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文檔簡介
第1課函數(shù)的概念
號目標(biāo)導(dǎo)航
課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀
理解函數(shù)的概念;了解函數(shù)的三要素;
掌握簡單函數(shù)的定義域;掌握求函數(shù)的值;通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),掌握函數(shù)概念及函數(shù)的三要
掌握區(qū)間的寫法.素,會判斷同一函數(shù),會求簡單函數(shù)的定義域及值域.
趣知識精講
3-3、
在'知識點01函數(shù)的概念
設(shè)A、8是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系力使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合3
中都有唯一確定的數(shù)/(%)和它對應(yīng),那么就稱/:Af3為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作
y=/(x),XGA.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值對應(yīng)的y值叫做函
數(shù)值,函數(shù)值的集合{/(x)|xe4}叫做函數(shù)的值域.顯然,值域是集合B的子集.
【微點撥】(1)“A,B是非空的數(shù)集”,一方面強調(diào)了A,B只能是數(shù)集,即A,B中的元素只能是實數(shù);
另一方面指出了定義域、值域都不能是空集,也就是說定義域為空集的函數(shù)是不存在的.
(2)理解函數(shù)的概念要注意函數(shù)的定義域是非空數(shù)集A,但函數(shù)的值域不一定是非空數(shù)集B,而是集合B
的子集.
(3)函數(shù)定義中強調(diào)“三性”:任意性、存在性、唯一性,即對于非空數(shù)集A中的任意一個(任意性)元素
x,在非空數(shù)集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y與之對應(yīng).
(4)函數(shù)符號“y=/(x)”是數(shù)學(xué)中抽象符號之一,"y=/(x)”僅為y是x的函數(shù)的數(shù)學(xué)表示,不表示y
等于/與x的乘積,/(X)也不一定是解析式,還可以是圖表或圖象.
【即學(xué)即練1】下列各圖中,不能表示y是x的函數(shù)的是()
【分析】選項B不滿足函數(shù)的定義,選項A、C、D滿足函數(shù)的定義,即得解.
【詳解】在A中,對每一個XWR,都有唯一的yw{y|yzo}與之對應(yīng),所以是函數(shù)關(guān)系;
在B中,存在*€卜,>。},有兩個y的值與之對應(yīng),所以不是函數(shù)關(guān)系;
在C,D中,對每一個xe(T?,O)(0,-KO),都有唯一的丫武,⑼=似+30)與之對應(yīng),所以都是函數(shù)關(guān)系.
故選:B.
【即學(xué)即練2]若函數(shù)(x)的定義域知=閔—2},值域為N={y|(QW2},則函數(shù)y=/(x)的圖象
可能是(
A.
【答案】B
【分析】利用函數(shù)的概念逐一判斷即可.
【詳解】A中定義域是3一2姿0},不是M={x|-2W爛2},C中圖象不表示函數(shù)關(guān)系,D中值域不是N=
{州*}.故選:B
7
晝'知識點02函數(shù)的構(gòu)成要素
由函數(shù)概念知,一個函數(shù)的構(gòu)成要素為定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決
定的,所以確定一個函數(shù)只需要兩個要素:定義域和對應(yīng)關(guān)系.
辨析/(x)與/(a)表示當(dāng)自變量x=a時函數(shù)/(x)的值,是一個常量,而/(x)是自變
量x的函數(shù),它是一個變量,/(a)是/(x)的一個特殊值.
【即學(xué)即練3】下列集合A到集合5的對應(yīng)/是函數(shù)的是()
A.4={-1,0,1},B={0,1},f:A中的數(shù)平方
B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的數(shù)開方
C.A=Z,B=Q,f:A中的數(shù)取倒數(shù)
D.A=R,B={正實數(shù)},/:A中的數(shù)取絕對值
【答案】A
【分析】利用函數(shù)的定義逐個分析判斷即可
【詳解】選項A中,集合4中的每一個元素平方后在集合8中有唯一的元素與其對應(yīng),所以選項A符合函
數(shù)定義,
選項B中,集合A中的元素1對應(yīng)集合8中的元素±1,不符合函數(shù)定義中一個自變量的值對應(yīng)唯一的函數(shù)
值的條件;
選項C中,集合A中的元素0取倒數(shù)沒有意義,也不符合函數(shù)定義中集合A中任意元素都對應(yīng)著唯一的函
數(shù)值的要求;
選項D中,集合A中的元素0在集合8中沒有元素與其對應(yīng),也不符合函數(shù)定義.
故選:A
【即學(xué)即練4]如圖所示,下列對應(yīng)法則,其中是函數(shù)的個數(shù)為()
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義逐一判斷即可得出答案.
【詳解】①②③這三個圖所示的對應(yīng)法則都符合函數(shù)的定義,即A中每一個元素在對應(yīng)法則下,在B中都
有唯一的元素與之對應(yīng),
對于④⑤,A的每一個元素在B中有2個元素與之對應(yīng),不是A到B的函數(shù),
對于⑥,A中的元素4、為在B中沒有元素與之對應(yīng),,不是A到B的函數(shù),
綜上可知,是函數(shù)的個數(shù)為3.故選:A.
【即學(xué)即練5】下列集合A、B及其對應(yīng)法則不能構(gòu)成函數(shù)的是()
A.A=B=R,/(x)=|x+l|
B.A=B=R,f(x)=一
x
C.A={1,2,3},B={4,5,6.7},f(x)=x+3
D.A={x|x>0},B={1},f(x)=x°
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷.
【詳解】易知B項中集合A中的0在集合8中沒有元素與之對應(yīng),則不能構(gòu)成函數(shù),
其他選項中對集合A中每一個元素,按對應(yīng)法則/,在8中都有唯一元素與它對應(yīng),是函數(shù).故選:B.
【即學(xué)即練6】下列對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的為.(填序號)
(1)X—/,xGR;
(2)x-y,其中y2=x,xW(0,+co),yGR-
產(chǎn)-4-1
(3)is,其中s=^~Ml.teR.
【答案】⑴(3)
【分析】利用函數(shù)的概念逐一判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】(1)根據(jù)函數(shù)的概念可得XT/,XGR為函數(shù).
(2)在(o,y)上任取上一個值%都有兩個V值對應(yīng),這與函數(shù)的概念矛盾,所以此對應(yīng)關(guān)系不是函數(shù).
(3)任意的fWR都有唯一的$值與之對應(yīng),符合函數(shù)的概念,故答案為:(1)(3)
'知識點03相等函數(shù)(同一函數(shù))
對于兩個函數(shù),只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都分別相同時,這兩個函數(shù)才相等,即是同一函數(shù).
【微點撥】(1)判斷兩個函數(shù)是相同函數(shù)的準(zhǔn)則是兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同.定義域、對應(yīng)
關(guān)系兩者中只要有一個不相同就不是相同函數(shù),即使定義域與值域都相同,也不一定是相同函數(shù).
(2)函數(shù)是兩個數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系,所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的.
(3)在化簡解析式時,必須是等價變形.
【即學(xué)即練7】下列各組函數(shù)中,表示同一個函數(shù)的是()
V2-1C
A.y=x-1^0y=-----B.y=x°和y=l
x+1
C.f(x)=(X—1)2和g(x)=(x+1)2D.f(x)=?和g(x)=(W)2
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系可逐項判斷可得答案.
【詳解】y=x-l的定義域為XGR,y=占二I的定義域為{X|XH-1},函數(shù)定義域不同,A錯誤;
X+1
y=x°的定義域為{xlxwO},y=l的定義域為xeR,函數(shù)定義域不同,B錯誤;
/(%)=(x-1)2和g(x)=(x+1)2的定義域都為xeR,但是兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同,故C錯誤;
f(x)=(五)的定義域為卜城>0},g(x)=[訐的定義域為{x|x>0},故D正確.故選:D.
金'知識點04區(qū)間及其表示
1.區(qū)間的概念
設(shè)小6是兩個實數(shù),而且。<從我們規(guī)定:
(1)滿足不等式aWxW。的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間,表示為[a,勿;
(2)滿足不等式的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間,表示為(a,b);
(3)滿足不等式或a<x4人的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間,分別表示為3,。)或(a,們.
其中實數(shù)“,b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點.我們可以在數(shù)軸上表示上述區(qū)間,為了區(qū)別開區(qū)間、閉區(qū)間的端點,
我們用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點,用空心點表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點.
定義名稱符號數(shù)軸表示
{x\a<x<b]閉區(qū)間[a,b]—1___1__
abx
{x\a<x<b}開區(qū)間(a,b)_1___1__
abx
{x\a<x<h}半開半閉區(qū)間[a,h)_1__1____
abx
{x\a<x<b}半開半閉區(qū)間(a,勿1_J__
abx
注意:區(qū)間符號里面的兩個字母(或數(shù)字)之間用“,”隔開.
2.無窮大的概念
實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(-8,+8),“8”讀作“無窮大”,“一8”讀作“負無窮大”,
“+8”讀作“正無窮大”.
把滿足的實數(shù)x的集合分別表示為[。,+8),(。,+8),(—oo,句,(ro,。).
【即學(xué)即練8】解下列不等式或不等式組并把解集在數(shù)軸上表示出來,解集用區(qū)間表示.
(1)5x+15>4x-13;
(3x-2<x+4
(2)一<?
[x+1>4x-5
【答案】(1)(-28,一),數(shù)軸見解析;(2)(9,2),數(shù)軸見解析
【分析】將不等式或不等式組直接求解出來,畫出數(shù)軸即可.
【詳解】
(1)由5x+15>4x-13解得x>—28,
故不等式的解集為(-28,+8),數(shù)軸表示如下:
3x—2<x+4
(2)由解得x<2,
x+1>4x-5
故不等式的解集為(f,2),數(shù)軸表示如下:
O2X
【即學(xué)即練9】設(shè)集合4=*|/一8》-20<0},8=[5,13),則。(AcB)=(用區(qū)間表示).
【答案】(―⑸[10,4^>)
【分析】根據(jù)不等式的解法,求得集合A,再結(jié)合集合的交集與補集的概念及運算,即可求解.
【詳解】由題意,集合4=3--8》-20<0}=3-2。<10},可得AcB=[5,10),
所以a(AcB)={x|x<5或x210}=(9,5)[10,止).故答案為:(—,5)口0,”).
口能力拓展
考法01
函數(shù)概念
判斷所給對應(yīng)是否是函數(shù),首先觀察兩個數(shù)集A,B是否非空;其次驗證對應(yīng)關(guān)系下,集合4中數(shù)x的
任意性和集合8中數(shù)y的唯一性(即不能沒有數(shù)y對應(yīng)數(shù)x,也不能有多于一個的數(shù)y對應(yīng)數(shù)x).
【典例1】已知A={X|X=〃2,neN},給出下列關(guān)系式:
①f(x)=x;②f(x)=f:?/(x)=x3;@/(x)=x4;⑤/(x)=/+l,其中能夠表示函數(shù)/:A—A的是
【答案】①②③④
【解析】對于⑤,當(dāng)x=l時,/+14A,故⑤錯誤,由函數(shù)定義可知①②③④均正確.
【溫馨提示】(1)函數(shù)的定義要求第一個數(shù)集A中的任何一個元素在第二個數(shù)集B中有且只有一個元素與之
對應(yīng),即可以“多對一”,不能"一對多”,而8中有可能存在與A中元素不對應(yīng)的元素.
(2)構(gòu)成函數(shù)的三要素中,定義域和對應(yīng)關(guān)系相同,則值域一定相同
考法02
同一函數(shù)
討論兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)時,要樹立“定義域優(yōu)先”的原則,若定義域相同,再化簡函數(shù)解析式,看
對應(yīng)關(guān)系是否相同.
注意:定義域、對應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個不相同就不是同一函數(shù).
【典例2】下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是()
A.〃x)=x+l與g(x)=£1^B"止忘7與8⑴川
X
c./(力=忖與g(x)=叱D"力=%與^(0=771
【答案】D
【解析】A.7(x)=x+l的定義域為R,8(力=土±二的定義域為{##0},定義域不同,不是同一函數(shù);
2
%
f(x}=9
的定義域為(0,+00),g(x)=x的定義域為R,定義域不同,不是同一函數(shù);
B.(可
X,〃為奇數(shù)
C./(x)=|x|,g(x)=yfx"=',解析式不同,不是同一函數(shù);
卜|,〃為偶數(shù)
D.f(A-)=x的定義域為R,g〃)=q±£=f的定義域為R,定義域和解析式都相同,是同一函數(shù).
t+\
故選D.
【名師點睛】本題考查函數(shù)的定義域,判斷兩函數(shù)是否為同一函數(shù)的方法:看定義域和解析式是否都相
同.解答本題時,通過求定義域,可以判斷選項A,B的兩函數(shù)都不是同一函數(shù),通過看解析式可以判
斷選項C的兩函數(shù)不是同一函數(shù),從而只能選D.
考法03
函數(shù)的定義域
(1)當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時,求函數(shù)的定義域就是求使解析式有意義的自變量的取值集合,求函數(shù)定
義域的一般方法有:
①分式的分母不為0;
②偶次根式的被開方數(shù)非負:
③y=要求xh0;
④當(dāng)一個函數(shù)由兩個或兩個以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時,定義域是使得各式子都有意義
的公共部分的集合;
⑤已知/(x)的定義域,求/[g(x)]的定義域,其實質(zhì)是由g(x)的取值范圍,求出x的取值范圍;
⑥已知yig*)]的定義域,求/(X)的定義域,其實質(zhì)是由x的取值范圍,求geo的取值范圍;
⑦由實際問題建立的函數(shù),還要符合實際問題的要求.
注意:定義域是一個集合,要用集合或區(qū)間表示,若用區(qū)間表示數(shù)集,不能用“或”連接,而應(yīng)該用并集
符號“U”連接.
(2)已知函數(shù)的定義域,逆向求解函數(shù)中參數(shù)的取值或取值范圍,需運用分類討論以及轉(zhuǎn)化與化歸的方
法,轉(zhuǎn)化為方程或不等式的解集問題,根據(jù)方程或不等式的解集情況來確定參數(shù)的值或取值范圍.這種
思想方法即通過某種轉(zhuǎn)化過程,將一個難以解決的問題轉(zhuǎn)化為一個已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題,
從而獲解.
【典例3】⑴函數(shù)k言的定義域是()
3
A.-,+ooB-(2,+oo)
C.(2,+o°)D.(-oo,2)(2,+oo)
(2)函數(shù)y=/(x)的定義域為[0,+8),則函數(shù)y=/(x+l)的定義域為()
A.[0,+oo)B.[-l,+oo)
C.(-l,+oo)D.[l,+oo)
(3)已知函數(shù)火x+1)的定義域為(一2,0),則x2x—1)的定義域為()
A.(-l,0)£|C.(0,l)D.(V,0)
【答案】(1)B(2)B(3)C
[2x-3>03
【解析】(1)要使原式有意義只需:4°八,解得XN,且XH2,
%-2。02
故函數(shù)的定義域為ja](2,+8).
故選B.
(2)_y=/(x)的定義域為[0,+oo).,y=/(x+l)需滿足x+120,
/.x>-l,,y=/(x+l)的定義域為[―1,+8).故選B.
(3)?.?函數(shù)yu+i)的定義域為(一2。),即一2V<0,則yu)的定義域為(一1,1),
由一1<統(tǒng)一1<1,得0y<l;../(2x-1)的定義域為(0,1).
【名師點睛】(1)求函數(shù)的定義域分兩類,一是實際問題中函數(shù)的定義域,由變量的實際意義確定:二是
一般函數(shù)的定義域,由使式子有意義的X的范圍確定,一般是列出不等式組求解.注意結(jié)果要寫成集合或
區(qū)間的形式.解答本題時,由題意,分子根號下的式子大于或等于零,分母不為零,據(jù)此列出關(guān)于X的不
等式組,求解即可.
(2)本題考查函數(shù)定義域的概念及求法,己知了(x)的定義域求/[g(x)]定義域的方法,其實質(zhì)是由8口)
的取值范圍,求出尤的取值范圍,是基礎(chǔ)題.解答本題時,根據(jù)/(X)的定義域即可得出了(X+1)需滿足:
x+l>0,從而得出y=/(x+l)的定義域.
(3)本題考查的是上題的升級版,是由xxx+l_?2%-1^^的過程.
【典例4]若函數(shù)〃尤)=/、三,’的定義域為/?,則實數(shù)上的取值范圍是__________.
'7kx+4Ax+3
【答案】0,皆
【分析】
分析可知,對任意的XWR,小+4fcc+3xO恒成立,分左=0、%片0兩種情況討論,結(jié)合已知條件可求得
實數(shù)人的取值范圍.
【詳解】
因為函數(shù)/力=W—的定義域為R,
所以,對任意的xeR,"2+4丘+3/0恒成立.
①當(dāng)女=0時,則有3r0,合乎題意:
②當(dāng)化40時,由題意可得4=1642-12左<0,解得0<k<g.
4
綜上所述,實數(shù)z的取值范圍是0?1
故答案為:0,|).
【即學(xué)即練10].函數(shù)/(幻=&3+(》+2)°的定義域是()
A.[-3,+oo)B.[-3,-2)
C.[-3,-2)j(-2,+?>)D.(-2,-wo)
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件,列出不等式關(guān)系計算即可
【詳解】要使函數(shù)有意義,則{::晚,
即(?。?,所以X13且x-2,
Ix^—z.
即函數(shù)的定義域為[-3,-2)(-2,4-03).
故選:C
【即學(xué)即練11]求下列函數(shù)的定義域:
3
(1)產(chǎn)2+口
(2)y=-j3-x?yjx—\;
(3)產(chǎn)(1)。+區(qū).
Vx+l
(\yjl—x-x2
(A4)>==
【答案】(1){xh¥2};(2){x|l<x<3}.(3){X|A->-1,且存1}.(4)[-l,O)u(O,l]
【分析】
(I)根據(jù)分母不為0,列式可求出;
(2)根據(jù)二次根式的被開方數(shù)大于等于0,列式可求出;
(3)根據(jù)底數(shù)不為0以及二次根式的被開方數(shù)大于等于0且分母不為0,列式可得出.
(4)根據(jù)偶次根式下被開方數(shù)非負以及分母不為零列方程組,解得結(jié)果.
【詳解】
3
(1)當(dāng)且僅當(dāng)x—2和,即存2時,函數(shù)y=2+—^有意義,所以這個函數(shù)的定義域為{x|j/2}.
x-2
f3-x>0
(2)函數(shù)有意義,當(dāng)且僅當(dāng)〈,八解得1SE3,所以這個函數(shù)的定義域為{x|14xM3}.
[x-l>0
X-1H0
(3)函數(shù)有意義,當(dāng)且僅當(dāng)[一,20解得x>-l,且/I,
X+1
x+1wO
所以這個函數(shù)的定義域為{4>—1,且4¥1}.
2—x—x2N0,
(4)函數(shù)的定義域由不等式組卜+120,確定
Tx+T-i^o
-2<x<1,
解不等式組,得.xN-l,.-.xe[-l,0)u(0,l].
所以函數(shù)丫=*一X一3的定義域為[-1,0)2(01].
Vx+1-l
【點睛】
本題考查具體函數(shù)的定義域,常見求定義域的情況有:分母不為0、底數(shù)不為0、二次根式的被開方數(shù)大于
等于0,注意定義域一定要寫成集合或者區(qū)間的形式.
【即學(xué)即練12】已知=的定義域為A,g(x)=J^+(x+2)°的定義域為8,求A「B.
【答案】[-3,-2)U[l,3)
【分析】
先根據(jù)定義域求出集合A與B,再求交集得結(jié)果.
【詳解】
QA-2+X-2>0/.X>15JCX^-2
QZ£16>O,X+2^O.---3<X<3,X*-2
3-x
所以AIB={x|x2l或x4-2}I{x|-3<x<3,x-2}=[-3,-2)U[l,3)
【點睛】
本題考查函數(shù)定義域以及交集運算,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.
考法04
求函數(shù)值或函數(shù)的值域
(1)函數(shù)求值即用數(shù)值或字母代替表達式中的X,而計算出對應(yīng)的函數(shù)值的過程.注意所代入的數(shù)值或
字母應(yīng)滿足函數(shù)的定義域要求.
求函數(shù)值應(yīng)遵循的原則:
①已知/(X)的表達式求/(a)時,只需用a替換表達式中的X.
②求/[/(a)]的值應(yīng)遵循由里往外的原則?
③用來替換表達式中x的數(shù)。必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值.
(2)求函數(shù)的值域,應(yīng)根據(jù)各個式子的不同結(jié)構(gòu)特點,選擇不同的方法:
①觀察法:對于一些比較簡單的函數(shù),其值域可通過觀察得到;
②配方法:此方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法,即通過配方把函數(shù)轉(zhuǎn)化為能直接看出其值域的方法.求
值域時一定要注意定義域的影響.如函數(shù)y=/-2x+3的值域與函數(shù)y=x2—2x+3,xw{x|0Vx<3}
的值域是不同的;
③分離常數(shù)法:此方法主要是針對有理分式,即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式,便于求值
域.分離常數(shù)的目的是為了減少“變量”,變換后x僅出現(xiàn)在分母上,這樣x對函數(shù)的影響就比較清晰
ex+d
了,將形如y=——(WO)的函數(shù)分離常數(shù),變形過程為:
ax-\-b
c卜、~be,be,be
cx+d_a(aX+)+a_ca.再結(jié)合工的取值范圍確定了的取值范圍,從而確定
ax+hax+baax+bax+b
函數(shù)的值域.;
④換元法:對于一些無理函數(shù)(如=-,通過換元把它們轉(zhuǎn)化為有理函數(shù),然后
利用有理函數(shù)求值域的方法,間接地求解原函數(shù)的值域.
在利用換元法求解函數(shù)的值域時,一定要注意換元后新元的取值范圍,否則會產(chǎn)生錯解.求新元的范圍,
要根據(jù)已知函數(shù)的定義域.
【典例5】已知〃#=二,則/⑴+/(2)+/1J+八3)+/圖+/(4)+《j=---------
1+X'1
【答案】47
2
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式代入即可求解.
【詳解】因為f(x)=^,所以/(力+/(1=:二+1^=二+3===1
1+X2]+,j"J"+1,+1
則,RM圖=;2」(八
〃3)+佃=,+(\|,f⑴4
所以/(I)+/(2)+嗎)+八3)+嗎)+/(4)+/C[)=]+i+i+i=5.故答案為:—.
【典例6】求下列函數(shù)的值域:
/、/\2x—1
(1)fU)=--;
X+1
(2)f(x)=x-Jx+l.
【答案】(1)(華,2)U(2,+8);(2),+8).
4
【解析】(1)因為/?(6=2(5+1)-3=2__L
所以/(x)#2,
x+1X+1
所以函數(shù)/(x)的值域為(-co,2)U(2,+oo).
(2)令Jx+1=f(r>0),則1=於_]所以產(chǎn)於_卜](20)
因為拋物線產(chǎn)5+1開口向上,對稱軸為直線u;e[0,+00),所以當(dāng)/=:時,y取得最小值為-《,無最
大值,所以函數(shù)/(》)的值域為[-2,+00).
4
【名師點睛】本題考查了函數(shù)值域的求法.(1)利用分離常數(shù)法可得值域:此方法主要是針對有理分式,
即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式,便于求值域.分離常數(shù)的目的是為了減少“變量”,變換后x僅
出現(xiàn)在分母上,這樣x對函數(shù)的影響就比較清晰了;
(2)利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解值域即可,對于一些無理函數(shù)(如/.(x)=ox±Zj±Jcx±d),
通過換元把它們轉(zhuǎn)化為有理函數(shù),然后利用有理函數(shù)求值域的方法,間接地求解原函數(shù)的值域.
【即學(xué)即練13】函數(shù)丫=工,工€[1,3)(3,5]的值域為.
X-J
【答案】(y,-gu/田)
【分析】
根據(jù)分式型函數(shù)的性質(zhì),知y=一二在(-?>,3)和(3,—)h:遞減,結(jié)合指定的定義域區(qū)間,即可求值域.
x-3
【詳解】
由函數(shù)解析式知:y=—1在(-,3)和(3,+8)上遞減,
x-3
;.xe[l,3)(3,5]時,函數(shù)值域為(T?,-g]5g,+oo).
故答案為:(-°°,—/]口弓,+°°).
【即學(xué)即練14]函數(shù)"X)=31-2x+4在(0,+8)上的值域為
X
【答案】副6-2,+?)
【分析】本題首先可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為/。)=3穴-2+24,然后根據(jù)基本不等式即可得出結(jié)果.
x
v2_7r+44
【詳解】/(x)=2A4=3X-2+-,
XX
因為x>0,所以f(x)=3x-2+3N2ji,-2=46-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=3叵時取等號,
x3
則函數(shù)/(x)=宜二|士在(0,一)上的值域為的印2,+?),故答案為:|4A/3-2,+?卜
【即學(xué)即練15】求下列函數(shù)的值域
_3+x
(1)~4-x;
5
(2)v=-----------
2X2-4X+3
(3)y=-2x-x;
x2+4x+3
(4)
(5)y=4-x/3+2x-x2;
(6)y=x+Jl-2+;
(7)y=(x-3+(5-x;
(8)y=J-f_6x_5
3x+l
(9)y二
x—2
/1八、2x2—x+\I
(IO)y=--------(x>-).
2x-12
【答案】⑴;(2)(0,5];(3)(4){y|"l且"|■卜(5)[2,4];⑹(-oo,l];
(7)[V2,2]:(8)[0,2];(9)(-8,3)(3,+00);(10)及+3,+8).
【分析】
(I)先分離常數(shù),利用分式函數(shù)有意義直接得到值域即可;
(2)直接利用二次函數(shù)性質(zhì)求分母取值范圍,再求),的取值范圍即得結(jié)果;
(3)先求定義域,再利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)取值范圍即可;
(4)變形得y=1+—、,(xx-3),即可得解;
(5)利用二次函數(shù)的單調(diào)性逐步求值域即可;
(6)令t=,則%=上二匕,將.函數(shù)變形為y=-Il+,+_L,rNO,利用二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得;
222
(7)求出函數(shù)定義域,>=&。+百工平方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求值域即可;
(8)直接利用二次函數(shù)的單調(diào)性逐步求值域即可;
(9)先分離常數(shù),利用分式函數(shù)有意義直接得到值域即可;
(10)先進行換元t=2x-l>0,再利用對勾函數(shù)單調(diào)性求解值域即可.
【詳解】
7
解:⑴分式函數(shù)"三=一>7^4
定義域為{X|XH4},故工#0,所有y*T,
故值域為(F,-1)U(T,+O:
(2)函數(shù)y=—-------中,分母1=2/-4x+3=2(x-l)-+121,
2/-4x+3'7
則y=:e(0,5],故值域為(0,5];
(3)函數(shù)y=^/^7-》中,令l—2x40得
易見函數(shù)丫="^和丁=一%都是減函數(shù),
故函數(shù)y=Jl-2x-x在x42時是遞減的,故x=1時ymi?=——>
故值域為一],+00}
,4、x2+4x+3x+1.3/
⑷-----=--=i+—,
x+x—6x—2x-2
故值域為{y|y#1且y.|■卜
(5)y=4-73+2%-X2=4--J-(x-l)2+4,1,3]
ffi]0<-(x-l)24-4<4,XG[(),4],
/.0<7-U-l)2+4<2,,\4-2<4-7-(A:-1)24-4<4-0,
即2S”4,故值域為[2,4];
(6)函數(shù)y=妥+Jl—2x,定義域為卜8,;,令才=J1-2x=0,
]—產(chǎn)]—產(chǎn)產(chǎn)1
所以x=U,所以y==+z=-L+,+L,f20,對稱軸方程為f=l,
2222
所以t=l時,函數(shù)Knx=-g+l+g=l,故值域為(TO』]:
fx-3>0
(7)由題意得<、八,解得3W,
[5-x>0
則丁=2+2j(x-3)(5-x)=2+2yj-(x-4f+\,3<x<5,
22
故-(x-4)2+le[0,l],2>/-(X-4)+1e[0,2],.-.2<y<4,
由y的非負性知,72<J<2,故函數(shù)的值域為[3,2];
(8)函數(shù)y=J-f_6x_5=J_(x+3y+4,定義域為[-5,—1],-(犬+3丫+4e[0,4],故
y=7-(x+3)2+4e[0,2].即值域為[0,2]:
(9)函數(shù)>=托=3+6,定義域為{x|x*21
故’5*。,所有)芹3,故值域為(-8,3)(3,+00);
X—L
2x2—x+1(2x—1)+(2x-1)+21
(10)函數(shù)
y=2x-l2(21)-2
人山1心If
令,=2x-l,則?由知,r>0,y=-lr+y2}I+-i,
根據(jù)對勾函數(shù)在(o,V^遞減,在[五,”)遞增,
可知f=時,為加=gx2j5+;=J5+g,故值域為&+J,+8
【點睛】
方法點睛:
求函數(shù)值域常見方法:
(1)單調(diào)性法:判斷函數(shù)單調(diào)性,利用單調(diào)性求值域(包括常見一次函數(shù)、二次函數(shù)、分式函數(shù)、對勾函
數(shù)等);
(2)換元法:將復(fù)雜函數(shù)通過換元法轉(zhuǎn)化到常見函數(shù)上,結(jié)合圖象和單調(diào)性求解值域;
(3)判別式法:分式函數(shù)分子分母的最高次幕為二次時,可整理成關(guān)于函數(shù)值y的二次方程,方程有解,
判別式大于等于零,即解得y的取值范圍,得到值域.
fii分層提分
題組A基礎(chǔ)過關(guān)練
I.用列表法將函數(shù)y=/(x)表示如下:
X0
y0
則〃0)=()
A.0B.1C.2D.3
【答案】A
【分析】由表格可得答案.
【詳解】由表格可得/(。)=0,故選:A.
2.下列圖象中,表示函數(shù)關(guān)系y=/(x)的是()
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可:
【詳解】對于A、B、C,圖象中均存在一個尤與多個y對應(yīng)的情況,故A、B、C都不滿足函數(shù)關(guān)系,
對于D:對于定義域內(nèi)任意x都有且只有一個〉與其相對應(yīng),故D是函數(shù)關(guān)系;故選:D
3,下列各組方程中表示相同曲線的是()
A.—=1B.|x|=|y|,x2-y2
x
C.|x|=lyl,Vx=77D.1,y=G
【答案】B
【分析】結(jié)合所給的解析式逐一考查所給的曲線是否相同即可.
【詳解】
逐一考查所給的選項:
A選項中,了=%包含坐標(biāo)原點(0,0),5=1中不包含坐標(biāo)原點(0,0),不是同條曲線:
B選項中的方程表示同一條曲線;
C選項中,|x|=lyl包含點(-2,-2),五=4不包含點(-2,-2),不是同一條曲線;
D選項中,y=x包含點(-1,-1),y=中不包含坐標(biāo)原點(-1,-1),不是同一條曲線.
故選:B.
4.若一系列的函數(shù)解析式相同,值域相同但定義域不同,則稱這些函數(shù)為“李生函數(shù)”,那么函數(shù)的解析式
為y=值域為{4,9}的“攣生函數(shù)”共有()
A.12個B.10個C.9個D.8個
【答案】C
【分析】
列出滿足條件的函數(shù)的定義域,由此可得出結(jié)論.
【詳解】
滿足條件的函數(shù)的定義域為{2,3}、{2,-3},{-2,3}、{-2,-3},{2-2-3},{2,-2,3}、{2,-3,3}、{-2,-3,3}、
{-2,2-3,3},共9個.
故選:C.
5.已知函數(shù)/(_+l)=2x+3.則〃2)的值為()
A.6B.5C.4D.3
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意,令;+1=2可得x的值,將x的值代入f(Ll)=2x+3,即可得答案.
XX
【詳解】
解:根據(jù)題意,函數(shù)/d+D=2x+3,若工+1=2,解可得x=l,
XX
將x=l代入f(_+l)=2x+3,可得"2)=5,
故選:B.
6.下列各組函數(shù)f(x)與g(x)的圖象相同的是()
A./(x)=Jx+3xJx-3與g(x)=\]x2-9
%2—4
B./(x)=-------與g(x)=x+2
x-2
c./(x)=l與g(x)=x°
D.〃力=國與=
I—A,A<U
【答案】D
【分析】若兩個函數(shù)圖象相同則是相等函數(shù),分別求每個選項中兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系,即可判斷
是否為相同函數(shù),進而可得正確選項.
fx+3>0,、,.
【詳解】對于A:由1_3>0可得XN3,所以f(x)的定義域為{x|x23},由爐-920可得:xN3或x4-3,
所以g(x)的定義域為{x|x4-3或xZ3},定義域不同不是相等函數(shù),函數(shù)圖象不相同,故選項A不正確;
對于B:/(》)=蘭二1的定義域為卜"#2},g(x)=x+2的定義域為R,定義域不同不是相等函數(shù),函數(shù)圖
x-2
象不相同,故選項B不正確;
對于C:F(x)=l的定義域為R,g(x)=x°的定義域為{X|XHO},定義域不同不是相等函數(shù),函數(shù)圖象不相
同,故選項C不正確;
對于D:對/(x)=|乂去絕對值可得f(x)所以/(x)=g(x),所以〃x)=N與=
函數(shù)圖象相同,故選項D正確;故選:D.
7.下列函數(shù)中,與函數(shù)y=x+l是相等函數(shù)的是()
A.y=(jx+l)B.y=\[j^+1C.y=—+\D.y=\[^+1
【答案】B
【分析】依次判斷各個選項的解析式和定義域是否和y=x+i相同,:者皆相同即為同一函數(shù),由此得到結(jié)
果.
【詳解】y=x+i的定義域為R:
對于A,y=(Jx+l)2定義域為[T,+oo),與>=*+1定義域不同,不是同一函數(shù),A錯誤;
對于B,y=#7+l=x+l,與丫=工+1定義域相同,解析式相同,是同一函數(shù),B正確:
對于C,y=£+l定義域為{小片。},與定義域不同,不是同一函數(shù),C錯誤;
對于D,y=77+l=|.r|+l=JV+1,-V-0與y=x+l解析式不同,不是同一函數(shù),D錯誤.故選:B.
[r+l,x<0
8.設(shè)集合M={x|()VxV2},N={y|0?y<2},那么下面的4個圖形中,能表示集合M到集合N的函數(shù)
關(guān)系的有()
A.①②③④B.??③C.②③D.②
【答案】C
【分析】利用函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域判斷函數(shù)的圖象即可.
【詳解】對于①,函數(shù)圖象不滿足函數(shù)的定義域河={幻04》42},故錯誤:
對丁?②,函數(shù)圖象滿足函數(shù)的定義域以及函數(shù)的值域,故正確;
時于③,函數(shù)圖象滿足函數(shù)的定義域以及函數(shù)的值域,故正確:
對于④,函數(shù)圖象不滿足函數(shù)的定義(任意的X,存在唯?實數(shù)/(X)與之對應(yīng)),故錯誤;
故選:C.
9.在下列四組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是()
A.f(x)=2x+\,xeN,g(x)=2x-l,xeNB./(X)=|A],g(x)=>/x?
C./(x)=(x+3),g(x)=x+3D./(x)=Vx-lVx+1,g(x)=7x2-l
【答案】B
【分析】判斷定義域以及對應(yīng)法則是否相同,即可得出答案.
【詳解】對于A項,fM與g(x)的對應(yīng)法則不相同,故A錯誤;
對于B項,〃x)與g(x)的定義域都為R,g(x)=J7=W,且對應(yīng)法則也相同,故B正確;
對于C項,/(x)的定義域為{Rxwl},而g(x)的定義域為R,故C錯誤;
fx—1..0/、
對于D項,由x+10,解得xNl,由^^L.O,解得x..l或xW-l,即與g(x)的定義域不相同,故D
錯誤;故選:B
片”的定義域是(
10.若函數(shù)y=/(x)的定義域是[0,8],則函數(shù)g(x)=)
?x-1
A.(1,32)B.(1,2)C.(1,32]D.(1,2]
【答案】D
【分析】根據(jù)/U)的定義域得到y(tǒng)(4x)中4x的取值范圍,進而求得x的范圍,再結(jié)合以工)的分母的偶次方根
有意義的條件,得到其定義域.
f0<4x<8[0<x<2
【詳解】因為函數(shù)y=/(x)的定義域是。8],所以八,??.,.」<xK2.故選:D.
[x-11>0[x>l1
11.已知函數(shù)f(2-x)=j4-f,則函數(shù)/(?)的定義域為()
A.[0,^o)B.[0,16]C.[0,4]D.[0,2]
【答案】B
【分析】由已知可得y=〃2-x)的定義域即函數(shù)f(x)的定義域為[0,4],令《e[0,4],可得答案.
【詳解】由4-M.0,解得—2融2,即y=/(2-x)的定義域是[-2,2],則2-x小,4],即函數(shù)/(x)的定義
域為[0,4],
令&e[0,4],解得xw[0,16],則函數(shù)>=/(?)的定義域為[0,16].故選:B.
12.函數(shù)產(chǎn)八一*-;的值域是,)
【答案】B
【分析】根據(jù),(x)=f、8(》)=!在》4-1上單調(diào)遞減,即可知y=f+工在二單調(diào)遞減,即可求值
域.
【詳解】由/(x)=x2、8。)=,在*4-!上都單調(diào)遞減,
x2
/?y=x2H—,在xV—上單調(diào)遞減,
x2
.?.當(dāng)X時,有如"=(一])2+萬=一履所以值域為+oo]
;
2-2L4
故選:B.
題組B
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