湖南省益陽市赫山區(qū)2023-2024學年數(shù)學九年級上冊期末調(diào)研試題含解析

湖南省益陽市赫山區(qū)2023-2024學年數(shù)學九上期末調(diào)研試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.對于二次函數(shù)y=3（x—2）?+1的圖象，下列說法正確的是（）

A.開口向下B.頂點坐標是（2,1）

C.對稱軸是直線％=-2D.與％軸有兩個交點

2.《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何?”譯

文大致是：“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺；將繩子對折再量木條，木條剩余1尺，問木條長多少尺?”

如果設(shè)木條長x尺，繩子長y尺，根據(jù)題意列方程組正確的是（）

x+4.5=y,x-y+4.5,x-y+4.5,x+4.5=y,

A.?yB.?vC.,xD.

2+l=x2+l=xy=-+l1

12122I2

3.如圖，該圖形圍繞點O按下列角度旋轉(zhuǎn)后，不能與其自身重合的是（）

A.720B.108°C.144°D.216°

4.已知如圖，線段AB=60,AD=13,DE=17,EF=7,請問在D,E,F三點中，哪一點最接近線段AB的黃金分割

點（）

ADEFB

A.D點B.E點C.F點D.D點或F點

5.某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，售價由原來的每件25元降到每件16元，則平均每次降價的百分率為（）.

A.20%;B.40%;C.18%;D.36%.

6.如圖的幾何體，它的主視圖是（）

正面

A.-------B.-------C.D.

7.若點A（和“）,例々，乂），。（%丹）在反比例函數(shù)）'=丄（攵<0）的圖象上，且X>0>%>為，則下列各式正確的

X

是（）

A.xt<x2<x3B.x2<xt<x3C.xl<x3<x2D.x3<x2<xt

8.一個不透明的盒子有n個除顏色外其它完全相同的小球，其中有12個黃球，每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任

意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復摸球?qū)嶒灪蟀l(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%,那么估計盒子中

小球的個數(shù)門為（）

A.20B.30C.40D.50

9.如圖，為了測量池塘邊A、B兩地之間的距離，在線段AB的同側(cè)取一點C,連結(jié)CA并延長至點D,連結(jié)CB并

延長至點E,使得A、B分別是CD、CE的中點，若DE=18m,則線段AB的長度是（）

C.8mD.10m

)

11

C.)'=；xD.y=—

3X

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.若式子在二1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則X的取值范圍是

x—2

12.在一個不透明的布袋中裝有黃、白兩種顏色的球共40個，除顏色外其他都相同，小王通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn),

摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.35左右，則布袋中黃球可能有個

13.某居民小區(qū)為了解小區(qū)500戶居民家庭平均月使用塑料袋的數(shù)量情況，隨機調(diào)查了10戶居民家庭月使用塑料袋的

數(shù)量，結(jié)果如下（單位：只）：65,70,85,74,86,78,74,92,82,1.

根據(jù)統(tǒng)計情況，估計該小區(qū)這500戶家庭每月一共使用塑料袋只.

14.厶和2的比例中項是4,貝!|厶=_.

15.如圖，拋物線y=-x?+2x+k與x軸交于A,B兩點，交y軸于點C,則點B的坐標是；點C的坐標是.

16.如圖所示，在菱形048c中，點8在x軸上，點4的坐標為（6,10）,則點C的坐標為

17.如圖，矩形ABC。中，AB=\,BC=6，以3為圓心，8。為半徑畫弧，交延長線于"點，以。為圓

心，8為半徑畫弧，交.AD于點N,則圖中陰影部分的面積是.

18.一個密碼箱的密碼，每個數(shù)位上的數(shù)都是從0到9的自然數(shù)，若要使一次撥對的概率小于気，則密碼的位數(shù)

至少要設(shè)置—位.

三、解答題（共66分）

19.（10分）在下列11x15的網(wǎng)格中，橫、縱坐標均為整數(shù)的點叫做格點，例如正方形A3CD的頂點A（-2,3）,C（l,0）

都是格點.要求在下列問題中僅用無刻度的直尺作圖.

（1）畫出格點M，連AM（或延長AM）交邊BC于E,使BE=EC,寫出點M的坐標.

（2）畫出格點N,連AN（或延長AN）交邊DC于F,使。尸=丄。。，則滿足條件的格點N有____個.

4

20.（6分）已知關(guān)于x的方程/一（加+l）x+2〃?=0的一個實數(shù)根是3,求另一根及團的值.

21.（6分）已知AABC是等腰三角形，AB=AC.

（1）特殊情形：如圖1,當DE〃BC時，有DBEC.（填“>”，"V”或“=”）

（2）發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a（0?！?lt;/〈180。）到圖2位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？

若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.

（3）拓展運用：如圖3,P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點，ZACB=90°,且PB=LPC=2,PA=3,求NBPC的度數(shù).

22.（8分）若一個三位數(shù)的百位上的數(shù)字減去十位上的數(shù)字等于其個位上的數(shù)字，則稱這個三位數(shù)為“差數(shù)”，同時,

如果百位上的數(shù)字為。、十位上的數(shù)字為b,三位數(shù)，是“差數(shù)”，我們就記：F（t）=bx（a-b）,其中，lVaW9,

0<b<9.例如三位數(shù)1...P-1=4,是“差數(shù)”，.../?（514）=lx（5—1）=4.

（1）已知一個三位數(shù)〃?的百位上的數(shù)字是6,若加是“差數(shù)”，F(xiàn)（m）=9,求〃?的值；

（2）求出小于300的所有“差數(shù)”的和，若這個和為"，請判斷”是不是“差數(shù)”，若是，請求出產(chǎn)（〃）；若不是，

請說明理由.

23.（8分）甲、乙兩人進行摸牌游戲現(xiàn)有三張除數(shù)字外都相同的牌，正面分別標有數(shù)字2,5,1.將三張牌背面朝上,

洗勻后放在桌子上.

（1）甲從中隨機抽取一張牌，記錄數(shù)字后放回洗勻，乙再隨機抽取一張請用列表法或畫樹狀圖的方法，求兩人抽取相

同數(shù)字的概率；

（2）若兩人抽取的數(shù)字和為4的倍數(shù)，則甲獲勝；若抽取的數(shù)字和為奇數(shù)，則乙獲勝這游戲公平嗎？請用概率的知識

加以解釋.

24.（8分）如圖1,AD、BD分別是aABC的內(nèi)角NBAC、NABC的平分線，過點A作AE丄AD,交BD的延長線

于點E.

（1）求證：ZE=-ZC；

2

（2）如圖2,如果AE=AB,且BD：DE=2：3,求cosNABC的值；

（3）如果NABC是銳角，且aABC與4ADE相似，求NABC的度數(shù).

25.（10分）（1）某學?！爸腔鄯綀@”數(shù)學社團遇到這樣一個題目：

如圖1,在AABC中，點O在線段BC上，ZBAO=30°,ZOAC=75°,AO=3。BO：CO=1;3,求AB的長.

經(jīng)過社團成員討論發(fā)現(xiàn)，過點B作BD〃AC,交AO的延長線于點D,通過構(gòu)造AABD就可以解決問題（如圖2）.

請回答：ZADB=。，AB=.

（2）請參考以上解決思路，解決問題：

如圖3,在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點

O,AC丄AD,AO=3g,ZABC=ZACB=75°,BO：OD=1：3,求DC的長.

26.（10分）已知，在A6c中，NA=90。，AB^AC,點。為8。的中點.

（1）若點E、尸分別是AB、AC的中點，則線段DE與。尸的數(shù)量關(guān)系是；線段。E與。戶的位置關(guān)系

是；

（2）如圖①，若點E、尸分別是AB、AC上的點，且=上述結(jié)論是否依然成立，若成立，請證明；若不

成立，請說明理由；

（3）如圖②，若點E、尸分別為4B、C4延長線上的點，且===直接寫出一。所的面積.

圖①

圖②

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1、B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)基本性質(zhì)逐個分析即可.

【詳解】A.a=3,開口向上，選項A錯誤

B.頂點坐標是（2,1）,B是正確的

C.對稱軸是直線x=2,選項C錯誤

D.與x軸有沒有交點，選項D錯誤

故選:B

【點睛】

本題考核知識點：二次函數(shù)基本性質(zhì)：頂點、對稱軸、交點.解題關(guān)鍵點：熟記二次函數(shù)基本性質(zhì).

2、A

【解析】本題的等量關(guān)系是：木長M.5=繩長，丄x繩長+1=木長，據(jù)此可列方程組即可.

2

【詳解】設(shè)木條長為x尺，繩子長為丁尺，根據(jù)題意可得：

x+4.5=y

<1,?

—y+1=x

12

故選：A.

【點睛】

本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應的二元一次方程組.

3、B

【解析】該圖形被平分成五部分，因而每部分被分成的圓心角是72。，并且圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，因而旋轉(zhuǎn)72度的整數(shù)

倍，就可以與自身重合.

【詳解】解：由該圖形類同正五邊形，正五邊形的圓心角是2=72°.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，當該圖形圍繞點O旋轉(zhuǎn)后,

5

旋轉(zhuǎn)角是72°的倍數(shù)時，與其自身重合，否則不能與其自身重合.由于108°不是72°的倍數(shù)，從而旋轉(zhuǎn)角是108°

時，不能與其自身重合.

故選B.

【點睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱

圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角.

4、C

【分析】根據(jù)題意先計算出BD=60-13=47,AE=BE=30,AF=37,則E點為AB的中點，則計算BD：AB和AF：AB,

然后把計算的結(jié)果與0.618比較，則可判斷哪一點最接近線段AB的黃金分割點.

【詳解】解：V線段AB=60,AD=13,DE=17,EF=7,

.*.BD=60-13=47,AE=BE=30,AF=37,

ABD：AB=47：60=0.783,AF：AB=37：60=0.617,

...點F最接近線段AB的黃金分割點.

故選：C.

【點睛】

本題考査黃金分割的定義，注意掌握把線段AB分成兩條線段AC和BC(AOBC),且使AC是AB和BC的比例中

項(即AB：AC=AC：BC),叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點.其中厶。=叵口A8?0.618，

2

并且線段AB的黃金分割點有兩個.

5,A

【分析】可設(shè)降價的百分率為x,第一次降價后的價格為25(1-x),第一次降價后的價格為25(1-力？，根據(jù)題意列

方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)降價的百分率為x

根據(jù)題意可列方程為25(1-Jr7=16

19

解方程得M=《，x2=-(舍)

???每次降價得百分率為20%

故選A.

【點睛】

本題考査了一元二次方程的在銷售問題中的應用，正確理解題意，找出題中等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

6、A

【解析】從正面看所得到的圖形，進行判斷即可.

【詳解】解：主視圖就是從正面看到的圖形，因此A圖形符合題意，

故選：A.

【點睛】

此題主要考査三視圖，解題的關(guān)鍵是熟知三視圖的定義.

7、C

【分析】先判斷反比例函數(shù)所在象限，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

k

【詳解】解：反比例函數(shù)為y=1(Z<0),.,?函數(shù)圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨著X的增大而增大，

又X>0>%>%，，%<0,x2>x3>0,xi<xi<x2.

故選C.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本題型，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

8、C

【分析】根據(jù)利用頻率估計概率得到摸到黃球的概率為30%,然后根據(jù)概率公式計算n的值即可.

12

【詳解】根據(jù)題意得：一=30%,

n

解得n=40,

所以估計盒子中小球的個數(shù)為40個.

故選C.

【點睛】

本題考査了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越

小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.熟練掌握概率

公式是解題關(guān)鍵.

9、A

【分析】根據(jù)三角形的中位線定理解答即可.

【詳解】解：YA、B分別是CD、CE的中點，DE=18m,

.,.AB=—DE=9m,

2

故選：A.

【點睛】

本題考査了三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.

10、A

k

【分析】根據(jù)形如丫=一"為常數(shù)，分0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù).其中X是自變量，y是因變量，自變量X的取值

x

范圍是不等于0的一切實數(shù).分別對各選項進行分析即可.

3

【詳解】A.y=L是反比例函數(shù)，正確；

4x

B.y=gd是二次函數(shù)，錯誤；

C.y=gx是一次函數(shù)，錯誤；

D.y=1,y是f的反比例函數(shù)，錯誤.

x

故選：A.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)的定義.反比例函數(shù)解析式的一般形式為y=A（原0）,也可轉(zhuǎn)化為尸和）的形式，特

x

別注意不要忽略原0這個條件.

二、填空題（每小題3分，共24分）

11、xNl且x/2

【分析】根據(jù)分母不等于0,且被開方數(shù)是非負數(shù)列式求解即可.

【詳解】由題意得

x-120且X-2W0,

解得

xNl且"2

故答案為：龍》1且XH2

【點睛】

本題考査了代數(shù)式有意義時字母的取值范圍，代數(shù)式有意義時字母的取值范圍一般從幾個方面考慮：①當代數(shù)式是整

式時，字母可取全體實數(shù)；②當代數(shù)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；③當代數(shù)式是二次根式時，被開方數(shù)為

非負數(shù).

12、14

【分析】先由頻率估計出摸到黃球的概率，然后利用概率公式求解即可.

【詳解】因摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.35左右

則摸到黃球的概率為0.35

設(shè)布袋中黃球的個數(shù)為x個

X

由概率公式得F=0.35

40

解得x=14

故答案為：14.

【點睛】

本題考查了頻率估計概率、概率公式，根據(jù)頻率估計出事件概率是解題關(guān)鍵.

13、2

【分析】先求出10戶居民平均月使用塑料袋的數(shù)量，然后估計500戶家庭每月一共使用塑料袋的數(shù)量即可.

【詳解】解：10戶居民平均月使用塑料袋的數(shù)量為：(65+70+85+74+86+78+74+92+82+1)+10=80,

.,.500X80=2(只)，

故答案為2.

【點睛】

本題考査統(tǒng)計思想，用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)，10戶居民平均月使用塑料袋的數(shù)量是解答本題的關(guān)鍵.

14、1.

【分析】根據(jù)題意切與2的比例中項為4,也就是b:4=4:2,然后再進一步解答即可.

【詳解】根據(jù)題意可得：

B:4=4:2,

解得b=\,

故答案為:1.

【點睛】

本題主要考查了比例線段,解題本題的關(guān)鍵是理解兩個數(shù)的比例中項，然后列出比例式進一步解答.

15、(-1,1)(1,3)

【分析】根據(jù)圖象可知拋物線y=-x2+2x+k過點(3,1),從而可以求得k的值，進而得到拋物線的解析式，然后即可

得到點B和點C的坐標.

【詳解】解：由圖可知，

拋物線y=-x2+2x+k過點(3,1),

貝!|1=-32+2x3+k,得k=3,

.*.y=-x2+2x+3=-(x-3)(x+l),

當x=1時,y=l+l+3=3；

當y=l時，-(x-3)(x+l)=l,

，*=3或x=-1,

.,.點B的坐標為(-1,1),點C的坐標為(1,3),

故答案為：(-1,1),(1,3).

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，二次函數(shù)與坐標軸的交點問題，二次函數(shù)與x軸的交點橫坐標是。爐+能+，=1

時方程的解，縱坐標是尸1.

16、(6,-10)

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可知A、C關(guān)于直線08對稱，再根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互

為相反數(shù)解答即可.

【詳解】解：???四邊形。43c是菱形，

：.A.C關(guān)于直線03對稱，

VA(6,10),

：.C(6,-10),

故答案為：(6,-10).

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)和關(guān)于x軸對稱的點的坐標特點，屬于基本題型，熟練掌握菱形的性質(zhì)是關(guān)鍵.

7萬下)

122

【分析】陰影部分的面積為扇形BDM的面積加上扇形CDN的面積再減去直角三角形BCD的面積即可.

【詳解】解：AB=1,BC=#)

二根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出，NA0C=9O°,A5=8=1,

VtanZCBZ)=-^=—

由3

:./CBD=3。

...利用勾股定理可得出，BD=2

因此，可得出

2

30x^-x290x萬x（百尸1x73冗3九671行

--------------------1----------------------------------------

342122

故答案為：丄一

122

【點睛】

本題考查的知識點是求不規(guī)則圖形的面積，熟記扇形的面積公式是解此題的關(guān)鍵.

18、1.

【分析】分別求出取一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)時一次就撥對密碼的概率，再根據(jù)，商所在的范圍解答即可.

【詳解】因為取一位數(shù)時一次就撥對密碼的概率為

取兩位數(shù)時一次就撥對密碼的概率為—:

100

取三位數(shù)時一次就撥對密碼的概率為—,

1000

取四位數(shù)時一次就撥對密碼的概率為一1—.

10000

故一次就撥對的概率小于，密碼的位數(shù)至少需要1位.

故答案為1.

【點睛】

本題考查概率的求法與運用，一般方法為：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)

m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）='.

n

三、解答題（共66分）

19、（1）M（-1,1）或（0,-1）或（1,一3）；（2）3個

【分析】（1）根據(jù)題意可得E為BC中點，找到D關(guān)于直線BC的對稱點M3,再連接AM?即可得到3個格點;

（2）根據(jù)題意，延長BC,由。尸=丄。。，得CF=3DF,故使CN3=3AD,連接AN3即可得到格點.

【詳解】（1）如圖，M（-1,1）或（。,一1）或（1,一3）

（2）如圖，N的個數(shù)為3個，

故答案為：3.

【點睛】

此題主要考查圖形與坐標，解題的關(guān)鍵是熟知對稱性與相似三角形的應用.

20、m=6,另一根為4.

【分析】把x=3代入方程求出m的值，再把〃z代入原方程即可求解.

【詳解】解：把x=3代入方程，得9-3(加+1)+2〃?=0,

解得=6,

把機=6代入原方程，得_?一7%+12=0，

解得%=3,馬=4.

所以另一根為4.

【點睛】

此題主要考查一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是熟知方程的解的定義及方程的解法.

21、(1)=；(2)成立，證明見解析；(3)135。.

DBEC

【分析】試題(1)由DE〃BC,得到一=—,結(jié)合AB=AC,得至DB=EC；

ABAC

(2)由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出ADAB纟aEAC,得至！IDB=CE；

(3)由旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出△CPB纟ACEA,再用勾股定理計算出PE,然后用勾股定理逆定理判斷出△PEA是直角三角形,

再簡單計算即可.

【詳解】(1)VDE/7BC,

.DBEC

?.—,

ABAC

VAB=AC,

.,.DB=EC,

故答案為=,

(2)成立.

證明：由①易知AD=AE,

:,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知NDAB=NEAC,

又：AD=AE,AB=AC

.".△DAB^AEAC,

/.DB=CE,

(3)如圖，

B,

E

將ACPB繞點C旋轉(zhuǎn)90。得ACEA,連接PE,

.'.△CPB^ACEA,

.*.CE=CP=2,AE=BP=1,ZPCE=90°,

:.ZCEP=ZCPE=45°,

在RtAPCE中，由勾股定理可得，PE=2后，

在△PEA中，PE2=(272)2=8,AE2=12=1,PA2=32=%

VPE2+AE2=AP2,

/.△PEA是直角三角形

:.ZPEA=90°,

:.ZCEA=135°,

又,.?△CPB絲ZkCEA

.,,ZBPC=ZCEA=135°.

【點睛】

考點：幾何變換綜合題；平行線平行線分線段成比例.

22、(1)m=633;(2)小于300的“差數(shù)”有101,110,202,211,220,〃是“差數(shù)”，-〃)=16

【分析】(1)設(shè)三位數(shù)加的十位上的數(shù)字是X,根據(jù)E(m)=x(6-X)進行求解；

(2)根據(jù)“差數(shù)”的定義列出小于300的所有“差數(shù)”，進而求解.

【詳解】解：(1)設(shè)三位數(shù)〃?的十位上的數(shù)字是X,

:.F(w)=x(6-x)=9,

解得，x=3,

個位上的數(shù)字為：6—3=3,

m-633；

(2)小于300的“差數(shù)”有101,110,202,211,220,

n=101+110+202+211+220=844,

顯然"是“差數(shù)”，打〃)=尸(844)=4x(8-4)=16.

【點睛】

本題是新定義問題，考查了解一元二次方程，理解新的定義是解題的關(guān)鍵.

23、（1）兩人抽取相同數(shù)字的概率是g；（2）這個游戲公平.

【分析】（D根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等情況數(shù)和兩人抽取相同數(shù)字的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案;

（2）根據(jù)概率公式求出兩人抽取的數(shù)字和為4的倍數(shù)以及和為奇數(shù)的概率，然后進行比較即可得出答案.

【詳解】（1）根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

/1\/T\/N

256256256

共有9種等情況數(shù)，其中兩人抽取相同數(shù)字的有3種，

31

則兩人抽取相同數(shù)字的概率是

（2）???共有9種等情況數(shù)，其中兩人抽取的數(shù)字和為4的倍數(shù)有4種，抽取的數(shù)字和為奇數(shù)的有4種，

._4_4

?（和為4的倍數(shù)＞=.，P（和為竊數(shù)＞=.，

.?.這個游戲公平.

【點睛】

本題主要考査的是利用概率計算判斷游戲公平性，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握樹狀圖求概率的方法.

2

24、（1）證明見詳解；（2）-；（3）30°或45°.

3

【分析】（1）由題意：ZE=90°-ZADE,證明NADE=90°-丄NC即可解決問題.

2

BFBD

⑵延長AD交BC于點F.證明AE〃BC,可得NAFB=NEAD=90°,--=--,由BD：DE=2：3,可得cosZABC=

AEDE

BFBF_2

~AB~~AE~y

（3）因為aABC與4ADE相似，NDAE=90。，所以NABC中必有一個內(nèi)角為90。因為NABC是銳角，推出

NABC#90。.接下來分兩種情形分別求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖1中，

VAE±AD,

/.ZDAE=90°,ZE=90°-ZADE,

VAD平分NBAC,

.,.ZBAD=丄NBAC,同理NABD=-ZABC,

22

VZADE=ZBAD+ZDBA,ZBAC+ZABC=180°-NC,

ZADE=-(ZABC+ZBAC)=90°--ZC,

22

AZE=90°-(90°--ZC)=-ZC.

22

(2)解：延長AD交BC于點F.

VAB=AE,

:.NABE=NE,

BE平分NABC,

.,.ZABE=ZEBC,

.*.ZE=ZCBE,

.?.AE〃BC,

BFBD

：.ZAFB=ZEAD=90°o，——=——，

AEDE

VBD：DE=2：3,

BFBF2

cosZABC=-----=------=—；

ABAE3

(3)?.'△ABC與aADE相似，ZDAE=90",

AZABC中必有一個內(nèi)角為90°

VZABC是銳角,

/.ZABC^90°.

①當NBAC=NDAE=90°時,

1

VZE=-ZC,

2

1

.,.ZABC=ZE=-ZC,

2

VZABC+ZC=90°，

：.ZABC=30°；

②當NC=NDAE=90。時，ZE=-ZC=45°,

2

ZEDA=45°,

VAABC-^AADE相似，

AZABC=45°；

綜上所述，NABC=30°或45°.

【點睛】

本題屬于相似形綜合題，考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是

學會用分類討論的思想思考問題.

25、(1)75；473;⑵CD=4jiI.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出NADB=NOAC=75。，結(jié)合NBOD=NCOA可得出ABODs/^cOA,利用相似

三角形的性質(zhì)可求出OD的值，進而可得出AD的值，由三角形內(nèi)角和定理可得出NABD=75*NADB,由等角對等邊

可得出AB=AD=4百，此題得解；

(2)過點B作BE〃AD交AC于點E,同(1)可得出AE=4G，在RtAAEB中，利用勾股定理可求出BE的長度，

再在R3CAD中，利用勾股定理可求出DC的長，此題得解.

【詳解】解：(1)VBD/7AC,

.,.ZADB=ZOAC=75°.

VZBOD=ZCOA,

.,.△BOD^ACOA,

.ODOB{

"~OA~OC~3'

又?：AO=36,

/.OD=1AO=V3>

.*.AD=AO+OD=473.

?.?NBAD=30°,ZADB=75°,

.,.ZABD=180°-ZBAD-ZADB=75°=ZADB,

，AB=AD=4百.

(2)過點B作BE〃AD交AC于點E,如圖所示.

A

D

c

：AC丄AD,BE/7AD,

/.ZDAC=ZBEA=90°.

VZAOD=ZEOB,

/.△AOD^AEOB,

.BOEOBE

,?DO~AO~DA'

VBO：OD=1：3,

.EOBE_I

"AO-'

?.?AO=3g,

.?.EO=5

:.AE=46

'：ZABC=ZACB=75°,

...NBAC=30。，AB=AC,

.\AB=2BE.

在RtAAEB中，BE2+AE2=AB2,即(473)2+BE2=(2BE)2,

解得：BE=4,

.,.AB=AC=8,AD=1.

在RtACAD中，AC2+AD2=CD2,BP82+l2=CD2,

解得：CD=4V13.

【點睛】

本題考査了相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：(1