高考數(shù)學(xué)百大經(jīng)典例題-絕對(duì)值不等式

典型例題一例1解不等式分析：解含有肯定值的不等式，通常是利用肯定值概念，將不等式中的肯定符號(hào)去掉，轉(zhuǎn)化成與之同解的不含肯定值的不等式（組），再去求解．去肯定值符號(hào)的關(guān)鍵是找零點(diǎn)（使肯定值等于零的那個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)），將數(shù)軸分成若干段，然后從左向右逐段探討．解：令，∴，令，∴，如圖所示．（1）當(dāng)時(shí)原不等式化為∴與條件沖突，無(wú)解．（2）當(dāng)時(shí)，原不等式化為．∴，故．（3）當(dāng)時(shí)，原不等式化為．∴，故．綜上，原不等式的解為．說(shuō)明：要留意找零點(diǎn)去肯定值符號(hào)最好畫(huà)數(shù)軸，零點(diǎn)分段，然后從左向右逐段探討，這樣做條理分明、不重不漏．典型例題二例2求使不等式有解的的取值范圍．分析：此題若用探討法，可以求解，但過(guò)程較繁；用肯定值的幾何意義去求解特別簡(jiǎn)便．解法一：將數(shù)軸分為三個(gè)區(qū)間當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)橛薪獾臈l件為，即；當(dāng)時(shí)，得，即；當(dāng)時(shí)，得，即，有解的條件為∴．以上三種狀況中任一個(gè)均可滿意題目要求，故求它們的并集，即仍為．解法二：設(shè)數(shù)，3，4在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，A，B，如圖，由肯定值的幾何定義，原不等式的意義是P到A、B的距離之和小于．因?yàn)?，故?shù)軸上任一點(diǎn)到A、B距離之和大于（等于1），即，故當(dāng)時(shí)，有解．典型例題三例3已知，求證．分析：依據(jù)條件湊．證明：．說(shuō)明：這是為學(xué)習(xí)極限證明作的打算，要習(xí)慣用湊的方法．典型例題四例4求證分析：運(yùn)用分析法證明∵，∴只需證明，兩邊同除，即只需證明，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，原不等式明顯成立．∴原不等式成立．說(shuō)明：在肯定值不等式的證明，常用分析法．本例也可以一起先就用定理：（1）假如，則，原不等式明顯成立．（2）假如，則，利用不等式的傳遞性知，，∴原不等式也成立．典型例題五例5求證．分析：本題的證法許多，下面給出一種證法：比較要證明的不等式左右兩邊的形式完全相同，使我們聯(lián)想利用構(gòu)造函數(shù)的方法，再用單調(diào)性去證明．證明：設(shè)．定義域?yàn)椋?，且｝，分別在區(qū)間，區(qū)間上是增函數(shù)．又，∴即∴原不等式成立．說(shuō)明：在利用放縮法時(shí)常常會(huì)產(chǎn)生如下錯(cuò)誤：∵，，∴．錯(cuò)誤在不能保證，．肯定值不等式在運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)有特別重要的作用，其形式轉(zhuǎn)化比較敏捷．放縮要適度，要依據(jù)題目的要求，剛好調(diào)整放縮的形式結(jié)構(gòu)．典型例題六例6關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式與的解集依次為與，求使的的取值范圍．分析：分別求出集合、，然后再分類探討．解：解不等式，，∴．解不等式，．當(dāng)時(shí)（即時(shí)），得．當(dāng)時(shí)（即時(shí)），得．當(dāng)時(shí)，要滿意，必需故；當(dāng)時(shí)，要滿意，必需∴．所以的取值范圍是．說(shuō)明：在求滿意條件的時(shí)，要留意關(guān)于的不等式組中有沒(méi)有等號(hào)，否則會(huì)導(dǎo)致誤會(huì)．典型例題七例6已知數(shù)列通項(xiàng)公式對(duì)于正整數(shù)、，當(dāng)時(shí)，求證：．分析：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的前項(xiàng)和，它的隨意兩項(xiàng)差還是某個(gè)數(shù)列的和，再利用不等式，問(wèn)題便可解決．證明：∵∴．說(shuō)明：是以為首項(xiàng)，以為公比，共有項(xiàng)的等比數(shù)列的和，誤認(rèn)為共有項(xiàng)是常見(jiàn)錯(cuò)誤．正余弦函數(shù)的值域，即，，是解本題的關(guān)鍵．本題把不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、個(gè)變量的肯定值不等式問(wèn)題連在一起，是一個(gè)較為典型的綜合題目．假如將本題中的正弦改為余弦，不等式同樣成立．典型例題八例8已知，，求證：分析：本題中給定函數(shù)和條件，留意到要證的式子右邊不含，因此對(duì)條件的運(yùn)用可有幾種選擇：(1)干脆用；(2)打開(kāi)肯定值用，替出；(3)用肯定值的性質(zhì)進(jìn)行替換．證明：∵，∴，∵，∴．∴，∴，即．說(shuō)明：這是肯定值和函數(shù)的綜合題，這類題通常要涉及肯定值及肯定值不等式的性質(zhì)等綜合學(xué)問(wèn)的運(yùn)用．分析中對(duì)條件運(yùn)用時(shí)出現(xiàn)的三種可能是常常遇到的，要結(jié)合求證，敏捷選用．典型例題九例9不等式組的解集是（）．A．B．C．D．分析：本題是考查含有肯定值不等式的解法，由，知，∴，又，∴，解原不等式組實(shí)為解不等式（）．解法一：不等式兩邊平方得：．∴，即，∴，又．∴∴．選C．解法二：∵，∴可分成兩種狀況探討：(1)當(dāng)時(shí)，不等式組化為（）．解得．(2)當(dāng)時(shí)，不等式組可化為（），解得．綜合(1)、(2)得，原不等式組的解為，選C．說(shuō)明：本題是在的條件下，解一個(gè)含肯定值的分式不等式，如何去肯定值是本題的關(guān)鍵所在，必需留意，只有在保證兩邊均為非負(fù)數(shù)時(shí)，才能將不等式兩邊同時(shí)平方．另一種方法則是分區(qū)間探討，從而去掉肯定值符號(hào)．當(dāng)然本題還可用特別值解除法求解．典型例題十例10設(shè)二次函數(shù)(，且)，已知，，，，當(dāng)時(shí)，證明．分析：從知，二次函數(shù)的圖像是開(kāi)口向上的拋物線；從且，知，要求證的是，所以拋物線的頂點(diǎn)肯定在軸下方，取肯定值后，圖像翻到軸上方．因此拋物線的頂點(diǎn)的取值特別重要，也是解這道題的關(guān)鍵所在．證明：∵，∴．又∵，∴．∴．又，，∴．而的圖像為開(kāi)口向上的拋物線，且，，∴的最