2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列專題7.2 期中期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)之軸對(duì)稱圖形十九大必考點(diǎn)（舉一反三）（蘇科版）含解析

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列專題7.2軸對(duì)稱圖形十九大必考點(diǎn)【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1軸對(duì)稱中坐標(biāo)與圖形變化】 1【考點(diǎn)2格點(diǎn)中的軸對(duì)稱】 2【考點(diǎn)3設(shè)計(jì)軸對(duì)軸圖案】 3【考點(diǎn)4鏡面對(duì)稱】 5【考點(diǎn)5利用軸對(duì)稱求最值】 5【考點(diǎn)6尋找構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】 6【考點(diǎn)7利用三線合一求值】 7【考點(diǎn)8利用三線合一證明】 8【考點(diǎn)9利用等角對(duì)等邊證明邊長(zhǎng)相等】 9【考點(diǎn)10利用等角對(duì)等邊證明】 10【考點(diǎn)11作等腰三角形】 12【考點(diǎn)12等邊三角形的判定與性質(zhì)】 13【考點(diǎn)13含30度的直角三角形】 15【考點(diǎn)14尺規(guī)作垂直平分線、垂線、角平分線】 16【考點(diǎn)15垂直平分線的判定與性質(zhì)】 17【考點(diǎn)16等腰三角形中的新定義問(wèn)題】 19【考點(diǎn)17角平分線的判定與性質(zhì)的綜合求值】 22【考點(diǎn)18角平分線的判定與性質(zhì)的綜合證明】 23【考點(diǎn)19根據(jù)直角三角形斜邊的中線進(jìn)行計(jì)算與證明】 25【考點(diǎn)1軸對(duì)稱中坐標(biāo)與圖形變化】【例1】（2022·貴州省遵義市第一初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知點(diǎn)P1(2a-b,2)和P2(-7,4a+2b)關(guān)于x軸對(duì)稱，則【變式1-1】（2022·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第五中學(xué)七年級(jí)期中）將點(diǎn)A先向下平移3個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位后得B（﹣2，5），則A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________．【變式1-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)P（2a+b，-3a）與點(diǎn)P′（8，b+2）．(1)若點(diǎn)p與點(diǎn)p′關(guān)于x軸對(duì)稱，求a、b的值．(2)若點(diǎn)p與點(diǎn)p′關(guān)于y軸對(duì)稱，求a、b的值．【變式1-3】（2022·吉林白山·八年級(jí)期末）在坐標(biāo)平面上有一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其中A（3，﹣52）和B（3，﹣112）是圖形上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，若此圖形上另有一點(diǎn)C（﹣2，﹣9），則A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣32） C．（﹣32，﹣9） D．（﹣2，﹣【考點(diǎn)2格點(diǎn)中的軸對(duì)稱】【例2】（2022·湖北·武漢市光谷實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，是一個(gè)8×10正方形格紙，△ABC中A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2，1)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1，2)．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中建立平面直角坐標(biāo)系，指出△ABC和△A(2)作出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱圖形△A1B1C1；請(qǐng)直接寫(xiě)出(3)在x軸上求作一點(diǎn)M，使△AB'M【變式2-1】（2022·山東濟(jì)南·八年級(jí)期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），過(guò)點(diǎn)（1，0）作x軸的垂線l．(1)作出△ABC關(guān)于直線l的軸對(duì)稱圖形△A(2)直接寫(xiě)出A1（，），B1（，），C1（(3)在△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P（m，n），則點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（，）（結(jié)果用含m，n【變式2-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，M，N都在格點(diǎn)上．(1)作△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的圖形△A(2)若網(wǎng)格中最小正方形邊長(zhǎng)為1，求△ABC的面積；(3)在直線MN上找一點(diǎn)P，使得PC-PA1的值最大，并畫(huà)出點(diǎn)【變式2-3】（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心八年級(jí)期中）如圖，已知三點(diǎn)A（-2，3），B（3，-3），C（-3，1），△ABC與△A1B1C1關(guān)于x軸對(duì)稱，其中A1，B1，C1分別是點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．(1)畫(huà)出△A1B1C1，并寫(xiě)出三個(gè)頂點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)M(m+2，n-1)是△ABC上一點(diǎn)，其關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M'(-m-4，【考點(diǎn)3設(shè)計(jì)軸對(duì)軸圖案】【例3】（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示的“鉆石”型網(wǎng)格（由邊長(zhǎng)都為1個(gè)單位長(zhǎng)度的等邊三角形組成），其中已經(jīng)涂黑了3個(gè)小三角形（陰影部分表示），請(qǐng)你再只涂黑一個(gè)小三角形，使它與陰影部分合起來(lái)所構(gòu)成的圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，一共有（

）種涂法．A．1 B．2 C．3 D．4【變式3-1】（2022·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖為5×5的方格，其中有A、B、C三點(diǎn)，現(xiàn)有一點(diǎn)P在其它格點(diǎn)上，且A、B、C、P為軸對(duì)稱圖形，問(wèn)共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)P（）A．5 B．4 C．3 D．2【變式3-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）在3×3的正方形網(wǎng)格中，有三個(gè)小方格涂上陰影，請(qǐng)?jiān)僭谟嘞碌?個(gè)空白的小方格中，選兩個(gè)小方格并涂成陰影，使得圖中的陰影部分組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，共有()種不同的填涂方法．A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【變式3-3】（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）現(xiàn)有如圖1所示的兩種瓷磚，請(qǐng)你從兩種瓷磚中各選兩塊，拼成一個(gè)新的正方形，使拼成的圖案為軸對(duì)稱圖形，如圖2，要求：在圖3，圖4中各設(shè)計(jì)一種與示例拼法不同的軸對(duì)稱圖形．【考點(diǎn)4鏡面對(duì)稱】【例4】（2022·江蘇·宜興外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）小明在鏡中看到身后墻上的時(shí)鐘如下，你認(rèn)為實(shí)際時(shí)間最接近9：00（

）A． B． C． D．【變式4-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）某公路急轉(zhuǎn)彎處設(shè)立了一面圓形大鏡子，從鏡子中看到汽車車牌的部分號(hào)碼如圖所示，則該車牌照的部分號(hào)碼為_(kāi)___．【變式4-2】（2022·黑龍江·哈爾濱順邁學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）從鏡子中看到背后墻上電子鐘的示意數(shù)為10：05,這時(shí)的實(shí)際時(shí)間為_(kāi)_____.【變式4-3】（2022·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)期中）小明從平面鏡子中看到鏡中電子鐘示數(shù)的像如圖所示，這時(shí)的時(shí)刻應(yīng)是________．【考點(diǎn)5利用軸對(duì)稱求最值】【例5】（2022·湖南·李達(dá)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分線，若P，Q分別是AD何AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC＋PQ的最小值是（

）A．2.4 B．4 C．4.8 D．5【變式5-1】（2022·河南駐馬店·七年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=α，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠MAN的度數(shù)為（

）A．12α B．2α-180° C．180°-α 【變式5-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，AC＝5，動(dòng)點(diǎn)M在線段AC上運(yùn)動(dòng)(不與端點(diǎn)重合)，點(diǎn)M關(guān)于邊AD，DC的對(duì)稱點(diǎn)分別為M1，M2，連接M1M2，點(diǎn)D在M1M2上，則在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段M1M2長(zhǎng)度的最小值是_______．【變式5-3】（2022·福建龍巖·八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，M、N、P分別是邊AB、AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM、PN和MN，則PM+PN+MN的最小值是_______．【考點(diǎn)6尋找構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】【例6】（2022·廣東·豐順縣潘田中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中找一個(gè)頂點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的頂點(diǎn)C有（

）A．8個(gè) B．7個(gè) C．6個(gè) D．5個(gè)【變式6-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直線BC上取一點(diǎn)P使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有___個(gè)．【變式6-2】（2022·安徽·利辛縣汝集鎮(zhèn)西關(guān)學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，△ABC的點(diǎn)A、C在直線l上，∠B=120°,?∠ACB=40°，若點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ABP成為等腰三角形時(shí)，則【變式6-3】（2022·天津市武清區(qū)楊村第五中學(xué)八年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A（3，0），B（0，4），若點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，且△PAB是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P有_____個(gè)．【考點(diǎn)7利用三線合一求值】【例7】（2022·河北保定·八年級(jí)期末）如圖，一位同學(xué)拿了兩塊同樣的含45°的三角尺，即等腰直角△MNK，等腰直角△ACB做了一個(gè)探究活動(dòng)：將△MNK的直角頂點(diǎn)M放在△ABC的斜邊AB的中點(diǎn)處，設(shè)AC＝BC＝a，猜想此時(shí)重疊部分四邊形CEMF的面積為（

）A．12a2 B．13a2 C．14a2 D．【變式7-1】（2022·廣東·深圳市布心中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E中同一條直線上，CM平分∠DCE，連接BE，以下結(jié)論：①AD=DC；②CM⊥AE；③AE-BE=2CM；④∠BCM=∠CBE，正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式7-2】（2022·浙江·平陽(yáng)蘇步青學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，AC＝6，DE＝2，則△BCE的面積是(

)A．4 B．6 C．8 D．12【變式7-3】（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，若DE＝4，則CF的長(zhǎng)為_(kāi)____.【考點(diǎn)8利用三線合一證明】【例8】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)八年級(jí)）已知：如圖△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們交于點(diǎn)H，且AE=BE．求證：(1)△AHE≌△BCE；(2)AH=2BD．【變式8-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，連接EF交AD于G，試判斷AD與EF垂直嗎？并說(shuō)明理由．【變式8-2】（2022·北京·垂楊柳中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，其中AD，BE都是△ABC的高．求證：∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．【變式8-3】（2022·山東青島·七年級(jí)期末）已知，在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接CE(1)如圖①，若E運(yùn)動(dòng)到BD上，過(guò)點(diǎn)A作CE的垂線交CD于點(diǎn)G，CE于點(diǎn)F，CB于點(diǎn)H，求證：CG=BE；(2)如圖②，若E運(yùn)動(dòng)到AD上，過(guò)點(diǎn)A作CE的垂線與CE延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AF交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，試猜想CG、BE的數(shù)量關(guān)系并證明．【考點(diǎn)9利用等角對(duì)等邊證明邊長(zhǎng)相等】【例9】（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線，分別交AB，AC于E，F(xiàn)，則△AEF的周長(zhǎng)是_____.【變式9-1】（2022·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)期中）如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線CF相交于點(diǎn)F，過(guò)F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的長(zhǎng)為_(kāi)_cm．【變式9-2】（2022·浙江·樂(lè)清市知臨寄宿學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，E為AC上一點(diǎn)，AE＝AB，連接DE.(1)求證：△ABD≌△AED；(2)已知∠ABC＝2∠C且BD＝5，AB＝9，求AC長(zhǎng)．【變式9-3】（2022·福建·廈門(mén)雙十中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，為的角平分線．(1)如圖1，若于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，．則_______；(2)如圖2，于點(diǎn)，連接，若的面積是6，求的面積；(3)如圖3，若，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．（用含的式子表示）【考點(diǎn)10利用等角對(duì)等邊證明】【例10】（2022·天津·八年級(jí)期中）如圖：E在△ABC的AC邊的延長(zhǎng)線上，AB＝AC，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DF＝EF，求證：BD＝CE．【變式10-1】（2022·浙江·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線，垂足為點(diǎn)D，DE∥AC，交AB于點(diǎn)E，(1)求證：△BDE是等腰三角形；(2)求證：CD=BE．【變式10-2】（2022·陜西西安·七年級(jí)期末）已知∠AOB=60°，小新在學(xué)習(xí)了角平分線的知識(shí)后，做了一個(gè)夾角為120°（即∠DPE=120°）的角尺來(lái)作∠AOB的角平分線．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)(1)如圖1，他先在邊OA和OB上分別取OD=OE，再移動(dòng)角尺使PD=PE，然后他就說(shuō)射線OP是∠AOB的角平分線．請(qǐng)問(wèn)小新的觀點(diǎn)是否正確，為什么？問(wèn)題探究(2)如圖2，小新在確認(rèn)射線OP是∠AOB的角平分線后，一時(shí)興起，將角尺繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了一定的角度，若角尺旋轉(zhuǎn)后恰好使得DP∥OB，發(fā)現(xiàn)線段OD與OE有一定的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你直接寫(xiě)出線段OD與OE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式10-3】（2022·江西·吉安縣文博國(guó)際學(xué)校八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖①，ΔABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F(1)圖①中有幾個(gè)等腰三角形？猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系．(2)如圖②，若AB≠AC，其他條件不變，在第（1）問(wèn)中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？(3)如圖③，若ΔABC中∠B的平分線BO與∠ACG平分線CO交于O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC，交AB于E，交AC于F．EF與BE、CF【考點(diǎn)11作等腰三角形】【例11】（2022·山東青島·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知：點(diǎn)P和直線BC．求作：等腰直角三角形MPQ，是∠PMQ=45°，點(diǎn)M落在BC上．【變式11-1】（2022·福建省福州屏東中學(xué)八年級(jí)期中）我們知道，含有36°角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一個(gè)頂角等于36°的等腰三角形稱為“黃金三角形”．在△ABC中，已知：AB=AC，且∠B=36°，請(qǐng)用兩種不同的尺規(guī)作圖在BC上找點(diǎn)D，使得△ABD是黃金三角形，并說(shuō)明其中一種做法的理由．【變式11-2】（2022·福建龍巖·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，射線CM∥AB．(1)在線段AB上取一點(diǎn)E，使得CE=CB，在射線CM上確定一點(diǎn)D，使△CDE是以CE為底邊的等腰三角形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；(2)在（1）的條件下，連接AD，求證：AD=BC．【變式11-3】（2022·山東省青島第六十三中學(xué)八年級(jí)期中）已知∠α，線段a，求作：等腰△ABC，使得頂角∠A=∠α，BC上的高為a．【考點(diǎn)12等邊三角形的判定與性質(zhì)】【例12】（2022·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AB上的點(diǎn)，且BE＝CD，AD與CE相交于點(diǎn)F，連接BF，延長(zhǎng)FE至G，使FG＝FA，若△ABF的面積為m，AF：EF＝5：3，則△AEG的面積是（）A．25m B．13m C．【變式12-1】（2022·河南·鄭州市第四初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，邊長(zhǎng)為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF＝2b，點(diǎn)D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長(zhǎng)的最小值是（）A．12a+2b B．12a+43【變式12-2】（2022·廣東·東華學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，已知△ABC和△CDE均是等邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點(diǎn)O，AE與CD交于點(diǎn)G，AC與BD交于點(diǎn)F，連接OC、FG，(1)求證：BD=AE，并求出∠DOE的度數(shù)；(2)判斷△CFG的形狀并說(shuō)明理由；(3)求證：OA+OC=OB．【變式12-3】（2022·廣東·汕頭市金平區(qū)金園實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）曉芳利用兩張正三角形紙片，進(jìn)行了如下探究：初步發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC和△DCE均為等邊三角形，連接AE交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：∠AFB＝60°；深入探究：如圖2，在正三角形紙片△ABC的BC邊上取一點(diǎn)D，作∠ADE＝60°交∠ACB外角平分線于點(diǎn)E，探究CE，DC和AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；拓展創(chuàng)新：如圖3，△ABC和△DCE均為正三角形，連接AE交BD于P，當(dāng)B，C，E三點(diǎn)共線時(shí)，連接PC，若BC＝3CE，直接寫(xiě)出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個(gè)進(jìn)行證明：（1）AP-3PDPC（2）AP+PC+2PDBD-PC+PE【考點(diǎn)13含30度的直角三角形】【例13】（2022·廣東·豐順縣球山中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E在△ABC內(nèi)部，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，則【變式13-1】（2022·福建省永春崇賢中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DBE，且點(diǎn)E落在AB上，DE的延長(zhǎng)線與AC相交于點(diǎn)F，連接DA，BF，若∠ABC=60°，BF=AF．(1)求證△ADF≌△BDF；(2)若AF=2，求DF的長(zhǎng)．【變式13-2】（2022·福建省長(zhǎng)樂(lè)第七中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知∠ABC＝60°，AB＝BC，D是BC邊上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使得AD＝DE，連接CE，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，交CE的垂直平分線于點(diǎn)F，連接EF．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，證明：BF＝2DF；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與B，C兩點(diǎn)重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？并說(shuō)明理由．【變式13-3】（2022·福建·莆田哲理中學(xué)八年級(jí)期末）如圖1，在△ABD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB和AD上的點(diǎn)，滿足AE=EF，連接EF并延長(zhǎng)交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．(1)若DC=DF=EF，求證：AB=BC；(2)如圖2，過(guò)B作BG⊥AD，垂足為G．（i）求證：∠ABG=∠GBD+∠C；（ii）如圖3，連接AC，若∠GBD=30°，AF=BD，△BDG的面積為4，求△AFC的面積．【考點(diǎn)14尺規(guī)作垂直平分線、垂線、角平分線】【例14】（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）兩個(gè)村莊M，N與兩條公路AC，AB的位置如圖所示，現(xiàn)打算在O處建一個(gè)垃圾回收站，要求回收站到兩個(gè)村莊M，N的距離必須相等，到兩條公路AC，AB的距離也必須相等，那么點(diǎn)O應(yīng)選在何處？請(qǐng)?jiān)趫D中用尺規(guī)作圖中找出點(diǎn)O．【變式14-1】（2022·湖北·浠水縣蘭溪鎮(zhèn)河口中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BAC是鈍角，完成下列畫(huà)圖．(1)BAC的平分線AD；(2)AC邊上的中線BE；(3)AC邊上的高BF【變式14-2】（2022·廣東廣州·八年級(jí)期中）如圖，在鈍角△ABC中．(1)用尺規(guī)作圖法作AC的垂直平分線，與邊BC、AC分別交于點(diǎn)D、E（保留作圖痕跡，不用寫(xiě)作法）；(2)在（1）的條件下，畫(huà)出△ABC的AC邊上的高BH（可用三角板畫(huà)圖），連接AD，直接寫(xiě)出∠ADE和∠HBC的大小關(guān)系．【變式14-3】（2022·江蘇·八年級(jí)階段練習(xí)）小宇遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：已知：如圖，∠MON=90°，點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上，且滿足OB>2OA．求作：線段OB上的一點(diǎn)C，使△AOC的周長(zhǎng)等于線段OB的長(zhǎng)．以下是小宇分析和求解的過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：首先畫(huà)草圖進(jìn)行分析，如圖1所示，若符合題意得點(diǎn)C已經(jīng)找到，即△AOC得周長(zhǎng)等于OB的長(zhǎng)，那么由OA+OC+AC=OB=OC+BC，可以得到OA+AC=．對(duì)于這個(gè)式子，可以考慮用截長(zhǎng)得辦法，在BC上取一點(diǎn)D，使得BD=AO，那么就可以得到CA=．若連接AD，由．（填推理依據(jù)）．可知點(diǎn)C在線段AD得垂直平分線上，于是問(wèn)題得解法就找到了．請(qǐng)根據(jù)小宇得分析，在圖2中完成作圖（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)做法，保留作圖痕跡）．【考點(diǎn)15垂直平分線的判定與性質(zhì)】【例15】（2022·廣東·廣州市第九十七中學(xué)八年級(jí)期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延長(zhǎng)線于N．（1）證明：BM=CN；（2）當(dāng)∠BAC=70°時(shí)，求∠DCB的度數(shù)．【變式15-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC中，BE平分∠ABC，E在AC垂直平分線上，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，求證：（1）AG＝CF；（2）BC﹣AB＝2FC．【變式15-2】（2022·山西臨汾·八年級(jí)階段練習(xí)）情景一：小明在數(shù)學(xué)興趣小組探究活動(dòng)課上發(fā)現(xiàn)：對(duì)于一個(gè)△ABC，分別作邊AB，AC的垂直平分線DM，EN相交于點(diǎn)O，如圖1所示，此時(shí)經(jīng)過(guò)測(cè)量后，得到∠MAN＝30°，根據(jù)上述條件，能不能得到∠BAC的度數(shù)呢？小明結(jié)合所學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行了以下論證．證明：∵DM是邊AB的垂直平分線，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B．同理可得∠NAC＝∠C，則∠BAC-解得∠BAC＝105°．情景二：小明繼續(xù)對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行探究發(fā)現(xiàn)：若邊AB，AC的垂直平分線DM，EN相交于點(diǎn)O，如圖2所示，試判斷∠MAN與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系．(1)情景一中得到∠MAB＝∠B的理由是______．(2)在圖1的情況下，若∠MAN的度數(shù)為α，則∠BAC的大小為_(kāi)_____（用含α的代數(shù)式表示）．(3)請(qǐng)寫(xiě)出情景二中∠MAN與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式15-3】（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，CA＝CB，過(guò)點(diǎn)A作射線AP∥BC，點(diǎn)M、N分別在邊BC、AC上（點(diǎn)M、N不與所在線段端點(diǎn)重合），且BM＝AN，連結(jié)BN并延長(zhǎng)交射線AP于點(diǎn)D，連結(jié)MA并延長(zhǎng)交AD的垂直平分線于點(diǎn)E，連結(jié)ED．【猜想】如圖①，當(dāng)∠C＝30°時(shí)，可證△BCN≌△ACM，從而得出∠CBN＝∠CAM，進(jìn)而得出∠BDE的大小為_(kāi)_____度．【探究】如圖②，若∠C＝β．（1）求證：△BCN≌△ACM．（2）∠BDE的大小為_(kāi)_____度（用含β的代數(shù)式表示）．【應(yīng)用】如圖③，當(dāng)∠C＝120°時(shí)，AM平分∠BAC，若AM、BN交于點(diǎn)F，DE＝12DF，DE＝1，則△DEF【考點(diǎn)16等腰三角形中的新定義問(wèn)題】【例16】（2022·山西臨汾·八年級(jí)階段練習(xí)）綜合實(shí)踐在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形．興趣小組成員經(jīng)過(guò)研討給出定義：如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE，則△ABD≌△ACE(SAS)．(1)【初步把握】如圖2，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，則有_______≌________．(2)【深入研究】如圖3，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向外作等邊△ABD和等邊△ACE，并連接BE，CD，求證：BE=CD．(3)【拓展延伸】如圖4，在兩個(gè)等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，交于點(diǎn)P，請(qǐng)判斷BD和CE的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式16-1】（2022·福建廈門(mén)·八年級(jí)期末）定義：一個(gè)三角形，若過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的線段將這個(gè)三角形分為兩個(gè)三角形，其中一個(gè)是直角三角形，另一個(gè)是等腰三角形，則稱這個(gè)三角形是等直三角形，這條線段叫做這個(gè)三角形的等直分割線段．例如：如圖，在△ABC中，∵AD⊥BC于D，且BD=AD，∴△ACD是直角三角形，△ABD是等腰三角形，∴△ABC是等直三角形，AD是△ABC的一條等直分割線段．(1)如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分線，請(qǐng)說(shuō)明AD是△ABC的一條等直分割線段．(2)若△ABC是一個(gè)等直三角形，恰好有兩條等直分割線，∠B和∠C均小于45°，求證：△ABC是等腰三角形．【變式16-2】（2022·浙江·八年級(jí)單元測(cè)試）新定義：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“兄弟三角形”．(1)如圖1，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，點(diǎn)A為重合的頂角頂點(diǎn)．求證：BD=CE．(2)如圖2，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，點(diǎn)A為重合的頂角頂點(diǎn)，點(diǎn)D、E均在△ABC外，連接BD、CE交于點(diǎn)M，連接AM，求證：AM平分∠BME．【變式16-3】（2022·河南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)期末）閱讀下列材料，解答問(wèn)題：定義：線段BM把等腰△ABC分成△ABM與△BCM（如圖1），如果△ABM與△BCM均為等腰三角形，那么線段BM叫做△ABC的完美分割線．(1)如圖1，已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，BM為△ABC的完美分割線，且CM<AM，則∠C=°，∠AMB=(2)如圖2，已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=108°,AC=CN，求證：AN(3)如圖3，已知△ABC是一等腰三角形紙片，AB＝AC，AN是它的一條完美分割線，且BN>NC，將△ACN沿直線AN折疊后，點(diǎn)C落在點(diǎn)C1處，AC1交BN于點(diǎn)M【考點(diǎn)17角平分線的判定與性質(zhì)的綜合求值】【例17】（2022·廣東汕頭·八年級(jí)期末）如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長(zhǎng)分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAOA．1：1：1 B．1：2：3C．2：3：4 D．3：4：5【變式17-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn)，則下列結(jié)論：①∠AMD＝90°；②點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)；③AB+CD＝AD；④△ADM的面積是梯形ABCD面積的一半．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式17-2】（2022·重慶江北·八年級(jí)期末）如圖，已知ΔABC和ΔADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，BE、CD交于點(diǎn)O，連接OA．下列結(jié)論：①BE=CD；②BE⊥CD；③OA平分【變式17-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．(1)求證：∠AOC＝90°＋12∠ABC(2)當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，且AO＝3OD（如圖2），判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【考點(diǎn)18角平分線的判定與性質(zhì)的綜合證明】【例18】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是角平分線，AD與CE相交于點(diǎn)F，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，垂足分別為M，N．【思考說(shuō)理】（1）求證：FE=FD．【反思提升】（2）愛(ài)思考的小強(qiáng)嘗試將【問(wèn)題背景】中的條件“∠ACB=90°”去掉，其他條件不變，觀察發(fā)現(xiàn)（1）中結(jié)論（即FE=FD）仍成立．你認(rèn)為小強(qiáng)的發(fā)現(xiàn)正確嗎？如果不正確請(qǐng)舉例說(shuō)明，如果正確請(qǐng)僅就圖2給出證明．【變式18-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知∠C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分線，且交于點(diǎn)P．（1）求∠APB的度數(shù)．（2）求證：點(diǎn)P在∠C的平分線上．（3）求證：①PD=PE；②AB=AD＋BE．【變式18-2】（2022·四川成都·七年級(jí)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，AB≠AE，∠BAC=∠DAE=38°．連接BD，CE交于點(diǎn)O．(1)求證：BD=CE；(2)求∠BOC的度數(shù)：(3)小明同學(xué)對(duì)該題進(jìn)行了進(jìn)一步研究，他連接了AO，并提出了下面結(jié)論：OA平分∠BOE．請(qǐng)給予證明．【變式18-3】（2022·山東·北辛中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）（1）如圖①，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形．請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F．請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；并證明．（3）如圖③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F，請(qǐng)問(wèn)，你在（2）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)19根據(jù)直角三角形斜邊的中線進(jìn)行計(jì)算與證明】【例19】（2022·遼寧·沈陽(yáng)市第一二六中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，等腰△ACB，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，∠MDN=90°，將∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠MDN的兩邊分別與線段AC、線段BC交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F與點(diǎn)B、C不重合），寫(xiě)出線段CF、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）【類比應(yīng)用】如圖②，等腰△ACB，∠ACB=120°，D為AB的中點(diǎn)，∠MDN=60°，將∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠MDN的兩邊分別與線段AC、線段BC交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F與點(diǎn)B、C不重合），直接寫(xiě)出線段CF、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；（3）【拓展延伸】如圖③，在四邊形ABCD中，AC平分∠BCD，∠BCD=120°，DAB=60°，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若CB=6，DC=2，則BE的長(zhǎng)為．【變式19-1】（2022·浙江·杭州春蕾中學(xué)八年級(jí)期中）如圖（1），CD、BE是△ABC的兩條高，M為線段BC的中點(diǎn)．（1）求證：MD＝ME．（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝42°，求∠DME的度數(shù)．（3）若將銳角△ABC變?yōu)殁g角△ABC，如圖（2），∠BAC＝α，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠DME的度數(shù)．（用含α的式子表示）【變式19-2】（2022·北京市朝陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=3，BC=4，AB=5，D為AB上的動(dòng)點(diǎn)，在D從A向B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，(1)當(dāng)CD⊥AB時(shí)，則CD=_______；(2)當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，則CD=_______；(3)當(dāng)CD平分∠ACB時(shí)，則SΔ【變式19-3】（2022·浙江溫州·八年級(jí)期中）證明命題“30°所對(duì)直角邊等于斜邊的一半”是真命題并應(yīng)用．已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．(1)求證：BC=1(2)點(diǎn)P，Q分別是Rt△ABC邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度從A向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度從B向C運(yùn)動(dòng)．P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)立即停止運(yùn)動(dòng)．連接PQ，若AB＝4，當(dāng)t為多少秒時(shí)，△PQB是直角三角形．專題7.2軸對(duì)稱圖形十九大必考點(diǎn)【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1軸對(duì)稱中坐標(biāo)與圖形變化】 1【考點(diǎn)2格點(diǎn)中的軸對(duì)稱】 3【考點(diǎn)3設(shè)計(jì)軸對(duì)軸圖案】 9【考點(diǎn)4鏡面對(duì)稱】 11【考點(diǎn)5利用軸對(duì)稱求最值】 13【考點(diǎn)6尋找構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】 17【考點(diǎn)7利用三線合一求值】 20【考點(diǎn)8利用三線合一證明】 24【考點(diǎn)9利用等角對(duì)等邊證明邊長(zhǎng)相等】 28【考點(diǎn)10利用等角對(duì)等邊證明】 33【考點(diǎn)11作等腰三角形】 39【考點(diǎn)12等邊三角形的判定與性質(zhì)】 43【考點(diǎn)13含30度的直角三角形】 53【考點(diǎn)14尺規(guī)作垂直平分線、垂線、角平分線】 61【考點(diǎn)15垂直平分線的判定與性質(zhì)】 65【考點(diǎn)16等腰三角形中的新定義問(wèn)題】 73【考點(diǎn)17角平分線的判定與性質(zhì)的綜合求值】 81【考點(diǎn)18角平分線的判定與性質(zhì)的綜合證明】 88【考點(diǎn)19根據(jù)直角三角形斜邊的中線進(jìn)行計(jì)算與證明】 96【考點(diǎn)1軸對(duì)稱中坐標(biāo)與圖形變化】【例1】（2022·貴州省遵義市第一初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知點(diǎn)P1(2a-b,2)和P2(-7,4a+2b)關(guān)于【答案】-8【分析】根據(jù)題意，列關(guān)于a、b的二元一次方程組，求解并計(jì)算即可；【詳解】∵點(diǎn)P1(2a-b,2)和P2∴2a-b=-7解得a=-2b=3∴a故答案為：-8【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解二元一次方程組，掌握相關(guān)知識(shí)并熟練使用，同時(shí)注意解題中需注意的事項(xiàng)是本題的解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第五中學(xué)七年級(jí)期中）將點(diǎn)A先向下平移3個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位后得B（﹣2，5），則A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】（4，8）【分析】設(shè)A（x，y），根據(jù)向下平移縱坐標(biāo)減，向右平移橫坐標(biāo)加列方程求解，再根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．【詳解】解：設(shè)A（x，y），∵點(diǎn)A向下平移3個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位后得B（?2，5），∴x＋2＝?2，y?3＝5，解得x＝?4，y＝8，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（?4，8），∴A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8）．故答案為：（4，8）．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)的平移規(guī)律，以及關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．【變式1-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)P（2a+b，-3a）與點(diǎn)P′（8，b+2）．(1)若點(diǎn)p與點(diǎn)p′關(guān)于x軸對(duì)稱，求a、b的值．(2)若點(diǎn)p與點(diǎn)p′關(guān)于y軸對(duì)稱，求a、b的值．【答案】(1)a=2，b=4(2)a=6，b=-20【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相等、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)方程組求解即可；（2）根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相等、橫坐標(biāo)互為相反數(shù)方程組求解即可．（1）解：∵點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于x軸對(duì)稱，∴2a+b=8，3a=b+2,解得a=2，b=4．（2）解：∵點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于y軸對(duì)稱，∴2a+b=-8，-3a=b+2解得a=6，b=-20．【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)特征，關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相等、橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．【變式1-3】（2022·吉林白山·八年級(jí)期末）在坐標(biāo)平面上有一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其中A（3，﹣52）和B（3，﹣112）是圖形上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，若此圖形上另有一點(diǎn)C（﹣2，﹣9），則A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣32） C．（﹣32，﹣9） D．（﹣2，﹣【答案】A【分析】先利用點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)特征可判斷圖形的對(duì)稱軸為直線y=-4，然后寫(xiě)出點(diǎn)C關(guān)于直線y=-4的對(duì)稱點(diǎn)即可．【詳解】解：∵A（3，﹣52）和B（3，﹣11∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線y＝﹣4對(duì)稱，∴點(diǎn)C（﹣2，﹣9）關(guān)于直線y＝﹣4的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，1）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化，需要注意關(guān)于直線對(duì)稱：關(guān)于直線x=m對(duì)稱，則兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)和為2m；關(guān)于直線y=n對(duì)稱，則兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)和為2n．【考點(diǎn)2格點(diǎn)中的軸對(duì)稱】【例2】（2022·湖北·武漢市光谷實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，是一個(gè)8×10正方形格紙，△ABC中A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2，1)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1，2)．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中建立平面直角坐標(biāo)系，指出△ABC和△A(2)作出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱圖形△A1B1C1；請(qǐng)直接寫(xiě)出(3)在x軸上求作一點(diǎn)M，使△AB'M【答案】(1)見(jiàn)解析，△ABC與△A'B(2)見(jiàn)解析，A(3)見(jiàn)解析，M(﹣1，0)【分析】（1）根據(jù)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，確定平面直角坐標(biāo)系即可；（2）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1（3）作點(diǎn)B'關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B″，連接AB″交x軸于點(diǎn)M，連接（1）解：（1）如圖，平面直角坐標(biāo)系如圖所示：△ABC與△A'B（2）如圖，△A1B（3）如圖，點(diǎn)M即為所求．M（﹣1，0）．此時(shí)：C△A此時(shí)滿足周長(zhǎng)最短．【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決最短問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【變式2-1】（2022·山東濟(jì)南·八年級(jí)期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），過(guò)點(diǎn)（1，0）作x軸的垂線l．(1)作出△ABC關(guān)于直線l的軸對(duì)稱圖形△A(2)直接寫(xiě)出A1（，），B1（，），C1（(3)在△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P（m，n），則點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（，）（結(jié)果用含m，n【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4，1；5，4；3，3(3)2-m，n【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)畫(huà)出△ABC關(guān)于直線l的軸對(duì)稱圖形△A（2）根據(jù)坐標(biāo)系寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)△ABC與△A1B1C1關(guān)于直線l的軸對(duì)稱，則（1）解：如圖，△A（2）由圖形可知：A1（4，1），B1（5，4），C1（3，3）；故答案為：4，1；5，4；3，3；（3）點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2﹣m，n）．故答案為：2﹣m，n．【點(diǎn)睛】本題考查了畫(huà)軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，M，N都在格點(diǎn)上．(1)作△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的圖形△A(2)若網(wǎng)格中最小正方形邊長(zhǎng)為1，求△ABC的面積；(3)在直線MN上找一點(diǎn)P，使得PC-PA1的值最大，并畫(huà)出點(diǎn)【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)7(3)詳見(jiàn)解析【分析】（1）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)分別作出A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，（2）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．（3）連接A1C1交直線MN于點(diǎn)P（1）如圖，△A（2）△ABC的面積為3×3-（3）點(diǎn)P即為所求【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱一最短路徑問(wèn)題，三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)準(zhǔn)確作出點(diǎn)P．【變式2-3】（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心八年級(jí)期中）如圖，已知三點(diǎn)A（-2，3），B（3，-3），C（-3，1），△ABC與△A1B1C1關(guān)于x軸對(duì)稱，其中A1，B1，C1分別是點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．(1)畫(huà)出△A1B1C1，并寫(xiě)出三個(gè)頂點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)M(m+2，n-1)是△ABC上一點(diǎn)，其關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M'(-m-4，【答案】(1)圖見(jiàn)解析，A1（-2，-3），B1（3，3），C1（-3，-1）(2)m=-3，n=2【分析】（1）首先確定A、B、C三點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)位置，再連接即可，然后再利用坐標(biāo)系寫(xiě)出A1，B1，C1的坐標(biāo)；（2）利用關(guān)于x軸的對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)可得m+2=-m-4，n-1+n-3=0，再解方程即可．（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求，A1（-2，-3），B1（3，3），C1（-3，-1）；（2）∵點(diǎn)M（m+2，n-1）是△ABC上一點(diǎn)，其關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M′（-m-4，n-3），∴m+2=-m-4，n-1+n-3=0，解得：m=-3，n=2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了作圖--軸對(duì)稱變換，關(guān)鍵是正確確定組成圖形的關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)位置．【考點(diǎn)3設(shè)計(jì)軸對(duì)軸圖案】【例3】（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示的“鉆石”型網(wǎng)格（由邊長(zhǎng)都為1個(gè)單位長(zhǎng)度的等邊三角形組成），其中已經(jīng)涂黑了3個(gè)小三角形（陰影部分表示），請(qǐng)你再只涂黑一個(gè)小三角形，使它與陰影部分合起來(lái)所構(gòu)成的圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，一共有（

）種涂法．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】將一個(gè)圖形沿著某條直線翻折,直線兩側(cè)的部分能夠完全重合的圖形是軸對(duì)稱圖形,根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行設(shè)計(jì)即可．【詳解】解：如圖所示：故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱圖形的概念,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握軸對(duì)稱圖形的概念．【變式3-1】（2022·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖為5×5的方格，其中有A、B、C三點(diǎn)，現(xiàn)有一點(diǎn)P在其它格點(diǎn)上，且A、B、C、P為軸對(duì)稱圖形，問(wèn)共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)P（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的點(diǎn)即可．【詳解】解：如圖所示：A、B、C、P為軸對(duì)稱圖形，共有4個(gè)這樣的點(diǎn)P．答案：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案,正確把握軸對(duì)稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）在3×3的正方形網(wǎng)格中，有三個(gè)小方格涂上陰影，請(qǐng)?jiān)僭谟嘞碌?個(gè)空白的小方格中，選兩個(gè)小方格并涂成陰影，使得圖中的陰影部分組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，共有()種不同的填涂方法．A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】D【分析】如圖，將圖中的空白正方形標(biāo)號(hào)，然后根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義對(duì)其不同的組合進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：如圖所示：當(dāng)將①②、①⑤、②③、②⑥、④⑤、④⑥分別組合，都可以得到軸對(duì)稱圖形，共有6種方法．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的設(shè)計(jì)，熟知概念、明確方法是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）現(xiàn)有如圖1所示的兩種瓷磚，請(qǐng)你從兩種瓷磚中各選兩塊，拼成一個(gè)新的正方形，使拼成的圖案為軸對(duì)稱圖形，如圖2，要求：在圖3，圖4中各設(shè)計(jì)一種與示例拼法不同的軸對(duì)稱圖形．【答案】見(jiàn)解析【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及軸對(duì)稱的作圖方法來(lái)作圖，通過(guò)變換對(duì)稱軸來(lái)得到不同的圖案即可．【詳解】解：依照軸對(duì)稱圖形的定義，設(shè)計(jì)出圖形，如圖所示．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，利用軸對(duì)稱定義得出是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)4鏡面對(duì)稱】【例4】（2022·江蘇·宜興外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）小明在鏡中看到身后墻上的時(shí)鐘如下，你認(rèn)為實(shí)際時(shí)間最接近9：00（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，在平面鏡中的鐘面上的時(shí)針、分針的位置和實(shí)物應(yīng)關(guān)于過(guò)12時(shí)、6時(shí)的直線成軸對(duì)稱．【詳解】9點(diǎn)的時(shí)鐘，在鏡子里看起來(lái)應(yīng)該是3點(diǎn)，所以最接近9點(diǎn)的時(shí)間在鏡子里看起來(lái)就更接近3點(diǎn)，所以應(yīng)該是圖B所示，最接近9點(diǎn)時(shí)間．故選：B．【點(diǎn)睛】主要考查鏡面對(duì)稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱．【變式4-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）某公路急轉(zhuǎn)彎處設(shè)立了一面圓形大鏡子，從鏡子中看到汽車車牌的部分號(hào)碼如圖所示，則該車牌照的部分號(hào)碼為_(kāi)___．【答案】E6395【分析】利用鏡面對(duì)稱的性質(zhì)求解．鏡面對(duì)稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱．【詳解】解：根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，題中所顯示的圖片中的數(shù)字與“E6395”成鏡面對(duì)稱，則該車牌照的部分號(hào)碼為E6395．故答案為：E6395．【點(diǎn)睛】本題考查了鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，掌握鏡面對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·黑龍江·哈爾濱順邁學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）從鏡子中看到背后墻上電子鐘的示意數(shù)為10：05,這時(shí)的實(shí)際時(shí)間為_(kāi)_____.【答案】20：01【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱．【詳解】解：由圖分析可得題中所給的“10：05”與“20：01”成軸對(duì)稱，這時(shí)的時(shí)間應(yīng)是20：01．故答案為：20：01．【點(diǎn)睛】本題考查了鏡面反射的原理與性質(zhì)．解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧．【變式4-3】（2022·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)期中）小明從平面鏡子中看到鏡中電子鐘示數(shù)的像如圖所示，這時(shí)的時(shí)刻應(yīng)是________．【答案】16:25:08【分析】關(guān)于鏡子的像，實(shí)際數(shù)字與原來(lái)的數(shù)字關(guān)于豎直的線對(duì)稱，根據(jù)相應(yīng)數(shù)字的對(duì)稱性可得實(shí)際數(shù)字．【詳解】解：∵是從鏡子中看，∴對(duì)稱軸為豎直方向的直線，∵5的對(duì)稱數(shù)字為2，2的對(duì)稱數(shù)字是5，鏡子中數(shù)字的順序與實(shí)際數(shù)字順序相反，∴這時(shí)的時(shí)刻應(yīng)是16:25:08.故答案為16:25:08.【點(diǎn)睛】本題考查鏡面對(duì)稱，得到相應(yīng)的對(duì)稱軸是解決本題的關(guān)鍵；若是豎直方向的對(duì)稱軸，數(shù)的順序正好相反，注意2的對(duì)稱數(shù)字為5，5的對(duì)稱數(shù)字是2．【考點(diǎn)5利用軸對(duì)稱求最值】【例5】（2022·湖南·李達(dá)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分線，若P，Q分別是AD何AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC＋PQ的最小值是（

）A．2.4 B．4 C．4.8 D．5【答案】C【分析】由題意可以把Q反射到AB的O點(diǎn)，如此PC+PQ的最小值問(wèn)題即變?yōu)镃與線段AB上某一點(diǎn)O的最短距離問(wèn)題，最后根據(jù)“垂線段最短”的原理得解．【詳解】解：如圖，作Q關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)O，則PQ=PO，所以O(shè)、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，CO=PC+PO=PC+PQ，此時(shí)PC+PQ有可能取得最小值，∵當(dāng)CO垂直于AB即CO移到CM位置時(shí)，CO的長(zhǎng)度最小，∴PC+PQ的最小值即為CM的長(zhǎng)度，∵S△ABC∴CM=6×810=4.8，即PC+PQ的最小值為故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，垂線段最短，通過(guò)軸反射把線段和最小的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段外一點(diǎn)到線段某點(diǎn)連線段最短問(wèn)題是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·河南駐馬店·七年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=α，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠MAN的度數(shù)為（

）A．12α B．2α-180° C．180°-α 【答案】B【分析】根據(jù)要使△AMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′，進(jìn)而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【詳解】解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值．作DA延長(zhǎng)線AH，∵∠DAB=α，∴∠HAA′=180°-α，∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=180°-α，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2180°-α∴∠MAN=180°-∠AMN+∠ANM故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱-最段路線問(wèn)題，熟練掌握平面內(nèi)最短路線問(wèn)題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，AC＝5，動(dòng)點(diǎn)M在線段AC上運(yùn)動(dòng)(不與端點(diǎn)重合)，點(diǎn)M關(guān)于邊AD，DC的對(duì)稱點(diǎn)分別為M1，M2，連接M1M2，點(diǎn)D在M1M2上，則在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段M1M2長(zhǎng)度的最小值是_______．【答案】24【分析】過(guò)D作DM'⊥AC于M'，連接DM，根據(jù)已知，由面積法先求出DM'=125，由M關(guān)于邊AD，DC的對(duì)稱點(diǎn)分別為M1，M2，可得DM1=DM=DM2，M1M2=2DM，故線段M1M2長(zhǎng)度最小即是DM長(zhǎng)度最小，此時(shí)DM⊥AC，M與M'重合，即可得M1M2最小值為2DM'=24【詳解】解：過(guò)D作DM'⊥AC于M'，連接DM，如圖：長(zhǎng)方形ABCD中，AD=BC=3，AB=CD=4，AC=5，∴S△ADC=12AD?CD=12AC?∴DM'=AD·CDAC∵M(jìn)關(guān)于邊AD，DC的對(duì)稱點(diǎn)分別為M1，M2，∴DM1=DM=DM2，∴M1M2=2DM，線段M1M2長(zhǎng)度最小即是DM長(zhǎng)度最小，此時(shí)DM⊥AC，即M與M'重合，M1M2最小值為2DM'=245故答案為：245【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)稱變換，涉及三角形面積、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是將求M1M2長(zhǎng)度的最小值轉(zhuǎn)化為求DM長(zhǎng)度的最小值.【變式5-3】（2022·福建龍巖·八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，M、N、P分別是邊AB、AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM、PN和MN，則PM+PN+MN的最小值是_______．【答案】48【分析】如圖，作點(diǎn)P關(guān)于AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PE，PF，PA，EM，F(xiàn)N，AE，AF．首先證明E，A，F(xiàn)共線，則PM+MN+PN=EM+MN+NF≥EF，推出EF的值最小時(shí)，PM+MN+PN的值最小，求出PA的最小值，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PE，PF，PA，EM，F(xiàn)N，AE，AF．由對(duì)稱的性質(zhì)可知，AE=AP=AF，∠BAP=∠BAE，∠CAP=∠CAF，∵∠PAB+∠PAC=∠BAC=90°，∴∠EAF=180°，∴E，A，F(xiàn)共線，∵M(jìn)E=MP，NF=NP，∴PM+MN+PN=EM+MN+NF，∵EM+MN+NF≥EF，∴EF的值最小時(shí)，PM+MN+PN的值最小，∵EF=2PA，∴當(dāng)PA⊥BC時(shí)，PA的值最小，此時(shí)PA=6×810=24∴PM+MN+PN≥485∴PM+MN+PN的最小值為485故答案為：485【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)添加輔助線，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短．【考點(diǎn)6尋找構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】【例6】（2022·廣東·豐順縣潘田中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中找一個(gè)頂點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的頂點(diǎn)C有（

）A．8個(gè) B．7個(gè) C．6個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】當(dāng)AB為底時(shí)，作AB的垂直平分線，當(dāng)AB為腰時(shí)，分別以A、B點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AB為半徑作弧，分別找到格點(diǎn)即可求解．【詳解】解：當(dāng)AB為底時(shí)，作AB的垂直平分線，可找出格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有5個(gè)，當(dāng)AB為腰時(shí)，分別以A、B點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AB為半徑作弧，可找出格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有3個(gè)；∴這樣的頂點(diǎn)C有8個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直線BC上取一點(diǎn)P使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有___個(gè)．【答案】4【分析】分別以A、B為圓心，以AB為半徑作圓，再作AB的垂直平分線，即可得出答案．【詳解】解：以A為圓心，以AB為半徑作圓，與直線BC有一個(gè)交點(diǎn)；同理以B為圓心，以AB為半徑作圓，與直線BC有兩個(gè)交點(diǎn)；作AB的垂直平分線與BC有一個(gè)交點(diǎn)，即有1+2+1＝4個(gè)，故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和動(dòng)手操作能力．【變式6-2】（2022·安徽·利辛縣汝集鎮(zhèn)西關(guān)學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，△ABC的點(diǎn)A、C在直線l上，∠B=120°,?∠ACB=40°，若點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ABP成為等腰三角形時(shí)，則【答案】10°或80°或20°或140°【分析】分三種情形：AB=AP，PA=PB，BA=BP分別求解即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，在ΔABC中，∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-120°-40°=20°，①當(dāng)AB=AP時(shí)，∠ABP1=∠A②當(dāng)PA=PB時(shí)，∠ABP③當(dāng)BA=BP時(shí)，∠ABP綜上所述，滿足條件的∠ABP的值為10°或80°或20°或140°．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于?？碱}型．【變式6-3】（2022·天津市武清區(qū)楊村第五中學(xué)八年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A（3，0），B（0，4），若點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，且△PAB是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P有_____個(gè)．【答案】8【分析】分三種情況①以B為圓心，以AB為半徑作圓與兩軸的交點(diǎn)，②以A為圓心，以AB為半徑作圓與兩軸的交點(diǎn)，，③以AB為底，AB的垂直平分線與兩軸的交點(diǎn)即可【詳解】解：如圖所示：①以B為圓心，以AB為半徑作圓，交y軸有2點(diǎn)，交x軸有1點(diǎn)（點(diǎn)A除外），此時(shí)共3個(gè)點(diǎn)；②以A為圓心，以AB為半徑作圓，交y軸有1點(diǎn)（點(diǎn)B除外），交x軸有2點(diǎn)，此時(shí)共3個(gè)點(diǎn)，③以AB為底的三角形有2個(gè)，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，分別交x軸、y軸各1個(gè)點(diǎn)，此時(shí)共2個(gè)點(diǎn)；3+3+2＝8，因此，滿足條件的點(diǎn)P有8個(gè)，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、熟練掌握等腰三角形的判定，分三種情況討論圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及線段垂直平分線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7利用三線合一求值】【例7】（2022·河北保定·八年級(jí)期末）如圖，一位同學(xué)拿了兩塊同樣的含45°的三角尺，即等腰直角△MNK，等腰直角△ACB做了一個(gè)探究活動(dòng)：將△MNK的直角頂點(diǎn)M放在△ABC的斜邊AB的中點(diǎn)處，設(shè)AC＝BC＝a，猜想此時(shí)重疊部分四邊形CEMF的面積為（

）A．12a2 B．13a2 C．14a2 D．【答案】C【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)證得MC=MB，∠ACM=∠B，∠CMF=∠BME，從而證明△CMF≌△BME，根據(jù)四邊形CEMF的面積=S【詳解】解：連接MC，∵△ACB是等腰直角三角形，M是AB的中點(diǎn)，∴MC⊥AB，∠ACM=∠BCM=∠B=45°，∴MC=MB，∠BMC=90°，∵∠EMF=90°=∠BMC，∴∠EMF-∠CME=∠BMC-∠CME，即∠CMF=∠BME，在△CMF和△BME中，∠FCM=∠EBM=45°MC=MB∴△CMF≌△BMEASA，∴S△CMF∴四邊形CEMF的面積=S△CMF+故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△CMF≌△BME．【變式7-1】（2022·廣東·深圳市布心中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E中同一條直線上，CM平分∠DCE，連接BE，以下結(jié)論：①AD=DC；②CM⊥AE；③AE-BE=2CM；④∠BCM=∠CBE，正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得AD=BE，∠ADC=∠BEC，可判斷①，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CDE=∠CED=45°，CM⊥AE，可判斷②，由全等三角形的性質(zhì)可求∠AEB=∠CME=90°，可得CM∥BE，可證∠BCM=∠【詳解】解：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，{∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，故①錯(cuò)誤，∵△DCE為等腰直角三角形，CM平分∠DCE，∴∠CDE=∠CED=45°，CM⊥AE，故②正確，∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，∴∠AEB=∠CME=90°，∴CM∥∴∠BCM=∠CBE，故④正確，∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM．∴AE-BE=2CM，故③正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明△ACD≌△BCE是本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·浙江·平陽(yáng)蘇步青學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，AC＝6，DE＝2，則△BCE的面積是(

)A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF=DE=2，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：作EF⊥BC于F，∵AC=BC=6，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，∴CD⊥AB，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴△BCE的面積=12×BC×EF故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，若DE＝4，則CF的長(zhǎng)為_(kāi)____.【答案】8【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得到△ABC是△ACD的面積的兩倍，然后用等面積法求得DE和CF的關(guān)系，進(jìn)而得到CF的長(zhǎng)．【詳解】∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中線，∴S△ABC=2S△ACD＝2×12×DE?AC∵S△ABC∴12AB?CF＝DE?AC∵AC＝AB，∴12CF＝DE∵DE＝4，∴CF＝8；故答案為：8【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等面積法求高．【考點(diǎn)8利用三線合一證明】【例8】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)八年級(jí)）已知：如圖△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們交于點(diǎn)H，且AE=BE．求證：(1)△AHE≌△BCE；(2)AH=2BD．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由△ABC是等腰三角形，AD和BE是高，可知∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°，通過(guò)ASA即可證明△AEH≌△BEC，（2）由（1）可知△AHE≌△BCE，則AH=BC，△ABC是等腰三角形，AD是底邊上的高，可知BC=2BD，即可進(jìn)行證明．（1）證明：∵AD是高，BE是高∴∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°∴∠EBC=∠CAD又∵AE＝BE，∠AEH=∠BEC∴△AEH≌△BEC(ASA)；（2）∵△AEH≌△BEC∴AH＝BC∵AB＝AC，AD是高∴BC=2BD∴AH＝2BD．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、及三角形全等的判定方法．解決本題的關(guān)鍵是證明△AEH?△BEC．【變式8-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，連接EF交AD于G，試判斷AD與EF垂直嗎？并說(shuō)明理由．【答案】AD⊥EF，理由見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE＝DF，然后再證Rt△AED≌Rt△AFD可得AE＝AF，即△AEF是等腰三角形，最后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可．【詳解】解：AD⊥EF，理由如下：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△AED和Rt△AFD中，∵AD=ADDE=DF∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形∵AD平分∠EAF，∴AD⊥EF（等腰三角形三線合一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，說(shuō)明△AEF是等腰三角形是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·北京·垂楊柳中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，其中AD，BE都是△ABC的高．求證：∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．【答案】證明見(jiàn)解析．【分析】先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出∠BAD＝∠CAD，再由三角形的高的定義得出∠BEC＝∠ADC＝90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠EBC+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，根據(jù)同角的余角相等得出∠EBC＝∠CAD，等量代換得到∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．【詳解】證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD．∵BE⊥CE，AD⊥BC，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∴∠EBC＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022·山東青島·七年級(jí)期末）已知，在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接CE(1)如圖①，若E運(yùn)動(dòng)到BD上，過(guò)點(diǎn)A作CE的垂線交CD于點(diǎn)G，CE于點(diǎn)F，CB于點(diǎn)H，求證：CG=BE；(2)如圖②，若E運(yùn)動(dòng)到AD上，過(guò)點(diǎn)A作CE的垂線與CE延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AF交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，試猜想CG、BE的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)CG=BE，證明見(jiàn)解析【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠ACG=45°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠CAG=∠BCE，然后根據(jù)三角形全等的判定證出△CAG?△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD=BD=AD,CD⊥AB，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠G=∠DEC，然后根據(jù)三角形全等的判定證出△ADG?△CDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DG=DE，最后根據(jù)線段和差即可得證．（1）證明：∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，∴∠B=∠ACG=45°，∠CAG+∠AHC=90°，∵AH⊥CE，∴∠BCE+∠AHC=90°，∴∠CAG=∠BCE，在△CAG和△BCE中，∠ACG=∠BAC=CB∴△CAG?△BCEASA∴CG=BE．（2）解：CG=BE，證明如下：∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，∴CD=BD=AD,CD⊥AB，∴∠DCE+∠DEC=90°，∵AG⊥CF，∴∠DCE+∠G=90°，∴∠G=∠DEC，在△ADG和△CDE中，∠ADG=∠CDE=90°∠G=∠DEC∴△ADG?△CDEAAS∴DG=DE，又∵CD=BD，∴DG+CD=DE+BD，即CG=BE．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確找出全等三角形是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)9利用等角對(duì)等邊證明邊長(zhǎng)相等】【例9】（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線，分別交AB，AC于E，F(xiàn)，則△AEF的周長(zhǎng)是_____.【答案】14【分析】根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的等角對(duì)等邊得出EB＝ED，F(xiàn)D＝FC，即可得出答案．【詳解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠EBD＝∠EDB，∠FCD＝∠FDC，∴EB＝ED，F(xiàn)D＝FC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AEF的周長(zhǎng)＝AE＋EF＋AF＝AE＋ED＋FD＋AF＝AE＋EB＋FC＋AF＝AB＋AC＝14，故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)以及等腰三角形等角對(duì)等邊，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2022·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)期中）如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線CF相交于點(diǎn)F，過(guò)F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的長(zhǎng)為_(kāi)_cm．【答案】5．【分析】根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)可證BD＝FD，EF＝CE，再根據(jù)線段和差可求CE的長(zhǎng)．【詳解】解：∵BF、CF分別平分∠ABC、∠ACG，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD，EF＝CE，∵BD＝9cm，DE＝4cm，，∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝9﹣4＝5（cm），∴EC＝5cm，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵是理解已知條件，根據(jù)角平分線和平行線得出等腰三角形．【變式9-2】（2022·浙江·樂(lè)清市知臨寄宿學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，E為AC上一點(diǎn)，AE＝AB，連接DE.(1)求證：△ABD≌△AED；(2)已知∠ABC＝2∠C且BD＝5，AB＝9，求AC長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)AC＝14．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD＝∠CAD，然后利用“邊角邊”證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AE＝AB，DE＝BD，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得∠AED＝∠B，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠AED＝∠C＋∠CDE，從而求出∠C＝∠CDE，根據(jù)等角對(duì)等邊可得CE＝DE，然后根據(jù)AC＝AE＋CE計(jì)算即可得解．（1）證明：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△AED中，AB=AE∠BAD=∠EAD∴△ABD≌△AED（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△AED，∴AE＝AB＝9，DE＝BD＝5，∠AED＝∠B，∵∠AED＝∠C＋∠CDE，∠B＝2∠C，∴∠C＝∠CDE，∴CE＝DE＝5，∴AC＝AE＋CE＝9＋5＝14．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等角對(duì)等邊等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022·福建·廈門(mén)雙十中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，為的角平分線．(1)如圖1，若于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，．則_______；(2)如圖2，于點(diǎn)，連接，若的面積是6，求的面積；(3)如圖3，若，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．（用含的式子表示）【答案】(1)3；(2)12；(3)【分析】（1）依題意可證，從而AF=AE=4，可由FC=AC-AF求得問(wèn)題的解；（2）延長(zhǎng)CG，AB交于點(diǎn)H，可證，從而AH=AC，HG=GC，又，，，由問(wèn)題可解；（3）在AC上取一點(diǎn)N，使得AN=AB，從而，所以BD=DN=NC=