2023-2024學年吉林省長春市新區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年吉林省長春市新區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.若使二次根式始』在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，貝卜的取值范圍是（）

A.%>2B.%>2C.x<2D.%<2

2.用配方法解方程——6%+7=0,配方后的方程是（）

C.4

D1

4.如圖，在綜合實踐活動中，小明在學校門口的點C處測得樹的頂端Z仰角為37。，同時測得BC=20米,

則樹的高（單位：米）為（）

r20

A.20tcm37。B.喜Jsin37'D.20s譏37°

5.a是方程/+%—1=。的一個根，則代數(shù)式2021-2a2-2a的值是（）

A.2019B.2021C.2022D.2023

6.已知點（一441）、（一1,%）、（2,%）都在函數(shù)丫=一/+5的圖象上，則y1、丫2、%的大小關(guān)系為（）

A.yi>y2>y3B.為>光>為C.%>為>%D.%>%>為

7.在AACB中，2LABC=90°,用直尺和圓規(guī)在4C上確定點D,使ABADjCBD,根據(jù)作圖痕跡判斷，正

確的是（）

8.如圖，在平行四邊形4BCD中，E為CD上一點,DE：CE=2：3,連結(jié)4E,

BD交于點尸，若ADEF的面積為4,則四邊形CEFB的面積等于（）

A.50B.35C.31D.20

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

9.如圖，△4BC與ADEF位似，點。為位似中心，若DF：AC=1：3,則

OE：OB=.

10.如果關(guān)于x的一元二次方程n2+2x+m=0有兩個同號實數(shù)根，則小的取值范圍是

11.將拋物線y=--向右平移2個單位所得函數(shù)解析式為

12.二次函數(shù)y=——比—2的圖象如圖所示，則函數(shù)值y20時，x的取值范圍是

13.攔水壩橫斷面如圖所示，迎水坡4B的坡比是1：，1，壩高BC=10m,則坡面B

AB的長度是m.

X

14.如圖，同學們在操場上玩跳大繩游戲，繩甩到最高處時的形狀是拋物線型，搖繩的甲、乙兩名同學拿

繩的手的間距為6米，至IJ地面的距離力。與BD均為0.9米，繩子甩到最高點C處時，最高點距地面的垂直距離

為1.8米.身高為1.4米的小吉站在距點。水平距離為機米處，若他能夠正常跳大繩（繩子甩到最高時超過他的

頭頂），則機的取值范圍是.

三、解答題：本題共10小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題6分）

計算：2cos30°—tan600+sin45°cos45°.

16.（本小題6分）

2023年第19屆亞運會在杭州舉辦.小蔡作為亞運會的志愿者“小青荷”為大家提供咨詢服務(wù).現(xiàn)有如圖所示

“杭州亞運會吉祥物”的三盒盲盒供小蔡選擇，分別記為4B,C.小蔡從中隨機抽取兩盒.請用列表或畫樹

狀圖的方法，求小蔡抽到的兩盒吉祥物恰好是4和C的概率.

BAC

17.（本小題6分）

每當秋冬季節(jié)交替的時間，感冒藥品的銷量就會大幅增長，藥店利潤也有所提高，某藥店九月份的銷售利

潤是5000元，而十一月份的銷售利潤為11250元，求該藥店利潤平均每月的增長率.

18.（本小題7分）

在中，ABAC=90°,4。是斜邊BC上的高.

⑴證明：AABDfCBA；

(2)若力B=6,BC=10,求BD的長.

19.(本小題7分)

圖①、圖②、圖③均是6x6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上.只

用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡.

(1)在圖①中，畫出△A8C中BC邊上的中線4D.

(2)在圖②中，在AC邊上找到一點E,連結(jié)BE,使SAME：S^BCE=2：3.

(3)在圖③中，在4B邊上找到一點F,連結(jié)CF,使tan乙4CF=*.

20.(本小題7分)

下表是某廠質(zhì)檢部門對該廠生產(chǎn)的一批排球質(zhì)量檢測的情況.

抽取的排球數(shù)描取格品數(shù)5001000150020003000

合格品數(shù)4719461425b2853

合格品頻率a0.9460.9500.9490.951

(1)求出表中a=,b=.

(2)從這批排球中任意抽取一個，是合格品的概率約是.(精確到0.01)

(3)如果生產(chǎn)25000個排球，那么估計該廠生產(chǎn)的排球合格的有多少個？

21.(本小題8分)

已知，拋物線y=/+2%-3與y軸交于點C,與x軸交于4B兩點，點4在點B左側(cè).

（1）直接寫出4、B、C三點的坐標；

（2）當-3<%<2時，求y的最大值與最小值之差.

22.（本小題9分）

【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版九年級上冊數(shù)學教材第77頁的部分內(nèi)容.

如圖，在AABC中，點。、E分別是4B與AC的中點，根據(jù)畫出的圖形，可以猜想:

1

DE//BC,S.DE=

對此，我們可以用演繹推理給出證明.（無需證明）

【感知】如圖①，在RtAABC中，/.ABC=90°,AB=BC=4,AD、CE是Rt△4BC的中線，M、N分另Ij

是4。和CE的中點，求MN的長；

【應用】如圖②，在RtAABC中，D、E分另U是4B、4C的中點，連接DE,將△4DE繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)一定

的角度磯0。<。<4艮4。），連接BD、CE,若需=$則徑=；

【拓展】如圖③，在等邊AABC中，D是射線BC上一動點（點。在點C右側(cè)），連接4D,把線段CD繞點。逆

時針旋轉(zhuǎn)120。得到線段DE,連接BE,F是BE中點，連接DF、CF,若力B=8,CF=^CD,則CF=

23.（本小題10分）

如圖，在口2BCD中，AD=10,AB=8,BD14B,點P從點4出發(fā)，沿折線4B-BC以每秒2個單位長度的

速度向終點C運動（點P不與點4B、C重合）在點P的運動過程中，過點P作力8所在直線的垂線，交邊4?；?/p>

邊CD于點Q,以PQ為一邊作矩形PQMN,且QM=4,MN與BD在PQ的同側(cè).設(shè)點P的運動時間為t（秒）.

（I）tan4的值為.

(2)直接寫出線段BP的長.(用含t的代數(shù)式表示)

⑶當ABDQ的面積等于6時，求t的值.

(4)連接BQ,當BQ將矩形PQMN分成的兩部分的面積比為1：7時，直接寫出t的值.

24.(本小題12分)

如圖①，在平面直角坐標系內(nèi)，拋物線與x軸交于。、8兩點，與直線y=交于。、C兩點，且拋物線的

頂點a的坐標為(4,4).

(1)直接寫出點8的坐標；AAOB的形狀為：；

(2)求拋物線的解析式；

(3)如圖②，點r(t,O)是線段0B上的一個動點，過點r作y軸的平行線交直線y=gx于點D,交拋物線于點

E,以DE為一邊,在0E的右側(cè)作矩形OEFG,且DG=2.

①當矩形DEFG的面積隨著t的增大而增大時，求t的取值范圍；

②當矩形DEFG與AAOB有重疊且重疊部分為軸對稱圖形時，直接寫出t的取值范圍.

im)

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：???二次根式次口在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

%—2>0,

解得%>2.

故選：A.

先根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于％的不等式，求出工的取值范圍即可.

本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】C

【解析1解：??,x2—6%+7=0,

???x2—6x=—7,

貝收2-6%+9=—7+9,即（久一3）2=2,

故選：C.

移項后兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方即可.

本題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵.

3.【答案】D

【解析】W：,?4a//b//c9

???AB：BC=DE：EF,

vAB=2,BC=3,DE=3,

???2：3=3：EF,

9

??.EF=

故選：D.

由平行線分線段成比例定理得到/B：BC=DE：EF,代入有關(guān)數(shù)據(jù)即可求出尸E的長.

本題考查平行線分線段成比例，關(guān)鍵是由平行線分線段成比例得到AB：BC=DE：EF.

4.【答案】A

【解析】解：如圖，在直角中，Z.B=90°,Z.C=37°,BC=20m,

???tanC=笑,

貝!JZB=BC?tanC=20ttm37°.

故選：A.

通過解直角△ABC可以求得力B的長度.

本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題.解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知

相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，當問題以一個實

際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決.

5.【答案】A

【解析】解：：a是方程/+x+l=。的一個根，

a2+a-1=0,

a2+a=1,

.-.2021-2a2-2a=2021-2(a2+a)=2021-2x1=2019.

故選：A.

先根據(jù)一元二次方程的定義得到a?+a-1=0,再把2021-2a2-2a=2021-2(a2+a),然后利用整

體代入的方法計算.

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.

6.【答案】C

【解析】解：——+5,

???函數(shù)圖象的對稱軸是y軸，圖象的開口向下，

.,.當x<0時，y隨刀的增大而增大，

???點(2,%)關(guān)于對稱軸的對稱點的坐標是(一2,%)，且一4<-2<-1,

???y2>y3>7v

故選：C.

根據(jù)函數(shù)的解析式求出函數(shù)圖象的對稱軸是y軸，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出圖象的開口向下，當x<0時，y隨X

的增大而增大，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性即可得到.

本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點，解題的關(guān)鍵是能熟記二次函

數(shù)的性質(zhì).

7.【答案】C

【解析】解：當BD是4C的垂線時，ABADfCBD.

■■■BD1AC,

4ADB=4CDB=90°,

???/.ABC=90°,

???Z-A+乙ABD=乙ABD+乙CBD=90°,

???Z.A=Z-CBD,

BAD~ACBD.

根據(jù)作圖痕跡可知，

a選項中，BD是N48C的平分線，不與AC垂直，不符合題意；

B選項中，BD是AC邊上的中線，不與AC垂直，不符合題意；

C選項中，BD是4C的垂線，符合題意；

D選項中，AB=AD,BD不與4C垂直，不符合題意.

故選：C.

若△BADfCBD,可得N4DB=N8DC=90。，即BO是AC的垂線，根據(jù)作圖痕跡判斷即可.

本題考查尺規(guī)作圖、相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解答本題的關(guān)鍵.

8.【答案】C

【解析】解:如圖，???四邊形48C。是平行四邊形，

DC//AB,CD=AB.

DFE~>BFA,

SMEF：S"AF=DE?：AB2,煞=器，

DE：EC=2：3,

???DE：DC=DE：AB=2：5,

S^DEF：S^ABF=4：25,

???△DEF的面積為4,

S^ABF=25,

???△DEF和A/W尸的高相等，且笑=|，

AF5

???SfQF=|sADEF=|x4=10,

?4?S^ABD=^^BAF+^^ADF=25+10=35,

S^BCD=35,

???四邊形EFBC的面積=SABCD-SADEF=35-4=31,

故選：C.

根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，得到48=CD,AB//CD,再根據(jù)DE：EC=2：3從而得到0&AB=2：5,證明

△DEFMBAF,得到整=普=|,根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，得到S?F=25,然后根

據(jù)△DEF和△4。尸的高相等，得到S-DF=10,從而求出SABCD=SA4BD=35,即可求出四邊形EFBC的面

積.

本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟知相似三角形邊長的比等于相似比，面積

的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵.

9.【答案】1：3

【解析】解：???△ABC與ADEF位似，點。為位似中心，若DF：AC=1：3,

.?△ABCFDEF,EF]]BC,

EF；BC=DF：AC=1：3,

OE；OB=EF：BC=1：3,

故答案為：1：3.

利用位似變換的性質(zhì)解決問題即可.

本題考查位似變換，解題的關(guān)鍵是理解位似變換的性質(zhì)，靈活運用所學知識解決問題.

10.【答案】0<znWl

【解析】解：根據(jù)題意得4=2?-4mN0,解得mWl,

設(shè)方程兩根分別為%2>而刀1+x2=-2<0,則久=m>0,

所以m的取值范圍為0<mW1.

故答案為0<aWL

根據(jù)根的判別式的意義得到4=22-46NO,解得mWl,設(shè)方程兩根分別為%2，由于%+工2=

-2<0,而方程有兩個同號實數(shù)根，所以于是可得到根的取值范圍.

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若X],%2是一元二次方程a-+6久+c=0(a40)的兩根時，x1+x2—

與4=￡也考查了根的判別式.

aa

11.【答案】y=-(x-2)2

【解析】解：將拋物線y=--向右平移2個單位所得函數(shù)解析式為y=一(久一2產(chǎn).

故答案為：y=-(%—2)2.

根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律“左加右減”即可得出答案.

本題考查了二次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.

12.【答案】x<—1或久>2

【解析】解：由/-久一2=0可得，X]=—1,x2=2,

觀察函數(shù)圖象可知，當或時，函數(shù)值y20.

故答案為：久《一1或XN2.

根據(jù)函數(shù)圖象求出與x軸的交點坐標，再由圖象得出答案.

本題考查拋物線與x軸的交點，正確利用數(shù)形結(jié)合進行解答是解題關(guān)鍵.

13.【答案】20

【解析】解：???迎水坡4B的坡比是1：，百，壩高BC=l(hn,

BC_10_J_

',標=而=7T

解得：AC=10<3,

則48=y/BC2+AC2=20m.

故答案為：20.

利用坡比的定義得出4C的長，進而利用勾股定理求出4B的長.

此題主要考查了解直角三角形的應用，正確利用坡比的定義求出AC的長是解題關(guān)鍵.

14.【答案】l<m<5

【解析】解：如圖，

由題意可知C(3,1.8),

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-3產(chǎn)+1.8,

把4(0,0.9)代入y=aQ—3)2+1.8,得

a=-0.1,

???所求的拋物線的解析式是y=-0.1(%-3)2+1.8,

當y=1.4時，-0.1(x-3)2+1.8=1.4,

解得=1,久2=5，

二則m的取值范圍是1<zn<5.

故答案為：1〈爪<5.

以4。所在直線為y軸，以地面所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，選定拋物線上兩點C(3,1.8),

4(0,0.9)解答即可.

本題考查了二次函數(shù)的應用及坐標的求法，此題為數(shù)學建模題，解答本題的關(guān)鍵是注意審題，將實際問題

轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，培養(yǎng)自己利用數(shù)學知識解答實際問題的能力.

15.【答案】解：2cos30°—tan60°+sin45°cos45°

=2x--V3+—x—

=+|

_1

一2'

【解析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可.

本題考查的是特殊角是三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

16.【答案】解：畫樹狀圖如下：

開始

ABC

Z\/\zA

BCACAB

共有6種等可能的結(jié)果，其中小蔡抽到的兩盒吉祥物恰好是a和。的結(jié)果有2種，

???小蔡抽到的兩盒吉祥物恰好是a和c的概率為|=i

O3

【解析】畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小蔡抽到的兩盒吉祥物恰好是力和c的結(jié)果數(shù)，再利用概率

公式可得出答案.

本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵.

17.【答案】解：設(shè)該藥店利潤平均每月的增長率為x,

依題意得：5000(1+%)2=11250,

整理得：(1+X)2=2.25,

解得：%1=0.5=50%,%2=-2.5(不合題意，舍去).

答：該藥店利潤平均每月的增長率為50%.

【解析】設(shè)該藥店利潤平均每月的增長率為x,根據(jù)某藥店九月份的銷售利潤是5000元，而十一月份的銷

售利潤為11250元，列出一元二次方程，解之取其正值即可.

本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】(1)證明：???ZD是斜邊BC上的高，

???Z.BDA=90°,

???^BAC=90°,

???Z-BDA=Z-BAC,

又???AB為公共角，

.-.△XBD-ACBA-,

(2)解：由(1)知△ABDsACB4

.BD_BA

??—,

BABC

,BD_6

=?

610

BD=3.6.

【解析】(1)根據(jù)已知條件得出NBD4=N8AC,又4B為公共角,于是得出△ABOsACBA

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出BD的長.

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知有兩個角相等的兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】解：(1)如圖①，4D即為所求.

(2)如圖②，取格點M,N,使4M=2,CN=3,AM//CN,連接MN交力C于點E,連接BE,

貝必AEMyCEN,

.AE_AM_2

：，~CE=~CN=3,

S^ABE：S^BCE=2：3，

則點E即為所求.

(3)如圖③，取格點G,使AC=AG,ACLAG,取/G與網(wǎng)格線的交點H,

則竺=i,

~GH3

即竺=絲一

1AGAC4

連接CH交于點F,

1

???tan乙4CF/,

則點尸即為所求.

圖①圖②圖③

【解析】(1)取BC的中點0,連接AD即可.

(2)取格點M,N,使4M=2,CN=3,AM//CN,連接MN交AC于點E,則點E即為所求.

(3)取格點G,使4C=4G,AC1AG,取力G與網(wǎng)格線的交點“，連接CH交48于點尸，則點F即為所求.

本題考查作圖一應用與設(shè)計作圖、三角形的中線、解直角三角形等知識，熟練掌握相關(guān)知識點是解答本題

的關(guān)鍵.

20.【答案】0.94218980.95

【解析】解：(1)4714-500=0.942,2000X0.949=1898.

故答案為：0.942,1898；

(2)由題意知，從這批排球中任意抽取一個是合格品的概率估計值是0.95；

故答案為：0.95；

(3)25000X0.95=23750(個).

答：估計該廠生產(chǎn)的排球合格的有23750個.

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算即可；

(2)利用頻數(shù)估算出概率即可；

(3)根據(jù)概率計算即可.

本題考查的是利用頻率估計概率，熟知當實驗的所有可能結(jié)果不是有限個或結(jié)果個數(shù)很多，或各種可能結(jié)

果發(fā)生的可能性不相等時，一般通過統(tǒng)計頻率來估計概率是解題的關(guān)鍵.

21.【答案】解：(1)當比=0時，y=—3,

■-.C(0,-3),

當y=0時，x2+2x—3=0,

解得：x1——3,x2—1>

A(-3,0),S(l,0)；

(2)y=x2+2x—3=(x+I)2-4,

,??拋物線的對稱軸為直線x=-1,開口向上，

.??在一3WxW2范圍當x=-1時，y最小值=一4；

當％=2時，y最大值=5,

y的最大值與最小值之差為9.

【解析】（1）令x=0,y=0列式求解即可得到答案；

（2）得到的解析式頂點式后，結(jié)合-3WXW2,可得當％=-1時y有最小值，當x=2時y有最大值，再計算

可以得解.

本題主要考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的最值，解題時需要熟練

掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.【答案】?4或2

【解析】解：【感知】如圖①，設(shè)AC、CE交于點G,連接DE,

???/-ABC=90°,AB=BC=4,V\

???AC=VAB2+BC2=V42+42=4V~2，

???AD、CE是Rt△ABC的中線，B---------~

Uv

.?.￡）、E分別為CB、48的中點，圖①'

DEIIAC,DE=|XC=2。

DGE~〉A(chǔ)GC,

.DG__EG__DE__1

"AG~'CG~AC~2"

11

??.DG=^AD,EG=：CE,

???M、N分別是AO和CE的中點，

1i

DM=%D，EN=^CE,

illiii

MG=^AD-^AD=yAD,NG=：CE—：CE=}CE,

.MG___1NG_lCE_1

?，=P^=2''EG=^E=29

MGNGJI#Z-?RTV\

V—=—,么MGN=LDGE,

DGEG

MGN~ADGE,

.MN_MG_1

''~DE~~DG~2"

：.MN=^DE=y[2,

??.MN的長是，2

【應用】如圖②，?噌=,

BC=2AB,

???AABC=90°,

AC=<AB2+BC2=y/AB2+(2/4B)2=岳AB,

,,,—AB--,

AC5

11

vAD=^AB,AE=^AC,

.絲_絲—工

??屈―前一2'

tAD_AB_

'?AE=~AC9

由旋轉(zhuǎn)得上BAD=ACAE=a,

??.△ABD?△ACE,

.—BD—_—AB=_/—5,

CEAC5

故答案為：g

【拓展】如圖③，CF//DE,

???△/8C是等邊三角形，AB=8,

BC=AB=8,

???F是BE中點，

??.FE=BF,

CDFEV

——1,

BCBF

???CD=BC=8,

1

??.CF=^CD=4；

如圖④，CF與DE不平行，作GE〃CF交BD的延長線于點G,

,,CG_FE_

BCBF

CG=BC=8,

1

??.CF=^GE,

由旋轉(zhuǎn)得DE=CD,/,CDE=120°,

CF=^CD=1DE,4EDG=180°-乙CDE=60°,

11

GE=DE,

.?.△DEG是等邊三角形，

1

GE=GD=DE=CD=^CG=4,

CF=^GE=2,

綜上所述，CF=4或CF=2,

故答案為：4或2.

【感知】設(shè)2C、CE交于點G,連接DE,由乙48c=90。，AB=BC=4,求得AC=V/+BC2=42,

因為2D、CE是RtAABC的中線，所以DE//AC,DE=^AC=2y/l,,所以△4GC,則段=維=

LAuCG

萼=9,所以EG=』CE,而=EN=』CE,可證明萼=普=:，則AMGNSA

AC23322DGEG2

DGE,所以瞿=罌=:，可求得MN=QE=Y2

DEDG22

【應用】由黑=：,得BC=2ZB,貝［/C=N引82+BC?=V~^48,由冬=條=:，得咨=*，而

DC1乙21LJ21C*/2121C*

4BAD=4CAE=a,所以則也=處="，于是得到問題的答案；

CEAC5

【拓展】分兩種情況討論，一是CF"DE,則穿=黑=1,所以CD=8。=8,貝|CF=9CD=4；二是CF

BCBF2

與DE不平行，作GE〃CF交BD的延長線于點G,因為裳=某=1,所以CG=BC=8,貝|CF=9GE,由旋

DCDrZ

-11

轉(zhuǎn)得DE=CD,4CDE=120°,貝l」CF=^CD=^DE,/.EDG=60°,所以GE=DE,則4DEG是等邊三角

形，所以GE=GD=DE=CD=2CG=4,則CF=，GE=2,于是得到問題的答案.

此題重點考查三角形的中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成

比例定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學思想的運用等知識與方法，此題綜合性

強，難度較大，屬于考試壓軸題.

23.【答案】

【解析】解：（1）在RtAABD中，AD=10,AB=8,BD1AB,

：.BD=VXD2-AB2=V102-82=6，

ABD63

-'-tanA=^=8=4

故答案為：三

4

(2)當點P在48邊上時，0<t<4,則4P=2t,

BP=AB-AP=8-2t；

當點P在BC邊上時，4<t<9,

則BP=2t-8；

./P不rI上所述，Br-?Pn=鼠(8一—28t(04<t<49)

⑶???四邊形48CD是平行四邊形，

BC=AD=10,CD=AB=8,

當點P在48邊上時，0<t<4,則力P=23如圖1,

11

???S^BDQ=/BD?BP=-X6(8—2t)=24—63

由題意得24—6t=6,

解得：t=3；

當點P在BC邊上時，4<t<9,如圖2,BP=2t-8,

??.CP=BC-BP=10-(2t-8)=18-23

?-PQ//BD,

.DQ=CDpnDQ=_8_

，?BPBC'艮2t-810’

4832

eInnnc1”屋32、24，96

???S^BDQ=《BD-DQ=-X6(-1-y)=

由題意得—

解得：t=,；

綜上所述，當ABDQ的面積等于6時，t的值為3或y.

4

(4)當點P在4B邊上時，0<t<4,則力P=23BP=8—23

令8-2t=4,

解得：t=2,

PQ//BD,

??.AAPQ^AABD,

.PQBD削絲=。

"AP=AB'B2t8*

3

PQ=六，

酣

?.?四邊形PQMN是矩形，

/.MN//PQ,MN=PQ=|t,

??△BKNfBQP,

KNBN目口”_8-21

,?,麗=赤即9一=后

6t-3t2

??.KN=

8-2t

O_Oy-23t

???MK=MN-KN=：t一亭手-----,

Lo-Zt4-t

S^MQK1

由題意得:q8,

矩形PQMN

JS矩形PQMN=8s△MQK，

.3八小1a3t

即nn4x；t=8X彳*4*—,

Z7L4—t

解得：t=-4(不符合題意，舍去)；

當2<t<4時，如圖4,BP=8-2t,

S矩形PQMN=QS^BPQ,

Q1Q

即4x六=8*尚乂次8—2t）,

解得：G=0（不符合題意，舍去），⑦—I；

當點P在BC邊上時，4<t<9,貝i]BP=2t-8,

如圖5,當4<tW6時，設(shè)BQ交PN于K,

貝IJ8P=2t—8,DQ=

PQ//BD,

CPQ~XCBD,

.PQ__CP_即PQ_10—(2J8)

"BD-CB'6-10'

PQ=

■-PK//CQ,

.，.△BPK~2BCQ,

tPK__BP_

?'~CQ=~BCf

nrzBP「八2t-8/8.,72、-8t2+1041-288

...P/<=_XCQ=-x(--t+y)=’

**'S矩形PQMN=8s"QK,

2

54-6t/門154-6t一-8t+10一4t-288‘

,..^X4=8X-X^X

解得：匕=絲等，上=生詈(舍去)；

當6<t<9時，如圖6,不符合8Q將矩形PQMN分成的兩部分的面積比為1：7,

綜上所述，t的值為(或生皿1

24

(1)在RtAABD中，利用勾股定理可求出BD的長，再利用正切的定義可求解.

⑵分兩種情形求解即可①當點P在4B邊上時，0<t<4,當點P在BC邊上時，4<t<9；

(3)分兩種情形：當點P在力B邊上時，0<t<4,當點P在BC邊上時，4<t<9,根據(jù)三角形的面積建立

方程求解即可得出答案；

(4)分四種情形分別求解即可，當0<tW2時，當2<t<4時，當4<tW6時，當6<t<9時.

本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，勾股定理，相似三角形的判

定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會利用平行線分線段成比例定理，構(gòu)

建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

24.【答案】(8,0)等腰直角三角形

【解析】解：（1）過點4作力H18。于點H,如圖,

??,拋物線的頂點4的坐標為(4,4),

OH=AH=4,

???拋物線為軸對稱圖形，

AO=B0,

vAH1B0,

.?.OH=BH=4,

???OB=20H=8,

??.8(8,0).

?：OH=HB=AH,AH1BO,

???/,AOB=AABO=AHAO=乙HAB=45°,

??.Z.OAB=90°,

.?■AaoB的形狀為等腰直角三角形.

故答案為：(8,0)；等腰直角三角形；

(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-4)2+4,

???該拋物線經(jīng)過點(。,0),

???16a+4=0,

1

???拋物線的解析式為y=