河北省2023屆新高考數(shù)學二輪復習 解三角形解答題30題專項提分計劃含解析

2023屆河北省新高考數(shù)學復習

專題1解三角形解答題30題專項提分計劃

1.(2022?河北石家莊?統(tǒng)考一模)在a'中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,

已知GacosC-asinC=6b.

⑴求角4的大小；

(2)若。=2,求BC邊上的中線長度的最小值.

【答案】⑴A=?

⑵3

【分析】(1)邊化角即可；(2)利用余弦定理和基本不等式解決.

【詳解】(1)由\Z5ocosC-asinC=\/^。得，

石sinAcosC-sinAsinC=bsin(A+C)

/.-sinAsinC=>/3cosAsinC,

即tanA=-A/3,Ae(0,%),?.A=—.

3

23

二.3口2伊+川-“22；存4=爭當且僅當匕=。取等號.

2.(2022?河北滄州?統(tǒng)考二模)在ABC中；內角A,B,C的對邊分別為a,0,c,已知

⑴求A：

(2)若。=2,點。為8c的中點，求AD的最大值.

【答案】(1)A=？

⑵6

【分析】⑴根據(jù)正弦定理可知6(2sin4-GcosA)=bsinA,由此可知

1

sinA-y/3cosA=0f進而求出A.

(2)由(1)結合余弦定理可知"+/=Z?c+4,對其使用基本不等式可知歷K4,根據(jù)

三角形中線的向量表示可知AO=g(AB+AC),對其兩邊平方，根據(jù)平面向量數(shù)量積公

22Z?c+4

式以及基本不等式可知A。,由此即可求出結果.

4

(1)

解：在“WC中，由正弦定理得asin3=/?sinA.

因為〃(2sinA-GcosA)=asin〃,所以Z?(2sinA-\/5cosA)=bsin4.

又Z?wO,所以sinA—百cos4=0,所以tan4=

因為ABC中，OVAVTT,所以A二三.

(2)

jr

解：在二ABC中，由。=2,A=§及余弦定理"=》2+C2-2)CCOS4,

得4=〃+c?—he,

所以6+/=兒+422"，所以歷44,當且僅當人=c=2時等號成立.

又點。為BC的中點，所以

1AB+AC]AB+AC+2ABACc2+b2+hc次+4八

AD=-------=--------------------=----------=-------<3,

\27444

所以,4=+,

IImax

即的最大值為后.

3.(2022?河北邯鄲?統(tǒng)考模擬預測)已知一ABC的內角A、B、C所對的邊分別為。、

.門_.A+B

b、c,“csinB=bcos-----.

2

⑴若a=6,c=5/3/7,求匕；

⑵若點。在線段8c上，且CE>=2B￡>,AD=1,求a+b的最大值.

【答案】(1)6=6

【分析】(D利用正弦定理結合A+8+C=7t整理得sinC=cos一,再借助誘導公式和

倍角公式化簡整理；(2)本題可以設NC4O=c,利用正弦定理邊化角整理可得

2

〃+Z?=[^sin（a+夕）；也可以利用余弦定理得到邊的關系9b?+4a2+6ab=9,令

1=。+力整理得7〃—2必+4產一9=0,結合二次函數(shù)零點分布處理.

⑴

A+A

由正弦定理可知：sinCsinB=sinBcos-------

2

又sin3wO,A+B+C=7C

,,.K-C.CC7T_C.c

故sinC=cos-------,則NIL2Osin—cos—=cos=sin-,

2225一，2

又sinCwO,^cos—=—,

222

71C*jr27r

由于,所以萬=§'即c=T

2

由余弦定理可知，c2=a2+b2-2abcosC,即勸2=36+〃+6〃，

解得b=6或8=一3（舍去）

⑵

解法一：設/CA￡>=ae（0高,

CDACAD

由正弦定理可得:

sinasin^CDAsinC'

2a

即癮b12A/3

.(2n

sina+——

I3

gina+cosa,

故a=gsina，b=-

3

從而a+6=^^sina+cosa=^^sin(a+p),

兀兀

其中tan9=

6,4

237

當a+s=]時，有的最大值為粵

解法二：在AC￡）中，由余弦定理得，AD2^AC2+CD2-2AC-CDCOSC，

42

2222

HPb+-a+-ab=\fBP9b+4a+6ab=9

令f=a+b(f>0),從而9必+4(f-6)2+6(f-b)b=9,

整理得7從-2法+4/-9=()

依題意，上述關于b的方程有正實數(shù)解;

因為函數(shù)g（b）=7〃—2%+4/一9的對稱軸力=/0

3

所以A=4產—4x7(4/—9)..0,解得友衛(wèi)

所以a+b的最大值為回，此時。=也，b=-.

3721

4.(2022?河北衡水?統(tǒng)考二模)在中，角力，B,C所對的邊分到為a,b,c,

已知/-24>ccosA=/-2accosB,c=2.

(1)證明：△/笈為等腰三角形；

⑵設△兒K的面積為S,若，S的值.在①7cosB=2cosC；?CACB=2Sa2+b2=8c2

三個選項中，選擇一個填入上面空白處，并求解.

【答案】(1)證明見解析

⑵選①：s=y[\5;選②：S=l+&;選③：S=V15

【分析】(1)由三角形的余弦定理，結合三角形的形狀即可得證.

(2)分別選①②③，運用余弦定理、同角的基本關系和向量數(shù)量的定義、面積公式,

可得所求值.

(1)

證明：-2bccosA-a2-2accosB

所以"+c?-2bccosA=a2+c2-laccosB

由余弦定理可知，a2=b2,即。=方，即ABC為等腰三角形.

(2)

解：由題意得：

選①：由(1)可知，A=8,所以C=i—23

所以7cosB=2cosC=2cos(乃-26)=-2cos2B=2-4cos2B,

整理得：4COS2B+7COSB-2=0,解得COSB=L，

4

77

所以cosC=—cosB=—,

28

所以sinC=71-cos2C=

8

又由cosB=,，可得。=4,

a

所以S=’"Z?sinC=—x4x4x^^-=Vf5；

228

選②：因為G4?C3=2S

4

TT

所以/cosC=/sinC,解得C=--,

4

所以4=2/—2八*，得6=4+2應，s=g/x*乎*(4+2何=1+a;

選③：因為6+02=8。2,且。=/?,c=2

所以a=0=4

a2+h2-c216+16-47

故cosC=

2ab2x4x4-8

因止匕sinC=-71—cos2C=@5.

8

于是S=L"sinC='x4x4x叵=Vi?

228

5.(2022?河北保定?校聯(lián)考一模)在_43(7中，角4B,C的對邊分別為a,b,c.

已知ZBAC=60°,a=2y/3.

⑴若C=45。,求6；

(2)若〃為BC的中點，且40=石，求一43c的面積.

【答案】⑴娓+無

⑵石

【分析】(1)求出,然后按照正弦定理計算即可;

(2)利用NAT應+ZADC=i,以及力。是中線的特點列方程即可.

⑴

因為c=45。，所以sin8=sin(ZBAC+C)=sin(60°+45°)=近史

b

在“AfiC中，由正弦定理得

sinZ.BACsinB'

口「，asinBr:rr

即b=-------------=V6+V2.

sinNBAC

⑵

在“ABC中，由余弦定理得〃+,2-*=12........①

因為〃為8c的中點，所以BO=CO=JL

Dr)-iAri-_AD-o_

在△加中，由余弦定理得C=2XBD"D-本.

在；ACD中，由余弦定理得cosNADC=C；+，:二；0=竽

2xCDxAD2/15

由cosZADB+cosZADC=0^b2+c2=16......②

5

聯(lián)立①②可得bc=4,即SAIIC=gbcsinABAC=G,

故答案為：A/6+\/2,\/3.

6.(2022?河北邯鄲?統(tǒng)考二模)在中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,

點〃在邊比'上，且sinZB4)=2sinNC4￡).

(1)若4￡>=。=2,cosZBAD=-,且NG4。為銳角，求功的長；

4

⑵若BD=CD,求2的值.

C

【答案】(1)C￡>=1；

⑵2.

【分析】(1)由題設可得sinZBAZ)=正，進而求得cos44O=：,應用余弦定理求切

48

的長;

/c、?/end2Z?sinZCAD.___2csinZBAD人人

(2)由正弦定理可得sin/CD4=----------、sinZBDA4=-----------,結合

a

4M+4必=180。即可求目標式的值.

(1)

由cosNR4D=』，OC/BADVTT,貝hin?Q=姮，

44

所以sinNCA￡>=*叱絲2=巫，又〃為銳角，則cos/C4Z)=1,

288

5LCA=AD=b=2,在△?！?gt;中8$/。4。=:=。-e〃可得儀>=1.

2b288

(2)

由BO=C￡>=g,

2

be-2Z?sinZCAD

在△C4O中,則sin/CD4=----------

sinZCDA2sinZCADa

在△BAD中,貝iJsinNBDA=----------

sinZBDA2sinZBAD

又4D4+ZBD4=180°,故2加血4cAe=2c網(wǎng).?0,又sin/fiW=2sin/C4D,

aa

所以2=2.

c

7.(2022?河北滄州?滄縣中學?？寄M預測)在銳角.71BC中，角A,B,C的對邊分

2

別為a,b,c9且2sin2A+cos2A=1.

(1)求角4

(2)若〃=2百，求一ABC的周長的最大值.

6

【答案】(1)A=?

⑵

【分析】(1)由題知2cos22A-COS2A-1=0,進而解方程并結合題意得cos2A=-；,

故A=拳

(2)根據(jù)題意，結合余弦定理與基本不等式得人+CW4G，進而得答案.

(1)

解：由ZsinbA+cos2A=1,得2(1-cos?2A)+cos2A=1,

即2cos22A-cos2A-l=0.

因為ABC是銳角三角形，

所以Ae(0,1^,則2A€(0,萬)，

cos2A=一一(cos2A=1舍去)，

2

所以2A='，所以A=g.

(2)

解：由余弦定理得"=從+c?-2Z?c?cosA,又a=2百，

所以，12="+C2-6C=S+C)2-3匕CNS+C)2-3X(^^),

當且僅當力=c時取等號，此時b=c=2G，

所以S+c)*48,即。+C445/5.

所以a+b+cS6G(〃=c=q=2岔時取等號)，

一45C周長的最大值為6K.

8.(2022?河北?模擬預測)已知一ABC的內角A,B,C的對邊分別為“，b,c,

滿足\/5(acosC+ccosA)=2Z?sinB,且c>8.

⑴求角8；

②若b=6求乂8。周長的取值范圍.

【答案】⑴B=g

7

(2)(2>/3,3>/3)

【分析】(1)利用正弦定理、兩角和的正弦展開式化簡可得答案；

(2)由正弦定理得。=2sinA,c=2sinC,/=a+b+c=2(sinA+sinC)+G

再利用兩角和的正弦展開式和C的范圍計算可得答案.

【詳解】(1)由石(acosC+eos4)=?sin3、正弦定理可得，

G(sinAcosC+sinCcosA)=Gsin(A+C)=2sinBsinB,

因為A+C=TT—3,所以J5sin8=2sin8sin8,

而0<_B〈兀，所以sin^wO,

即sin5=,

2

3

(2)"==E，由正弦定理得二二三二工=2,即a=2sinA,c=2sinC,

3sinAsmCsin8

/=a+b+c=2(sinA+sinC)+V5=2sin[C+—|+sinC+>/3

=2—sinCH-----cosC+5/3

\22/

=2氐布｛+己)+亞

c>b,:.C>B=~,/l+B+C=7t,.-.Ce|I,

3(33J

...C+X|，V，...sin(C+SH；,1,.」e(2G3碼.

9.(2022?河北衡水?衡水市第二中學?？家荒?在_ABC中，48,C所對的邊分別為

a，b,c,且2R_q="("+c—)其中R是三角形外接圓半徑，且A不為直角.

a2+c2-b2

(1)若Bn?,求A的大??；

6

O22

(2)求石工的最小值.

【答案】⑴3

O

⑵45/2-7

8

【分析】（1）根據(jù)余弦定理和正弦定理即可求出A的大小.

2

（2）運用正弦定理和二倍角的余弦公式，化簡，再利用基本不等式求解入；；°的最小

值.

【詳解】(1)在JWC中，2R.a=女±絲&3=卷,

a2+c2-b22accosBcosB

進而2/?cosB-acosB=bcosA,

27?cosB-27?sinAcosB=2/?sinBcosA，

/.cosB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+3)=sinC,

jrTT

又A不為直角，則B+Cwg,，C=<+8,

22

兀7t

B=—,:.A=n-B-C=-.

66

⑵由⑴知，-W+cT)

a2+c2-b2

jrjr

轉化為cos5=sinC,XA+B+C=n,C=—+B,A=—2B.

22

.2a2-c22sii？A—sin2c

h2sin2B

2sin?(—28)-cos"8個22n

_、2_2cos2B-cosB

sin2Bsin2B

2(l-2sina町一(一sin咽)8sin4B8sin*+2-l+sin2B

sin25sin2B

Ssii/BVsinO+l

=8sin2B+sin2B7

sin2B

>2x./8sin2Bx—5^-7=472-7,

Vsin-S

當且僅當8sin5=」一，即sinB=Jl時,

等號成立,

sin~BV8

R最小值為4『.

10.（2023?河北?河北衡水中學?？寄M預測）如圖，〃為二口。內部一點，DE1BC

于區(qū)=.請從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另一個成立.①CE=3￡5;

2

/ADDEFTAE

(2)sin(B+C)=V2(sinsinC)③——+——+，2=

DEADAD-DE

9

BEC

【答案】答案見解析.

【分析】以①③為條件，②為結論：由已知可得8E,CE,NOFE=f.設防=x,則

4

DF=0x，表示出各邊長，由勾股定理，可推出（c+b）（b-c）=a（GB+GC）.代入GB,GC,

整理可得關于。的方程，得a=6（b-c）,由正弦定理可推得②成立;

以①②為條件，③為結論：由己知可得BE，CE的長，a=&（6-c）.由勾股定理，可推

出（c+b）=&（GB+GC）.根據(jù)三角形相似，求出尸G,GB,GC,代入可得%=也，

n2

NEDF二,進而得到乙M>E=毛，由余弦定理即可推得③成立；

44

以②③為條件，①為結論：由已知可推出”也…），=：.設=EF=x,

則QF="x，得到G8,GC.由勾股定理得（c+3作—c）=a（G3+GC）.然后得到

（42—1）（6-c）=0.由6-cxO,可得a=；,即BE=；BC,結合圖象得到方=4地，

所以有CE=3EB,即①成立.

以①③為條件，②為結論:

證明：如圖，過點A作AG垂直于BC的延長線于G點，延長AD交BC于F點.

113

由CE=3E8可得，BE=-BC=~a,CE=：a.

444

,ADDEr-

由——+——+V2=可得,AD2+DE2+近ADDE=AE2，

DEADAD-DE

在7ADE中，由余弦定理可得AE2AD2+DE2-2AD-DEcosZADE,

所以cosNAQE=-也，0<ZADE<7t,則NAQE=學，則=

244

10

設=則。尸=小，又AD=A3=c,所以AF=c+&x，

貝ijAG=FG=^AF=^c+x,GB=GF-BE-EF=—+x---x=~~-,

222424

’3

GC=----c—ci.

24

在RtAAGB中，有AG2=AB2-GB2.^￡RtAAGC中，有AG2=AC2-GC2.

所以有AB2-AC2=Gg2-GC2,即M-從=GR2-GC2,

整理可得，(c+b)(b-c)^a(GB+GC).

代入整理可得，”(2/0+4)=29+c)(Z>-c),gpa2-2y/2ca+2^c2-ft2)=0.

解關于。的方程可得，叱20c±J8c：8一/)_0,土。),

因為avb+c,所以。=夜他+c)不成立，舍去.

所以,a=>j2(b-cY

由正弦定理可得，sinA=V2(sinB-sinC),

又A=7T-(B+C),所以sinA=sin[冗一(3+C)]=sin(3+C),

所以sin(B+C)=e(sinB-sinC),即②成立.

以①②為條件，③為結論：

證明：如圖，過點A作AG垂直于3c的延長線于G點，延長AO交BC于/點.

設EF=m,DF=n,則AF=AD+DF=c+n,

113

由CE=3E3可得，BE=-BC=-aCE=-a.

44i4

由sin(3+C)=0(sinB-sinC)可得，sinA=V2(sinB-sinC),

由正弦定理可得“=0(6—C).

在RtaAGB中，有AG2=A82-GB2.在Rt^AGC中，WAG2=AC2-GC2.

所以有AB?-AC2=GB2-GC2,BPc2-b2=GB2-GC2,

整理可得，(c+b)(b-c)=a(GB+GC).

因為(。-c),所以(c+6)=亞(GB+GC).

FOFFnm

由已知可得，EDUAG,所以VFDESAFAG,所以有即——=—,

FAFGc+nFG

mC+/?

所以FG=^-=m+—c,所以GB=FG-BE-EF=c--a-tn=—c--af

nnn4n4

11

m3

GC=GB^BC=—c^--a

n49

所以GB+GC=^c+4a=^c+^e-c),

n2n2v'

郎c+b=區(qū)網(wǎng)c+邑立(b-c)=^^c+b-c,整理可得巴=也.

n2nn2

在RtZXOE尸中，sinZEDF=—=—=—,則NEDF=色，

DFn24

所以NADE=兀一NEDF=型.

則在V45E中，由余弦定理可得AE?=AD2+DE2-2AD-DEcosZADE

=AD2+DE2+y/2ADDE，

u匚1“七人。DEnrAE2目4

所以有-----1-------1-yJ2=----------，即③成U;

DEADADDE

以②③為條件，①為結論：

證明：如圖，過點A作AG垂直于BC的延長線于G點，延長交5。于尸點.

由sin(3+C)=0(sin3-sinC)可得，sinA=&(sinB-sinC),

由正弦定理可得a=^(6—c).

由+V2=~~~~z可得，AD2+DE2+>/2AD-DE=AE?,

在VADE中，由余弦定理可得AE?=AD%。爐-2A￡>OEcosZAZ)E,

所以cosNAOE=—變，0<ZADE<TI,貝IJNAOE=亞，則=

244

'設BE=2BC,EF=x,則。/二行工，又A￡)=AB=c,所以AE=c+V^x，

則AG=FG=^AF=@c+x,

22

孝c+(lT)”

GB=GF-BE-EF=+x-Aa-x=-------A,aGC=

22

.ADDErrAf2

由——+——+V2=可得,AD2+DE2+金ADDE=AE2，

DEADAD-DE

在NADE中，由余弦定理可得AE2AD2+DE2-2ADDEcosZADE,

所以cosNAOE=-正，0<ZADE<n,則NA￡>E=皿，則NOFE=色.

244

由sin(8+C)=V5(sin8-sinC)可得，sinA=72(sinB-sinC),

由正弦定理可得"=0(6-c).

在RtAAGB中，有AG?=AB2-GB2.^.RtAAGC中，有AG)=AC2-GC2.

所以有AB--AC1=GB2-GC2,即/-加=GB?-GC?,

整理可得，(c+b)(b-c)=a(GB+GC).

12

因為4=血(〃一0),所以(c+6)=0(G8+GC).

GB+GC=^--Aa+^c+(\-A)a=>/2c+(l-2A)a,

所以有b+c=2c+0(l-24)a=2c+2(l-2/l)S-c),

整理可得(4彳-。e-c)=0.

因為a=00-c)*O,所以A—CKO,所以4/1一1=0,所以2=；.

即3E=：BC,由圖知昌=4/，所以有CE=3EB，即①成立.

11.(2023?河北衡水?衡水市第二中學?？寄M預測)已知函數(shù)

2

/(x)=sin(0x-f(切>0),g(x)=f(x),〃x)與g(x)均在區(qū)間上單調遞增,

若〃-，〃的最大值為1

(1)求。的值

(2)在不等腰ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若/(A+?)+2g(B—高=1,

證明：a2-b2=bc

【答案】(1)。=1;

⑵證明見解析；

【分析】(1)把g(x)降幕后，分別求出/(x),g(x)的增區(qū)間，再求出得公共增區(qū)間，然

后由題意可得”;

(2)由(1)代入后化簡，并由正弦定理、余弦定理化角為邊，整理可證.

【詳解】(1)<y>0,

//、-I乃)z兀一萬,c,n2k兀TC,,2k兀In,“

flx)=sincox---,2k兀----Kcox---W22乃H—,-------------?x?-----1---,kwZ,

\67262co3a)co3a)

7V2&7T2?

f(x)的增區(qū)間是一一,------十一ZeZ,

co3a)co3。

1-COS(2GX-----)

g(x)=sin2(cox-￡)=-------....—

62

?n，三,k7V4/,k冗24

2k兀<2cox---<2kjv+乃，貝!]——+——<x<——+——,

3a>6CDco3co

因此g(x)的增區(qū)間是[竺+"keZ,

CDDCDCD3d)

1+4-4-1?^TT

所以它們公共增區(qū)間是［可勺乃,三旦加,左€Z,每個區(qū)間的長度為總,

069069

由題意言=3'...ty=l;

13

⑵由⑴“r)=sin(x-￡),“一一8s⑶-丁，

6g⑶=-------------

TT

已知式為sinA+1-cos(25——)=1,

2

TT7T

sinA=cos(2B---)=cos(---2B)=sin23=2sin3cosB,

22

由正弦定理、余弦定理得a=2b-「+c—”,整理得(6-c)(/-〃-歷)=o,

lac

三角形是不等腰的三角形，即bwc,

a2-tr-bc=0>HPa2-b'=bc'

12.(2022?河北秦皇島?統(tǒng)考三模)從①的@11/480=3404,②5詆=36這兩

個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答.

TT

問題：如圖，在平面四邊形A8CD中，已知A8=4,A=§,且__________.

(2)若N5OC=工，且4?人8C,求3c的長.

6

【答案】(1)粵

13

8、130

12

【分析】(1)若選①，先用正弦定理算出A。，然后用余弦定理算出80,再用正弦定

理計算sinNADB；若選②，先用面積公式算出A。，然后用余弦定理算出BD,再用正

弦定理計算sinZADB.

(2)先用兩角和的正弦公式算出sinC,然后利用正弦定理計算8c的長.

(1)

選①

因為BZ>sin-4BD=3sinA,所以BDAD=3BD,解得4)=3,

所以BO?=AB?+AD?-2AO?A8cosA=16+9-12=13，

解得BD=V13.

14

,AB8。始./…ABsiM2732屈

由---------=,得sin/AZ)B=----------=-f=r=——

sin^ADBsinABD>/v313

選②

由5AB0=3G=gABAQsinA=64。，得AD=3,

所以5=AB2+AD2-2AZZABCOSA=16+9-12=13，解得8￡)=相.

由」￡=歿，得5%3=4=您=返

sin^ADBsiMBD71313

(2)

由(1)知8O=g,又AB15C,

所以sin/CBD=cos/ABD—,從而cos/CBD=3'^^

2x4V132626

13a85如2屈

所以sinC=sin(NBCC+NCBD)=__V____________I_______v__________—__________

22622613

,BC_BDBDsin/BDCV131313^

由碇菽^菽'得BC=一熹「=〒乂荻=可

13.（2022?河北唐山?統(tǒng)考三模）如圖，在四邊形A3c。中,

sinZBAD

48=30c=cos4ABD

sinZADB

（1）證明：△ABD為直角三角形;

（2）若43=6,求四邊形A5CZ）面積S的最大值.

【答案】（1）證明見解析

(2)12

sinZBAD

【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理化簡=cosZABD即可；

sinZADB

14

(2)由SgD=§SABD與S四邊形ABCD=SYABD+^VBCD=1^XfABD'結合A。、BD?=36與基

本不等式求解即可

sinZBADBDAB

【詳解】（1）=cosZABD由與余弦定理

sinZADBsin/BAD~sinZADB

15

.BDAB?+8》-A》

*'Afi~-2ABxBD'

整理得，AD2+BD2=AB2,

71

：.ZADB=-.

2

???△ABQ為直角三角形.

（2）*：AB=3DC^

,??OqBCD-_13UvABD?

由AB=6,得AD?+BD?=36.

AD+BD

$3.=s“w,+s=-SAIII）=-X-XADXBD<-X-=-x—=n.（當

四段形A8CDAtil）,BCDflrD3AtitJ323232

且僅當AD=BD時取等號）

所以四邊形A8CD面積S的最大值為12.

14.（2022?河北唐山?統(tǒng)考二模）ABC的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知

6

a=2,acosCd--asinC=b-

3

⑴求4

（2）若點〃在比邊上，AD平■分NBAG且A。=變，求_ABC的周長.

3

【答案】（1）。

⑵C+2

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換求出角A即可；

（2）利用角平分線分三角形面積等于兩個小三角形面積之和得出等式，再用余弦定理

聯(lián)立求解周長即可.

（1）

由正弦定理得sinAcosC+-^-sinAsinC=sinB,

3

在一ABC中，sinB=sin（A+C）=sin/IcosC+sinCcosA,

化簡為避^sinAsinC=sinCeosA,又sinCwO,

3

/.tanA=A/3,又A￡（0，兀）

(2)

16

依題意得s=-feesinA=-AD-csinZBAD+-ADbsinZCAD,

,222

BP>/3Z?c=^y-（Z?+c）,

由余弦定理得4=〃+c2-bc,

石

一方?（〃+（?）=4,解得b+c=\/6

.二ABC的周長為C+2.

15.（2022?河北?校聯(lián)考模擬預測）在一4?。中，內角4B,。的對邊分別為ab,c,

口田口。十方sin2Csin8

且7兩足----=----------------

bsinAsinBsinA

⑴求a

（2）若a=3,ZACB的平分線交45于點。，且CD=1,求A

【答案】（1）；2乃

3

嗚

【分析】（1）利用正弦定理進行角化邊，然后利用余弦定理進行求解.

（2）依據(jù)題意作出簡圖，在△8CQ中，利用正弦定理及余弦定理求出角4得值，然后

在中，求解出角A的值，利用正弦定理，即可求解邊。.

⑴

..a+bsin-CsinB百丁什上何團a+bc"b

解：?一=---------------,由正弦定理得：———一，

bsinAsinBsinAbaba

整理得：a2+b2-c2=-ab，

〃2+〃2―J2-ab_1

又由余弦定理得：cosC=----

lab2ab~~2

2

又C￡（O,?）,故。二§乃.

⑵

根據(jù)題意作出簡圖，如下:

在△BCD中，a=CB=3,CD=l,2DCB=9,

17

由仝昉生礎俎/"RCD2+CB2-BD2\2+32-BD21

由余弦定理得：cosZDCB=-----------------------=-----------------=—,

2CDCB2x1x32

解得BD=布,

]后

由正弦定理得：總=一咒〃,則；解得sinB=冬，

sinBsinZDCBsin—14

3

又由(1)知3w(0,q),故cosB=Jl-siYB=,

在2ABe中，sinA=sin(B+ZACB)=sinBcosZACB+cosBsinZACB

V21(1A577V3V21

=-----x——H-------x——=------,

14V2j1427

3AC

A「一.—=—.—a

由正弦定理得：4T=則⑨V21,解得AC==.

smAsinB———2

714

3

故b

2

16.(2022?河北?統(tǒng)考模擬預測)已知一ABC的內角4B,。的對邊分別為ab,3

且(a+/?)cosC=c(cosA+cosB).

⑴求c；

(2)若A8邊上的中線CO長為4,求二ABC面積的最大值.

【答案】(1)?

【分析】(1)利用余弦定理將已知的式子統(tǒng)一成邊的形式，化簡后，再利用余弦定理可

求出角C；

2

(2)在48和△88中分別利用余弦定理可得/+〃=￡+32,再結合(1)中的

2

64

a2+b2-c2=ab,可得片+/?=64-"，然后利用基本不等可得而4方，再由三角形

的面積公式可求出其最大值

(1)

因為(a+")cosC=c(cosA+cos8),

所以由余弦定理得，3+力."2+〃2=/+/一*“2+.2_外,

2ah2hclac

(a+b)(a2+b2-c2)=a(b2+c2-a2)+b(a2+