江蘇省連云港市2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省連云港市2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題一、單項選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.設(shè)為實數(shù)，若向量，，且，則的值為（）A. B. C. D.4〖答案〗B〖解析〗因為，所以存在實數(shù)，使得，又，，所以，解得，所以的值為.故選：B．2.已知復數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的虛部為i B.C.的共軛復數(shù) D.為純虛數(shù)〖答案〗D〖解析〗∵，∴z的虛部為1，為純虛數(shù)，，∴正確的結(jié)論是D．故選：D．3.在中，若，，，則（）A.或 B. C. D.或〖答案〗B〖解析〗在中，由正弦定理得，所以，又因為且，，所以.故選：B.4.已知中，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗中，，所以.故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.或〖答案〗A〖解析〗依題意，均為銳角，由得，由得，所以，而，所以.故選：A.6.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗易得為增函數(shù)，且，，故函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：B．7.在中，，，則的大小為（）A.或 B. C. D.或〖答案〗C〖解析〗由，，等式兩邊平方相加得：，即，故，故或，由，得，得，故，則，故.故選：C.8.在任意四邊形中，點，分別在線段，上，且，，，，，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖：由，則①，又②，由①+②可得，即，故，設(shè)與夾角為，則，解得.故選：C．二、多項選擇題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的．全選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.已知向量，，且，則（）A. B.C.向量與向量的夾角是 D.向量在向量上的投影向量坐標是〖答案〗ACD〖解析〗因為向量，，所以，由得，解得，所以，故A正確；又，所以，故B錯誤；設(shè)向量與向量的夾角為，因為，，所以，又，所以，即向量與向量的夾角是，故C正確；向量在向量上的投影向量坐標是，故D正確.故選：ACD.10.下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則或B.若，則C.若復數(shù)滿足，則的最大值為3D.若（，），則〖答案〗BC〖解析〗對于A：令，所以由復數(shù)模長公式有，但這與或矛盾，故A選項不符合題意；對于B：令，所以，所以，且，所以，故B選項符合題意；對于C：令，若復數(shù)滿足，則有（其中），所以，所以，所以，即當且僅當即當且僅當時，有最大值為3，故C選項符合題意；對于D：令可知，但這與矛盾，故D選項不符合題意.故選：BC．11.下列各式的值為的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對A，因為，故，故，故A正確；對B，，故B錯誤；對C，，故C正確；對D，，故D錯誤.故選：AC．12.中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形三邊求面積的公式，求其法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即．現(xiàn)有滿足，且，則（）A.外接圓的半徑為B.若的平分線與交于，則的長為C.若為的中點，則的長為D.若為的外心，則〖答案〗BD〖解析〗根據(jù)題意由，利用正弦定理可得，不妨設(shè)，利用余弦定理可得，又，可得；又面積為，解得，所以，對于選項A，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得，所以，即A錯誤；對于B，分別作垂直于，垂足為，如下圖所示：易知的面積為，可得，即B正確；對于C，若為的中點，易知，如下圖所示：所以可得，可得，即C錯誤；對于D，延長交外接圓于點，連接；如下圖所示：易知即為直徑，所以可知，；利用投影向量的幾何意義可得，即可得D正確.故選：BD．三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分.）13.在中，若，，則的值為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)外接圓半徑為，則由正弦定理可得：.故〖答案〗為：.14.若，則的值為______.〖答案〗〖解析〗因為，所以，所以，解得.故〖答案〗為：.15.已知四邊形中，，，是的中點，，，則的長為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)，在中，，所以，所以，同理在中，，則，在中，，即，解得.故〖答案〗為：16.函數(shù)的零點個數(shù)為______．〖答案〗6〖解析〗由，令，作出函數(shù)的草圖如下：當時，由可得，當時，由得，易知在之間兩函數(shù)有6個交點，故零點個數(shù)為6.故〖答案〗為：6.四、解答題（本大題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.已知復數(shù)滿足，的虛部為2，所對應(yīng)的點在第三象限，求：（1）復數(shù)；（2）若復數(shù)在復平面上對應(yīng)的點在第二象限，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）設(shè)（，），所以，①因為，又的虛部為2，所以，②由①②解得或，所以或，又所對應(yīng)的點在第三象限，所以．（2），因為復數(shù)在復平面上對應(yīng)的點在第二象限，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍為．18.已知，，，試求：（1）；（2）與的夾角.解：（1）由，可得，則，即，又，，則，則.（2），又，則，故與的夾角為.19.已知直角梯形的三個頂點分別為，，，且．（1）求頂點的坐標；（2）若為線段上靠近點的三等分點，為線段的中點，求．解：（1）設(shè)，因為，，，則，，，，在直角梯形中，，且，所以A，為直角，則，即，解得，，所以頂點的坐標為.（2）如圖：因為為線段上靠近點的三等分點，則，設(shè)，則，所以，，所以，又因為為線段的中點，則，所以，，則，所以.20.在中，已知，最長邊的長為.（1）求的大??；（2）若，求最短邊的長.解：（1）因為，所以，即，在中，由余弦定理得，又，故.（2）因，故，又因為，所以，所以為最小角，為最大角，則為最短邊，為最大邊，由，可得，解得，所以，在中，由正弦定理得，即，得.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），所以函數(shù)的最小正周期.（2）因為，所以在上恒成立，即在上恒成立，因，所以，所以，所以對恒成立，令，則，則問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以在上的最大值為，所以，所以實數(shù)的取值范圍.22.已知中，點是線段上一點，，且①，②，③，④.（1）求的長；（2）為邊上的一點，若為銳角三角形，求的周長取值范圍.上面問題的條件，現(xiàn)請你在①，②，③，④中刪除一個，并將剩下三個作為條件解答這個問題，要求〖答案〗存在且唯一.你刪去的條件是_______，請你寫出剩余條件解答本題的過程.解：（1）刪除條件①：設(shè)，，則，在中，，即，同理在中，，即，聯(lián)立，可得，，即，，故；刪除條件④：設(shè)，則，在中，，同理在中，，因為，所以，即，解得：，所以；刪除條件②：在中，，所以，解得或，不唯一，不符合題意；刪除條件③：在中，，即，解得或，不唯一，不符合題意.（2）若刪去①：由（1）知，設(shè)，因為，則，在中，由正弦定理知，則，，所以的周長