高中數(shù)學(xué)講義（人教A版必修二）：第14講 正弦定理（教師版）

第14講正弦定理

號目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.能借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長與角

度的關(guān)系.

2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角

形、判斷三角形解的個(gè)數(shù)問題.利用余弦定理加上本節(jié)課學(xué)習(xí)的正弦定理就可以正式

3.利用正弦、余弦定理了解三角形中邊與角進(jìn)行解三角形的問題的訓(xùn)練與提升，提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心

的關(guān)系.

素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

4.利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀.

5.掌握正弦、余弦定理的簡單應(yīng)用.

檄知識精講

知識點(diǎn)01正弦定理

條件在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c

a____b____c

結(jié)論

sinAsinBsinC

文字?jǐn)⑹鲈谝粋€(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等

【即學(xué)即練1】在△ABC中，a=5,b=3,貝ijsinA：sin8的值是（）

?5r3

A.B.§C.yD.y

答案A

解析根據(jù)正弦定理，得黑得斗

知識點(diǎn)02三角形中邊與角之間的關(guān)系

1.利用余弦定理和正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化

/?2+c2—4Z2+c2—Z72?2+Z?2—c2

(l)cosA=赤；cos"2ac；cosC=2ab.

(2)2RsinA=427?sinB^b,2RsinC=c，(其中R為△ABC外接圓的半徑)

2.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.

Z?2+C*2一次

⑴若於+c2,則cosA=-<0,AABC為鈍角三角形；

+■一

(2)若a2=〃+c2,則cosA=一五一=0,△ABC為直角三角形;

〃+c2—/c^~\~cr—b~-

(3)若a2<b2+c2J!Lb2<a2+c2且c2<cr+b2,貝!JcosA=--------->0,cosB=>0,cosC=--------->0,

△ABC為銳角三角形.

【即學(xué)即練2】如果將直角三角形的三邊各增加同樣的長度，則新三角形的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.由增加的長度確定的

答案A

解析設(shè)直角三角形的三邊長分別為a,b,c,且序+^2=/,三邊都增加x,則（a+尤）2+（6+x）2—（c+x）2

=a2+i?2+2x2+2（6z+Z?）x—c2—2ex—^=1（a-\-b—Qx+x2＞。，所以新三角形中最大邊所對的角是銳角，所以

新三角形是銳角三角形.

u能力拓展

考法01已知兩角及任意一邊解三角形

【典例1】在△ABC中，已知8=30。，C=105°,6=4,解三角形.

解因?yàn)?=30°,C=105°,

所以A=180°—(B+C)=180°—(30°+105°)=45°.

由正弦定理，得sin,5°=sin300=sin；05。，

后刀/曰4sin45°/r-4sin105°r-.二、

解侍0=丁而=4誨，c=sin30。=2(加+啦).

反思感悟

nbhcnc

⑴正弦定理實(shí)際上是三個(gè)等式：-7=-^,而公=春，/萬不氤，每個(gè)等式涉及四個(gè)元素，所以只

要知道其中的三個(gè)就可以求另外一個(gè).

(2)因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180°,所以已知兩角一定可以求出第三個(gè)角.

【變式訓(xùn)練】在△ABC中，已知。=8,8=60。，C=75°,求A,c的值.

解A=180°-(B+Q=180o-(60o+75o)=45°.

,_a_____c/曰_4sinC_8Xsin750

由sin人―sinCc~sinA-sin45°

8X電^

=一近一=4(小+1).

2

所以A=45。，c=4(5+1).

考法02已知兩邊及其中一邊的對角解三角形

【典例2】在△ABC中，已知。=加，A=45°,a=2,解三角形.

曲..ac.?一csinA祈sin450小

smAsinCa22

V0°<C<180°,???C=60?；駽=120。.

當(dāng)C=60。時(shí)，B=75。，仁呻=返瞎=小+1；

sinCsin60v

當(dāng)C=120。時(shí)，2=15。，6=弊=^^=小—L

sinCsin120'

.?方=小+1,2=75°,C=60°或6=餡-1,8=15°,C=120°.

反思感悟已知兩邊及其中一邊的對角，利用正弦定理解三角形的步驟

(1)用正弦定理求出另一邊所對角的正弦值，進(jìn)而求出這個(gè)角.

(2)用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.

(3)根據(jù)正弦定理求出第三條邊.

【變式訓(xùn)練】在△ABC中，AB=2,AC=3,2=60。，則cosC等于()

A星R巡M口更

3o.3.2\-j.2

答案B

ARAT

解析由正弦定理，

即熹=高，解得s1nc=^，

'：AB<AC,：.C<B,.'.cosC=^/l-sin2C=-^.

考法03已知兩邊及一邊對角判斷三角形解的個(gè)數(shù)

【典例3】不解三角形，判斷下列三角形解的個(gè)數(shù).

(1)4=5,b=4,A=120。；

(2)a=9,ft=10,A=60°；

(3)8=72,c=50,C=135°.

解(l)sinB=^sin120°=1x^<^,所以三角形有一解.

c.Db.io^35^3由近5^3

(2)sinB=-sin60=gXv-^-=—^―,而奇v-<11.

5、h

所以當(dāng)3為銳角時(shí)，滿足sin3=T一的角6的取值范圍是60。<8<90。.滿足A+8<180。；

當(dāng)B為鈍角時(shí)，滿足5皿8=手的角8的取值范圍是90。<8<120。，也滿足A+8<180。.故三角形有兩解.

c、.bsinc72.丁.「近

(3)sinBD=~--=^QSinOsinC=亍.

所以8>45。，所以8+0180。，故三角形無解.

反思感悟

(1)已知兩邊及其中一邊的對角判斷三角形解的個(gè)數(shù)的方法

①應(yīng)用三角形中大邊對大角的性質(zhì)以及正弦函數(shù)的值域判斷解的個(gè)數(shù);

②在△ABC中，已知a,b和A,以點(diǎn)C為圓心，以邊長a為半徑畫弧，此弧與除去頂點(diǎn)A的射線A8的公

共點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為三角形解的個(gè)數(shù)，解的個(gè)數(shù)見下表：

A為鈍角A為直角A為銳角

a>b一解一解一解

a=b無解無解一解

a>bsinA兩解

a<b無解無解a=bsmA一解

a<bsinA無解

(2)通過正弦定理和三角形中大邊對大角的原理，判斷三角形的解的個(gè)數(shù)，提升了邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

考法03利用正弦、余弦定理解三角形

【典例4】在△ABC中，已知6=3,c=3小,2=30。，解三角形.

解方法一由余弦定理62=。2+，—2accos8,

得32=a2+(3^3)2-2aX3A/3Xcos30°,

.".a2—9a+18=0,解得a=3或a=6.

當(dāng)a=3時(shí)，A=30°,/.C=120°；

.R6x1

當(dāng)。=6時(shí)，由正弦定理，得五114=至產(chǎn)=丁=1,

.?.4=90°,C=60°.

方法二由正弦定理，得忌心=餐，解得sinC=坐，

又c>b,.,.30°<C<180°,.?.C=60°或C=120°.

當(dāng)C=60。時(shí)，A=90°,由勾股定理，得a=6；

當(dāng)C=120°時(shí)，A=30°=B,a=b=3.

反思感悟若已知三角形的兩邊及其一邊的對角，則可直接應(yīng)用正弦定理求出另一邊的對角，但要注意此

三角形解的個(gè)數(shù)的判斷；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a,b和A,由余弦定理。2=廿+°2一2歷85

A,求出c,此時(shí)c的個(gè)數(shù)即為三角形解的個(gè)數(shù).

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.在uWC中，已知。=3,b=6,A=60,則角C為（）

A.30B.45C.60D.90

【答案】D

【詳解】由正弦定理可得工=三，則.DbsinA島與1,

smBsinAsin/?=---------=---------=—

a32

b<a,則5<A,故8=30,，C=180-A—B=90.

故選：D.

2.在，ABC中，已知ZB=45°,ZC^30°,AC=2,則AB等于（）

A.1B.y/2c.73D.y/6

【答案】B

ABAC即瑞

【詳解】由正弦定理,7=-^解得="

sinCsinBsin30sm45

故選：B.

OcinR-cin-A

3.在“ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若a=2b,則八sinA的值為（）

sin12A

11i

A.B.-C.1D.—

242

【答案】A

b1

【詳解】依題意2=—,

a2

由正弦定理得當(dāng)事產(chǎn)￡

2

故選：A

b

4.2kABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,若asinAsin5+bcos2A=,則一=(

a

A.叵B.6C.272D.

【答案】B

【詳解】由正弦定理得asin5=Z?sinA,化簡得bsii?A+Z?cos2A=/?=百〃,

則2=6

a

故選：B

5.在,.ABC中，角A,民。的對邊分別為dc.若0sinB=Z?sinA，則〃=（）

萬

A.2V2B.V2C.1D.芋

【答案】B

【詳解】由題意在ABC中，由正弦定理得sin/=—,sin5=—,R為ABC外接圓半徑,

27?27?

故由0sinB=6sinA,得06=6。,，。=應(yīng)，

故選：B.

6.在△ABC中，a=18,6=24,ZA=45°,此三角形解的情況為（）

A.一個(gè)解B.二個(gè)解C.無解D.無法確定

【答案】B

【詳解】因?yàn)樨皊in45=24x^=120,如圖所示:

2

所以120<18<24，即120<a<c，所以三角形解的情況為二個(gè)解.

故選：B

7.在中，NA=105。，AC=1,若ABC有一個(gè)解，則5c的取值范圍是.

【答案】（L+e）

如圖，若ABC有一個(gè)解，貝IJ3C>1.

故答案為：（1,+e）.

7T

8.在jWC中，a=2,b=l,C=-,那么J1BC的面積等于

【答案】B

2

【詳解】由三角形面積公式得S=-aZ>sinC=ix2xlx—=—.

2222

故答案為：也

2

9.已知ABC的內(nèi)角4氏C的對邊分別是4c,若sinA=當(dāng),a=3/=正，則sinB=.

【答案】|

【詳解】由正弦定理三=名，得sinB=a=@x2、5=2.

sinAsinBa353

故答案為：f

10.已知函數(shù)f(x)=cosx(siax-A/3COSX)(XGR).

⑴求/(九)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;

(2)在一ABC中，角A,8,C的對邊分別為a,6,c.若/［曰=_等，6=6,求/BC的面積的最大值.

,,...,71,5兀.

【答案?】(1)T=兀，左兀一五'五，kwZ

(2)9A/3

【詳解】(1)/(%)=cosxsinx一石cos'x=；sin2x一石x1"；

_1.V3。.(0叫百

=-sin20x-----cos2x--------sin2x--------.

222I3)2

?，*/W的周期T=7i,

jrjrjrjrSjr

由---F2lai<2x—<—+2kli,左eZ,得----\-kji<x<-----卜kit,kEZ

2321212

TT571

所以了(無)的單調(diào)遞增區(qū)間是E-萬,E+石，kwZ.

(2)-/==-SPsin(B-i)=0,又8e(0,7t),二2=5,

a_c_b_6_仆向

由正弦定理有sinAsinCsin3,n,

sm—

3

??5AABC=~acsinB=；?4^/§sinA?4月sinCsinB=12^sinAsinC

二12V3sinAsinf^-7i-Aj=12百sinA41.A

——cosA+—smA=18sinAcosA+6y/3sin12A

122J

='2A+63T=65/3sinl2A-^1+373

八兀兀CA兀7

0<AA<——2,—<2A—<—7i(S樹濡=9石,

3666f

當(dāng)2A-?=1，即A=f時(shí)取得最大值.

o23

另解：［Osin,-升%-*即sinp-J。，又3?0㈤，.1心,

由余弦定理知：b2=a2+c2-2accosB=^>36=+c2-2accos—=a2+c2-ac>2ac-ac=ac,

BPac<36,當(dāng)且僅當(dāng)〃=c=6時(shí)，等號成立.

，Sac=gacsinB=￥acV9百，，當(dāng)a=c=6時(shí)，恪甌)1mx=96.

11.在一ABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,且asin3+6bcosA=0.

⑴求角A的大小;

(2)若6=4,一ABC的面積8=2百，求-ABC的周長.

【答案】⑴石

(2)6+277

【詳解】(1)因?yàn)閍sinB+&Z?cosA=0,

由正弦定理得sinAsin3+J5sinBcosA=0，

因?yàn)閟in_Bw。，所以s譏A+V^cosA=0，即tanA=-V§\

2冗

因?yàn)锳e(0,7i),所以A=與.

1ll

(2)S=—bcsinA=&=2出,所以c=2,

2

由余弦定理得q=\lb2+c2-2bccosA=2-J1，

所以..ABC的周長為6+2療.

12.在一ABC中，內(nèi)角的對邊分別為名仇c.已知。==

45

⑴求sinA的值；

(2)若?=行,求人的值.

【答案】(1)竽

(2)/?=3或b=l

【詳解】(1)在中，C=三,。=巫5

45

由正弦定理得sinA=^sinC=亞乂蟲=還.

5525

(2)c=亞,a=c,a—2A/2,

由余弦定理/=a2+b2-2.abcosC,得5=8+/-2-2立方也,

2

整理得A。—46+3=0,解得＞=3或8=1.

題組B能力提升練

1.在..ABC中，AB=2AC,4。平分/54C交8c于點(diǎn)。，若AD=DC=2,則AB=()

A.2若B.2A/6C.73D.戈

【答案】B

【詳解】因?yàn)?=24C,4。平分NBAC,AD=2,由S旗c=S+S，

得工AB-ACsinZCAB=-ACADsinACAD+-ABADsinZBAD,

222

即；-2AC?AC-2sinZCAD-cosZCAD

=~ACADsmZCAD+-2ACADsinZCAD,化簡得2ACcosNC4D=3.

在“ACO中，CD2=AC2+AD2-2AC-ADcosZCAD,整理得AC?=6,

即4。=而，故AB=2AC=2#.

A

2.AfiC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為S,若2s=gaccosB,貝hosB的值為（）

A,巫D,也

Br3M

10-I102

【答案】c

3A/10

2S=—accosB=acsinB,tanB=—,Bel0,—兀3

【詳解】fcosB=-i

33I2,+110

故選：C

3.在銳角三角形ABC中，點(diǎn)。為BC延長線上一點(diǎn)，且f|=2"=5疝AC=10,3號則三角形由的

面積為（）

A.25-B.25卜-⑹

22

C75(3+A/3)D.75-

44

【答案】C

【詳解】設(shè)CD=x，則BC=2x.

在△ABC中，由余弦定理AC?=AB2+BC2—2XA5XBCCOS3,

5(6±1)

得100=150+4/_20后，即2X2-10A/3X+25=0,解得x=

2

當(dāng)％5(6-1)*25(a以-(5府一土產(chǎn)」<0,是

時(shí)，BC=5(A/3-1),cosZACB=

22xl0x5(^-l)100(73-1)2

一個(gè)鈍角，不合題意，舍去.

當(dāng)/_5(6+1)1()2+25(用1)2(5廂250+50^|jr

時(shí)，BC=5(A/3+1),COSNACB=——『一一彳，所以=z

22xl0x5(>/3+l)100(73+1)23

TTS兀

又4二，則加八法，符合題意.

在△ABD中，BD=3x=-5（A^—,則△45。的面積

2

S，…。"二"x受叵…=四±?

22224

故選：C.

4.在一ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知6=2,cosB=g,貝h.ABC外接圓的半徑為（）

.372R372_272ny/2

4233

【答案】A

【詳解】因?yàn)閏osB=！，0<3<兀，所以$m3=6^?^=述，

33

因?yàn)?=2,所以—也=還=2R，所以,ABC外接圓的半徑為邁.

sin224

故選：A.

o3

5.在.ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=萬，cosB=-,且；ABC外接圓的周長為10兀，

則—ABC的周長為（）

【答案】D

【詳解】設(shè)ABC的外接圓半徑為R,貝U2欣=10兀，解得：R=5,

83

因?yàn)锳3￡（0,兀），由cosA=萬，cosB=；,

可得sinA=Jl一用IfsinB=^|J=1,

所以。=2HsinA=,Z?=2Rsin_B=8,

因?yàn)閟inC=sin[兀一(A+3)]=sin(A+3)=sinAcosB+cosAsinB,

?十r壬…十山―r/口n,1503c8154

由正弦7E理可得：c=acosB+bcosA=----x—+8x-=------,

1751717

150154440

所以ABC的周長為a+b+c=+8+=

171717

故選：D.

6.秦九韶是我國南宋時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家，他在著作《數(shù)書九章》中提出，已知三角形三邊長計(jì)算三角形面

積的一種方法“三斜求積術(shù)〃，即在一ABC中，〃，仇。分別為內(nèi)角A民C所對應(yīng)的邊，其公式為：

2

1(a2+b2-

S(abj-

ABC22

3

cosB=-,a>b>c,則利用“三斜求積術(shù)〃求-ABC的面積為()

5334

A.-B.-C.—D.一

4455

【答案】D

【詳解】解：因?yàn)椤?="華，由正弦定理三=三得：C2=—,則公=2

sinAsinAsinCa

22

T7i-k.37-thrTffln/+/一從34曰Cl+C2—Z736

又由余弦定理cos5=--------------=一得：----------=-ac=-

2ac5255

故選：D.

7.已知A5C的內(nèi)角A氏C的對邊分別為a,b,c,且(a+5)(sinA—sinB)+(Z?—c)sinC=0.

⑴求角A的大小；

(2)設(shè)°=5,且sinJ且，求。邊.

25

【答案】(l)A=g

(2)更

3

【詳解】(1).ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,

因?yàn)?a+A)(sinA-sinB)+(b—c)sinC=0,

則由正弦定理得：(a+3(a—3+9—c)c=O,^b2+c2-a2=bc,

b2+c2-a2I兀

cosA=—,又0<A<7t,..A=—.

2bc23

(2)由sin—=,0<C<7i>0<一<一,

2522

得cosC=Jl-sin2-=述，sinC=2sin-cos-=-,

2V25225

又A=1,a=5

5x4

由正弦定理號=，｝,得。=tzsinC_5

sinAsmCsinA

2

8.在一ABC中，角A,3,C的對邊分別為〃,"ccosC=旦,sinB=2sinA,0=4.

16

⑴求C;

⑵求ABC內(nèi)切圓的面積.

【答案】⑴c=3

⑵*乃

12

【詳解】（1）因?yàn)閟inB=2sinA,由正弦定理得6=2。,

又6=4,所以a=2,

由余弦定理得cosC="+"0=2+4c=U,解得c=3.

lab2x2x416

(2)因?yàn)镃OSC=U,A￡(0,?),

16

所以sinC=Vl-cos2C=3y,

16

所以一ABC的面積S=工absinC=—x2x4x3y=3y.

22164

設(shè)_MC內(nèi)切圓的半徑為r,則S=；(a+>+c)?,

所以,=^^=巫，

a+b+c6

c5

所以內(nèi)切圓的面積為萬一

12

9.ABC的內(nèi)角A民。所對的邊分別為〃，b,。，已知sinA=cos3

⑴若acosC=c，證明：2cos3A+cos2A=2cosA；

⑵若cosB=GsinC,b=l9求二ABC的面積.

【答案】⑴證明見解析

【詳解】（1）證明：因?yàn)閍cosC=c,由正弦定理可得：sinAcosC=sinC,

由題意可知：cosCwO,所以sinA=tanC,結(jié)合題意可知：sinA=tanC=cosB,

TV.

又因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角滿足sinA=cos3,所以A+B=彳或A=B+u，因?yàn)閠anC有意義，所以4=8+二，則

222

TT37r

C=JI-A-B=TI-A-(A一一)=——2A,

22

所以sinA=tanC=tan[--2A|=——-——,

t2)tan2A

mi士y.Asin2A.42sinAcosA2(1-cos2A)-cosA

則有1=smA-tan2A=sinA---------=smA-----------------=-----------------------，

cos2Acos2Acos2A

上式等價(jià)于COS2A=2(1-cos2A)?cosA整理化簡可得：2cos3A+cos2A=2cosA.

TTTT

(2)在一ABC中，因?yàn)閟inA=cos5,所以A+3=—或A=_8+—,

22

又因?yàn)閏os5=V^sinC,所以sinA=若sinC,由正弦定理可得：a=y/3c,

當(dāng)A+B=I時(shí)，c=g,貝ijc邊最大，不滿足°=辰，故此種情況不成立；

22

iTFJTjTT

當(dāng)A=8+5時(shí)，C=7i-A-B=7i-A-(A--)=--2A,因?yàn)閟inA=V^sinC,

也即sinA=若sin(--2A)=)cos2A=-^(1-2sin2A),

2

整理可得：2Asin?A-sinA-g=0,解得：sinA=#^或sinA=(舍去)，

兀

所以A=2[

由sinA=J^sinC可得：sinC=-,則C=：,,

26

所以3=C=￡,則c=J=l,a=73c=石，

所以_ABC的面積為S=-bcsinA=^~.

24

10.記一ABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為。，瓦c,已知=6?+2,cos2B=1.

⑴求ABC的面積；

3

(2)若cosA=《，求ABC的周長.

【答案】⑴3

(2)6A/7+2714

7

【詳解】(Q由題意得口+02=從+2,即您+。2—〃=2,

?22

由余弦定理得cos3=--------------，整理得QCCOSN=1,則COSB>0,

2ac

又COS2B=1,貝IJCOSB=^^,sinB=,

222

所以cic=-=V2,S4ABe—~ctcsinB=—；

cosB22

34

(2)因?yàn)閏osA=y,所以sinA=g,

sinC=sin(A+B)=1cos5+|^sinB=

a_b_c

由正弦定理得,

sinAsinBsinC

a+b+c

所以

sinA+sinB+sinCsinAsinC

ac’4A/27⑥6"+2m

a+b+c=(sinA+sinB+sinC)--1-------1-------

所以sinAsinC15210J7

題組c培優(yōu)拔尖練

1.設(shè)2ABe的面積為S,ZBAC=e,已知AB.AC=4，2<5<2^3,則函數(shù)/(。)=gsin[6>+：)+cos2。

的值域?yàn)?/p>

2+61+2有

【答案】

—-'-2-

【詳解】由題意4所46=卜@?,。0?，=4,2<||AB|-|Ac|sin0<2V3,

22

,/(6*)=>/3sin^+^+cos0=^-1-cos^20+^+J+cos2^

所以14tan64所以

…”，i+6J”，C,i+g

——sin29H—cos20d----------sin29H—H----------,

222I2

._.、r八兀兀—.tee兀2兀5兀

因?yàn)?所以26+、e—,

_43J6L36

所以當(dāng)2。+看=,，即e時(shí)，入。）取得最小值，最小值為百聲；

當(dāng)20+6=/，即。=:時(shí)，/（夕）取得最大值，最大值為1±|@；

,,12+g1+2A/3

,...,,,,2+A/31+2V3

故答案為：2

2.已知ABC的外接圓的圓心為O,若3O=4AC,則cos/B4C=.

【答案】-也

4

如圖，一ABC的外接圓的圓心為。，過。作OELAB于點(diǎn)E

設(shè)“ABC外接圓半徑為R,

由于3O=4AC，所以,。|=4,4，即R=46,

由正弦定理工=2R得sinB=3=g=:，且角5為銳角，則cosB=Jl-si-8=邁

sinB2R8b88

由余弦定理得cosB="+d=邁①

2ac8

因?yàn)?O=4AC，所以2。?區(qū)4=4AC-2A，

其中BO-BA=忸。|-|BA|COSNOBE=|BO|-|BA|=1|BA|2=1C2,

AC-BA=|AC|-|BA|COS(TT-ZBAC)=—becosABAC,

所以一，=—4AcosNR4C,即cosNR4C=——,又余弦定理得cos/BAC=匕^—―

28b2bc

匚匚［、lCZ?2+c2一

所以——=---------②

8b2bc

不

C——ClI-

聯(lián)立①②得：＜3，貝!Jcos/3AC=—￡=—業(yè)

718b4

b=-a

6

故答案為：岑

c—2

3.銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a=2,且AcosA-2cos3=a,則^

b

的取值范圍為1

【答案】

【詳解】解：因?yàn)椤?2,且bcosA-2cos3=a,所以》cosA-acosB=a

由正弦定理a=b得：sinBcosA-sinAcosB=sinA,所以sin（5-A）=sinA

sinAsinB

又銳角三角形A5c中，ABel0,|L則6—A=A,即B=2A

0<A<-

2

JTTTTV

所以C=7i—A—3=7t—3A,由于銳角三角形A3C,所以〈0<2A<-,解得

264

71

0<兀一3A<—

2

所以

c-2_<c-asinC-sinAsin（2A+A）-sinA_2sinAcos2A+cos2AsinA—sin3A—sinA

bbsin5sin2A2sinAcosA

_2cos2A+cos2A-sin2A-l4cos2A-2c,1

2cosA2cosAcosA

上丁兀.4（兀兀、[、、#

由于7則1E'"A4在京，力上遞w臧,k一1在7上171遞]._增_

所以彳=234-￡在在[若〔上遞減,于是有234-￡（。￥]'即一的取值范圍為

故答案為:

4.在..ABC中，4良。所對的邊分別為。,女0若4+2>2+3o2=12,貝U.1ABC面積最大值為

【答案】誓##\而

【詳解】由余弦定理知片=62+C2-26CCOSA,

所以a?+2b1+3c2=b2+c2-2bccosA+2b2+3c2=3b2+4c2-2bccosA，

因?yàn)?必+4c?N2癡x4c2=4尿，當(dāng)且僅當(dāng)亞=2c時(shí)，等號成立,

所以3Z?*2*78+4c2-2Z?ccosA>2bc\2y/3-cosA）,即1222bc\2y/3-cosA）,故人c4--------,

I3sin

設(shè)“ABC的面積為S,所以5=彳。。5吊44丁方-----

22V3-cosA

令t=2^8s.,可得2指={sinA+cosA=〃+1sin（A+夕）<y/t2+1，

sinA

當(dāng)且僅當(dāng)A+e=方時(shí)，上式等號成立，即有2芯wET，解得fN而或rv-而（舍去）,

則廿A4叵,所以SV主叵，故ABC面積最大值為"五.

2^-cosA111111

故答案為：士叵.

11

5.在」1BC中，角A民。所對的邊分別為。力,。,已知。=36）=2〃，則-ABC的面積最大值為,

止匕時(shí)_—=__________.

/?sinB+csinC

【答案】9；5A/3

【詳解】解法一：由已知得cosC="+"一=里二2,\sinC=J1一溫C=戊6。"*-2空

2ab4a24a2

。1,.「KJ-（6-15）2+144

S=—absmC=a--------------------9,

244

當(dāng)且僅當(dāng)0=小時(shí)，s取到最大值9,止匕時(shí)sine），又以=三=2氏（R為外接圓半徑），則

5sinBsinC

①+。2=2一傳sinB+csinC）=2R='=56

Z?sinB+csinCZ?sinB+csinCsinC

解法二：c=AB=3指,AC=2BC,根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義可知，C的軌跡為圓，圓的半徑為26,二S49；

*+「2

根據(jù)等合比性質(zhì)：一」——=^=5A/3（此時(shí)sinC可根據(jù)最值條件得出）