第9講 函數(shù)的概念（教師版）-高一數(shù)學(xué)同步講義

第1課函數(shù)的概念

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

理解函數(shù)的概念；了解函數(shù)的三要素；

掌握簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域；掌握求函數(shù)的值；通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握函數(shù)概念及函數(shù)的三要

掌握區(qū)間的寫法.素，會(huì)判斷同一函數(shù)，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域及值域.

趣知識(shí)精講

3-3、

在'知識(shí)點(diǎn)01函數(shù)的概念

設(shè)A、8是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系力使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合3

中都有唯一確定的數(shù)/(%)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱/：Af3為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作

y=/(x),XGA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值對(duì)應(yīng)的y值叫做函

數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/(x)|xe4｝叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合B的子集.

【微點(diǎn)撥】(1)“A,B是非空的數(shù)集”，一方面強(qiáng)調(diào)了A,B只能是數(shù)集，即A,B中的元素只能是實(shí)數(shù)；

另一方面指出了定義域、值域都不能是空集，也就是說(shuō)定義域?yàn)榭占暮瘮?shù)是不存在的.

(2)理解函數(shù)的概念要注意函數(shù)的定義域是非空數(shù)集A,但函數(shù)的值域不一定是非空數(shù)集B,而是集合B

的子集.

(3)函數(shù)定義中強(qiáng)調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，即對(duì)于非空數(shù)集A中的任意一個(gè)(任意性)元素

x,在非空數(shù)集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y與之對(duì)應(yīng).

(4)函數(shù)符號(hào)“y=/(x)”是數(shù)學(xué)中抽象符號(hào)之一，"y=/(x)”僅為y是x的函數(shù)的數(shù)學(xué)表示，不表示y

等于/與x的乘積，/(X)也不一定是解析式，還可以是圖表或圖象.

【即學(xué)即練1】下列各圖中，不能表示y是x的函數(shù)的是()

【分析】選項(xiàng)B不滿足函數(shù)的定義，選項(xiàng)A、C、D滿足函數(shù)的定義，即得解.

【詳解】在A中，對(duì)每一個(gè)XWR,都有唯一的yw{y|yzo}與之對(duì)應(yīng)，所以是函數(shù)關(guān)系;

在B中，存在*€卜,＞。},有兩個(gè)y的值與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)關(guān)系;

在C,D中，對(duì)每一個(gè)xe(T?,O)(0,-KO),都有唯一的丫武,⑼=似+30)與之對(duì)應(yīng)，所以都是函數(shù)關(guān)系.

故選：B.

【即學(xué)即練2］若函數(shù)(x)的定義域知=閔—2},值域?yàn)镹={y|(QW2},則函數(shù)y=/(x)的圖象

可能是(

A.

【答案】B

【分析】利用函數(shù)的概念逐一判斷即可.

【詳解】A中定義域是3一2姿0},不是M={x|-2W爛2},C中圖象不表示函數(shù)關(guān)系，D中值域不是N=

{州*}.故選:B

7

晝'知識(shí)點(diǎn)02函數(shù)的構(gòu)成要素

由函數(shù)概念知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決

定的，所以確定一個(gè)函數(shù)只需要兩個(gè)要素：定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系.

辨析/(x)與/(a)表示當(dāng)自變量x=a時(shí)函數(shù)/(x)的值，是一個(gè)常量，而/(x)是自變

量x的函數(shù)，它是一個(gè)變量，/(a)是/(x)的一個(gè)特殊值.

【即學(xué)即練3】下列集合A到集合5的對(duì)應(yīng)/是函數(shù)的是()

A.4={-1,0,1},B={0,1},f：A中的數(shù)平方

B.A={0,1},B={-1,0,1},f：A中的數(shù)開方

C.A=Z,B=Q,f：A中的數(shù)取倒數(shù)

D.A=R,B={正實(shí)數(shù)},/：A中的數(shù)取絕對(duì)值

【答案】A

【分析】利用函數(shù)的定義逐個(gè)分析判斷即可

【詳解】選項(xiàng)A中，集合4中的每一個(gè)元素平方后在集合8中有唯一的元素與其對(duì)應(yīng)，所以選項(xiàng)A符合函

數(shù)定義，

選項(xiàng)B中，集合A中的元素1對(duì)應(yīng)集合8中的元素±1,不符合函數(shù)定義中一個(gè)自變量的值對(duì)應(yīng)唯一的函數(shù)

值的條件；

選項(xiàng)C中，集合A中的元素0取倒數(shù)沒(méi)有意義，也不符合函數(shù)定義中集合A中任意元素都對(duì)應(yīng)著唯一的函

數(shù)值的要求；

選項(xiàng)D中，集合A中的元素0在集合8中沒(méi)有元素與其對(duì)應(yīng)，也不符合函數(shù)定義.

故選：A

【即學(xué)即練4］如圖所示，下列對(duì)應(yīng)法則，其中是函數(shù)的個(gè)數(shù)為()

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義逐一判斷即可得出答案.

【詳解】①②③這三個(gè)圖所示的對(duì)應(yīng)法則都符合函數(shù)的定義，即A中每一個(gè)元素在對(duì)應(yīng)法則下，在B中都

有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，

對(duì)于④⑤，A的每一個(gè)元素在B中有2個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，不是A到B的函數(shù),

對(duì)于⑥，A中的元素4、為在B中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，，不是A到B的函數(shù)，

綜上可知，是函數(shù)的個(gè)數(shù)為3.故選：A.

【即學(xué)即練5】下列集合A、B及其對(duì)應(yīng)法則不能構(gòu)成函數(shù)的是()

A.A=B=R,/(x)=|x+l|

B.A=B=R,f(x)=一

x

C.A={1,2,3},B={4,5,6.7},f(x)=x+3

D.A={x|x>0},B={1},f(x)=x°

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷.

【詳解】易知B項(xiàng)中集合A中的0在集合8中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，則不能構(gòu)成函數(shù)，

其他選項(xiàng)中對(duì)集合A中每一個(gè)元素，按對(duì)應(yīng)法則/,在8中都有唯一元素與它對(duì)應(yīng)，是函數(shù).故選：B.

【即學(xué)即練6】下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的為.(填序號(hào))

(1)X—/,xGR；

(2)x-y,其中y2=x,xW(0,+co),yGR-

產(chǎn)-4-1

(3)is,其中s=^~Ml.teR.

【答案】⑴(3)

【分析】利用函數(shù)的概念逐一判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)根據(jù)函數(shù)的概念可得XT/,XGR為函數(shù).

(2)在(o,y)上任取上一個(gè)值%都有兩個(gè)V值對(duì)應(yīng)，這與函數(shù)的概念矛盾，所以此對(duì)應(yīng)關(guān)系不是函數(shù).

(3)任意的fWR都有唯一的$值與之對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)的概念，故答案為：(1)(3)

'知識(shí)點(diǎn)03相等函數(shù)(同一函數(shù))

對(duì)于兩個(gè)函數(shù)，只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才相等，即是同一函數(shù).

【微點(diǎn)撥】(1)判斷兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)的準(zhǔn)則是兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同.定義域、對(duì)應(yīng)

關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是相同函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是相同函數(shù).

(2)函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒(méi)有限制的.

(3)在化簡(jiǎn)解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形.

【即學(xué)即練7】下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是()

V2-1C

A.y=x-1^0y=-----B.y=x°和y=l

x+1

C.f(x)=(X—1)2和g(x)=(x+1)2D.f(x)=?和g(x)=(W)2

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系可逐項(xiàng)判斷可得答案.

【詳解】y=x-l的定義域?yàn)閄GR,y=占二I的定義域?yàn)閧X|XH-1},函數(shù)定義域不同，A錯(cuò)誤；

X+1

y=x°的定義域?yàn)閧xlxwO},y=l的定義域?yàn)閤eR,函數(shù)定義域不同，B錯(cuò)誤；

/(%)=(x-1)2和g(x)=(x+1)2的定義域都為xeR,但是兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故C錯(cuò)誤；

f(x)=(五)的定義域?yàn)椴烦?gt;0},g(x)=［訐的定義域?yàn)閧x|x>0},故D正確.故選：D.

金'知識(shí)點(diǎn)04區(qū)間及其表示

1.區(qū)間的概念

設(shè)小6是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且。<從我們規(guī)定：

(1)滿足不等式aWxW。的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為［a,勿；

(2)滿足不等式的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a,b)；

(3)滿足不等式或a<x4人的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為3,。)或(a,們.

其中實(shí)數(shù)“，b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).我們可以在數(shù)軸上表示上述區(qū)間，為了區(qū)別開區(qū)間、閉區(qū)間的端點(diǎn),

我們用實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn).

定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示

{x\a<x<b]閉區(qū)間[a,b]—1___1__

abx

{x\a<x<b}開區(qū)間(a,b)_1___1__

abx

{x\a<x<h}半開半閉區(qū)間[a,h)_1__1____

abx

{x\a<x<b}半開半閉區(qū)間(a,勿1_J__

abx

注意：區(qū)間符號(hào)里面的兩個(gè)字母(或數(shù)字)之間用“，”隔開.

2.無(wú)窮大的概念

實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(-8,+8),“8”讀作“無(wú)窮大”，“一8”讀作“負(fù)無(wú)窮大”，

“+8”讀作“正無(wú)窮大”.

把滿足的實(shí)數(shù)x的集合分別表示為[。,+8),(。,+8),(—oo,句,(ro,。).

【即學(xué)即練8】解下列不等式或不等式組并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，解集用區(qū)間表示.

(1)5x+15>4x-13；

(3x-2<x+4

(2)一<?

[x+1>4x-5

【答案】(1)(-28,一)，數(shù)軸見解析；(2)(9,2),數(shù)軸見解析

【分析】將不等式或不等式組直接求解出來(lái)，畫出數(shù)軸即可.

【詳解】

(1)由5x+15>4x-13解得x>—28,

故不等式的解集為(-28,+8),數(shù)軸表示如下：

3x—2<x+4

(2)由解得x<2,

x+1>4x-5

故不等式的解集為(f,2),數(shù)軸表示如下:

O2X

【即學(xué)即練9】設(shè)集合4=*|/一8》-20<0},8=[5,13),則。(AcB)=(用區(qū)間表示).

【答案】(―⑸[10,4^>)

【分析】根據(jù)不等式的解法，求得集合A,再結(jié)合集合的交集與補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由題意，集合4=3--8》-20<0}=3-2。<10},可得AcB=[5,10),

所以a(AcB)={x|x<5或x210}=(9,5)[10,止).故答案為：(—,5)口0,”).

口能力拓展

考法01

函數(shù)概念

判斷所給對(duì)應(yīng)是否是函數(shù)，首先觀察兩個(gè)數(shù)集A，B是否非空；其次驗(yàn)證對(duì)應(yīng)關(guān)系下，集合4中數(shù)x的

任意性和集合8中數(shù)y的唯一性(即不能沒(méi)有數(shù)y對(duì)應(yīng)數(shù)x,也不能有多于一個(gè)的數(shù)y對(duì)應(yīng)數(shù)x).

【典例1】已知A={X|X=〃2,neN},給出下列關(guān)系式：

①f(x)=x；②f(x)=f：?/(x)=x3；@/(x)=x4;⑤/(x)=/+l,其中能夠表示函數(shù)/：A—A的是

【答案】①②③④

【解析】對(duì)于⑤，當(dāng)x=l時(shí)，/+14A,故⑤錯(cuò)誤，由函數(shù)定義可知①②③④均正確.

【溫馨提示】(1)函數(shù)的定義要求第一個(gè)數(shù)集A中的任何一個(gè)元素在第二個(gè)數(shù)集B中有且只有一個(gè)元素與之

對(duì)應(yīng)，即可以“多對(duì)一”，不能"一對(duì)多”，而8中有可能存在與A中元素不對(duì)應(yīng)的元素.

(2)構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同

考法02

同一函數(shù)

討論兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)時(shí)，要樹立“定義域優(yōu)先”的原則，若定義域相同，再化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，看

對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同.

注意：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是同一函數(shù).

【典例2】下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.〃x)=x+l與g(x)=￡1^B"止忘7與8⑴川

X

c./(力=忖與g(x)=叱D"力=%與^(0=771

【答案】D

【解析】A.7(x)=x+l的定義域?yàn)镽,8(力=土±二的定義域?yàn)閧##0},定義域不同，不是同一函數(shù);

2

%

f(x}=9

的定義域?yàn)?0,+00)，g(x)=x的定義域?yàn)镽,定義域不同，不是同一函數(shù);

B.(可

X,〃為奇數(shù)

C./(x)=|x|,g(x)=yfx"=',解析式不同，不是同一函數(shù);

卜|,〃為偶數(shù)

D.f(A-)=x的定義域?yàn)镽,g〃)=q±￡=f的定義域?yàn)镽,定義域和解析式都相同，是同一函數(shù).

t+\

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域，判斷兩函數(shù)是否為同一函數(shù)的方法：看定義域和解析式是否都相

同.解答本題時(shí)，通過(guò)求定義域，可以判斷選項(xiàng)A,B的兩函數(shù)都不是同一函數(shù)，通過(guò)看解析式可以判

斷選項(xiàng)C的兩函數(shù)不是同一函數(shù)，從而只能選D.

考法03

函數(shù)的定義域

(1)當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí)，求函數(shù)的定義域就是求使解析式有意義的自變量的取值集合，求函數(shù)定

義域的一般方法有：

①分式的分母不為0;

②偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)：

③y=要求xh0；

④當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí)，定義域是使得各式子都有意義

的公共部分的集合；

⑤已知/(x)的定義域，求/［g(x)］的定義域，其實(shí)質(zhì)是由g(x)的取值范圍，求出x的取值范圍；

⑥已知yig*)］的定義域，求/(X)的定義域，其實(shí)質(zhì)是由x的取值范圍，求geo的取值范圍；

⑦由實(shí)際問(wèn)題建立的函數(shù)，還要符合實(shí)際問(wèn)題的要求.

注意：定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集

符號(hào)“U”連接.

(2)已知函數(shù)的定義域，逆向求解函數(shù)中參數(shù)的取值或取值范圍，需運(yùn)用分類討論以及轉(zhuǎn)化與化歸的方

法，轉(zhuǎn)化為方程或不等式的解集問(wèn)題，根據(jù)方程或不等式的解集情況來(lái)確定參數(shù)的值或取值范圍.這種

思想方法即通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，將一個(gè)難以解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)已經(jīng)解決或者比較容易解決的問(wèn)題，

從而獲解.

【典例3】⑴函數(shù)k言的定義域是（）

3

A.-,+ooB-(2,+oo)

C.(2，+o°)D.(-oo,2)(2,+oo)

(2)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)閇0,+8),則函數(shù)y=/(x+l)的定義域?yàn)?)

A.[0,+oo)B.[-l,+oo)

C.（-l,+oo）D.[l,+oo）

（3）已知函數(shù)火x+1）的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）,則x2x—1）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（-l,0）￡|C.（0,l）D.（V，0）

【答案】（1）B（2）B（3）C

[2x-3>03

【解析】（1）要使原式有意義只需：4°八，解得XN,且XH2,

%-2。02

故函數(shù)的定義域?yàn)閖a]（2,+8）.

故選B.

（2）_y=/（x）的定義域?yàn)閇0,+oo）.，y=/（x+l）需滿足x+120,

/.x>-l,，y=/（x+l）的定義域?yàn)閇―1,+8）.故選B.

（3）?.?函數(shù)yu+i）的定義域?yàn)椋ㄒ?。），即一2V<0,則yu）的定義域?yàn)椋ㄒ?,1）,

由一1<統(tǒng)一1<1,得0y<l；../（2x-1）的定義域?yàn)椋?,1）.

【名師點(diǎn)睛】（1）求函數(shù)的定義域分兩類，一是實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域，由變量的實(shí)際意義確定：二是

一般函數(shù)的定義域，由使式子有意義的X的范圍確定，一般是列出不等式組求解.注意結(jié)果要寫成集合或

區(qū)間的形式.解答本題時(shí)，由題意，分子根號(hào)下的式子大于或等于零，分母不為零，據(jù)此列出關(guān)于X的不

等式組，求解即可.

(2)本題考查函數(shù)定義域的概念及求法，己知了(x)的定義域求/[g(x)]定義域的方法，其實(shí)質(zhì)是由8口)

的取值范圍，求出尤的取值范圍，是基礎(chǔ)題.解答本題時(shí)，根據(jù)/(X)的定義域即可得出了(X+1)需滿足：

x+l>0,從而得出y=/(x+l)的定義域.

(3)本題考查的是上題的升級(jí)版，是由xxx+l_?2%-1^^的過(guò)程.

【典例4]若函數(shù)〃尤)=/、三,’的定義域?yàn)??,則實(shí)數(shù)上的取值范圍是__________.

'7kx+4Ax+3

【答案】0,皆

【分析】

分析可知，對(duì)任意的XWR,小+4fcc+3xO恒成立，分左=0、％片0兩種情況討論，結(jié)合已知條件可求得

實(shí)數(shù)人的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/力=W—的定義域?yàn)镽，

所以，對(duì)任意的xeR,"2+4丘+3/0恒成立.

①當(dāng)女=0時(shí)，則有3r0,合乎題意：

②當(dāng)化40時(shí)，由題意可得4=1642-12左<0，解得0<k<g.

4

綜上所述，實(shí)數(shù)z的取值范圍是0?1

故答案為：0,|).

【即學(xué)即練10].函數(shù)/(幻=&3+(》+2)°的定義域是()

A.[-3,+oo)B.[-3,-2)

C.[-3,-2)j(-2,+?>)D.(-2,-wo)

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件，列出不等式關(guān)系計(jì)算即可

【詳解】要使函數(shù)有意義,則｛::晚，

即(亍；，所以X13且x-2,

Ix^—z.

即函數(shù)的定義域?yàn)閇-3,-2)(-2,4-03).

故選：C

【即學(xué)即練11]求下列函數(shù)的定義域:

3

(1)產(chǎn)2+口

(2)y=-j3-x?yjx—\;

(3)產(chǎn)(1)。+區(qū).

Vx+l

(\yjl—x-x2

(A4)>==

【答案】(1){xh￥2}；(2){x|l<x<3}.(3){X|A->-1,且存1}.(4)[-l,O)u(O,l]

【分析】

(I)根據(jù)分母不為0,列式可求出；

(2)根據(jù)二次根式的被開方數(shù)大于等于0,列式可求出；

(3)根據(jù)底數(shù)不為0以及二次根式的被開方數(shù)大于等于0且分母不為0,列式可得出.

(4)根據(jù)偶次根式下被開方數(shù)非負(fù)以及分母不為零列方程組，解得結(jié)果.

【詳解】

3

(1)當(dāng)且僅當(dāng)x—2和，即存2時(shí)，函數(shù)y=2+—^有意義，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|j/2}.

x-2

f3-x>0

(2)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)〈,八解得1SE3,所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|14xM3}.

[x-l>0

X-1H0

(3)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)[一，20解得x>-l,且/I,

X+1

x+1wO

所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧4>—1,且4￥1}.

2—x—x2N0,

(4)函數(shù)的定義域由不等式組卜+120,確定

Tx+T-i^o

-2<x<1,

解不等式組，得.xN-l,.-.xe[-l,0)u(0,l].

所以函數(shù)丫=*一X一3的定義域?yàn)閇-1,0)2(01].

Vx+1-l

【點(diǎn)睛】

本題考查具體函數(shù)的定義域，常見求定義域的情況有：分母不為0、底數(shù)不為0、二次根式的被開方數(shù)大于

等于0,注意定義域一定要寫成集合或者區(qū)間的形式.

【即學(xué)即練12】已知=的定義域?yàn)锳,g(x)=J^+(x+2)°的定義域?yàn)?,求A「B.

【答案】[-3,-2)U[l,3)

【分析】

先根據(jù)定義域求出集合A與B,再求交集得結(jié)果.

【詳解】

QA-2+X-2>0/.X>15JCX^-2

QZ￡16>O,X+2^O.---3<X<3,X*-2

3-x

所以AIB={x|x2l或x4-2}I{x|-3<x<3,x-2}=[-3,-2)U[l,3)

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)定義域以及交集運(yùn)算，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

考法04

求函數(shù)值或函數(shù)的值域

(1)函數(shù)求值即用數(shù)值或字母代替表達(dá)式中的X,而計(jì)算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的過(guò)程.注意所代入的數(shù)值或

字母應(yīng)滿足函數(shù)的定義域要求.

求函數(shù)值應(yīng)遵循的原則：

①已知/(X)的表達(dá)式求/(a)時(shí)，只需用a替換表達(dá)式中的X.

②求/[/(a)]的值應(yīng)遵循由里往外的原則?

③用來(lái)替換表達(dá)式中x的數(shù)。必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值.

(2)求函數(shù)的值域，應(yīng)根據(jù)各個(gè)式子的不同結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇不同的方法：

①觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察得到；

②配方法：此方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法，即通過(guò)配方把函數(shù)轉(zhuǎn)化為能直接看出其值域的方法.求

值域時(shí)一定要注意定義域的影響.如函數(shù)y=/-2x+3的值域與函數(shù)y=x2—2x+3,xw{x|0Vx<3}

的值域是不同的；

③分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值

域.分離常數(shù)的目的是為了減少“變量”，變換后x僅出現(xiàn)在分母上，這樣x對(duì)函數(shù)的影響就比較清晰

ex+d

了，將形如y=——(WO)的函數(shù)分離常數(shù)，變形過(guò)程為：

ax-\-b

c卜、~be,be,be

cx+d_a(aX+)+a_ca.再結(jié)合工的取值范圍確定了的取值范圍，從而確定

ax+hax+baax+bax+b

函數(shù)的值域.；

④換元法：對(duì)于一些無(wú)理函數(shù)(如=-,通過(guò)換元把它們轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，然后

利用有理函數(shù)求值域的方法，間接地求解原函數(shù)的值域.

在利用換元法求解函數(shù)的值域時(shí)，一定要注意換元后新元的取值范圍，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)解.求新元的范圍,

要根據(jù)已知函數(shù)的定義域.

【典例5】已知〃#=二，則/⑴+/(2)+/1J+八3)+/圖+/(4)+《j=---------

1+X'1

【答案】47

2

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式代入即可求解.

【詳解】因?yàn)閒(x)=^,所以/(力+/(1=:二+1^=二+3===1

1+X2]+,j"J"+1，+1

則，RM圖=；2」(八

〃3)+佃=，+(\|,f⑴4

所以/(I)+/(2)+嗎)+八3)+嗎)+/(4)+/C[)=]+i+i+i=5.故答案為：—.

【典例6】求下列函數(shù)的值域：

/、/\2x—1

(1)fU)=--；

X+1

(2)f(x)=x-Jx+l.

【答案】(1)(華，2)U(2,+8)；(2),+8).

4

【解析】(1)因?yàn)??(6=2(5+1)-3=2__L

所以/(x)#2,

x+1X+1

所以函數(shù)/(x)的值域?yàn)?-co,2)U(2,+oo).

(2)令Jx+1=f(r>0),則1=於_］所以產(chǎn)於_卜］(20)

因?yàn)閽佄锞€產(chǎn)5+1開口向上，對(duì)稱軸為直線u；e［0,+00),所以當(dāng)/=：時(shí)，y取得最小值為-《，無(wú)最

大值，所以函數(shù)/(》)的值域?yàn)椋?2,+00).

4

【名師點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值域的求法.(1)利用分離常數(shù)法可得值域：此方法主要是針對(duì)有理分式，

即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域.分離常數(shù)的目的是為了減少“變量”，變換后x僅

出現(xiàn)在分母上，這樣x對(duì)函數(shù)的影響就比較清晰了；

(2)利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題求解值域即可，對(duì)于一些無(wú)理函數(shù)(如/.(x)=ox±Zj±Jcx±d),

通過(guò)換元把它們轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，然后利用有理函數(shù)求值域的方法，間接地求解原函數(shù)的值域.

【即學(xué)即練13】函數(shù)丫=工,工€［1,3)(3,5］的值域?yàn)?

X-J

【答案】(y,-gu/田)

【分析】

根據(jù)分式型函數(shù)的性質(zhì)，知y=一二在(-?>,3)和(3,—)h：遞減，結(jié)合指定的定義域區(qū)間，即可求值域.

x-3

【詳解】

由函數(shù)解析式知：y=—1在(-，3)和(3,+8)上遞減，

x-3

；.xe［l,3)(3,5］時(shí)，函數(shù)值域?yàn)?T?,-g］5g,+oo).

故答案為：(-°°,—/］口弓,+°°).

【即學(xué)即練14］函數(shù)"X)=31-2x+4在(0,+8)上的值域?yàn)?/p>

X

【答案】副6-2,+?)

【分析】本題首先可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為/。)=3穴-2+24,然后根據(jù)基本不等式即可得出結(jié)果.

x

v2_7r+44

【詳解】/(x)=2A4=3X-2+-,

XX

因?yàn)閤>0,所以f(x)=3x-2+3N2ji，-2=46-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=3叵時(shí)取等號(hào)，

x3

則函數(shù)/(x)=宜二|士在(0,一)上的值域?yàn)榈挠?,+?),故答案為：|4A/3-2,+?卜

【即學(xué)即練15】求下列函數(shù)的值域

_3+x

(1)~4-x；

5

(2)v=-----------

2X2-4X+3

(3)y=-2x-x；

x2+4x+3

(4)

(5)y=4-x/3+2x-x2;

(6)y=x+Jl-2+；

(7)y=(x-3+(5-x；

(8)y=J-f_6x_5

3x+l

(9)y二

x—2

/1八、2x2—x+\I

(IO)y=--------(x>-).

2x-12

【答案】⑴；(2)(0,5]；(3)(4){y|"l且"|■卜(5)[2,4]；⑹(-oo,l]；

(7)[V2,2]:(8)[0,2]；(9)(-8,3)(3,+00)；(10)及+3,+8).

【分析】

（I）先分離常數(shù)，利用分式函數(shù)有意義直接得到值域即可；

（2）直接利用二次函數(shù)性質(zhì)求分母取值范圍，再求），的取值范圍即得結(jié)果；

（3）先求定義域，再利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)取值范圍即可；

（4）變形得y=1+—、,（xx-3）,即可得解；

（5）利用二次函數(shù)的單調(diào)性逐步求值域即可；

（6）令t=,則％=上二匕，將.函數(shù)變形為y=-Il+，+_L,rNO,利用二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得;

222

（7）求出函數(shù)定義域，＞=&。+百工平方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求值域即可；

（8）直接利用二次函數(shù)的單調(diào)性逐步求值域即可；

（9）先分離常數(shù)，利用分式函數(shù)有意義直接得到值域即可；

（10）先進(jìn)行換元t=2x-l＞0,再利用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求解值域即可.

【詳解】

7

解:⑴分式函數(shù)"三=一＞7^4

定義域?yàn)閧X|XH4},故工#0,所有y*T，

故值域?yàn)?F,-1)U(T,+O:

(2)函數(shù)y=—-------中，分母1=2/-4x+3=2(x-l)-+121,

2/-4x+3'7

則y=：e(0,5],故值域?yàn)?0,5]；

(3)函數(shù)y=^/^7-》中，令l—2x40得

易見函數(shù)丫="^和丁=一%都是減函數(shù)，

故函數(shù)y=Jl-2x-x在x42時(shí)是遞減的，故x=1時(shí)ymi?=——>

故值域?yàn)橐籡,+00}

,4、x2+4x+3x+1.3/

⑷-----=--=i+—,

x+x—6x—2x-2

故值域?yàn)閧y|y#1且y.|■卜

(5)y=4-73+2%-X2=4--J-(x-l)2+4,1,3]

ffi]0<-(x-l)24-4<4,XG[(),4],

/.0<7-U-l)2+4<2,,\4-2<4-7-(A：-1)24-4<4-0,

即2S”4,故值域?yàn)閇2,4]；

(6)函數(shù)y=妥+Jl—2x,定義域?yàn)椴?,；,令才=J1-2x=0,

]—產(chǎn)]—產(chǎn)產(chǎn)1

所以x=U,所以y==+z=-L+，+L,f20,對(duì)稱軸方程為f=l,

2222

所以t=l時(shí)，函數(shù)Knx=-g+l+g=l，故值域?yàn)?TO』]：

fx-3>0

(7)由題意得<、八，解得3W,

[5-x>0

則丁=2+2j(x-3)(5-x)=2+2yj-(x-4f+\,3<x<5,

22

故-(x-4)2+le[0,l],2>/-(X-4)+1e[0,2],.-.2<y<4,

由y的非負(fù)性知，72<J<2,故函數(shù)的值域?yàn)閇3,2]；

(8)函數(shù)y=J-f_6x_5=J_(x+3y+4,定義域?yàn)閇-5,—1],-(犬+3丫+4e[0,4],故

y=7-(x+3)2+4e[0,2].即值域?yàn)閇0,2]：

(9)函數(shù)＞=托=3+6，定義域?yàn)椋鹸|x*21

故’5*。，所有)芹3,故值域?yàn)?-8,3)(3,+00)；

X—L

2x2—x+1(2x—1)+(2x-1)+21

(10)函數(shù)

y=2x-l2(21)-2

人山1心If

令，=2x-l,則?由知，r>0,y=-lr+y2}I+-i,

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)在(o,V^遞減，在［五,”)遞增，

可知f=時(shí)，為加=gx2j5+；=J5+g,故值域?yàn)?+J,+8

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：

求函數(shù)值域常見方法:

(1)單調(diào)性法：判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性求值域(包括常見一次函數(shù)、二次函數(shù)、分式函數(shù)、對(duì)勾函

數(shù)等)；

(2)換元法：將復(fù)雜函數(shù)通過(guò)換元法轉(zhuǎn)化到常見函數(shù)上，結(jié)合圖象和單調(diào)性求解值域；

(3)判別式法：分式函數(shù)分子分母的最高次幕為二次時(shí)，可整理成關(guān)于函數(shù)值y的二次方程，方程有解，

判別式大于等于零，即解得y的取值范圍，得到值域.

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

I.用列表法將函數(shù)y=/(x)表示如下:

X0

y0

則〃0)=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】由表格可得答案.

【詳解】由表格可得/（。）=0,故選：A.

2.下列圖象中，表示函數(shù)關(guān)系y=/（x）的是（）

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可：

【詳解】對(duì)于A、B、C,圖象中均存在一個(gè)尤與多個(gè)y對(duì)應(yīng)的情況，故A、B、C都不滿足函數(shù)關(guān)系,

對(duì)于D：對(duì)于定義域內(nèi)任意x都有且只有一個(gè)〉與其相對(duì)應(yīng)，故D是函數(shù)關(guān)系；故選：D

3,下列各組方程中表示相同曲線的是（）

A.—=1B.|x|=|y|,x2-y2

x

C.|x|=lyl,Vx=77D.1，y=G

【答案】B

【分析】結(jié)合所給的解析式逐一考查所給的曲線是否相同即可.

【詳解】

逐一考查所給的選項(xiàng)：

A選項(xiàng)中，了=%包含坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）,5=1中不包含坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）,不是同條曲線：

B選項(xiàng)中的方程表示同一條曲線；

C選項(xiàng)中，|x|=lyl包含點(diǎn)（-2,-2）,五=4不包含點(diǎn)（-2,-2）,不是同一條曲線；

D選項(xiàng)中，y=x包含點(diǎn)（-1,-1）,y=中不包含坐標(biāo)原點(diǎn)（-1,-1）,不是同一條曲線.

故選：B.

4.若一系列的函數(shù)解析式相同，值域相同但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“李生函數(shù)”，那么函數(shù)的解析式

為y=值域?yàn)椋?,9｝的“攣生函數(shù)”共有()

A.12個(gè)B.10個(gè)C.9個(gè)D.8個(gè)

【答案】C

【分析】

列出滿足條件的函數(shù)的定義域，由此可得出結(jié)論.

【詳解】

滿足條件的函數(shù)的定義域?yàn)椋?,3｝、｛2,-3｝,｛-2,3｝、｛-2,-3｝,｛2-2-3｝,｛2,-2,3｝、｛2,-3,3｝、｛-2,-3,3｝、

｛-2,2-3,3｝,共9個(gè).

故選：C.

5.已知函數(shù)/(_+l)=2x+3.則〃2)的值為()

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，令；+1=2可得x的值，將x的值代入f(Ll)=2x+3,即可得答案.

XX

【詳解】

解：根據(jù)題意，函數(shù)/d+D=2x+3,若工+1=2,解可得x=l,

XX

將x=l代入f(_+l)=2x+3,可得"2)=5,

故選：B.

6.下列各組函數(shù)f(x)與g(x)的圖象相同的是()

A./(x)=Jx+3xJx-3與g(x)=\]x2-9

%2—4

B./(x)=-------與g(x)=x+2

x-2

c./(x)=l與g(x)=x°

D.〃力=國(guó)與=

I—A,A<U

【答案】D

【分析】若兩個(gè)函數(shù)圖象相同則是相等函數(shù)，分別求每個(gè)選項(xiàng)中兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可判斷

是否為相同函數(shù)，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

fx+3>0,、,.

【詳解】對(duì)于A：由1_3>0可得XN3,所以f(x)的定義域?yàn)閧x|x23},由爐-920可得：xN3或x4-3,

所以g(x)的定義域?yàn)閧x|x4-3或xZ3},定義域不同不是相等函數(shù)，函數(shù)圖象不相同，故選項(xiàng)A不正確；

對(duì)于B：/(》)=蘭二1的定義域?yàn)椴?#2},g(x)=x+2的定義域?yàn)镽,定義域不同不是相等函數(shù)，函數(shù)圖

x-2

象不相同，故選項(xiàng)B不正確；

對(duì)于C：F(x)=l的定義域?yàn)镽,g(x)=x°的定義域?yàn)閧X|XHO},定義域不同不是相等函數(shù)，函數(shù)圖象不相

同，故選項(xiàng)C不正確；

對(duì)于D：對(duì)/(x)=|乂去絕對(duì)值可得f(x)所以/(x)=g(x),所以〃x)=N與=

函數(shù)圖象相同，故選項(xiàng)D正確；故選：D.

7.下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x+l是相等函數(shù)的是()

A.y=(jx+l)B.y=\[j^+1C.y=—+\D.y=\[^+1

【答案】B

【分析】依次判斷各個(gè)選項(xiàng)的解析式和定義域是否和y=x+i相同，：者皆相同即為同一函數(shù)，由此得到結(jié)

果.

【詳解】y=x+i的定義域?yàn)镽：

對(duì)于A,y=(Jx+l)2定義域?yàn)閇T,+oo),與>=*+1定義域不同，不是同一函數(shù)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,y=#7+l=x+l，與丫=工+1定義域相同，解析式相同，是同一函數(shù)，B正確：

對(duì)于C,y=￡+l定義域?yàn)閧小片。},與定義域不同，不是同一函數(shù)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,y=77+l=|.r|+l=JV+1，-V-0與y=x+l解析式不同，不是同一函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：B.

[r+l,x<0

8.設(shè)集合M={x|()VxV2},N={y|0?y<2},那么下面的4個(gè)圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)

關(guān)系的有()

A.①②③④B.??③C.②③D.②

【答案】C

【分析】利用函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域判斷函數(shù)的圖象即可.

【詳解】對(duì)于①，函數(shù)圖象不滿足函數(shù)的定義域河={幻04》42},故錯(cuò)誤:

對(duì)丁?②，函數(shù)圖象滿足函數(shù)的定義域以及函數(shù)的值域，故正確；

時(shí)于③，函數(shù)圖象滿足函數(shù)的定義域以及函數(shù)的值域，故正確：

對(duì)于④，函數(shù)圖象不滿足函數(shù)的定義(任意的X,存在唯?實(shí)數(shù)/(X)與之對(duì)應(yīng))，故錯(cuò)誤；

故選：C.

9.在下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.f(x)=2x+\,xeN,g(x)=2x-l,xeNB./(X)=|A],g(x)=>/x?

C./(x)=(x+3),g(x)=x+3D./(x)=Vx-lVx+1,g(x)=7x2-l

【答案】B

【分析】判斷定義域以及對(duì)應(yīng)法則是否相同，即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，fM與g(x)的對(duì)應(yīng)法則不相同，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，〃x)與g(x)的定義域都為R,g(x)=J7=W，且對(duì)應(yīng)法則也相同，故B正確;

對(duì)于C項(xiàng)，/(x)的定義域?yàn)閧Rxwl},而g(x)的定義域?yàn)镽,故C錯(cuò)誤;

fx—1..0/、

對(duì)于D項(xiàng)，由x+10,解得xNl,由^^L.O,解得x..l或xW-l,即與g(x)的定義域不相同，故D

錯(cuò)誤；故選：B

片”的定義域是(

10.若函數(shù)y=/(x)的定義域是[0,8],則函數(shù)g(x)=)

?x-1

A.(1,32)B.(1,2)C.(1,32]D.(1,2]

【答案】D

【分析】根據(jù)/U)的定義域得到y(tǒng)(4x)中4x的取值范圍，進(jìn)而求得x的范圍，再結(jié)合以工)的分母的偶次方根

有意義的條件，得到其定義域.

f0<4x<8[0<x<2

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)的定義域是。8],所以八，??.,.」<xK2.故選：D.

[x-11>0[x>l1

11.已知函數(shù)f(2-x)=j4-f,則函數(shù)/(?)的定義域?yàn)?)

A.[0,^o)B.[0,16]C.[0,4]D.[0,2]

【答案】B

【分析】由已知可得y=〃2-x)的定義域即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,4],令《e[0,4],可得答案.

【詳解】由4-M.0,解得—2融2,即y=/(2-x)的定義域是[-2,2],則2-x小,4],即函數(shù)/(x)的定義

域?yàn)閇0,4],

令&e[0,4],解得xw[0,16],則函數(shù)>=/(?)的定義域?yàn)閇0,16].故選：B.

12.函數(shù)產(chǎn)八一*-；的值域是，)

【答案】B

【分析】根據(jù)，(x)=f、8(》)=!在》4-1上單調(diào)遞減，即可知y=f+工在二單調(diào)遞減，即可求值

域.

【詳解】由/(x)=x2、8。)=,在*4-!上都單調(diào)遞減，

x2

/?y=x2H—,在xV—上單調(diào)遞減，

x2

.?.當(dāng)X時(shí)，有如"=(一])2+萬(wàn)=一履所以值域?yàn)?oo]

；

2-2L4

故選：B.

題組B