人教A版高一數(shù)學必修第一冊期末復習知識點

人教A版高一數(shù)學必修第一冊期末復習知識點匯總必修第一冊·第一章《集合與常用邏輯用語》1.元素把研究的對象統(tǒng)稱為元素.（用小寫字母表示：）2.集合把一些元素組成的總體叫做集合.（用大寫字母表示：）3.元素的特征確定性、互異性、無序性.①求集合或元素時，一定要檢驗集合中元素的互異性.4.元素與集合的關系①屬于：；②不屬于：.5.常用數(shù)集①自然數(shù)集（包含和正整數(shù)）②正整數(shù)集或③整數(shù)集④有理數(shù)集⑤實數(shù)集⑥復數(shù)集⑦素數(shù)集（質(zhì)數(shù)集）6.集合的分類①有限集；②無限集；③空集.7.集合的表示方法①列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用括起來.例如、②描述法：把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為.例如、③圖示法（圖）：用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合.例如8.常見集合的表示方法①方程的解集：②不等式的解集：③函數(shù)自變量構成的集合：④函數(shù)因變量構成的集合：⑤函數(shù)圖象上的點構成的集合：⑥方程組的解：或⑦奇數(shù)集：⑧偶數(shù)集：①做題時，要認清集合中元素的屬性（點集、數(shù)集、自變量、因變量···），以及元素的范圍（、、、···）.9.子集集合中任意一個元素都是集合中的元素.記作：或讀作：包含于或包含①任何一個集合是它本身的子集.②若，且，則.10.集合相等若，且，則.①若，且，則.②欲證，只需證，且.11.真子集如果集合是集合的子集，并且中至少有一個元素不屬于.記作：或讀作：真包含于或真包含①若，且，則.②若，且，則.③和用于集合和集合之間，和用于元素和集合之間.12.空集不含任何元素的集合.符號：①空集是任何集合的子集.②空集是任何非空集合的真子集.③解決有關、等問題時，一定要先考慮的情況，以防漏解.13.子集個數(shù)與元素個數(shù)的關系設有限集合有個元素,則其子集個數(shù)是，真子集個數(shù)是，非空子集個數(shù)是，非空真子集個數(shù)是.14.交集屬于集合且屬于集合.（和的公共部分）記作：讀作：交含義：①；②；③；④；⑤；⑥.15.并集屬于集合或?qū)儆诩?（包含和的所有元素）記作：讀作：并含義：①；②；③；④；⑤；⑥.16.全集研究問題中涉及的所有元素.符號：17.補集由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合.符號：含義：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.⑨注意補集思想在解題中的運用，“正難則反”.18.命題可以判斷真假的陳述句叫做命題.判斷為真的語句是真命題；判斷為假的語句是假命題.表示：“若，則”、“如果，那么”.其中為命題的條件,為命題的結(jié)論.19.充分條件與必要條件①“若，則”是真命題，即，則是的充分條件，是的必要條件；②“若，則”是假命題，即，則不是的充分條件，不是的必要條件.判斷充分條件、必要條件的三種方法：①定義法：直接判斷“若，則”以及“若，則”的真假；②集合法：利用集合的包含關系判斷；③傳遞法：充分條件、必要條件、充要條件都具有傳遞性，若，，則.20.充要條件如果“若，則”和“若，則”都是真命題，即既有，又有，則可記作，這時稱是的充分必要條件，簡稱充要條件.充分條件、必要條件的判斷：①且是的充分不必要條件②且是的必要不充分條件③是的充要條件④且是的既不充分也不必要條件21.全稱量詞短語“所有的”“任意一個”通常叫做全稱量詞.符號：含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.“對中任意一個，成立”用符號記為：22.存在量詞短語“存在一個”“至少有一個”通常叫做存在量詞.符號：含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.“存在中元素的，成立”用符號記為：23.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定①全稱量詞命題的否定為：.②存在量詞命題的否定為：.①命題的否定的書寫：既要轉(zhuǎn)換量詞，又要否定結(jié)論.②全稱量詞命題的否定是存在量詞命題；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.③一個命題和它的否定，只能是一真一假.必修第一冊第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1.比較大小的基本事實：比較兩實數(shù)大小的方法——求差比較法；；。2.恒成立的不等式：一般地，，有，當且僅當時等號成立。說明：（1）指出定理適用范圍：；（2）強調(diào)取“”的條件。3.等式的性質(zhì)：性質(zhì)1：若a=b，則b=a;性質(zhì)2：若a=b,b=c,則a=c;性質(zhì)3：若a=b，則a±c=b±c;性質(zhì)4：若a=b，則ac=bc;性質(zhì)5：若a=b，c≠0，則4.不等式的性質(zhì)：性質(zhì)1：若，則；若，則．即。說明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對稱性。性質(zhì)2：若，，則。不等式的傳遞性。性質(zhì)3：若，則。性質(zhì)4：如果且，那么；如果且，那么。性質(zhì)5：若。性質(zhì)6：如果且，那么。性質(zhì)7：如果，那么。2.2基本不等式1.如果是正數(shù)，那么（當且僅當時取“=”）說明：（1）這個定理適用的范圍：；（2）我們稱的算術平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)。即：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。（3）對于兩個正數(shù)，①若為定值，則，當且僅當時，ab有最大值；②若為定值，則，當且僅當時，a+b有最小值2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式1.一元二次不等式：一般地，我們把只有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式。一般形式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均為常數(shù)，a≠0.2..一元二次方程根的存在性及實根的個數(shù)：對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)（1）△>0，方程有兩個不等實根；（2）△=0，方程有兩個相等實根；（3）△<0，方程無實根3..從函數(shù)觀點看一元二次方程和不等式：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系：注：①當a<0時，轉(zhuǎn)化為a>0的情況研究。②ax2+bx+c<0的解集為R，則；③ax2+bx+c≤0的解集為R，則；④ax2+bx+c>0的解集為,則；⑤ax2+bx+c≥0的解集為,則.必修第一冊第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)1．（1）實數(shù)指數(shù)冪：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且n∈N。當n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)。記作當n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個且為互為相反數(shù)，負數(shù)沒有偶次方根。記作±0的任何次方根都是0。（2）當n為奇數(shù)時，=a；當n為偶數(shù)時，=|a|=；（3）①；②（4）實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)為：①；②；③4.2指數(shù)函數(shù)1．指數(shù)函數(shù)概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。2．指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：0<a<1a>1圖象定義域R值域性質(zhì)①過定點（0，1）②單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)③x>0,ax的范圍：（0，1）（1，+∞）④x<0,ax的范圍：（1，+∞）（0，1）4.3對數(shù)1．對數(shù)概念：（1）對數(shù)的概念：一般地，如果，那么數(shù)稱以為底N的對數(shù)，記作其中稱對數(shù)的底，N稱真數(shù)。2.對數(shù)與指數(shù)間的關系：當時，3.有關對數(shù)的幾個結(jié)論：①負數(shù)和零無對數(shù)；②；③；④4..對數(shù)運算性質(zhì)：如果則①；②；③R）。④換底公式：⑤4.4對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)函數(shù)函數(shù)：一般地，函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)2．對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：0<a<1a>1圖象定義域(0,+∞)值域R性質(zhì)①過定點(1,0)②單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)③0<x<1,的范圍：（0，+∞）（-∞，0）④x>1,的范圍：（-∞，0）（0，+∞）3．叫做互為反函數(shù)。4.5函數(shù)的零點與方程的解1.函數(shù)零點：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。2.函數(shù)零點的等價含義：函數(shù)的零點方程實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標。3.函數(shù)零點的存在性判斷：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點。4.零點存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點。既存在，使得，這個也就是方程的根。5.二分法：對于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足·的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．6.二分法求零點的步驟：給定精確度，（1）確定零點x0的初始區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)<0.（2）求區(qū)間(a,b)的中點c。（3）計算f(c),并進一步確定零點所在區(qū)間：

①若f(c)=0，（此時x0=c），則c就是函數(shù)的零點；②若f(a)f(c)<0,（此時x0∈(a,c)）,則令b=c;③若f(b)f(c)<0,（此時x0∈(c,b)）,則令a=c;（4）判斷是否達到精確度：若|a-b|<,則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟（2）～（4）.必修第一冊第五章三角函數(shù)5.1任意角和弧度制1．任意角的概念：一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角。2．終邊相同的角：所有與某個角α具有同終邊的所有角，連同角α在內(nèi)，可以構成一個集合{β|β=2kπ+α，k∈Z}，J即任意與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與正數(shù)個周角的和。3．弧度制（1）長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角；一般地,正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定。（2）角的弧度數(shù)的絕對值是：，其中，l是圓心角所對的弧長，是半徑。（3）弧度與角度互換公式：180°=rad,1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝≈0.01745（rad）?；￠L公式：（是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：。5.2三角函數(shù)的概念1．三角函數(shù)定義設是一個任意角，∈R,它的終邊OP與單位圓交于點,那么:(1)叫做的正弦,記做,即；（2）叫做的余弦,記做,即；（3）叫做的正切,記做,即。也是一角為自變量，以單位圓上點的縱坐標與橫坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，稱為正切函數(shù)。我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。2.三角函數(shù)值在各個象限的符號：函數(shù)符號第一象限第二象限第三象限第四象限sin++--cos+---tan+-++3.同角三角函數(shù)的基本關系同一個角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切。5.3誘導公式1.誘導公式公式一：，，其中公式二：=；=-；公式三：；；公式四：；；公式五：；；公式六：；2.任意角化為銳角三角函數(shù)的方式：5.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.正弦、余弦與正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)：函數(shù)性質(zhì)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)圖像周期性;最小正周期2;最小正周期2;最小正周期定義域RR{x|x}值域[-1,1][-1,1]R最值當x=時取最小值-1，當x=時取最大值1；當x=時取最小值-1，當x=時取最大值1；無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性遞增區(qū)間是遞減區(qū)間是遞增區(qū)間是遞減區(qū)間是遞增區(qū)間是圖像的軸對稱性對稱軸為，對稱軸為，無圖像的中心對稱性對稱中心為；對稱中心為（，0）；對稱中心為零點2.周期函數(shù)：一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，若果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D，都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么f(x)就叫周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫這個函數(shù)的周期。k∈Z，且k≠0,常數(shù)kT都是它的周期。如果周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)那么這個最小正數(shù)就叫f(x)的最小正周期。3.函數(shù)，,， （其中）的相關性質(zhì)：函數(shù)性質(zhì)周期性周期;最小正周期周期;最小正周期周期;最小正周期定義域RR{x|}值域[-A,A][-A,A]R最值當=時取最小值-1，當=時取最大值1；當=時取最小值-1，當=時取最大值1；無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性遞增區(qū)間是∈遞減區(qū)間是∈遞增區(qū)間是∈遞減區(qū)間是∈遞增區(qū)間是∈圖像的軸對稱性對稱軸為，對稱軸為，無圖像的中心對稱性對稱中心為：對稱中心為（，0）；對稱中心為零點5.5三角恒等變換1．兩角和與差的三角函數(shù)；；。2．二倍角公式；；。注：三角函數(shù)式的化簡常用方法：①直接應用公式進行降次、消項；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③三角公式的逆用等。（2）化簡要求：①能求出值的應求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。3.降冪公式；；。4.輔助角公式，。5.6函數(shù)圖像1．由y＝sinx的圖象變換出y＝Asin(ωx＋)的圖象一般有兩個途徑：途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將y＝sinx的圖象