2023年北京陳經(jīng)綸中學初二（下）期中數(shù)學試卷及答案

第1頁/共1頁2023北京陳經(jīng)綸中學初二（下）期中數(shù)學一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．）1.下列二次根式中，最簡二次根式是（）A. B. C. D.2.以下列長度的三條線段為邊，能組成直角三角形的是（）A.2，3，4 B.，2 C.6，8，10 D.1，3.下列計算正確的是（）A. B.C. D.4.在中，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.5.如圖，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，則a的值是（）A.1 B.1 C.1 D.6.下列結(jié)論中，不正確的是（）A.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形B.對角線相等的平行四邊形是矩形C.正方形的一條對角線的長為，則此正方形的面積是D.順次連接四邊形四邊的中點所得的四邊形為菱形，則四邊形一定滿足7.已知，若a，b為兩個連續(xù)的整數(shù)，且，則（）A.13 B.14 C.12 D.118.如圖，在平面直角坐標系中，點，，點是軸上的一個動點．結(jié)合圖形得出式子的最小值是（）A.3 B. C.5 D.二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分．）9.若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是______．10.命題“如果，那么”的逆命題是__________命題（填“真”或“假”），用一組，的值說明你的判斷，這組，的值可以是__________，__________．11.《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為_______________．12.如圖，在中，于，是的中點，若，，則的長等于__________．13.在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，且AE=AB，則∠EBC的度數(shù)是___________．14.圖1中的直角三角形斜邊長為4，將四個圖1中的直角三角形分別拼成如圖2所示的正方形，其中陰影部分的面積分別記為，則的值為_____．15.如圖，平面直角坐標系中，的頂點A，B，C在坐標軸上，，點D在第一象限，則點D的坐標是_____．16.如圖，矩形ABCD中，O為AC中點，過點O的直線分別與AB、CD交于點E、F，連結(jié)BF交AC于點M，連結(jié)DE、BO．若∠COB＝60°，F(xiàn)O＝FC，則下列結(jié)論：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（填寫序號）________．三、解答題（本大題共10個小題，第17題，第19-23題，每題各5分，18題4分，24-26每題各6分，共52分．）17.計算：．18.如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上的兩點，且BE＝DF，連接AE，CF．求證：AE＝CF．19.下面是小東設計的“作矩形”的尺規(guī)作圖過程．已知：中，．求作：矩形．作法：如圖，①作線段的垂直平分線交于點；②連接并延長，在延長線上截取③連接，所以四邊形即為所求作的矩形根據(jù)小東設計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵______，，∴四邊形是平行四邊形（______）（填推理的依據(jù)）.∵，四邊形是矩形（______）（填推理的依據(jù)）20.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小方格的頂點叫做格點，設每個小正方形的邊長為1．以格點為頂點分別按下列要求畫圖．（1）在圖1中，畫一個直角，使它的斜邊長為；（2）在圖2中，畫一個等腰，使它的底邊長為，腰長為5；（3）在圖3中，畫一個等腰直角的，使它斜邊長為．21.在四邊形中，，，，，求四邊形的面積．22.在學習了第18章特殊平行四邊形之后，老師給班級同學出了一道思考題．如圖，已知，點在射線上，點，在射線上，其中，四邊形是平行四邊形，請只用無刻度的直尺畫出菱形，并說明理由．小明經(jīng)過思考后，給出了自己的作法：①連接，，相交于點；②連接并延長交的延長線于點；③連接，四邊形即為所求作的菱形．根據(jù)小明的設計，完成下面問題：（1）補全圖形；（2）證明四邊形為菱形；（3）若，，求的長．23.已知：如圖，在中，點，分別在，上，且點是的中點，．求證：點是的中點．24.（1）觀察，計算，判斷：（只填寫符號：>，<，=）①當，時，__________；②當，時，__________；③當，時，__________；…（2）根據(jù)第（1）問，當，時，判斷與的數(shù)量關(guān)系并證明．（提示：）（3）實踐應用：要制作面積為2平方米的長方形畫框，利用第（2）問證明得出的結(jié)論直接寫出畫框周長的最小值為__________．25.在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，且，．給出如下定義：若一個矩形的邊均與某條坐標軸平行，且是它的一條對角線，則稱這個矩形是的“非常知形”，如圖1，點和點，它們的“非常矩形”是矩形．（1）在點，，中，與點構(gòu)成的“非常矩形”的周長是6的點是__________；（2）若在第一象限有一點與點構(gòu)成的“非常矩形”，且它的周長是8，求，滿足的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖2，等邊的邊在軸上，頂點在軸的正半軸上，點的坐標為，點的坐標為，若在的邊上存在一點，使得點，的“非常矩形”為正方形，請直接寫出的取值范圍．26.如圖，在正方形中，點在邊上，點在正方形外部，且滿足，．連接，，取的中點，連接，，交于點．（1）依題意補全圖形1，則的度數(shù)為__________（直接寫出答案）；（2）請?zhí)骄烤€段，，所滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）設，若點沿著線段從點運動到點，則在該運動過程中，線段所掃過的面積為__________（直接寫出答案）．

參考答案一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．）1.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可．【詳解】解：A、，故不是最簡二次根式，不符合題意；B、是最簡二次根式，符合題意；C、，故不是最簡二次根式，不符合題意；D、=，故不是最簡二次根式，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查的是最簡二次根式的概念，掌握被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式是最簡二次根式是解題的關(guān)鍵．2.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對各選項進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、由于22+32≠42，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不合題意；B、由于，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不合題意；C、由于，能構(gòu)成直角三角形，故本選項正確；D、由于，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不合題意．故選擇：C．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．3.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的加減乘除運算法則逐項判斷即可得．【詳解】A、與不是同類二次根式，不可合并，此項錯誤；B、，此項錯誤；C、，此項正確；D、，此項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的加減乘除運算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題關(guān)鍵．4.【答案】B【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得再結(jié)合計算即可解答．【詳解】解：如圖，∵在中，，故選：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的鄰角互補是解題的關(guān)鍵．5.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件利用勾股定理求得直角三角形的斜邊的長度，進而利用實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系解答即可求解．【詳解】解：由題意得，．故選C．【點睛】本題主要考查勾股定理、數(shù)軸上的點表示的數(shù)，熟練掌握勾股定理以及數(shù)軸上的點表示的數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．6.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)菱形的判定，矩形的判定，正方形的性質(zhì)，中點四邊形，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A．對角線互相垂直的四邊形是菱形，故本選項的結(jié)論正確，不符合題意；B．對角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項的結(jié)論正確，不符合題意；C．正方形的一條對角線之長為4，則其邊長為，則此正方形的面積是8，故本選項的結(jié)論正確，不符合題意；D．順次連接四邊形四邊的中點所得的四邊形為菱形，則四邊形一定滿足＝，故本選項的結(jié)論不正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的性質(zhì)，中點四邊形，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．7.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)二次根式的乘法求出m的值，再估算出的范圍，求出a、b的值，即可得出答案．【詳解】解：，∵，∴，即，∴，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了估算無理數(shù)的大小，二次根式的乘法法則等知識點，能估算出的范圍是解此題的關(guān)鍵．8.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩點間的距離公式可知，代數(shù)式的最小值為的最小值，利用將軍飲馬問題，確定點關(guān)于軸對稱的點的坐標，求出該點與點之間的距離，即為所求．【詳解】解：∵，，，∴，設點關(guān)于軸的對稱點為，則：，∵，∴的最小值為，即：；故選C．【點睛】本題考查求代數(shù)式的最小值．將求代數(shù)式的最小值轉(zhuǎn)化為求線段的和最小問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分．）9.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于0，進行求解即可．【詳解】解：∵在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查二次根式有意義的條件．熟練掌握被開方數(shù)大于等于0，二次根式有意義是解題的關(guān)鍵．10.【答案】①.假②.1（答案不唯一）③.（答案不唯一）【解析】【分析】先寫出逆命題，再舉出一組反例，進行作答即可．【詳解】解：命題“如果，那么”的逆命題是：如果，那么，為假命題，例如：，；故答案為：假，．【點睛】本題考查逆命題的真假，二次根式的性質(zhì)．熟練掌握逆命題的定義，是解題的關(guān)鍵．11.【答案】x2＋62＝(10－x)2【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由題意則有AC=x，AB=10﹣x，BC=6，根據(jù)勾股定理即可列出關(guān)于x的方程.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，折斷處離地面的高度為x尺，則AB=10﹣x，BC=6，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10﹣x)2，故答案為x2+62=(10﹣x)2．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，正確畫出圖形，熟練掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.12.【答案】8【解析】【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵，是的中點，∴，∵，∴，在中，，，由勾股定理得，故答案為：8．【點睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．13.【答案】22.5°##22.5度【解析】【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，進而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC．【詳解】解：∵正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，∴∠BAC=45°，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=67.5°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∴∠EBC=22.5°，故答案為：22.5°．【點睛】本題主要考查了正方形的對角線平分對角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確求出∠ABE的度數(shù)．14.【答案】16【解析】【分析】根據(jù)題意設直角三角形較長的直角邊長為，較短的直角邊長為，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)圖形面積可得，即可求得答案．【詳解】解：設直角三角形較長的直角邊長為，較短的直角邊長為，∴故答案為：【點睛】本題考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．15.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求的長，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BC長，再利用平行四邊形的性質(zhì)得出點的坐標即可．【詳解】解：，，，，，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∴，故答案為：．【點睛】此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出點A坐標，再由平行四邊形性質(zhì)求得點D坐標．16.【答案】①③④【解析】【分析】①用線段垂直平分線的性質(zhì)的逆定理可得結(jié)論；②過O作OH⊥BE于H，證明△OHB≌△CMB，根據(jù)△OEB包含了△OHB，可得△EOB≌△CMB是不成立的；③先證△BEF是等邊三角形得出BF=EF，再證?DEBF得出DE=BF，推出DE=EF；④△AOE和△BEO屬于等高的兩個三角形，其面積比就等于兩底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，再由直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半，推出S△BCM=S△BCF=S△BOE即可求解．【詳解】解：①∵矩形ABCD中，O為AC中點，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等邊三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正確；②∵FB垂直平分OC，△OBC是等邊三角形，∴∠CBM＝∠OBM＝30°，∠CMB＝90°，又∠OBE＝90°?∠CBO＝30°，

∴∠CBM＝∠OBE，

過O作OH⊥BE于H，

∴∠OHB＝∠CMB＝90°，在△OHB與△CMB中，，∴△OHB≌△CMB（AAS），∵△OEB包含了△OHB，∴△EOB≌△CMB是不成立的，∴②是錯誤的；③連接DO，由O為AC的中點知D、O、B三點在同一直線上，在△FCB和△FOB中，，∴△FCB≌△FOB（SSS），∴∠FCB=∠FOB=90°，∴∠EOB=180°-∠FOB=90°=∠FCB，∵∠CBF=∠OBE=30°，在△EBO和△FBC中，，∴△EBO≌△FBC（ASA），∴EB=FB，∴△OEB≌△OFB≌△CFB，∴∠EBO=∠FBO=∠CBF=30°，BF=BE，∴∠FEB=∠EFB=∠EBF=60°，∴△BEF是等邊三角形，∴BF=EF，∵OD=OB且OF=OE，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴DE=BF，∴DE=EF，故③正確；④在直角△BOE中，∵∠EBO=30°，∴BE=2OE，∵OA=OB，∴∠OAE=∠OBE=30°，∵∠OEB=∠OAE+∠AOE=60°，∴∠AOE=30°，∴∠OAE=∠AOE=30°，∴AE=OE，∴BE=2AE，∴S△AOE：S△BOE=1：2，又∵，∵DC∥AB，∴∠FCM=∠CAE=30°，，∴FM∶BM=1∶3，∴S△BCM=S△BCF=S△BOE，∴S△AOE：S△BCM=2∶3，故④正確；綜上，正確的結(jié)論有①③④，故答案為：①③④．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，涉及內(nèi)容雖多，但不復雜，解題關(guān)鍵是熟記并靈活運用相關(guān)的性質(zhì)．三、解答題（本大題共10個小題，第17題，第19-23題，每題各5分，18題4分，24-26每題各6分，共52分．）17.【答案】【解析】【分析】分別利用絕對值的意義、二次根式的性質(zhì)、零指數(shù)冪的運算法則化簡各數(shù)，再加減運算即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查實數(shù)的混合運算，涉及絕對值的意義、二次根式的性質(zhì)、二次根式的加減、零指數(shù)冪，熟練掌握運算法則并正確求解是解答的關(guān)鍵．18.【答案】見詳解【解析】【分析】由題意易得AB=CD，AB∥CD，則有∠ABE=∠CDF，進而可得△ABE≌△CDF，然后問題可求證．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．19.【答案】（1）見解析（2），對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形【解析】【分析】（1）題中已給出作圖方法，按此方法用圓規(guī)和直尺作出圖形即可；（2）根據(jù)作圖可知，EF是AC的垂直平分線，則點O是AC的中點，又因為，所以根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可證明四邊形ABCD為平行四邊形，再根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形來求解．【小問1詳解】解：根據(jù)題意作圖如下，矩形即為所求；【小問2詳解】解：由作圖可知，又，∴四邊形是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），∵，四邊形是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形），故答案為：，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【點睛】本題考查平行四邊形的判定、矩形的判定、尺規(guī)作圖等知識與方法，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形作出圖形是解題的關(guān)鍵．20.【答案】（1）圖見解析（2）圖見解析（3）圖見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格特點以及即可畫出圖形；（2）根據(jù)網(wǎng)格特點以及和即可畫出圖形；（3）根據(jù)網(wǎng)格特點以及和即可畫出圖形．【小問1詳解】解：如圖，，，則直角即為所求作；【小問2詳解】解：如圖，，，故等腰即為所求作；【小問3詳解】解：如圖，，，且，故等腰直角即為所求作．【點睛】本題考查作圖-應用與設計，涉及直角三角形、等腰三角形、勾股定理及其逆定理等知識，會利用網(wǎng)格特點和勾股定理構(gòu)造無理數(shù)的線段長是解答的關(guān)鍵．21.【答案】【解析】【分析】延長、相交于E，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理分別求得、、，根據(jù)直角三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：延長、相交于E，∵，，∴，∴，則，∴，∵，∴，∴，∴四邊形的面積為．【點睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的面積，熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知條件添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵．22.【答案】（1）圖見解析（2）見解析（3）6【解析】【分析】（1）根據(jù)步驟，補全圖形即可；（2）如圖，證明，得到四邊形為平行四邊形，根據(jù)，即可得證；（3）利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，求出的長，即可得出結(jié)果．【小問1詳解】解：補全圖形，如下：【小問2詳解】證明：如圖，∵四邊形為平行四邊形，點為對角線的交點，∴，，∴，又，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴平行四邊形為菱形；【小問3詳解】解：∵四邊形為菱形，，，∴，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，含30度的直角三角形性質(zhì)及勾股定理．熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，并進行運用，是解題的關(guān)鍵．23.【答案】見解析【解析】【分析】取的中點，連接，根據(jù)三角形的中位線定理和平行四邊形的判定和性質(zhì)，即可得證．【詳解】證明：取的中點，連接，∵點是的中點，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴點是的中點．【點睛】本題考查三角形的中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形的中位線．24.【答案】（1）①；②；③（2），證明見解析（3）米【解析】【分析】（1）將值代入計算后，再比較大小即可得出①②③的結(jié)論；（2）利用完全平方公式的非負性進行證明即可；（3）設長方形的長為米，寬為米，利用（2）中結(jié)論進行求解即可．【詳解】解：（1）①當，時，，∵，∴；故答案為：；②當，時，，∴；故答案為：；③當，時，，∵，∴；故答案為：；（2），證明如下：∵，，∴，∴，即：，∴，∴；（3）設長方形的長為米，寬為米，由題意，得：，由（2）中結(jié)論可得：∴，∴長方形的周長，∴畫框周長的最小值為米．故答案為：米．【點睛】本題考查完全平方公式的非負性，代數(shù)式求值，比較實數(shù)的大小關(guān)系．解題的關(guān)鍵是利用完全平方公式得到．25.【答案】（1）A（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)“非常矩形”，的定義求解即可；（2）根據(jù)“非常矩形”，的定義求解即可；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求得，，分當點H與點F重合時；當點H與點E重合時；當點H與D重合時三種情況，畫出圖形，分別根據(jù)正方形的性質(zhì)和坐標與圖形性質(zhì)求得對應的a值，結(jié)合圖形即可得出a的取值范圍．【小問