上海市長征中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級上冊期中 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023學(xué)年第一學(xué)期期中考試

高一數(shù)學(xué)試卷

試卷滿分100分考試時間90分鐘

一、填空題(本大題共有12題，滿分36分，每小題滿分3分)

1.已知集合4={2,病—1},且"A,則實數(shù)。=.

2.集合?(T€NM€N)用列舉法表示為.

32

3.的5次方根是___.

243

4.已知lor=—2,貝1"=.

5.若久6是方程V+4x+l=0的兩個根，則;

ab

6.已知a>0,匕>0,化簡口-0@2k&=.

7.已知集合4={刀氏<1},B^{x\x>a},且AB=R,則實數(shù)”的取值范圍是.

8.已知Ilog52=a,5b=3,用。，b表示log512=_.

9.已知等式2x?-3x-l+/?(x-l)+c恒成立，其中a、b、c為常數(shù)，則a+6+c=

10.關(guān)于x的不等式加-2":+〃>-1的解集為兄則實數(shù)a的取值范圍是.

11.關(guān)于X的不等式如+b>0的解集為(—[)，則關(guān)于X的不等式處?>0的解集

x+2

為.

12.當(dāng)且僅當(dāng)工=時，代數(shù)式/+普取得最小值

二、選擇題(本大題共有4題，滿分14分，其中第13、14題每題3分，第

15、16題每題4分)

13.下列不等式中解集是R的是()

33

A.—1<—；B.|x|>°；C.x24-2x+1>0;D.2x2+x+1>0.

xx

14.已知集合4={(演V)1丁二燈,8={(%丁)|丁=5—40，則A8=()

A.(1,1)B.{(1,1)}C.D.{(—1,—1),(14)}

15.設(shè)mb>Of則下列運算中正確的是()

4322

A?a3a4=aB,a3a4=0

C.lga+lg/?=lg(a/?)D.郭=lga-lg人

16.設(shè)U為全集，A、5為非空集合，下面四個條件，其中是人勺B的充要條件個數(shù)有

()個

(1)AB=A；(2)=(3)AnB=0;(4)AuB=L/.

A.1B.2C.3D.4

三、解答題(本大題共有5題，滿分50分)

2>—

17.解不等式組x+1.

心-3K2

18.月餅是中華傳統(tǒng)特色節(jié)日糕點.某食品工坊推出冰流酥月餅和青紅絲月餅兩款新品,

已知冰流酥月餅每個售價為x元,青紅絲月餅每個售價為y元，銷售數(shù)量為a個或〃個，

且0<x<y,0<av4銷售結(jié)果如下：

一，冰流酥月餅銷售數(shù)量為。個，青紅絲月餅銷售數(shù)量為。個；

二，冰流酥月餅銷售數(shù)量為6個，青紅絲月餅銷售數(shù)量為。個

試問：哪一種銷售結(jié)果，銷售收入更好？請說明理由.

19.已知全集0=1?,集合A={x|-5cx<4},8={x|q-l<x<a+3}

(1)當(dāng)a=—2時，求A耳;

(2)若4B=B,求實數(shù)〃的取值范圍.

20.(1)求證：二』~-<1；

r+2x+2

(2)已知a>0,b>0,且a+b>2,用反證法證明：包和蟲中至少有一個小于

ab

2.

21.已知標(biāo)+昉2=4.

(1)若。與均為正數(shù)，求必的最大值，并指出取最大值時”與6的值;

⑵若〃與〃均為負(fù)數(shù)，求方1+/2的最小值.

1*±>/2

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，元素的特點，求出。的值即可.

【詳解】集合A={2,4—1},且［6A,

a2-\=1=>a=±\/2，

故答案為：±0.

2.{1,2,3,6)

【分析】由awN,-eN,即可求出。的值構(gòu)成的集合.

a

【詳解】aeN,-eN,

a

二當(dāng)a=l時，—=6,當(dāng)a=2時，9=3,

aa

當(dāng)〃=3時，—=2,當(dāng)〃=6時，-=1,

aa

集合卜片NMEN卜{1,2,3,6},

故答案為：{123,6}.

3.--

3

【分析】根據(jù)指數(shù)幕的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因為-衛(wèi)/二］,

243I3J

所以一3羌2的5次方根是一：2，

_,2

故答案為：-

4.e-2##-4

e~

【分析】直接利用對數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因為lnx=-2=lne",

所以x=ei,

故答案為：e-2

5.-4

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，化簡求值.

【詳解】由題意可知。+%=~4,ah=\,

故答案為：-4

°b2

6.—

a

【分析】根據(jù)指數(shù)幕的運算法則化簡即可.

【詳解】因為a>0,b>0,

所以(浦0?！簯?yīng)族近

_-1,2b2

-ah=—，

a

故答案為：

a

7.a<l

【分析】利用數(shù)軸，在數(shù)軸上畫出集合，數(shù)形結(jié)合可得解.

【詳解】A={x|x<l},fi={x|x>?)(

且AB=R,如圖，故當(dāng)“Ml時，命題成立.

故答案為：a<l.

--------X—o?

a1---%

8.2a+b##Z?+2〃

【分析】由題可得bg53=b,再利用對數(shù)的運算法則即得.

【詳解】???56=3,

log53=6,又log52=m

/.log512=log5(3x4)=log53+2log52=2a+b.

故答案為：2a+b.

9.1

【分析】結(jié)合已知等式進行變形，然后結(jié)合等式恒成立，對應(yīng)項系數(shù)相等可建立關(guān)于。，

C的方程，從而可求.

【詳解】因為2X2—3X-1="(X—1)2+。(％-1)+0恒成立,

即2x~—3x—1=cix~+(/?-2a)x+a—)+c恒:成立,

a=2

所以"-2a=-3,

a-b+c=-\

解得，〃=2,b=l,c=—2,

所以〃+"+c、=l.

故答案為：1.

10.(1,-HX))

【分析】?2—2缶+〃>—1的解集為R轉(zhuǎn)化為?2—2后+〃+1>0恒成立，根據(jù)判別式即

可求出.

【詳解】加-20X+Q>-1的解集為A，

即ax2-2A/2X+a+1〉0，

當(dāng)a=0時，即-2，5元+1>0,不符合題意，

a>0

當(dāng)awO時，貝ij，/-\2x,解得。>1,

(-242)-4〃(.+1)<0

綜上所述實數(shù)。的取值范圍為(1,叱).

11.(f,-2)(-1,4-00)

Y4-1

[分析]由不等式ar+b>0的解集為(―,1),得到。,且a<0,代入把不等式化為>0，

x+2

結(jié)合分式不等式的解法，即可求解.

【詳解】由題意，不等式5+6>0的解集為(—/)，可得-2=1且a<0,即b=-a,

a

n.i-7-/wr_nbx-a-a(x+l)八x+1八&刀/口-5,

則不等式一~=>0,即ari-->0,解得x<-2且x>-l,

x+2x+2x+2

即不等式的解集為(—,-2)(7,e).

故答案為：(-°0,-2)(―L+oo).

12.±7710-1

【分析】根據(jù)基本不等式取等條件可得.

【詳解】f+￡=f+[+￡_],

x+1x+1

Hx2+1>0,所以爐+1+—^-22h+l)x—^=2而，

廠+1Vv7x+l

故9+馬22亞-1,當(dāng)且僅當(dāng)x?+l=瑞，即工=±，疝_1時等號成立,

故答案為：±"5/15-1

13.D

【分析】分別解不等式，即可得出結(jié)果.

□□r_I<Q

【詳解】A選項，由士-1<士得，所以解集為(9,0)=(0,鐘)，排除A；

XXI/(J

B選項，由|x?0得xwO,所以解集為(F,O)U(O,E),排除B；

C選項，由f+2x+i>0得(x+l)2>0,解得xw—1,即解集為(―1,物)，排除C；

+!》+[>0,則(x+口+—>0>

D選項,由2f+x+l>0得/顯然恒成立，所以解集為

22I4)16

R,即D正確;

故選：D.

14.B

【分析】根據(jù)題意聯(lián)立二…,即可解

【詳解】由1=：，得所以48={(1,1)}.

[y=5-4x,[y=l,

故選：B.

15.C

【分析】根據(jù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)，可得AB錯；根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，可得C正確，D錯.

【詳解】由題中條件。，力>。，

則//=)€=成,故A錯；

則焉=擊=京故B錯；

根據(jù)對數(shù)的運算法則，可得lga+lgh=lg("),即C正確;

lgy=lga-lg/>,故D錯.

b

故選：C.

16.D

【分析】結(jié)合韋恩圖可直接判斷集合間的關(guān)系.

【詳解】U為全集,A、B為非空集合

對于（1）Ac8=AoAu8；

對于（2）AuB=B<=>AcB；

對于（3）4c5=0=4口8；

對于（4）AuB=UA^B.

故選：D

【解析】分別解不等式，即可求出結(jié)果.

229x+3-2.x-2<0上40=->0

則產(chǎn)

【詳解】由《X+1得<x+l一,即<X+15

<2-2<2x-3<21<2%<5

解得14xg，

即原不等式組的解集為1，（

18.第一種，理由見解析

【分析】列出兩種銷售結(jié)果的收入，利用作差法比較即可.

【詳解】第一種銷售結(jié)果的收入為51=依+處（元）,

第二種銷售結(jié)果的收入為邑=緲+以（元），

則S2-S1=ay-{-bx-^ax-\-by）=a^y-x）+b^x-=^y-x）^a-b）,

因為xvy,a<b,所以（丁一力（。一與<0,BP52<5,,

所以第一種銷售結(jié)果，銷售收入更好.

19.（1）Ac與={x|-5<xK-3或lKx<4}

(2){a|-4<?<l}

【分析】分別求出集合A與萬，再根據(jù)交集運算求結(jié)果：

由A8=8得8=4,建立不等關(guān)系即可得a的范圍.

【詳解】⑴由題意得河=何—5cx<4},

當(dāng)”=一2時，B={x|-3<x<l},則方={x|x4-3或xNl}

所以Ac^={x[—5<x4—3或14x<4}.

(2)因為AB=B,所以BqA,

a-l>-5

所以a+344,解得Xa"

即{alTSaKl}.

20.(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】⑴先計算x”x+2的范圍，進而可得再存的范圍，即可求證;

(2)假設(shè)竺^22,—>2,可得A+12