局部線性化與微分

關(guān)于局部線性化與微分4.3.1微分的概念1．引例問(wèn)此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長(zhǎng)為x,面積為A(x),面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無(wú)窮小時(shí)為故當(dāng)邊長(zhǎng)從在取得增量時(shí)，變到一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,邊長(zhǎng)由其第2頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．“以直代曲”的定量描述當(dāng)函數(shù)在處可導(dǎo)且時(shí)，所以當(dāng)x充分接近x0時(shí)，有以直代曲：局部線性化：\\4.3.1微分的概念第3頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天

比較函數(shù)在附近比較函數(shù)的增量與該點(diǎn)切線縱坐標(biāo)的增量。例1\\4.3.1微分的概念第4頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．“以直代曲”的定量描述當(dāng)函數(shù)在處可導(dǎo)且時(shí)，所以當(dāng)x充分接近x0時(shí)，有以直代曲：局部線性化：\\4.3.1微分的概念第5頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天即內(nèi)有定義，處的增量可以表示為3．微分的定義或,定義4.3.1設(shè)函數(shù)在的某鄰域則稱函數(shù)在處可微（或可微分），稱為在處的微分，記為在一般點(diǎn)x處的微分，簡(jiǎn)記為若存在與無(wú)關(guān)的常數(shù)，使函數(shù)在點(diǎn)\\4.3.1微分的概念第6頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天

設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，則函數(shù)在可微的充要條件是

在處可導(dǎo)，且在點(diǎn)處的微分為或函數(shù)可微的條件當(dāng)，有定理4.3.1\\4.3.1微分的概念第7頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天

設(shè)，證明在任何點(diǎn)處可微，且．

對(duì)任何，有例2證此時(shí)，所以，得，即一般地,\\4.3.1微分的概念第8頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天從而微分形式可以寫(xiě)成由此得到，或若和互為反函數(shù)，則有對(duì)復(fù)合函數(shù)\\4.3.1微分的概念第9頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天和，并求在處的局部線性化例3解，,所以，在點(diǎn)處的局部線性化函數(shù)為因?yàn)橐阎瘮?shù)，求函數(shù).\\4.3.1微分的概念第10頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天

函數(shù)的增量是曲線的縱坐標(biāo)的增量，它的微分是對(duì)應(yīng)的切線的縱坐標(biāo)的增量，這兩者的差是橫坐標(biāo)增量的高階無(wú)窮小。4．微分的幾何意義——對(duì)應(yīng)切線的縱坐標(biāo)的增量。微分的幾何意義\\4.3.1微分的概念第11頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天5．基本初等函數(shù)的微分公式根據(jù)函數(shù)微分的表達(dá)式函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分.由此可以得到基本初等函數(shù)的微分公式。例如：\\4.3.1微分的概念第12頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.3.2微分法則與微分不變性設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo),定理4.3.2這里為書(shū)寫(xiě)方便將簡(jiǎn)記為．（3）.（2）；處可微，且（1）；（四則運(yùn)算）則、和在第13頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理4.3.3（復(fù)合運(yùn)算）其中和均可微，則函數(shù)

設(shè)有復(fù)合函數(shù)，也可微，且

因此，無(wú)論是自變量，還是中間變量，微分公式微分形式的不變性．的形式保持不變，將此性質(zhì)稱為\\4.3.2微分法則與微分不變性第14頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天求函數(shù)的微分．例4解\\4.3.2微分法則與微分不變性第15頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5解（1）將下面給出的微分形式寫(xiě)成某一函數(shù)的微分：（1）；（2）；（2）．（3）（4）（3）；（4）.\\4.3.2微分法則與微分不變性第16頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.3.3微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，有近似公式若函數(shù)在處可微，則對(duì)于充分小它說(shuō)明：用線性函數(shù)來(lái)近似時(shí)，所產(chǎn)生的誤差是的高階無(wú)窮小，即第17頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天使用原則:4.3.3微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用特別當(dāng)很小時(shí),第18頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天利用微分計(jì)算的近似值。例6函數(shù)為.設(shè)解則利用公式函數(shù)為則利用公式得\\4.3.3微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第19頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天例7證

令，則由近似公式有證明近似公式，由此公式計(jì)算的近似值．并通過(guò)圖形觀察，考察當(dāng)時(shí)，x

應(yīng)在什么范圍取值？\\4.3.3微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第20頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天，下面估計(jì)使不等式成立的的范圍\\4.3.3微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第21頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天常見(jiàn)的近似公式有：這里要求．(1)(2)(3)(4)(5)\\4.3.3微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第22頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天例8解將麥克風(fēng)的插頭視為圓柱形，其截面半徑，長(zhǎng)，為了提高它的導(dǎo)電性能，要在插頭的側(cè)面鍍上一層厚為的純銅，試估算一下鍍一個(gè)這樣的插頭需要多少克銅？（銅的比重為）用初等方法完全可以解決這個(gè)問(wèn)題，所需要的銅為不過(guò)此時(shí)計(jì)算量較大．用微分的方法來(lái)估算\\4.3.3微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第23頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天因?yàn)楫?dāng)較小時(shí)有．由于當(dāng)，，時(shí)，所以，鍍一個(gè)這樣的插頭估計(jì)需要純銅例8將麥克風(fēng)的插頭視為圓柱形，其截面半徑，長(zhǎng)，為了提高它的導(dǎo)電性能，要在插頭的側(cè)面鍍上一層厚為的純銅，試估算一下鍍一個(gè)這樣的插頭需要多少克銅？（銅的比重為）\\4.3.3微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第24頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)1.微分概念

微分的定義及幾何意義

可導(dǎo)可微2.微分運(yùn)算法則微分形式不變性:(u

是自變量或中間變量)3.微分的應(yīng)用——近似計(jì)算第25頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.

設(shè)由方程確定,求