新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強化測試27簡單三角恒等變換2

專題27簡單三角恒等變換

知考綱要求

識考點預(yù)測

梳常用結(jié)論

理方法技巧

題題型一：三角函數(shù)式的化簡

型題型二：給角求值

歸題型三：給值求值

類題型四：給值求角

訓(xùn)練一：

培訓(xùn)練二：

優(yōu)訓(xùn)練三：

訓(xùn)訓(xùn)練四：

練訓(xùn)練五：

訓(xùn)練六：

強單選題：共8題

化多選題：共4題

測填空題：共4題

試解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進行簡單

的恒等變換（包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶）.

【考點預(yù)測】

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)公式S2a：sin2a=2sinacosa.

(2)公式C2a：cos2a=cos2a—sin2s=2cos2a—1=1-2sin2a.

(3)公式T2a：tan2a=/tan：

1-tan%

【常用結(jié)論】

—cosa=2sin2p1+cosa=2cosg.(升塞公式)

f.a(￡\

SmtCS

2.1±sin?=l?°J,(升嘉公式)

1—cos2a1+cos2a,1—cos2a,女聲八#、

9ot,cos9(X,tan9a?(Xxj)

221+cos2a

【方法技巧】

1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：

一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.

2.三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補等)，尋找式子

和三角函數(shù)公式之間的共同點.

3.給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角

的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可.

4.給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察非特殊角

與特殊角之間總有一定的關(guān)系，解題時，栗利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且

消除特殊角三角函數(shù)而得解.

5.給值求角問題一般先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.遵照以下原則：

[o-1

(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是I2)

選正、余弦皆可；

(2)若角的范圍是(0,7i),選余弦較好；若角的范圍為1一2'2」，選正弦較好.

6.三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為

義x)=Nsin(0x+e)+b的形式再研究其性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意

利用整體思想解決相關(guān)問題.

二、【題型歸類】

【題型一】三角函數(shù)式的化簡

0

[典例1】2cos58+sin280=()

“cos28°

A.一3B.lC.加

2cos4x—2cos2x+~

2

【典例2】化簡：

2tan14fJsin214十tl

【典例3]（tan10°-^3）-￡2^=________.

sin50

【題型二】給角求值

【典例1]sin40°（tan10。一加）等于（）

A.2B.-2C.1D.-1

【典例2]cos20°-cos40°-cos100°=.

【典例3】——0。：40。的值為

cos25%/l—sin40°

A.1B.^3C矩D.2

【題型三】給值求值

f0+-lI則sij2人工

【典例1]已知=Vw

cost4j-io

【典例2】若tanaH——=~,ae]'2j,貝Usin12*4j+啦cos2a的值為_______.

tana3

【典例3】已知a,夕為銳角，tana=g,cos(a+A)=—

⑴求cos2a的值;

(2)求tan(a一份的值.

【題型四】給值求角

【典例1】在平面直角坐標(biāo)系X0中，銳角呢夕的頂點為坐標(biāo)原點。，始邊為x軸的非負(fù)半軸,

終邊與單位圓。的交點分別為尸，0.已知點尸的橫坐標(biāo)為?，點。的縱坐標(biāo)為得，則2a

一用的值為?

【典例2】已知cosa=；,cos(a—份=：,且貝1必=.

【典例3】已知a,用弓(0,兀)，且tan(a—份=[,tan￡=—3，則2a—'6的值為.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】已知函數(shù)/(x)=sin[2xl)+2sin2x.

(1)求“X)的最小正周期;

nSu

(2)當(dāng)正修6」時，求真x)的值域.

【訓(xùn)練二】如圖，有一塊以點。為圓心的半圓形空地,要在這塊空地上劃出一個內(nèi)接矩形Z5CO

開辟為綠地，使其一邊落在半圓的直徑上，另兩點5,C落在半圓的圓周上.已知半圓的

半徑長為20m,如何選擇關(guān)于點。對稱的點Z,。的位置，可以使矩形Z8CD的面積最大,

最大值是多少？

【訓(xùn)練三】已知函數(shù)八x)=/cos(：+》，xGR,

(1)求2的值；

(2)設(shè)a,好。N卜+幻一言幻寸求c°s(a+「的值.

【訓(xùn)練四】《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有一個“引葭赴岸”問題：

“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”其

意思為“今有水池1丈見方(即8=10尺)，蘆葦生長在水的中央，長出水面的部分為1尺.將

蘆葦向池岸牽引，恰巧與水岸齊接(如圖所示).試問水深、蘆葦?shù)拈L度各是多少？"設(shè)。=NA4C,

現(xiàn)有下述四個結(jié)論：

①水深為12尺；②蘆葦長為15尺；③tan；=；；④tanl+J：—；.J{//I

其中所有正確結(jié)論的編號是()1/

A.①③B.①③④AB

C.①④D.②③④

【訓(xùn)練五】已知。為正整數(shù)，tana=l+lga,tan』=lga,且a=￡+j,則當(dāng)函數(shù)義x)=asin。

—3cos6(ee[0,兀])取得最大值時，。=()

,7Tc27c5兀4冗

A-B.——C.——D.坐

2363

【訓(xùn)練六】若sin2a=日,.X710,且￡兀

sinC5-ot)--，際,則a+4的值是()

A1B-z

四、【強化測試】

【單選題】

4tan-

1.計算：-----)

3tan2---3

12

A.現(xiàn)

3

「23

C.—

9

2.若tan(a+80°)=4sin420。，則tan(a+20。)的值為()

啦cos2。_

3.若產(chǎn)+3=35由2仇則sin28=(

cost4J

2

AB.

-I3

1

c.--D.

33

4.已知角a的頂點與坐標(biāo)原點。重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,在a的始邊上有一點/,

sin20+2sin20

終邊上有一點8(一機，2m)(m>0),滿足=若/0AB=8,-----------二()

1+cos20

門19兀-23兀

C.電或生D.——?或——

66

6.計算：—一［os4。。等于（）

cos80°\1—cos20°

A-fB2Cf°

7.設(shè)aGg3/J。，且tana=l±。順）

COSB

A.3a—￡=：B.2a—￡=：

C.3a+￡=；D.2a+4=：

8.若sin2a=（,sin伊且a?|_4，"J，2J,則a+4的值是（）

【多選題】

9.下列各式中值為1的是（）

-2cos275°

B.sin135°cos15°—cos45°cos75°

C.tan20°+tan25°+tan20°tan25°

Dcos35°^l-sin20°

/cos20°

10.函數(shù)人x）=sinxcosx的單調(diào)遞減區(qū)間可以是（）

kL近,kn—~

A._44>FZ）

B.（左?Z）

2E+%2E+匹、

C.L42>,ez）

,叫，

D.（左GZ）

11.已知“￥）=；（1+cos2x）sin2x（x@R）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.八x)的最小正周期T=；

B.小)是偶函數(shù)

C.八x)的最大值為:

D.於)的最小正周期T=K

12.下列說法不正確的是()

A.存在x￡R,使得l—cos3x=log2士

B.函數(shù)y=sin2xcos2x的最小正周期為兀

C.函數(shù)尸cos21+月的一個對稱中心為H°]

D.若角a的終邊經(jīng)過點(cos(—3),sin(—3)),則角a是第三象限角

【填空題】

13.若q，sin則tan2a=.

14.已矢口sina=cos2a,但兀J〕,則tana=_________.

15.已知t他an+U3J=3,貝！Jsin2。一2cos2。=.

^3tan120-3

16.-----------------=_________.

(4cos212°—2)sin12°

【解答題】

17.已知函數(shù)｛

⑴求的值；

(2)若a?[°'3],求cosa的值.

18.如圖，點尸在以4B為直徑的半圓上移動，且45=1,過點尸作圓的切線尸C,使尸C=L

連接5C,當(dāng)點尸在什么位置時，四邊形Z5C尸的面積等于1?