換底公式教學(xué)設(shè)計(jì)

《對(duì)數(shù)之換底公式》教學(xué)設(shè)計(jì)北師大版教科書數(shù)學(xué)高一年級(jí)必修一第三章第四節(jié)銅川市第一中學(xué)楊有祥

【教學(xué)目標(biāo)】知識(shí)與技能:通過(guò)學(xué)習(xí)，能體會(huì)出換底公式的推導(dǎo)的整個(gè)思維過(guò)程，以及這種推導(dǎo)的基本思想（即轉(zhuǎn)化的思想）；會(huì)運(yùn)用換底公式計(jì)算一些簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)值，化簡(jiǎn)一些簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)式，并從中歸納出一些有用的結(jié)論；過(guò)程與方法:

能從對(duì)數(shù)換底公式得出的整個(gè)過(guò)程中體會(huì)指數(shù)與對(duì)數(shù)的相互轉(zhuǎn)化中感悟出轉(zhuǎn)化，從把不同底數(shù)的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為同一底數(shù)的對(duì)數(shù)的過(guò)程中體會(huì)出事物的辯證統(tǒng)一性，以明白化歸思想是數(shù)學(xué)解題中的重要思想方法情感、態(tài)度、價(jià)值觀：從解題中體會(huì)出數(shù)學(xué)就在我們身邊，數(shù)學(xué)有很強(qiáng)的實(shí)用性，以增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣；要讓學(xué)生感受到本節(jié)課學(xué)有所獲，激發(fā)學(xué)生用積極的態(tài)度來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

【教材分析】

本節(jié)的主要內(nèi)容就是對(duì)數(shù)換底公式。它是對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的延續(xù)，同時(shí)又具有自身的獨(dú)特性。它既是對(duì)前面對(duì)數(shù)運(yùn)算的鞏固，又是對(duì)指數(shù)與對(duì)數(shù)相互轉(zhuǎn)化的再理解，還將對(duì)后面知識(shí)的學(xué)習(xí)有直接影響。值得一提的是它的產(chǎn)生來(lái)源于客觀現(xiàn)實(shí)，因計(jì)算而產(chǎn)生了換底公式。本節(jié)內(nèi)容的思想性主要體現(xiàn)在“轉(zhuǎn)化”上，有指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化，還有不同底的對(duì)數(shù)向同底的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化。由于對(duì)數(shù)換底公式較為抽象，讓學(xué)生很難一下接受，故應(yīng)采用從特殊到一般的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)它。正是由于它的抽象性，所以從實(shí)際問(wèn)題中引出比較好。

【重點(diǎn)難點(diǎn)】（1）重點(diǎn)：換底公式得出的過(guò)程。重點(diǎn)的突破：從實(shí)際出發(fā)，以加深學(xué)生的印象；從實(shí)例中提出問(wèn)題，通過(guò)對(duì)一個(gè)個(gè)問(wèn)題的解決，體會(huì)出對(duì)數(shù)換底的意義和方法，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這樣就比較容易上升到一般規(guī)律，換底公式的得出就不困難了。（2）難點(diǎn)：推導(dǎo)換底公式過(guò)程中的“指、對(duì)轉(zhuǎn)化”意識(shí)。難點(diǎn)的解決：引導(dǎo)學(xué)生先把對(duì)數(shù)中的底數(shù)轉(zhuǎn)移，這便有了換底的要求。進(jìn)而提醒學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的知識(shí)中有哪些可以幫我們來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)移，原來(lái)可以把對(duì)數(shù)的底數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)冪的底數(shù)；也可以利用兩邊取對(duì)數(shù)的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。這樣一來(lái)，難點(diǎn)就好解決了?！菊n時(shí)建議】由于只有一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，用一個(gè)課時(shí)?！緦W(xué)情分析及學(xué)法指導(dǎo)】結(jié)合學(xué)生實(shí)際基礎(chǔ)不是太好，或思維能力相對(duì)較弱，所以教師采用多引導(dǎo)、多講的辦法，學(xué)生只需作適當(dāng)?shù)慕涣骱陀懻摷纯?，學(xué)生的學(xué)習(xí)方法因教師課堂教授的情況來(lái)定。【教學(xué)過(guò)程】（一）教學(xué)內(nèi)容：1.回顧：（1）（2）（3）2．問(wèn)題提出與問(wèn)題解決：教師提問(wèn)：我們?nèi)绾蝸?lái)求

log215＝？學(xué)生討論，思考求x的思路，并拿出解決問(wèn)題的方案。問(wèn)題的解決：學(xué)生可能提出的方案：（3）用“兩邊取對(duì)數(shù)”的方法。教師評(píng)價(jià)：如若這樣，x就可以表成以10為底的對(duì)數(shù)，就可以用計(jì)算器求得x值，以解決實(shí)際問(wèn)題。（可能學(xué)生已經(jīng)找到了計(jì)算的辦法，若如此，讓學(xué)生演示出來(lái)；如果沒(méi)有，教師啟發(fā)、引導(dǎo)，把問(wèn)題解決）師問(wèn)：如何實(shí)施呢？由學(xué)生討論并嘗試解決。估計(jì)：學(xué)生獨(dú)自解決有困難。問(wèn)題解決：把指數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)，可得，所以，用計(jì)算器可得分析：由解決的過(guò)程可以看出，有些環(huán)節(jié)學(xué)生是很難獨(dú)自度過(guò)的，如怎么想到把中的指數(shù)冪變成以10為底的指數(shù)冪，這對(duì)學(xué)生的思維要求是很高的。這就要求教師給予學(xué)生多引導(dǎo)、啟發(fā)，幫助學(xué)生渡過(guò)難關(guān)。如果是第三條思路，即學(xué)生用“兩邊取對(duì)數(shù)”的方法來(lái)做，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)做下去。如：對(duì)等式的兩邊取以10位底數(shù)的對(duì)數(shù)，可得―――運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算可得，從而得到，再用科學(xué)計(jì)算器就能得到所求的值。那么書中例8會(huì)作嗎？教師繼續(xù)設(shè)一問(wèn)：我們還能怎么作？那么我們能得出什么結(jié)論呢？答：。繼續(xù)問(wèn)：這個(gè)結(jié)論有什么意義呢？（讓學(xué)生回答）答：這個(gè)結(jié)論可以在對(duì)數(shù)運(yùn)算中起到非常大的作用。這就是我們今天要學(xué)習(xí)的結(jié)論，并把這個(gè)結(jié)論稱為對(duì)數(shù)換底公式。教師：上面問(wèn)題的解決，關(guān)鍵是把對(duì)數(shù)的底數(shù)換成了我們需要的底數(shù)。那么，對(duì)數(shù)的底數(shù)可以換成任何你想要的且符合條件的底數(shù)嗎？3．換底公式的推導(dǎo)及常用結(jié)論：繼續(xù)提問(wèn)：邊引導(dǎo)邊書寫你能把它們變換成以a

為底的對(duì)數(shù)嗎？學(xué)生將會(huì)很自然的推出結(jié)論：教師緊跟提問(wèn)：這個(gè)式子的成立有條件嗎？學(xué)生回答：。（學(xué)生在回答中可以相互補(bǔ)充）教師：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的對(duì)數(shù)換底公式。請(qǐng)同學(xué)們默記30秒。板書：1.1.對(duì)數(shù)換底公式：(a>0,a1，m>0,m1,N>0)證明證明:設(shè)logaN=x,則ax=N，兩邊取以m為底的對(duì)數(shù)：從而得：∴4．換底公式的應(yīng)用訓(xùn)練舉例：例1求log89.log2732的值．分析：觀察式子特征發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)都是3的整數(shù)次冪，可否把對(duì)數(shù)的底數(shù)換成3為底的對(duì)數(shù)呢？解答如下：注：在運(yùn)用換底公式時(shí)，不一定總換成10為底的對(duì)數(shù)，這里可靈活處理，結(jié)合題目的情況來(lái)定。例2．已知log23=a，log37=b,用a,b表示log4256例例3計(jì)算：①②5．練習(xí)：6．小結(jié)：本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了對(duì)數(shù)的換底公式，同學(xué)們既要知道學(xué)習(xí)它的意義，還要學(xué)會(huì)使用它。在推導(dǎo)換底公式的過(guò)程中，出現(xiàn)了“指、對(duì)轉(zhuǎn)化”的思想方法，要注意掌握，還有指數(shù)冪的換底方法，要多體會(huì)。換底公式主要應(yīng)用在對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)求值、運(yùn)算公式的推導(dǎo)和實(shí)際問(wèn)題中的對(duì)數(shù)計(jì)算等三個(gè)方面，應(yīng)用時(shí)要有目的性，如換以什么為底的對(duì)數(shù)為好等。7．作業(yè)布置：投影顯示（二）教學(xué)流程：環(huán)節(jié)內(nèi)容師生活動(dòng)引入從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，以問(wèn)題引入。師生共同解答提出主題通過(guò)問(wèn)題的一一解答，推導(dǎo)出對(duì)數(shù)的換底公式：（）師生共同完成知識(shí)應(yīng)用與學(xué)生訓(xùn)練例1計(jì)算：（1）（2）例2．例3．練習(xí)：教師示范，學(xué)生練習(xí)，教師指導(dǎo)。教師評(píng)價(jià)―――深深感覺(jué)到數(shù)學(xué)的重大意義，為此，我們應(yīng)該滿腔熱情地去學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識(shí)，將來(lái)做出更大的貢獻(xiàn)。教師述說(shuō)課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了對(duì)數(shù)的換底公式，同學(xué)們既要知道學(xué)習(xí)它的意義，還要學(xué)會(huì)使用它。在推導(dǎo)換底公式的過(guò)程中，出現(xiàn)了“指、對(duì)轉(zhuǎn)化”的思想方法，要注意掌握；還有指數(shù)冪的換底方法，要多體會(huì)。換底公式主要應(yīng)用在對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)求值、運(yùn)算公式的推導(dǎo)和實(shí)際問(wèn)題中的對(duì)數(shù)計(jì)算等三個(gè)方面，應(yīng)用時(shí)一定要有目的性，如換以什么為底的對(duì)數(shù)為好等。教師指導(dǎo)布置作業(yè)投影顯示銅川市第一中學(xué)楊有祥2013年10月22日《對(duì)數(shù)之換底公式》教學(xué)反思北師大版教科書數(shù)學(xué)高一年級(jí)必修一第三章第四節(jié)銅川市第一中學(xué)楊有祥“對(duì)任何正數(shù)N，logaN是存在的，并且由于指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以logaN也是唯一的?！边@就保證了“對(duì)兩個(gè)相等的正數(shù)，兩邊取相同底數(shù)的對(duì)數(shù)后仍相等”是站得住腳的，也就保證了“兩邊取對(duì)數(shù)”的方法是有據(jù)可依的。大家知道，在“指、對(duì)互化”中，指數(shù)冪的底數(shù)就是對(duì)數(shù)的底數(shù)，所以我們可以把對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)，而后對(duì)指數(shù)冪進(jìn)行換底，再把指數(shù)冪換回到對(duì)數(shù)，就達(dá)到了目的。這樣做，也可以引出指數(shù)冪的換底公式，為學(xué)生的思考與拓展作了鋪墊。課后反思：上課后，出乎我的意料，學(xué)生在最困難的“換底”處理上，還是首先想到的“兩邊取對(duì)數(shù)”的思想方法。看來(lái)，教材編排是有