專題14 全等三角形、相似三角形（講義）（原卷版）

專題14全等三角形、相似三角形核心知識點精講理解全等三角形的概念、全等三角形的表示方法以及性質(zhì)；理解掌握三角形全扽的判定方法、定理、全等變換；理解掌握相似三角形的概念；理解掌握相似三角形的基本定理以及運用；掌握三角形相似的判定方法以及綜合運用；理解掌握相似三角形的性質(zhì)以及運用?？键c1全等三角形的概念和性質(zhì)1.全等三角形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點的兩邊所成的角。2.全等三角形的表示和性質(zhì)全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”。如△ABC≌△DEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”?？键c2三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）（3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。（4）角角邊定理：有兩角和其中一個角所對的邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）考點3直角三角形全等的判定對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）考點4全等變換、全等三角形的應(yīng)用1.只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。全等變換包括一下三種：（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對稱變換。（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。2.全等三角形的實際應(yīng)用考點5相似三角形的概念、性質(zhì)1.對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符號“∽”來表示，讀作“相似于”。相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）。2.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。用數(shù)學(xué)語言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC相似三角形的等價關(guān)系：（1）反身性：對于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；（2）對稱性：若△ABC∽△A’B’C’，則△A’B’C’∽△ABC；（3）傳遞性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，則△ABC∽△A’’B’’C’’。3.相似三角形的性質(zhì)相似三角形的定義：如果兩個三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似．（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．（2）相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平方．由三角形的面積公式和相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．考點6三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法①定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似②平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似③判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，可簡述為兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。④判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，可簡述為兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。⑤判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似，可簡述為三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法①以上各種判定方法均適用②定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似③垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似?？键c7相似三角形的性質(zhì)（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例（2）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比（3）相似三角形周長的比等于相似比（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方【題型1：全等三角形的性質(zhì)】【典例1】（2022?龍崗區(qū)模擬）如圖，△ABC≌△A′B′C，且點B′在AB邊上，點A′恰好在BC的延長線上，下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠B C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′1．（2023?高州市校級二模）如圖，△ABC≌△DEF，AC∥DF，則∠C的對應(yīng)角為（）A．∠F B．∠AGE C．∠AEF D．∠D2．（2023?廣東模擬）如圖，△ABC≌△BAD，A的對應(yīng)頂點是B，C的對應(yīng)頂點是D，若AB＝8，AC＝3，BC＝7，則AD的長為（）A．3 B．7 C．8 D．以上都不對3．（2023?澄海區(qū)模擬）將兩塊全等的三角板如圖擺放，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°，BC＝1，AB與CD交于點Q，在CE上取一點P，連接BP、PQ，當(dāng)PB⊥QB時，△PBQ面積的最大值為36【題型2：三角形全等的判定】【典例2】（2023?海珠區(qū)校級二模）如圖，AB＝AD，AC平分∠BAD．求證：△ABC≌△ADC．1．（2023?香洲區(qū)校級一模）如圖，用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖，則說明∠CAD＝∠DAB的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS2．（2023?光明區(qū)校級三模）如圖，點A，B，C，D是⊙O上的四點，AB為⊙O的直徑，OC∥AD，CE⊥AB，垂足為E，則△ACE和四邊形ABCD的面積之比為（）A．1：3 B．1：2 C．2：23．（2023?增城區(qū)一模）如圖，點E、F在線段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF．求證：△ABE≌△DCF．【題型3：直角三角形的全等判定】【典例4】（2023春?禪城區(qū)校級期中）已知：如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求證：OB＝OC．1．（海珠區(qū)校級模擬）下列判斷一定正確的是（）A．有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 B．有一個角和一邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 C．有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 D．有兩邊對應(yīng)相等，且有一個角為30°的兩個等腰三角形全等2．（寶安區(qū)校級一模）下面四個條件，不能判定兩個直角三角形全等的是（）A．兩條直角邊分別相等 B．兩個銳角分別相等 C．斜邊和一直角邊對應(yīng)相等 D．一銳角和斜邊分別相等【題型4：全等三角形的性質(zhì)與判定】【典例4】（2023?南海區(qū)三模）如圖，已知∠AOC＝∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．（1）求證：△OPD≌△OPE．（2）如果OE＝3，PD=3，求四邊形OEPD1．（2023?香洲區(qū)二模）如圖，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加一個條件后，仍然不能證明△ABC≌△DEF，這個條件可能是（）A．∠A＝∠D B．AC∥DF C．BE＝CF D．AC＝DF2.（2023?福田區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC，點P是BC上一點，BD⊥AP交AP延長線于點D，連接CD，若圖中兩陰影三角形的面積之差為32（即，S△ACP﹣S△PBD＝32），則CD＝8．3．（2023?香洲區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D在BC上點E是AC延長線上一點，且BE＝AD．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）若∠BAD＝22°，求∠ABE的度數(shù)．【題型5：全等三角形的應(yīng)用】【典例5】（2023?順德區(qū)校級一模）如圖，AC＝BC＝BE＝DE＝10cm，點A、B、D在同一條直線上，AB＝12cm，BD＝16cm，則點C和點E之間的距離是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．101．（2022?東莞市校級一模）一塊三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如圖所示），小明經(jīng)過仔細(xì)的考慮認(rèn)為只要帶其中的兩塊碎片去玻璃店，就可以讓師傅配一塊與原玻璃一樣的玻璃．你認(rèn)為下列四個答案中考慮最全面的是（）A．帶其中的任意兩塊去都可以 B．帶1、4或2、3去就可以了 C．帶1、4或3、4去就可以了 D．帶1、2或2、4去就可以了【題型6：相似三角形的性質(zhì)】【典例6】（2023?汕頭二模）若兩個相似三角形的周長之比是1：2，則它們的面積之比是（）A．1：2 B．1：2 C．2：1 D．1：41．（2023?蓬江區(qū)一模）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，則△ADC與△ABC的面積比是（）A．1：2 B．1：2 C．1：3 D．1：42．（2023?東莞市校級二模）如圖，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四邊形BDEC＝1：3，BC=2，則DEA．6 B．22 C．32 D3．（2023?禪城區(qū)校級三模）已知一個三角形的三邊長分別為2，3，4，與其相似的另一個三角形的周長為36，則它的最長邊的長為（）A．8 B．12 C．16 D．20【題型7：相似三角形的性質(zhì)與判定】【典例7】（2023?南海區(qū)校級模擬）已知BD是平行四邊形ABCD的對角線，E是AB上一點，連接EC，交BD于點F，若△BEF與△DCF的面積比是1：9，則BEABA．13 B．23 C．14 1．（2023?深圳模擬）下列說法中錯誤的是（）A．同角或等角的補(bǔ)角相等 B．圓周角等于圓心角的一半 C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 D．兩邊成比例及其夾角相等的兩個三角形相似2．（2023?雷州市一模）如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E，F(xiàn)，連接BD、DP，BD與CF相交于點H，給出下列結(jié)論：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③DFBC=23；④△A．4 B．3 C．2 D．13．（2023?天河區(qū)校級三模）如圖，正方形MNPQ內(nèi)接于△ABC，點M、N在BC上點P、Q分別在AC和AB邊上，且BC邊上的高AD＝6，BC＝12，則正方形MNPQ的邊長為（）A．6 B．5 C．3 D．4【題型8：相似三角形的實際應(yīng)用】【典例8】（2023?高州市校級二模）如圖，有一塊直角邊AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的鐵片，現(xiàn)要把它加工成一個正方形（加工中的損耗忽略不計），則正方形的邊長為（）A．67 B．3037 C．127 1．（2024?深圳模擬）如圖是凸透鏡成像示意圖，CD是蠟燭AB通過凸透鏡MN所成的虛像．已知蠟燭的高AB為5.4cm，蠟燭AB離凸透鏡MN的水平距離OB為6cm，該凸透鏡的焦距OF為10cm，AE∥OF，則像CD的高為（）A．15cm B．14.4cm C．13.5cm D．9cm2．（2024?深圳模擬）擊地傳球是籃球運動中的一種傳球方式，利用擊地傳球可以有效地躲避對手的攔截．傳球選手從點A處將球傳出，經(jīng)地面點O處反彈后被接球選手在點C處接住，將球所經(jīng)過的路徑視為直線，此時∠AOB＝∠COD．若點A距地面的高度AB為1.5m，點C距地面的高度CD為1m，傳球選手與接球選手之間的距離BD為5m，則OB的長度為（）A．53m B．2m C．2.5m D．33．（2023?南海區(qū)校級模擬）如圖，身高1.6米的小慧同學(xué)從一盞路燈下的B處向前走了8米到達(dá)點C處時，發(fā)現(xiàn)自己在地面上的影子CE的長是2米，則路燈AB的高為（）A．5米 B．6.4米 C．8米 D．10米一．選擇題（共7小題）1．在△ABE與△DBC中，BC＝BE，AB＝DB，要使這兩個三角形全等，還需具備的條件是（）A．∠E＝∠C B．∠ABD＝∠CBE C．∠ABE＝∠DBE D．∠A＝∠D2．如圖，已知∠1＝∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是（）A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA3．如圖，已知△ABC的六個元素，則下面甲、乙、丙三個三角形中和△ABC全等的圖形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙4．圖中的小正方形邊長都相等，若△MNP≌△MEQ，則點Q可能是圖中的（）A．點A B．點B C．點C D．點D5．如圖，點P是△ABC的邊AC上一點，連接BP，以下條件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．ABAP=ACAB B．BCBP=ACAB C．∠ABP6．如圖，△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，DE＝4，則BC的長度為（）A．6 B．8 C．12 D．167．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的“井深”問題：“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”，它的題意是：如圖AB＝DE＝5尺，BF＝0.4尺，問井深BD是多少．如圖，設(shè)井深為x尺，所列方程正確的是（）A．55+x=0.45 C．x5+x=50.4二．填空題（共5小題）8．如圖，點B的坐標(biāo)為（0，1），點A是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作等腰直角△ABC，使∠ABC＝90°，設(shè)點A的橫坐標(biāo)為x，點C的縱坐標(biāo)為y，則y與x的關(guān)系式為．9．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G，下列結(jié)論：①BF＝AC；②2AE＝BF；③S四邊形ADGE＝S四邊形GHCE；④△DGF，△ABC都是等腰三角形．其中正確的是．10．如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對角線AC上的兩點，AC=42，AE＝CF=2，則四邊形BEDF的周長是11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中已知點A（8，0）和點B（0，6），C是AB的中點，若有一動點P在折線AOB上運動，直線CP截△AOB所得的三角形為直角三角形，則點P的坐標(biāo)為．12．在某一時刻，測得一根高為1.2m的竹竿的影長為2m，同時測得一棟樓的影長為90m，這棟樓的高度是m．三．解答題（共3小題）13．如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，BF＝CE，∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE．求證：△ABC≌△DEF．14．如圖，點B、C、D、E在同一直線上，BC＝DE，AB＝FC，∠B＝∠FCE，求證：AD∥FE．15．如圖，一塊直角三角板的直角頂點P放在正方形ABCD的邊BC上，并且使一條直角邊經(jīng)過點D．另一條直角邊與AB交于點Q．求證：△BPQ∽△CDP．一．選擇題（共6小題）1．如圖，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝30°，∠C＝80°，則∠CEB＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°2．如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，AB＝7，AD＝5，則AC的取值范圍為（）A．3＜AC＜17 B．3＜AC＜15 C．1＜AC＜6 D．2＜AC＜123．如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，AD＜AB，且點E在線段CD上，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）A．△ABD≌△ACE B．BD⊥CD C．∠BAE﹣∠ABD＝45° D．DE＝CE4．小麗與爸媽在公園里蕩秋千．如圖，小麗坐在秋千的起始位置A處，OA與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面1m高的B處接住她后用力一推，爸爸在C處接住她．若媽媽與爸爸到OA的水平距離BD、CE分別為1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C處接住小麗時，小麗距離地面的高度是（）A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m5．如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP≌△ACB，添加下列一個條件，不正確的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．APAB=BPBC6．如圖所示，王華晚上在路燈下散步，已知王華的身高AB＝1.6米，燈柱的高OP＝O'P'＝4.8米，兩燈柱之間的距離OO'＝10米，王華在兩路燈之間行走時（O、A、O'三點在一條直線上），則他身子前后的兩個影子之和DC的長為（）米．A．6 B．5 C．4 D．3二．填空題（共4小題）7．如圖所示的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．它巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，若大正方形邊長為4，M為邊FG的中點，則AM＝，當(dāng)正方形ABCD變化時，則MD的最小值為．8．如圖，把△ABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，已知AB＝BC，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，﹣1），點C在第四象限，則點C的坐標(biāo)是．9．如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時，杠桿繞著支點轉(zhuǎn)動，另一端會向上撬起，石頭就被撬動了．在圖②中，杠桿的D端被向上撬起的距離BD＝9cm，動力臂OA與阻力臂OB滿足OA＝3OB（AB與CD相交于點O），要把這塊石頭撬起，至少要將杠桿的C點向下壓cm．10．如圖，N是線段AB上一點，AC⊥AB，BD⊥AB，NM⊥AB，聯(lián)結(jié)CM并延長交AB于點P，聯(lián)結(jié)DM并延長交AB于點Q．已知AB＝4，AC＝3，BD＝2，MN＝1，PN＝1.2，那么QN＝．三．解答題（共3小題）11．已知：如圖，點E、F在線段BC上，BF＝EC，且AB∥CD，∠A＝∠D，求證：AE＝DF．12．