(8)-二重積分的概念與性質(zhì)

二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念1曲頂柱體的體積設(shè)有一立體,它的底是xOy面上的閉區(qū)域D,它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面,它的頂是曲面z=f(x,y),這里f(x,y)0且在D上連續(xù).這種立體叫做曲頂柱體.現(xiàn)在我們來討論如何計(jì)算曲頂柱體的體積.首先,用一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域：s1,s2,,sn.分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線,作母線平行于z軸的柱面,這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個(gè)細(xì)曲頂柱體.在每個(gè)si中任取一點(diǎn)(xi,hi),以f(xi,hi)為高而底為si的平頂柱體的體積為：f(xi,hi)si(i=1,2,×××,n).這個(gè)平頂柱體體積之和：可以認(rèn)為是整個(gè)曲頂柱體體積的近似值.為求得曲頂柱體體積的精確值,將分割加密,只需取極限,即其中l(wèi)是個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值.2.平面薄片的質(zhì)量.設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D,它在點(diǎn)(x,y)處的面密度為r(x,y),這里r(x,y)0且在D上連續(xù).現(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.用一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域s1,s2,×××,sn.把各小塊的質(zhì)量近似地看作均勻薄片的質(zhì)量:r(xi,hi)si.各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值:將分割加細(xì),取極限,得到平面薄片的質(zhì)量其中l(wèi)是個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值.定義設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù).將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域s1,s2,×××,sn.其中si表示第i個(gè)小區(qū)域,也表示它的面積.在每個(gè)si上任取一點(diǎn)(xi,hi),作和.如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l趨于零時(shí),這和的極限總存在,則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分,記作,即.f(xy)被積函數(shù),f(xy)d被積表達(dá)式,d面積元素,xy積分變量,D積分區(qū)域,積分和.直角坐標(biāo)系中的面積元素:如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分D,那么除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外,其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域.設(shè)矩形閉區(qū)域si的邊長(zhǎng)為xi和yi,則si=xiyi,因此在直角坐標(biāo)系中,有時(shí)也把面積元素ds記作dxdy,而把二重積分記作其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素.二重積分的存在性:當(dāng)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí),積分和的極限是存在的,也就是說函數(shù)f(x,y)在D上的二重積分必定存在.我們總假定函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),所以f(x,y)在D上的二重積分都是存在的.二重積分的幾何意義:如果f(x,y)0,被積函數(shù)f(x,y)可解釋為曲頂柱體的在點(diǎn)(x,y)處的豎坐標(biāo),所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積.如果f(x,y)是負(fù)的,柱體就在xOy面的下方,二重積分的絕對(duì)值仍等于柱體的體積,但二重積分的值是負(fù)的.二.二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)c1、c2為常數(shù)則.性質(zhì)2如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和例如D分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2,則.性質(zhì)3(s為D的面積).性質(zhì)4如果在D上,f(x,y)g(x,y),則有不等式.特殊地.性質(zhì)5設(shè)M、m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大