點：無偏估計量是估計參數(shù)真值的最佳選擇，因為它們在平均意義上是準確的。

2.無偏估計量的方差：無偏估計量的方差反映了估計精度的穩(wěn)定性，較小的方差表示更精確的估計。

3.無偏估計量的分布：無偏估計量的分布通常符合正態(tài)分布或漸近正態(tài)分布，這為進行統(tǒng)計推斷提供了基礎。

主題名稱：有偏和無偏估計量的權衡

關鍵要點：

1.有偏估計量的優(yōu)點：在某些情況下，有偏估計量可能具有較小的方差，從而提高估計的效率。

2.偏差-方差權衡：選擇估計量時需要考慮偏差和方差之間的權衡，以實現(xiàn)最佳的總體性能。

3.估計量的改進：可以通過使用有偏估計量和無偏估計量的組合來改進估計精度，例如詹姆斯-斯坦因估計量。

主題名稱：統(tǒng)計理論中的趨勢和前沿

關鍵要點：

1.貝葉斯統(tǒng)計：貝葉斯統(tǒng)計是一種將先驗知識納入參數(shù)估計的統(tǒng)計方法，近年來受到廣泛關注。

2.機器學習：機器學習技術，例如支持向量機和神經網絡，正在用于統(tǒng)計建模和參數(shù)估計。

3.大數(shù)據(jù)統(tǒng)計：大數(shù)據(jù)時代的到來帶來了新的統(tǒng)計挑戰(zhàn)，需要開發(fā)新的方法和算法來處理海量數(shù)據(jù)。關鍵詞關鍵要點主題名稱：分層中誤差平方和

關鍵要點：

1.分層中誤差平方和是計算分層估計量方差的基礎，反映了在分層結構下模型擬合的誤差程度。

2.分層中誤差平方和可以分解為各層內的中誤差平方和和層際中誤差平方和，分別反映了層內和層間變異對擬合誤差的影響。

3.分層中誤差平方和的自由度等于觀測值總數(shù)減去模型中所有參數(shù)的個數(shù)，用于計算分層估計量的標準差。

主題名稱：層內中誤差平方和

關鍵要點：

1.層內中誤差平方和衡量的是層內個體觀察值與層平均值之間的擬合誤差。

2.層內中誤差平方和反映了層內變異對模型擬合的影響，較大的層內變異會導致較大的層內中誤差平方和，從而降低分層估計量的精度。

3.層內中誤差平方和的自由度為層內觀測值總數(shù)減去1，用于計算層內方差分量的估計值。

主題名稱：層際中誤差平方和

關鍵要點：

1.層際中誤差平方和衡量的是不同層之間均值的擬合誤差。

2.層際中誤差平方和反映了層間變異對模型擬合的影響，較大的層間變異會導致較大的層際中誤差平方和，從而提高分層估計量的方差。

3.層際中誤差平方和的自由度為層數(shù)減去1，用于計算層間方差分量的估計值。

主題名稱：分