什么是數(shù)學(xué)模型

關(guān)于什么是數(shù)學(xué)模型什么是數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模舉例數(shù)學(xué)建模競賽第2頁,共51頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模方法：機(jī)理分析和測試分析

第3頁,共51頁，2024年2月25日，星期天近幾年數(shù)模競賽題調(diào)整加油站計量器乘公交看奧運(yùn)眼科醫(yī)院就診方案確定出版社資源配置長江水質(zhì)的評價和預(yù)測移植器官的分配體系尋找好的衛(wèi)生保健系統(tǒng)艾滋病的治療方案確定量化評價上海世博會的影響第4頁,共51頁，2024年2月25日，星期天模型建模的知識結(jié)構(gòu)范圍廣、學(xué)科多：包括工業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)、政治、經(jīng)濟(jì)、軍事、社會、管理、信息技術(shù)等方面。學(xué)科知識非常廣泛：如微分方程、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計、圖與網(wǎng)絡(luò)、回歸分析、層次分析、量綱分析、機(jī)理分析、規(guī)劃論、排隊論、對策論、決策論、插值方法、差分方法、樣條方法、變分方法等優(yōu)化方法，以及計算機(jī)的操作和編程。數(shù)學(xué)建模所需要知識首先是“廣”，其次才是“精”。

第5頁,共51頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)建模引例從包湯圓（餃子）說起第6頁,共51頁，2024年2月25日，星期天通常，1公斤面，1公斤餡，包100個湯圓（餃子）

今天，1公斤面不變，餡比1公斤多了，問應(yīng)多包幾個（小一些），還是少包幾個（大一些）？問題圓面積為S的一個皮，包成體積為V的湯圓。若分成n個皮，每個圓面積為s，包成體積為v。V和nv哪個大?Ssss…Vvvv(共n個)從包湯圓（餃子）說起定性分析V比nv大多少?定量分析第7頁,共51頁，2024年2月25日，星期天假設(shè)1.皮的厚度一樣2.湯圓(餃子)的形狀一樣

模型應(yīng)用若100個湯圓（餃子）包1公斤餡,則50個湯圓(餃子)可以包公斤餡R~大皮的半徑；r~小皮的半徑V是nv是倍1.4從包湯圓（餃子）說起第8頁,共51頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)數(shù)學(xué)建模的方法和步驟第9頁,共51頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’第10頁,共51頁，2024年2月25日，星期天模型假設(shè)針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)建模的一般步驟第11頁,共51頁，2024年2月25日，星期天模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的一般步驟第12頁,共51頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)世界理論實踐第13頁,共51頁，2024年2月25日，星期天開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目的1.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力培養(yǎng)學(xué)生的想象力培養(yǎng)學(xué)生的洞察力培養(yǎng)學(xué)生的判斷力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識第14頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的能力，探索數(shù)學(xué)教學(xué)改革的途徑

數(shù)學(xué)教育應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生兩種能力：“算數(shù)學(xué)”（計算、推導(dǎo)、證明…）和“用數(shù)學(xué)”（實際問題建模及模型結(jié)果的分析、檢驗、應(yīng)用）；

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)體系和內(nèi)容偏重前者，忽略后者；

數(shù)學(xué)建模引入教學(xué)是不打亂現(xiàn)有體系下的教改實驗。

第15頁,共51頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)建模的重要意義電子計算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。

在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。第16頁,共51頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用

分析與設(shè)計

預(yù)報與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計算機(jī)技術(shù)知識經(jīng)濟(jì)如虎添翼第17頁,共51頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)建模舉例第18頁,共51頁，2024年2月25日，星期天椅子問題第19頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

把椅子放在不平的地面上，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只要稍挪動幾次，就可以使四腳著地放穩(wěn)了。這個看來似乎與數(shù)學(xué)無關(guān)的現(xiàn)象能用數(shù)學(xué)語言給出表述，并用數(shù)學(xué)工具來證實嗎？問題的提出

第20頁,共51頁，2024年2月25日，星期天⑴椅子的四條腿一樣長，椅子與地面接觸處可視為一個點，四腳連線呈正方形。模型假設(shè)：⑵地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷（沒有像臺階那樣的情況），即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面。⑶對于椅子腳的間距和椅子腿的長度而言，地面是相對平坦的，使椅子在任何位置至少有三只腳同時著地。第21頁,共51頁，2024年2月25日，星期天模型的建立AxA’yBB’CDC’D’設(shè)A、C兩腳與地面距離之和為

B、C兩腳與地面距離之和為

其中：第22頁,共51頁，2024年2月25日，星期天對任何

所滿足的條件

不妨設(shè)

第23頁,共51頁，2024年2月25日，星期天建立數(shù)學(xué)模型(化為數(shù)學(xué)命題）設(shè)是的連續(xù)函數(shù)，,

且對任意，有則存在使第24頁,共51頁，2024年2月25日，星期天模型求解由介值定理，必存在使即但故即椅子的四條腿能同時著地。假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長方形的椅子第25頁,共51頁，2024年2月25日，星期天體重問題第26頁,共51頁，2024年2月25日，星期天問題的提出問題人體的體重是怎樣隨時間變化的？人體的體重會達(dá)到平衡嗎？如何減肥？在一般情況下，人們每天的進(jìn)食量是相對固定的，所獲得的熱量一部分用于自身的新陳代謝，一部分用于勞動和體育鍛煉，剩余的熱量以脂肪小形式貯藏起來。第27頁,共51頁，2024年2月25日，星期天假設(shè)以脂肪的形式貯藏的熱量100%地有效，而1kg脂肪含熱量10000卡，模型的假設(shè)1每天的進(jìn)食量是2500卡2每天用于基本新陳代謝(即自動消耗)的熱量是1200卡在健身訓(xùn)練中，他每天消耗的熱量大約是

16卡/kg乘上他的體重(kg)5體重是時間t的函數(shù)w(t)，假定w(0)=w0

第28頁,共51頁，2024年2月25日，星期天模型的建立在時間內(nèi)考慮能量的改變：所以第29頁,共51頁，2024年2月25日，星期天模型的求解方程是一個一階線性非齊次方程，其解為：人體的體重能達(dá)到平衡狀態(tài)第30頁,共51頁，2024年2月25日，星期天結(jié)果分析進(jìn)食量新陳代謝運(yùn)動量與體重有關(guān)的因素：

1進(jìn)食量2新陳代謝

3運(yùn)動量減肥的方法：控制飲食調(diào)節(jié)內(nèi)分泌加強(qiáng)運(yùn)動第31頁,共51頁，2024年2月25日，星期天人口模型第32頁,共51頁，2024年2月25日，星期天背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長1.3.3如何預(yù)報人口的增長第33頁,共51頁，2024年2月25日，星期天指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對)增長率r是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長第34頁,共51頁，2024年2月25日，星期天指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代可用于短期人口增長預(yù)測不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律不能預(yù)測較長期的人口增長過程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)第35頁,共51頁，2024年2月25日，星期天阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)第36頁,共51頁，2024年2月25日，星期天dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)第37頁,共51頁，2024年2月25日，星期天參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報，必須先估計模型參數(shù)r或r,xm利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）

186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1第38頁,共51頁，2024年2月25日，星期天模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為281.4(百萬)模型應(yīng)用——預(yù)報美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0x(2010)=306.0實際為380.0第39頁,共51頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)建模競賽第40頁,共51頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)建模競賽的開展情況

20世紀(jì)60~70年代進(jìn)入西方國家的大學(xué)（數(shù)學(xué)建模教材較集中地出現(xiàn)在70年代）。

20世紀(jì)80年代初開始進(jìn)入我國大學(xué)；1987年出版第1本教材（《數(shù)學(xué)模型》，姜啟源編，高教社）；80年代末估計30~40所學(xué)校開課（數(shù)學(xué)系，講座）。

1985年美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽開始舉辦，1989年我國大學(xué)生開始參加這項競賽。

1992年我國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽開始舉辦，1999年有26?。ㄊ?、自治區(qū)）460所學(xué)校參加。數(shù)學(xué)建模競賽與教學(xué)相互促進(jìn)，估計目前開課的學(xué)校約400所（各專業(yè)，必修課，選修課，講座）。第41頁,共51頁，2024年2月25日，星期天全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

1994年起由教育部高教司和CSIAM共同舉辦，每年一次(9月)年份?。ㄊ?、自治區(qū)）數(shù)院校數(shù)隊數(shù)1992107931419931610142019942119686719952325912341996253371683199726373187419982640021031999264602241/4162000285172602/6082001285293081/7802002284448全國高校規(guī)模最大的課外科技活動第42頁,共51頁，2024年2月25日，星期天全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

1994年起由教育部高教司和CSIAM共同舉辦，每年一次(9月)年份?。ㄊ小⒆灾螀^(qū)）數(shù)院校數(shù)隊數(shù)200331637540620043272468812005327958492200632846998520073296911742200832102312846200933113715042201033119717317全國高校規(guī)模最大的課外科技活動第43頁,共51頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)建模競賽培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神，提高學(xué)生綜合素質(zhì)競賽內(nèi)容：題目由工程技術(shù)、管理科學(xué)中的實際問題簡化而成，沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。競賽形式：三名大學(xué)生組成一隊，可以自由地收集資料、調(diào)查研究，使用計算機(jī)、互聯(lián)網(wǎng)和任何軟件，在三天時間內(nèi)分工合作完成一篇論文。評獎標(biāo)準(zhǔn)：假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度。大學(xué)階段難得的一次近似于“真刀真槍”的訓(xùn)練，模擬了畢業(yè)后工作時的情況，既豐富、活躍了廣大同學(xué)的課外生活，也為優(yōu)秀學(xué)生脫穎而出創(chuàng)造了條件。第44頁,共51頁，2024年2月25日，星期天遼寧1994-2008參賽院校數(shù)量統(tǒng)計年份19941995199619971998199920002001數(shù)量410111110152025年份20022003200420052006200720082009數(shù)量27303434354041第45頁,共51頁，2024年2月25日，星期天遼寧1994-2008參賽隊數(shù)量統(tǒng)計年份19941995199619971998199920002