2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題(二)(含解析)

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.直線x+gy+m=0("?e7?)的傾斜角為

A.30°B.60°C.120°D.150°

【正確答案】D

【分析】根據(jù)直線方程求出斜率，利用傾斜角的正切值為斜率，可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)直線x++/=的傾斜角為0,0G[O,n).

直線化為y=--x-—m,斜率k=tan0=-—,

333

.*.0=150°,

故選D.

本題考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.在數(shù)列｛4“｝中，若q=2,an+l=2a?,則q=()

A.16B.32C.64D.128

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意，｛《｝為等比數(shù)列，用基本量求解即可.

【詳解】因?yàn)?。?24，故｛勺｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

故4=*=26=64.

故選：C

3.在等差數(shù)列｛《,｝中，已知名+4=12,則數(shù)列｛%｝的前6項(xiàng)之和為()

A.12B.32C.36D.37

【正確答案】C

【分析】直接按照等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】數(shù)列｛《,｝的前6項(xiàng)之和為q+%+%+4+/+&=3(%+%)=36.

故選：C.

4.圓。：/+/+4丫-2，-3=0與圓。:3-3)2+0；+4)2=18的位置關(guān)系為()

A.外離B.內(nèi)切C.相交D.外切

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意，求出兩圓的圓心距，再結(jié)合圓與圓位置關(guān)系的判斷方法，即可求解.

【詳解】因?yàn)閳A。的圓心為C(-2,l),圓。的圓心為。(3,-4),所以?xún)蓤A的圓心距為

|CD|=7(-2-3)2+(1+4)2=572.因?yàn)閳AC的半徑為2夜，圓。的半徑為3行，所以圓心

距等于兩圓的半徑和，故兩圓外切.

故選：D.

5.已知0=(0,1,1),h=(0,1,0),則「在。上的投影向量為()

A.1B.—C.(0,1,0)(0，；，；

【正確答案】C

XX廠

【分析】根據(jù)題意得cos《,?=苧，進(jìn)而根據(jù)投影向量的概念求解即可.

【詳解】解：因?yàn)?二(0,1,1),二(0,1,0),所以|彳=應(yīng),0=1,

XX

所以cos(a,b)=

XXX,6

所以:在，上的投影向量為“cos(a,?*=^x，(0,l,0)=p,1,0)

\b\2

故選：C

6.AABC的周長(zhǎng)是8,8(-1,0),C(1,0),則頂點(diǎn)A的軌跡方程是()

2222

A.二+匕=1(XH±3)B.J匕=l(x聲0)

9898

X2v2x2v2

C.1+、=1(尸0)D.石+亍=l(y#o)

【正確答案】A

由周長(zhǎng)得/8+4C=6,從而知/的軌跡是以8,C為焦點(diǎn)的橢圓，再根據(jù)已知條件可求得軌

跡方程.注意范圍.

【詳解】解：?.?△/8C的兩頂點(diǎn)8(-1,0),C(1,0),周長(zhǎng)為8,...8C=2,AB+AC=6,

：6>2,.?.點(diǎn)4到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，

.,.點(diǎn)N的軌跡是以8,C為焦點(diǎn)的橢圓，且2n=6,c=l,6=2及，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是工+或=1(XH±3).

98

故選：A.

結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查求軌跡方程，解題方法是定義法，根據(jù)恬條件確定軌跡是橢圓，由已知

確定焦距和實(shí)軸長(zhǎng)，由此易得方程，解題還要注意隱藏條件ABC,因此要去掉直線8c上

的兩點(diǎn).否則出錯(cuò).

7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》是明代數(shù)學(xué)家程大位（1533-1606年）所著.該書(shū)中有如

下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”.其意

思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且下一層燈數(shù)是上一層的2倍，則可得塔的最頂層共

有燈幾盞？''.若改為"求塔的最底層幾盞燈？“，則最底層有（）盞.

A.192B.128C.3D.1

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，利用通項(xiàng)公式和求和公式進(jìn)行求解.

【詳解】設(shè)這個(gè)塔頂層有x盞燈，則問(wèn)題等價(jià)于一個(gè)首項(xiàng)為x,公比為2的等比數(shù)列的前7

項(xiàng)和為381,

所以x（2'T）=38i，解得X=3,

2-1

所以這個(gè)塔的最底層有3X2'7=192盞燈.

故選：A.

8.過(guò)雙曲線C=1（〃>/>>0）的左焦點(diǎn)片作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P,苣為右焦點(diǎn),

ab

若N環(huán)珍=45。，則雙曲線的離心率為（）

A.—B.72-1C.V2D.V2+1

【正確答案】D

【分析】由題知△尸耳與是等腰直角三角形，戶耳1=16瑪|=2c,又根據(jù)通徑的結(jié)論知

|P用=?,結(jié)合從=02-/可列出關(guān)于c的二次齊次式，即可求解離心率.

【詳解】由題知△尸耳鳥(niǎo)是等腰直角三角形，且/片產(chǎn)名=45。，

?.?I咫|=|用4=加，

序A2

又Q|PfJ=—,—=2c,即/?2=2。。，

b2=c2-a2,c2-a2=2ac,We2-2e-2=0

解得e=2->=1±y/2，

2

Qe>l,/.e=l+V2.

故選：D.

二、多選題

9.若｛￡.m構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是()

A.b+c<b，b-cB.a>a+b>a-hC.a+b>a-b，cD.a+b>a+b+c>c

【正確答案】ABD

【分析】逐項(xiàng)判斷各選項(xiàng)的向量是否不共面，從而可得正確的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?X=；[僅X+X小伍x-X磯,故『+；,b,力二共面；

X|XXXX.八，

對(duì)于B,因?yàn)閍=5[(a+b)+(Q—6“，故Q，a+b,a-6共面；

，、，、，、，、，、，、

對(duì)于D,因?yàn)閏=a+b+c-(a+b),故展"，a+b+c-c共面；

對(duì)于C,若;+，；a-b,I共面，則存在實(shí)數(shù)九〃，使得：，

c=4(a+〃)+〃(a-6)=0++0—〃?,故a,b,c共面，

這與｛/；｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底矛盾，

故選：ABD

22

10.已知曲線c的方程為，+工=1(々wR,且％H2,%R6),則下列結(jié)論正確的是

k-26-k

()

A.當(dāng)左二4時(shí)，曲線。為圓B.若曲線C為橢圓，且焦距為2亞，則左=5

C.當(dāng)左<2或左>6時(shí)、曲線C為雙曲線D.當(dāng)曲線C為雙曲線時(shí)，焦距等于4

【正確答案】AC

【分析】寫(xiě)出當(dāng)上=4時(shí)的曲線方程，即可判斷A;分情況求出當(dāng)曲線表示橢圓時(shí)上的值，可

判斷B；當(dāng)％<2或%>6時(shí)，判斷A-2,6-A的正負(fù)，即可判斷C;當(dāng)曲線C為雙曲線時(shí)，確

定人的范圍，求得焦距，可判斷D.

【詳解】當(dāng)左=4時(shí)，方程為］+：=1,即/+丁=2,表示圓，故A正確；

若曲線C為橢圓，且焦距為20，

則當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，k-2>6-k>0且"2-(6-%)=2,解得左=5；

當(dāng)焦點(diǎn)在夕軸上，6-k>k-2>0且6-&-(〃-2)=2,解得左=3,

故此時(shí)％=5或左=3,故B錯(cuò)誤；

當(dāng)后<2時(shí)，k-2<0,6-k>0,曲線達(dá)+￡=1表示的是焦點(diǎn)位于>軸上的雙曲線；

,)2

當(dāng)%>6時(shí)，k-2>0,6-k<0,曲線工+工=1表示的是焦點(diǎn)位于x軸上的雙曲線；故

k-26-k

C正確：

當(dāng)曲線C為雙曲線時(shí)，(”2)(6T)<0,即A<2或Q6,

當(dāng)A<2時(shí)，左―2<0,6—左)0,焦距2c=2<8-2k,

當(dāng)左>6時(shí)，左一2>0,6—左<0,焦距2c=212k-8，

故D錯(cuò)誤，

故選：AC

11.如圖，正方體/8C。-44GA的棱長(zhǎng)為1，E,F,G分別為8C,CC,,的中點(diǎn)，

A.直線與直線4尸垂直

B.直線4G與平面NEF平行

9

C.平面XEF截正方體所得的截面面積為三

O

D.點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面ZEF的距離相等

【正確答案】BC

【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算確定直線與直線/尸的位置關(guān)系：（2）根據(jù)面面平行

來(lái)證明線面平行；（3）先根據(jù)四點(diǎn)共面確定截面，進(jìn)而算截面面積；（4）利用等體積法思想證

明求解.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),

DA,DC,所在的直線分別為X,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

,4（0,0』）.

從而=（0,0,1）,/1F=I

從而。。Z尸=5*0,所以直線。。與直線4F不垂直，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B,取5c的中點(diǎn)為〃，連接4",GM,則易知《收〃ZE,

又4A/E平面4EF,4^（::平面工石尸，故4M〃平面

又GMHEF,GA/a平面AEF,E尸u平面Z￡F,

所以GM〃平面/EF,

又A[MGM=M,AtM,GMu平面AfiM,

故平面4MG〃平面/所，

又％Gu平面4MG,從而4G〃平面選項(xiàng)B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C‘連接力"，RF,如圖所示,

???正方體中/烏〃80〃即，，A,E,F,%四點(diǎn)共面,

二四邊形AEFD,為平面AEF截正方體所得的截面四邊形，且截面四邊形/EFQ為梯形,

又由勾股定理可得〃F=/E=曰，g=6,EF考，

梯形AEFD｝為等腰梯形，高為學(xué)------―-=拶，

S梯畛wo,=；x&=選項(xiàng)C正確；

1

對(duì)于選項(xiàng)D,由于工（6=；xgxl=；,S￡cF=gxgxg=

8-

而V/-GEF=§$EFG，AB,^A-ECF~^BCF,,

**?^A-GEF~2%一BCF，即^G-AEF=2人-AEF>

點(diǎn)G到平面ZE尸的距離為點(diǎn)C到平面AEF的距離的2倍，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選:BC.

12.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法商功》中，后人稱(chēng)為“三角垛”“三

角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…設(shè)第〃層有?！▊€(gè)球，從上往

下〃層球的總數(shù)為S〃，則（）

B.S5=35

11112021

D.一十一+—+T---------------------------

aAa2a3“20221011

【正確答案】ABC

【分析】由題可得%-〃-=〃，利用累加法可得知,由遞推公式即可判斷A,計(jì)算前5項(xiàng)

的和可判斷B,由%=S“-S一即可判斷C,利用裂項(xiàng)相消求和法可判斷D.

【詳解】因?yàn)?=1,

a2-a}=29

a3-a2=3,

-二〃，

以上〃個(gè)式子累加可得%=1+2+3+…+〃=當(dāng)由，n>2,

q=1時(shí)也滿足上式，故/=當(dāng)2，

所以§5=q+/+03+44+%=1+3+6+10+15=35,故B正確;

由遞推關(guān)系可知%+「%=〃+1,故A正確；

當(dāng)〃22,S,,—故C正確；

所以—I---------F,??H---------------=21—+2----++2------------=21-------=------

qa2生022I2)[23J(20222023)(2023J2023

D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

三、填空題

13.。為2和6的等差中項(xiàng)，貝.

【正確答案】4

【分析】利用等差中項(xiàng)的定義可求得結(jié)果.

【詳解】由等差中項(xiàng)的定義可得。=孚=4.

故答案為.4

14.如圖，已知平行六面體488-4四。1烏中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，

AAt-2,ZAtAB-ZAtAD-60°,AB=a^AD=b,AAi=c.則卜G卜

【正確答案】Vio

【分析】利用空間向量的運(yùn)算法則，將NG表示成Gb+C，兩邊平方利用向量數(shù)量積即可

求得

【詳解】由題意可知

又BC=AD,4A]=CCt,所以/C1=/8+/。+44=a+b+c,

易知能M、=1，F(xiàn)=2,所以|萄^=（2人今=|手+0+。+2aS+2aKf-2&ii

因?yàn)榈酌媸钦叫危?6,即au（）

又乙4/3=40=60。，所以北1=|可，cos60^=1,/W=|^[<|cos60^=1,

=1+1+4+0+2+2=10,所以|/6|=麗

故而

15.已知點(diǎn)尸是拋物線f=”的焦點(diǎn)，點(diǎn)M0,2),點(diǎn)尸為拋物線上的任意一點(diǎn)，則1PMi+|「目

的最小值為.

【正確答案】3

【分析】根據(jù)拋物線的定義可求最小值.

【詳解】如圖，過(guò)P作拋物線準(zhǔn)線y=-i的垂線，垂足為。，連接MQ,

則1PM=忸閭+|P0|>|M2|>2+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)M,P,。共線時(shí)等號(hào)成立，

故歸歷|+|尸尸1的最小值為3，

故3.

16.設(shè)橢圓C：］+/=l的左、右焦點(diǎn)分別為「石，則下列說(shuō)法中正確的有

(填序號(hào)，漏填或錯(cuò)填都沒(méi)有分)

(1)離心率e=?

2

(2)過(guò)點(diǎn)耳的直線與橢圓交于N,8兩點(diǎn)，則△A8行的周長(zhǎng)為46

(3)若P是橢圓C上的一點(diǎn)，則△出寫(xiě)面積的最大值為1

(4)若P是橢圓C上的一點(diǎn)，且/耳盟=60。，則△產(chǎn)《工面積為立

3

【正確答案】(2)(3)(4)

【分析】對(duì)于(1),由橢圓方程求出外6、c的值，求得橢圓離心率即可判斷；

對(duì)于(2),求出△NB5的周長(zhǎng)即可判斷;

對(duì)于(3),由三角形面積公式求出△小月面積的最大值即可判斷；

n

2

對(duì)于(4),方法1：直接應(yīng)用橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積公式：SXPFiFi=btanp(其中b為

橢圓的短半軸長(zhǎng)，。為半PFQ；

方法2：由橢圓定義、余弦定理以及三角形面積公式可得△尸片鳥(niǎo)的面積即可判斷.

【詳解】對(duì)于(1),由題意知，a=五,b=l,:.c=后==母=1，

???e=￡=J==日，故(1)錯(cuò)誤；

ay/22

對(duì)于(2),C△“3=|陽(yáng)|+|/￡|+|%|+|眶|=4〃=6,故(2)正確；

對(duì)于(3),%對(duì)&=；X2CX|%|=|%|46=1,當(dāng)點(diǎn)尸在短軸端點(diǎn)時(shí)取最大值，故(3)正確;

對(duì)于(4),方法1：S=b2tan-=tan30^=—:

△AP小FF323

方法2：,:PF\+PF2=2a=m,

.?.在△尸片匕中，由余弦定理得：

cos60-P￡F+|PV『="用+］尸察|廣21mliP/|-IKEF

21Mll你|2\PF,\\PF2\

_(20)2—21尸,II尸61—224—21P耳IIJ_

-2\PF｝\\PF2\"2\PFt\\PF2\2

4

解得:|用||%|=§,

...S△際八=g|尸耳||町|sin60"=gxgx￥=乎，故(4)正確.

故(2)(3)(4).

四、解答題

17.在①q+。6+《0=°，②-2生=43，③。3a5=。；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)

題的題設(shè)條件中.

問(wèn)題：等差數(shù)列｛4｝的公差為必4片0),滿足%+%+%=T5,?

(1)求數(shù)列｛。“｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，得到最小值時(shí)〃的值.

【正確答案】(1)選擇條件見(jiàn)解析，％=3〃-17

(2)77=5

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛對(duì)｝的公差為d(dwo),由/+%+%=T5,得到弓二-5-3",

選①％+4+《0=的+1旬=o,聯(lián)立求解；選②-2q-2d=q+12d,聯(lián)立求解；選

③(q+2d)(4+4d)=(q+6J)2,聯(lián)立求解；

(2)由(1)知。“=3〃-17,令=3--17Vo求解.

【詳解】(1)解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d(d=O),

得q=-5-3d,

選①q+4+4o=34+14t/=一15+51=0,

得d=3,

故q=-14,

/.an=3?-17.

選②-2a2=-2a,-2d=a]+\2d=a]3,

得3q=-15-9d=-14d,得Q=3,

故q=-14,

Aan=3?-17.

選③%%=(《+24)(q+4d)=(Q]+6t/)2=a；,

(-5-d)(-5+1)=(-5+31)2,得[=3,

故q=-14,

，=3〃-17；

(2)由(1)知?！?3〃-17,——14<0,d=3>0,

二數(shù)列｛6,｝是遞增等差數(shù)列.

172

由%=3〃-17W0,得〃4—=54—,

33

二〃45時(shí)，??<0,

〃26時(shí)，>0,

.??“=5時(shí),s,得到最小值.

18.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體/88-44G4中，E,尸分別為48,8c上的動(dòng)點(diǎn)，且

AE=BF=a.

(1)求證：A.FVC.E.

(2)當(dāng)”=1時(shí)，求點(diǎn)/到平面GEF的距離.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)如圖，以8c為X軸，8/為V軸，8瑪為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向

量法分別求出4萬(wàn)和，再證明4片:即可：

(2)利用空間向量的數(shù)量積求出平面GEF的法向量；二(x,%z),結(jié)合求點(diǎn)到面距離的向量法即

可得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：如圖，以為X軸，以為y軸，84為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則E(0,2-a,0),F(a,O,O),A,(0,2,2),￡(2,0,2),

所以4尸=(a,-2,-2),C,E=(-2,2-a,-2),

所以4F?GE=(a,-2,-2)?(-2,2-a,-2)=0,

故4片所以4E_LCE；

(2)當(dāng)a=l時(shí),￡(0,1,0),尸(1,0,0),4(0,2,0),￡(2,0,2),

則(1,-1,0),FC,=(1,0,2),J￡=(0,-l,0),

設(shè)；：(x/,z)是平面CE尸的法向量，則

由代主、一；二，解得「X，取x=2,得］(2,2,-1),

n-FCX=x4-2z=0z=--

設(shè)點(diǎn)A到平面C、EF的距離為d,則d=國(guó)型=1(。，7產(chǎn)(2,2,-1)|=2,

|n|V4+4+13

所以點(diǎn)/到平面GEF的距離為;.

19.已知圓C過(guò)兩點(diǎn)4-2,0),8(2,4),且圓心C在直線2—-4=0上.

(1)求圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸(6,46)作圓C的切線，求切線方程.

【正確答案】(1)一+必-以一12=0.(或標(biāo)準(zhǔn)形式(x-2)2+/=i6)

(2)x=6x—yfiy+6=0

【分析1(1)根據(jù)題意，求出/B的中垂線方程，與直線2x-y-4=0聯(lián)立，可得圓心C的

坐標(biāo)，求出圓的半徑，即可得答案；

(2)分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，求出切線的方程，綜合可得答案.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意，因?yàn)閳AC過(guò)兩點(diǎn)4-2,0),8(2,4),

設(shè)N8的中點(diǎn)為則"(0,2),

因?yàn)槿?=1，所以的中垂線方程為P-2=-(x-0),EPy=2-x

2一(一勿

fy=2-x(X=2

又因?yàn)閳A心在直線2x-y-4=0上，聯(lián)立；解得所以圓心C(2,0),半

徑r=|g=4,故圓的方程為(x-2)2+產(chǎn)=16,

(2)解：當(dāng)過(guò)點(diǎn)尸的切線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線x=6與圓C相切

當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線斜率在存在時(shí)，設(shè)切線方程為卜一46=上卜一6)即去-夕+4行-6左=0(*)

由圓心C到切線的距離”斗=4,可得人正

A/F7T3

將左=等代入(*),得切線方程為x-島+6=0

綜上，所求切線方程為x=6或x-島+6=0

20.已知數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S“，邑=13,??+1=2S?+l.

(1)證明：數(shù)列｛《,｝是等比數(shù)列；

⑵若"=肅＞求數(shù)列抄也”的前”項(xiàng)和T?.

10&73""+1

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

n

⑵4(〃+1)

【分析】(1)〃”+|=2S,+1中令”=1和〃=2結(jié)合邑=4+4+4求得《，”2,然后%+i=2S.+1

中利用S“-S,E=/得數(shù)列｛”“｝的遞推關(guān)系得數(shù)列為等比數(shù)列：

(2)由(1)求得/再得出"，利用裂項(xiàng)相消法求得和7；.

【詳解】(1)因?yàn)橐?13,所以q+/+%T3,

因?yàn)?+i=2S“+1,所以%=252+1,?,=2S,+1,即2(%+“2)+1=%，。2-2《=1,

解得q=l,々=3,當(dāng)〃“時(shí)，a"=2S“_+l,與“用=2S”+1聯(lián)立,

得?！?1-4=2%,所以誓=3.

an

又因?yàn)椤?3,所以｛6,｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)歹I」.

a\

,,111

（2）由（1）得見(jiàn)=3〃T,所以"=碣3=三，%=五*，

所以b“b“*L

所以1=；(l_g+n

+

2~3"4(n+1)

21.如圖，在四棱錐尸-45CZ）中，_L底面/8c。，底面458是矩形，PA=2AD=4,

且PC=2#，點(diǎn)E在尸C上.

（1）求證：8。/平面以。；

（2）若E為PC的中點(diǎn)，求直線PC與平