江蘇省東臺市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省東臺市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.3．答題前，務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、座號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡上．一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的，請?jiān)诖痤}紙的指定位置填涂〖答案〗選項(xiàng).）1.已知直線與直線互相垂直，則m為（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗兩直線垂直，則有，即，解得.故選：C2.在等比數(shù)列中，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在等比數(shù)列中，，由等比數(shù)列的基本性質(zhì)可得，故.故選：A.3.已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則＝（）A.1 B.2C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗則.故選：D.4.已知圓和圓相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為（）．A. B. C.4 D.2〖答案〗A〖解析〗由題意知圓，即圓，圓心為，半徑，圓，即圓，圓心為，半徑，則，即兩圓相交，將圓和圓的方程相減，可得直線的方程為，則到直線的距離為，故弦的長為，故選：A5.已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)到的距離為，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為，由拋物線的定義可知，點(diǎn)到的距離為，可得，故.故選：B.6.在中國古代詩詞中，有一道“八子分綿”的名題：“九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人分十七，要作第八數(shù)來言”．題意是把996斤綿分給8個(gè)兒子做盤纏．按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多分17斤綿．則年齡最小的兒子分到的綿是（）A.65斤 B.82斤 C.184斤 D.201斤〖答案〗C〖解析〗設(shè)個(gè)兒子按年齡從小到大依次分綿斤，斤，斤，…，斤，則數(shù)列為公差為等差數(shù)列.因?yàn)榫d的總數(shù)為斤，所以，解得.故選：C.7.設(shè)分別為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，它們在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M，，若雙曲線的離心率，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，由橢圓和雙曲線的定義得，解得，在中，由余弦定理得，代入得，整理得，同除以得，即，所以，又，所以，故選：B.8.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且不等式恒成立，則t的取值范圍為（）．A. B.C D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)椋?，且?因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程：在有兩個(gè)不同的解，所以：，且，.所以：.設(shè)，則，由，得，由得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以最小值為：.所以.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，計(jì)20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分，請?jiān)诖痤}紙的指定位置填涂〖答案〗選項(xiàng).）9.已知圓，直線與圓M交于C，D兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）．A.的取值范圍是B.若直線l經(jīng)過圓M的圓心，則的值為C.當(dāng)直線l過原點(diǎn)O時(shí)，圓M上的動點(diǎn)到直線l的最大距離為D.若，則〖答案〗AB〖解析〗對于A項(xiàng)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心為，半徑，因?yàn)橹本€與圓M交于C，D兩點(diǎn)，所以圓心M到直線l的距離，即，解得，所以取值范圍是，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，若直線l經(jīng)過圓M的圓心，則，解得，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，當(dāng)直線l過原點(diǎn)O時(shí)，則，得直線，則圓心M到直線l的距離，得圓M上的動點(diǎn)到直線l的最大距離為：，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，因?yàn)?，所以為等邊三角形，則圓心M到直線CD的距離為：，所以，得或，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：AB10.已知等比數(shù)列的公比為q，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由可知顯然不合題意，故有，解得，故A錯(cuò)B對；，，代入C，D選項(xiàng)驗(yàn)證，C正確；D選項(xiàng)右邊，D錯(cuò)誤.故選：BC11.己知直線交拋物線于、兩點(diǎn)，下列說法正確的是（）．A.B.為定值C.線段AB的中點(diǎn)在一條定直線上D.為定值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為直線OA、OB的斜率）〖答案〗ACD〖解析〗聯(lián)立直線方程與拋物線方程，可得；對A：由直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，可得，解得，故A正確；對B：因?yàn)椤?，故可得，故B錯(cuò)誤；對C：設(shè)中點(diǎn)為，故可得；故中點(diǎn)在定直線上，故C正確；對D：為定值，故D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)，其中，則（）．A不等式對恒成立B.若直線與函數(shù)的圖象有且只有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則k的取值范圍是C.方程恰有3個(gè)實(shí)根D.若關(guān)于x的不等式恰有1個(gè)負(fù)整數(shù)解，則a的取值范圍為〖答案〗AD〖解析〗對于選項(xiàng)A，，當(dāng)或時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以在出取得極小值，，在處取得極大值，，而時(shí)，恒有成立，所以的最小值是，即，對恒成立，故A正確；對于B選項(xiàng)，若函數(shù)與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，由A選項(xiàng)分析，函數(shù)的大致圖象如下，由圖知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，由，得，解得，令，和，而，由圖象知，和分別有兩解綜上，方程共有4個(gè)根，C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，直線過原點(diǎn)，且，，記，，易判斷，，不等式恰有1個(gè)負(fù)整數(shù)解，即曲線在的圖象下方對應(yīng)的x值恰有1個(gè)負(fù)整數(shù)，由圖可得，即，故D正確．故選：AD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，計(jì)20分.不需寫出解答過程，請把〖答案〗寫在答題紙的指定位置上.）13.若雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為__________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意可得，故可得，則，則右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，一條漸近線為，右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離.故〖答案〗為：.14.在數(shù)列中，，則_________．〖答案〗〖解析〗由題意可知，所以數(shù)列的周期為3，所以.故〖答案〗為：15.已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為橢圓C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為__________．〖答案〗2〖解析〗由橢圓定義可知，，有，由，P，Q關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，故四邊形為矩形，則有，故，四邊形的面積.故〖答案〗為：2.16.已知函數(shù)，若在上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的最大值是__________．〖答案〗〖解析〗由，在存在零點(diǎn)，即在上有解，令，，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即，令，，則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時(shí)，，即有，故，即實(shí)數(shù)a的最大值是.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，計(jì)70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把〖答案〗寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).）17.在①，②，③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并進(jìn)行解答．己知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，__________，__________．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）由于是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，當(dāng)選①②，，解得所以的通項(xiàng)公式選①③，，解得，所以的通項(xiàng)公式選②③，，解得，所以的通項(xiàng)公式（2）由（1）知，，所以，所以．18.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求證：在上單調(diào)遞增．解：（1）因?yàn)?，所?所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）由（1）知，，因?yàn)樗?，又，所以，所以在上單調(diào)遞增.19.已知雙曲線，焦點(diǎn)為，其中一條漸近線的傾斜角為，點(diǎn)M在雙曲線上，且．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，若的面積為，求實(shí)數(shù)m的值．解：（1）由條件知，，故．即雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，O到直線l的距離為h，聯(lián)立得，由，解得，而又由，故弦長，解得，故．20.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且；數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，公比為q，且，的等差中項(xiàng)為10；，的等比中項(xiàng)為8．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若存在使得成立，求實(shí)數(shù)的最大值．解：（1）由可得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，，即，，即可得是等差數(shù)列．由，得，即．由題意得，即，解得或，是遞增的等比數(shù)列，，所以，得，，即；（2）由（1）得：若存在使得成立，等價(jià)于存在使得能成立，設(shè)，則，是遞減數(shù)列，故的最大值為，因此的最大值為.21.已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A、B，橢圓的離心率為，短軸長為．（1）求橢圓C的方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在第一象限，判斷是否存在常數(shù)，使得恒成立；若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．解：（1）由條件，即，解得．故橢圓C的方程．（2）方法一：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，，；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程可得，顯然，且，從而綜上所述，存在常數(shù)，使得.方法二：不妨設(shè)，，聯(lián)立直線和橢圓方程可得，顯然，，，又，故.故存在常數(shù)，使得.22.已