北京市朝陽區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市朝陽區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，又，所?故選：A.2.設(shè)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意可得，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，即在虛軸上，因此可得，即；故選：B.3.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?，所以指?shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以冪函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，正確；對(duì)于C，因?yàn)椋詫?duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，滿足，有，此時(shí)不滿足，錯(cuò)誤.故選：B.4.在中，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗易知，由可得；利用正弦定理可得.故選：D.5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，易知，由可得，整理得，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，又，可得的最大值為到圓心的距離再加上半徑，即.故選：D.6.如圖，在正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗正方體中，連接，交于點(diǎn)，再連接和，由于，且，∴四邊形是平行四邊形，所以，又平面，且平面，，所以平面，同理證明平面，因?yàn)槠矫妫矫?，平面，平面，且，所以平面平面，且平面平面，從而得，若平面，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，則，即在直線上時(shí)，都滿足平面，因?yàn)槠矫?，所以，顯然，當(dāng)最大時(shí)，即取最小值時(shí)，此時(shí)點(diǎn)滿足，連接，可設(shè)正方體的棱長為，所以．故選：C．7.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”是“在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然m為0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，滿足；令，可得，即，設(shè)，要使得函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)解，則滿足或，解得或，即函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，可得，所以“”是“在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)”的充分不必要條件.故選：A.8.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是的準(zhǔn)線與的對(duì)稱軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在上.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是的準(zhǔn)線與的對(duì)稱軸的交點(diǎn)，其坐標(biāo)為，點(diǎn)在上，設(shè)為，若，則，且，則.故選：D.9.根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)量受勞動(dòng)投入、資本投入和技術(shù)水平的影響，用表示產(chǎn)量，表示勞動(dòng)投入，表示資本投入，表示技術(shù)水平，則它們的關(guān)系可以表示為，其中.當(dāng)不變，與均變?yōu)樵瓉淼谋稌r(shí)，下面結(jié)論中正確的是（）A.存在和，使得不變B.存在和，使得變?yōu)樵瓉淼谋禖.若，則最多可變?yōu)樵瓉淼谋禗.若，則最多可變?yōu)樵瓉淼谋丁即鸢浮紻〖解析〗設(shè)當(dāng)不變，與均變?yōu)樵瓉淼谋稌r(shí)，，對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若和，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，即若，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，由，，可得，故D正確.故選：D.10.在中，，當(dāng)時(shí)，的最小值為.若，，其中，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如下圖所示：在直線上取一點(diǎn)，使得，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即；又，所以可得是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：又可得為的中點(diǎn)，由以及可得在上，可得，所以，可得，則，令，由可得，所以，，由二次函數(shù)上單調(diào)遞增可得，.故選：C.第二部分（非選擇題）二、填空題11.在展開式中，的系數(shù)為___________.(用數(shù)值表示)〖答案〗〖解析〗令，則，即的系數(shù)為，故〖答案〗為：12.已知等差數(shù)列的公差為，為其前項(xiàng)和，且成等比數(shù)列，則________，________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差：，且成等比數(shù)列，得，即，解得，所以，所以，，故〖答案〗：.13.已知雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，則其離心率為________.〖答案〗〖解析〗由題意雙曲線漸近線方程為，它過點(diǎn)，所以，即，所以其離心率為.故〖答案〗為：.14.設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最大值為______；若無最大值，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值為______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，有，從而，即當(dāng)時(shí)，有最大值1；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，有最大值4；綜上，當(dāng)時(shí)，有最大值4；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則存在最大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在先單調(diào)遞減，再單調(diào)遞增，若函數(shù)無最大值，則，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，若函數(shù)無最大值，則，解得，綜上，當(dāng)無最大值時(shí)，，故實(shí)數(shù)的一個(gè)取值為（〖答案〗不唯一）.故〖答案〗為：；（〖答案〗不唯一）15.中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中開方運(yùn)算暗含著迭代法，清代數(shù)學(xué)家夏鸞翔在其著作《少廣縋鑿》中用迭代法給出一個(gè)“開平方捷術(shù)”，用符號(hào)表示為：已知正實(shí)數(shù)，取一正數(shù)作為的第一個(gè)近似值，定義，則是的一列近似值.當(dāng)時(shí)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③，；④，.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________.〖答案〗①④〖解析〗對(duì)于①，，，故①正確；對(duì)于②，，故②錯(cuò)誤；為了說明選項(xiàng)③④，引理：我們先來討論與的關(guān)系；由于是偶數(shù)，所以，對(duì)于而言，由于為奇數(shù)，所以，所以有，由于數(shù)列每一項(xiàng)均為正，所以利用均值不等式，有，取不到等號(hào)，即，同時(shí)有，因此數(shù)列從第三項(xiàng)起，奇數(shù)項(xiàng)大于，偶數(shù)項(xiàng)小于；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，由于是偶數(shù)，所以，由于數(shù)列從第3項(xiàng)起，奇次項(xiàng)均大于，以及每一項(xiàng)均為正，所以，于是，時(shí)，相鄰奇次項(xiàng)之差同號(hào)，又由于，所以，即，從而時(shí)，恒有，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，根據(jù)上述引理可知，所以有，從而有，利用均值不等式有代入上式得，即，故④正確.故〖答案〗為：①④.三、解答題16.已知函數(shù)的圖象過原點(diǎn).（1）求的值及的最小正周期；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求正數(shù)的最大值.解：（1）由得.所以.所以的最小正周期為.（2）由（），得（）所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，且，此時(shí)，所以，故的最大值為.17.如圖，在四棱錐中，，側(cè)面底面，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）已知，，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使四棱錐唯一確定，求二面角的余弦值.條件①：；條件②：；條件③：直線與平面所成角的正切值為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)?，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)閭?cè)面底面，且平面平面，平面，所以平面，如圖，在平面中，作，則，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，選條件①：連接，在中，因?yàn)?，，所以，在中，因?yàn)?，，所以，所以，所以，設(shè)平面的法向量是，則，即，令，則，于是，因?yàn)槠矫?，所以是平面的一條法向量，所以，由題知，二面角為鈍二面角，所以其余弦值為.選條件②：因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，而，平面，所以與平行或重合，這與矛盾，所以條件②不行.選條件③：連接，因?yàn)槠矫?，所以是直線與平面所成角，所以，在中，因?yàn)?，所以，在中，因?yàn)椋?，下同選條件①.18.某學(xué)校開展健步走活動(dòng)，要求學(xué)校教職員工上傳11月4日至11月10日的步數(shù)信息.教師甲、乙這七天的步數(shù)情況如圖1所示.（1）從11月4日至11月10日中隨機(jī)選取一天，求這一天甲比乙的步數(shù)多的概率；（2）從11月4日至11月10日中隨機(jī)選取三天，記乙的步數(shù)不少于20000的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)11月4日至11月10日某一天的數(shù)據(jù)制作的全校800名教職員工步數(shù)的頻率分布直方圖如圖2所示.已知這一天甲與乙的步數(shù)在全校800名教職員工中從多到少的排名分別為第501名和第221名，判斷這是哪一天的數(shù)據(jù).（只需寫出結(jié)論）解：（1）設(shè)“甲比乙的步數(shù)多”為事件，在11月4日至11月10日這七天中，11月5日與11月9日這兩天甲比乙步數(shù)多，所以；（2）由圖可知，7天中乙的步數(shù)不少于20000步的天數(shù)共2天；的所有可能取值為，，所以的分布列為012；（3）由頻率分布直方圖知，步數(shù)在各個(gè)區(qū)間的人數(shù)如下，有人，有人，有人，有人，有人，有人，因?yàn)榧着c乙的步數(shù)在全校800名教職員工中從多到少的排名分別為第501名和第221名，所以甲走的步數(shù)在區(qū)間內(nèi)，乙走的步數(shù)在區(qū)間內(nèi)，符合的只有11月6日這一天，所以這是11月6日的數(shù)據(jù).19.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線為軸，求的值；（2）討論在區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）若在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求證：.（1）解：由得：，依題意，，得.經(jīng)驗(yàn)證，在點(diǎn)處的切線為，所以.（2）解：由題得.（i）若，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以無極值點(diǎn).（ii）若，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以為的極小值點(diǎn)，且無極大值點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.（3）證明：由（2）知當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.所以.若在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則.而，設(shè)，則.設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，即.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，即.又，所以20.已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為，原點(diǎn)到直線的距離為，的面積為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線分別與直線交于點(diǎn).判斷點(diǎn)是否為線段的中點(diǎn)，說明理由.解：（1）由題可知.因?yàn)榈拿娣e為，所以.因?yàn)辄c(diǎn)到直線距離為，所以.所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，理由如下：由題知直線的斜率存在，如下圖所示：設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，即.聯(lián)立，整理得.由，得.設(shè)，，則.直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo).直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo).要證點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，只需證明，即.因?yàn)?，即，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn).21.已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮遞增數(shù)列，對(duì)于，定義集合，設(shè)為集合中的元素個(gè)數(shù)，若時(shí)，規(guī)定.（1）若，寫出及的值；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)集合，求證：且.（1）解：因?yàn)椋?，則，所以，，又，所以，，所以；（2）解：由題可知，所以，所以.若，則，，所以，，與是等差數(shù)列矛盾.所以.設(shè)，因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以.假