人教A版《數(shù)學(xué)》必修一教案：方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

人教A版《數(shù)學(xué)》必修一教案：3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

§3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能

①理解函數(shù)（結(jié)合二次函數(shù)）零點(diǎn)的概念，領(lǐng)會(huì)函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程要的關(guān)系，掌握零點(diǎn)存在的判

定條件.

②培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力.

③培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.

2.過(guò)程與方法

①通過(guò)觀察二次函數(shù)圖象,并計(jì)算函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值之積的特點(diǎn),找到連續(xù)函數(shù)在某個(gè)

區(qū)間上存在零點(diǎn)的判斷方法.

②讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)知識(shí).

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想的意義和價(jià)值.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)零點(diǎn)的概念及存在性的判定.

難點(diǎn)零點(diǎn)的確定.

三、學(xué)法與教學(xué)用具

1.學(xué)法：學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，通過(guò)閱讀教材，自主學(xué)習(xí)、思考、交流、討論和概括,從而完成本節(jié)

課的教學(xué)目標(biāo).

2.教學(xué)用具：投影儀.

四、教學(xué)設(shè)想

（一）創(chuàng)設(shè)情景,揭示課題

1＞提出問(wèn)題：一元二次方程ax2+bx+c=O（aWO）的根與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aW0）的圖象有什么關(guān)

系？

2.先來(lái)觀察幾個(gè)具體的一元二次方程的根及其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象：

（用投影儀給出）

①方程/一2》一3=0與函數(shù)y=x2-2x—3

②方程-—2x+l=0與函數(shù)夕=--2x+\

③方程x2一2x+3=0與函數(shù)夕=x2—2x+3

1.師：引導(dǎo)學(xué)生解方程，畫函數(shù)圖象，分析方程的根與圖象和x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，引出零點(diǎn)的概念.

生：獨(dú)立思考完成解答，觀察、思考、總結(jié)、概括得出結(jié)論，并進(jìn)行交流.

師：上述結(jié)論推廣到一般的一元二次方程和二次函數(shù)又怎樣？

（二）互動(dòng)交流研討新知

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函數(shù)零點(diǎn)的概念：

對(duì)于函數(shù)丁=/(x)(x6D),把使/(X)=0成立的實(shí)數(shù)X叫做函數(shù)丁=f(x)(xGD)的零點(diǎn).

函數(shù)零點(diǎn)的意義：

函數(shù)》=/(x)的零點(diǎn)就是方程/(x)=0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

即：

方程/'(X)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/(x)的圖象與X軸有交點(diǎn)。函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn).

函數(shù)零點(diǎn)的求法：

求函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)：

①(代數(shù)法)求方程/(x)=0的實(shí)數(shù)根；

②(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來(lái),并利用函數(shù)

的性質(zhì)找出零點(diǎn).

1.師：引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)體會(huì)左邊的這段文字，感悟其中的思想方法.

生：認(rèn)真理解函數(shù)零點(diǎn)的意義,并根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義探索其求法：

①代數(shù)法；

②幾何法.

2.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義探索研究二次函數(shù)的零點(diǎn)情況,并進(jìn)行交流,總結(jié)概括形成結(jié)論.

二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)

y=ax2+bx+c(a豐0).

(1)△＞0,方程a/+以+c=0有兩不等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有兩

個(gè)零點(diǎn).

(2)△=0,方程ax?+法+。=0有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn),二次

函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

(3)4V0,方程ax?+6x+c=0無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn).

3.零點(diǎn)存在性的探索：

(I)觀察二次函數(shù)/(x)=x2—2x—3的圖象：

①在區(qū)間［一2,1］上有零點(diǎn);

/(-2)=/(1)=______，

/(—2)?/(I)0(＜或＞=).

②在區(qū)間［2,4］上有零點(diǎn)______;

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,/(2)?/(4)—0(＜或＞=).

(U)觀察下面函數(shù)y=/(x)的圖象

/(?),f(b)0(＜或＞=).

②在區(qū)間［6,c］上一(有/無(wú))零點(diǎn)；

f(b)?/(c)0(＜或＞=).

③在區(qū)間［。,陽(yáng)上(有/無(wú))零點(diǎn)；

/(c)?/(J)0(＜或＞=).

由以上兩步探索,你可以得出什么樣的結(jié)論？

怎樣利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理,斷定函數(shù)在某給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn)？

4.生：分析函數(shù)，按提示探索，完成解答,并認(rèn)真思考.

師：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象,分析函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值的符號(hào)情況,與函數(shù)零點(diǎn)是否存在之間

的關(guān)系.

生：結(jié)合函數(shù)圖象，思考、討論、總結(jié)歸納得出函數(shù)零點(diǎn)存在的條件,并進(jìn)行交流、評(píng)析.

師：引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，分析其中各條件的作用.

(三)、鞏固深化，發(fā)展思維

1.學(xué)生在教師指導(dǎo)下完成下列例題

例1、求函數(shù)f(x)=lnx+2x—6的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

問(wèn)題：

(1)你可以想到什么方法來(lái)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)？

(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性你能得該函數(shù)的單調(diào)性具有什么特性？

例2.求函數(shù)丁=/一21—x+2,并畫出它的大致圖象.

師：引導(dǎo)學(xué)生探索判斷函數(shù)零點(diǎn)的方法,指出可以借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器來(lái)畫函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象對(duì)

函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)形成直觀的認(rèn)識(shí).

生：借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器畫出函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象確定零點(diǎn)所在的區(qū)間,然后利用函數(shù)單調(diào)性判斷

零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

2.P88頁(yè)練習(xí)第二題的(1)、(2)小題

(四)、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

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1.請(qǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí)內(nèi)容有哪些,所涉及到的主要數(shù)學(xué)思想又有哪些;

2.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中,還有哪些不太明白的地方,請(qǐng)向老師提出.

（五）、布置作業(yè)