2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期3月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題(新高考金卷)

新高考金卷2024屆全國II卷適應(yīng)卷（三）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試題滿分150分，考試時間120分鐘；2．考生答題前請?jiān)谝?guī)定位置填寫姓名、班級、考號等相關(guān)信息，在答題卡上正確填涂準(zhǔn)考證號（或粘貼條形碼）并仔細(xì)核對自己的信息；3．選擇題請用2B鉛筆在答題卡對應(yīng)的位置準(zhǔn)確填涂，非選擇題請用黑色字跡簽字筆在答題卡的非選擇題區(qū)域作答；在本試卷及草稿紙上作答，答案無效；4．考試結(jié)束后，本試題、答題卡、草稿紙一并收回，請勿帶出考場一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)為虛數(shù)單位，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法和乘方運(yùn)算來計(jì)算.【詳解】,則.故選：B.2.已知集合，，若中有且僅有兩個元素，則實(shí)數(shù)的范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合中元素，代入集合即可.【詳解】因?yàn)橹杏星覂H有兩個元素，則，，所以，解得，且.故選：D.3.某生產(chǎn)線正常生產(chǎn)狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)近似服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.10 D.19【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由正態(tài)曲線的性質(zhì)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題可知，正態(tài)曲線關(guān)于對稱，且，則，解得.故選：B4.設(shè)為雙曲線的中心，以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓與雙曲線的兩條漸近線交于兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.或2 C. D.或2【答案】B【解析】【分析】分兩種情況，和分別求解即可.【詳解】焦點(diǎn)在上和焦點(diǎn)在上結(jié)果一樣，故不妨取雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，若為圖1：則，則，則，若為圖2：則，則，則，故選：B.5.已知平面向量，滿足，設(shè)，則的最小值為（）A. B.3 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律及二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】，則當(dāng)時，.故選：A.6.已知三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合已知求出底面三角形外接圓的圓心，進(jìn)一步找出三棱錐外接球的球心，由三角形相似求得外接球的半徑，則答案可求.【詳解】由，過作面，垂足為，則為的外心，在中，，故，設(shè)的外接圓半徑為，則，即，即所以，取的中點(diǎn)，過作交于，則為三棱錐外接球的球心，由可得，則，即外接球半徑為，所以外接球的表面積為.故選：B.7.設(shè)，，，，若滿足條件的與存在且唯一，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】先由，可得，再根據(jù)，結(jié)合兩角差的正弦公式求出，進(jìn)而可求出，再根據(jù)唯一性可求出，再求出，結(jié)合兩角差的正切公式求出，即可得解.【詳解】由，得，即，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)闈M足條件的與存在且唯一，所以唯一，所以，所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以，因?yàn)?，所以，所以，則，解得，所以.故選：B.8.已知函數(shù)，，點(diǎn)與分別在函數(shù)與的圖象上，若的最小值為，則（）A. B.3 C.或3 D.1或3【答案】C【解析】【分析】平移直線使其經(jīng)過點(diǎn)，則切線斜率為1，利用導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式即可得到方程，解出即可.【詳解】因?yàn)?，令，解得，而，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則，即點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得或，故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.如圖所示，圓臺的母線與下底面的夾角為，上底面與下底面的直徑之比為，為一條母線，且，為下底面圓周上的一點(diǎn)，，則（）A.三棱錐的體積為2 B.圓臺的表面積為C.的面積為 D.直線與夾角的余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】由三棱錐的體積公式即可判斷A，由圓臺的表面積公式即可判斷B，由三角形的面積公式即可判斷C，由異面直線夾角的概念以及余弦定理即可判斷D【詳解】根據(jù)題意，圓臺軸截面如圖所示，分別過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，所以由上底面與下底面的直徑之比為可得，則，所以圓臺的高為，，則，故A正確；設(shè)圓臺的上下底面圓的半徑分別為，則，則圓臺的表面積為，故B正確；過點(diǎn)作的垂線交于，則可得平面，且平面，則，過點(diǎn)作的垂線交于，連接，即，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，則，由可得，即，所以，且，所以，則，故C錯誤；過點(diǎn)作的平行線交底面圓周于點(diǎn)，連接，則即為直線與所成角（或補(bǔ)角），在中，，，，由余弦定理可得，則直線與夾角的余弦值為，故D正確；故選：ABD10.設(shè)正實(shí)數(shù)，，且滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】對于A項(xiàng)，通過題設(shè)求出，代入所求式消元，湊項(xiàng)運(yùn)用基本不等式即得；對于B項(xiàng)，直接運(yùn)用基本不等式將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于的不等式求解即得；對于C項(xiàng)，運(yùn)用完全平方式將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)，通過其圖象單調(diào)性即得；對于D項(xiàng)，通分后將其化成關(guān)于的分式函數(shù)，求其值域即得.【詳解】對于A項(xiàng)，由可得：，因，故，將其代入可得：當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，由可得，因，故得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)，由，設(shè)，由上分析知，，則在上單調(diào)遞增，故，即C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，由，由上分析知，則，故，即，故D項(xiàng)正確.故選：AD.11.已知圓：，圓：，動圓與圓外切于點(diǎn)，與圓內(nèi)切于點(diǎn)圓心的軌跡記為曲線，則（）A.的方程為B.的最小值為C.D.曲線在點(diǎn)處的切線與線段垂直【答案】BCD【解析】【分析】A.直接根據(jù)橢圓的定義可得答案；B.與互補(bǔ)，求出的最大角即可；對于C：直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；對于D：求出點(diǎn)處的切線斜率，再利用求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷切線斜率和的關(guān)系即可.【詳解】對于A：設(shè)動圓的半徑為，由條件得，，則，且，，不重合，故點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓（去掉，，重合的點(diǎn)），則曲線的方程為，A錯誤；對于B：由圖可知與互補(bǔ)，當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時，最大，此時，所以，則的最大值為，所以的最小值為，B正確；對于C：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C正確；對于D：設(shè)點(diǎn)，則過點(diǎn)的橢圓的切線方程為，切線斜率為，又，所以，則，得，解得,所以,又，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即曲線在點(diǎn)處的切線與線段垂直，D正確；故選：BCD證明：過橢圓上一點(diǎn)的橢圓的切線方程為，聯(lián)立，消去得，則，又，得，所以，所以是過橢圓上一點(diǎn)的橢圓的切線方程.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：過橢圓上一點(diǎn)的的切線方程為，過雙曲線上一點(diǎn)的的切線方程為，通過結(jié)論可快速找到解題思路.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.為弘揚(yáng)志愿者精神，某校舉行“樂于助人”服務(wù)活動，現(xiàn)安排甲，乙等4人到三個不同地方參加活動，每個地方至少1人，若甲和乙不能去同一個地方，則不同的安排方式有______種．【答案】【解析】【分析】將4人按分組，先不考慮限制條件，先分組再分配求出不同的安排方式的種數(shù)，再排除甲和乙去同一個地方的種數(shù)即可.【詳解】安排甲，乙等4人到三個不同地方參加活動，每個地方至少1人，則將4人按分組，若不考慮限制條件，則此時不同的安排方式有種，當(dāng)甲和乙去同一個地方時，有種不同安排方式，所以若甲和乙不能去同一個地方，則不同的安排方式有種.故答案為：13.已知，則______．【答案】【解析】【分析】先化簡，再利用二項(xiàng)式定理求得，再將等式兩邊同時求導(dǎo)，從而得解.【詳解】因?yàn)?，而的展開通項(xiàng)公式為，所以展開式中的系數(shù)，由，兩邊同時求導(dǎo)可得，令可得，所以.故答案為：.14.已知的圖象關(guān)于直線對稱，且在上恰有兩條對稱軸．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，則面積的最大值為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)于直線對稱，推得，對的取值分正、負(fù)進(jìn)行討論，求得，得到函數(shù)解析式，利用求出角，利用正弦定理表示出邊，繼而求得三角形面積表達(dá)式，運(yùn)用三角恒等變換化成正弦型函數(shù)，利用其值域求得面積最大值.【詳解】由的圖象關(guān)于直線對稱可得：，則，解得：.①當(dāng)時，由可得：，依題需使，解得：，代入可得，故不存在；②當(dāng)時，由可得：，依題需使，解得：，因，故時，，即.由可得：，因，則,由正弦定理，可得：于是，面積為：,因，則，故，即，故面積的最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于在求得之后，往往容易先入為主，默認(rèn)為正，結(jié)果求不出而放棄；第二個關(guān)鍵在于對于較復(fù)雜的面積表達(dá)式，要善于角的消元和三角函數(shù)的降次以及輔助角公式的應(yīng)用，最后在角的范圍內(nèi)考查三角函數(shù)的值域.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列以及等比數(shù)列的定義，列出方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由（1）可得，結(jié)合裂項(xiàng)相消法代入計(jì)算，即可證明.【小問1詳解】因?yàn)?，，成等差?shù)列，即，又為等比數(shù)列，則也成等比數(shù)列，則，聯(lián)立解得，則數(shù)列的公比為，即，所以，當(dāng)時，，且也滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）知，，且，則，記，則，則，因?yàn)?，所?16.如圖所示，在長方體中，，在棱上，且．（1）若，求平面截長方體所得截面的面積（2）若點(diǎn)滿足，求平面與所成夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建系，利用坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算，求出點(diǎn)的位置，然后畫出截面，求截面面積即可；（2）利用向量法求平面與平面的夾角即可.【小問1詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)?，所以，設(shè)，則，由得，解得，即為線段中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，明顯有，則平面截長方體所得截面為梯形，則，，所以則點(diǎn)到的距離為，則截面的面積為；【小問2詳解】設(shè)，則，，設(shè)面的法向量為，面的法向量為則，取得，，取得，所以，則平面與所成夾角的余弦值為.17.垃圾分類是普惠民生的一項(xiàng)重要國策．垃圾分類不僅能夠減少有害垃圾對環(huán)境的破壞，減少污染，同時也能夠提高資源循環(huán)利用的效率．垃圾分類共分四類，即有害垃圾，廚余垃圾，可回收垃圾與其他垃圾．某校為了解學(xué)生對垃圾分類的了解程度，按照了解程度分為等級和等級，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行調(diào)查．已知樣本中等級的男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，兩個等級的女生人數(shù)一樣多，在樣本中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生是等級男生的概率為．（1）根據(jù)題意，完成下面的二維列聯(lián)表．并根據(jù)小概率值獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷學(xué)生對垃圾分類的了解程度是否與性別有關(guān)？男生女生等級等級附：0.050.0250.010.0053.8415.0246.6357.879，其中．（2）為了進(jìn)一步加強(qiáng)垃圾分類工作的宣傳力度，學(xué)校特舉辦垃圾分類知識問答比賽活動．每局比賽由二人參加，主持人和輪流提問，先贏3局者獲得第一名并結(jié)束比賽．甲，乙兩人參加比賽，已知主持人提問甲贏的概率為，主持人提問甲贏的概率為，每局比賽互相獨(dú)立，且每局都分輸贏．抽簽決定第一局由主持人提問．（i）求比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束的概率；（ii）設(shè)為結(jié)束比賽時甲贏的局?jǐn)?shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】17.列聯(lián)表見解析，學(xué)生對垃圾分類的了解程度與性別無關(guān)，理由見解析18.（i）；（ii）分布列見解析，期望值為【解析】【分析】（1）數(shù)據(jù)分析，得到列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，與比較后得到結(jié)論；（2）（i）分甲贏得比賽和乙贏得比賽兩種情況，計(jì)算出概率相加后得到答案；（ii）得到的可能取值和對應(yīng)的概率，得到分布列，計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】由題意得，等級的男生人數(shù)為，等級男生的人數(shù)為，等級的女生人數(shù)相同，均為人，故列聯(lián)表如下：男生女生總計(jì)等級402060等級202040總計(jì)6040100故，故根據(jù)小概率值獨(dú)立性檢驗(yàn)，學(xué)生對垃圾分類的了解程度與性別無關(guān)；【小問2詳解】（i）比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束，甲贏得比賽的概率為，比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束，乙贏得比賽的概率為，故比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束的概率為；（ii）的可能取值為，，即進(jìn)行了3場比賽，且乙贏得比賽，故，，即進(jìn)行了4場比賽，且乙贏得比賽，前3場中，甲贏得1場比賽，乙第4場贏，故，，即進(jìn)行了5場比賽，且乙贏得比賽，前4場中，甲贏得2場比賽，乙第5場贏，故，，即最后甲贏得比賽，由概率性質(zhì)得，所以分布列為0123故數(shù)學(xué)期望為.18.已知實(shí)數(shù)，函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍，（2）設(shè)是方程的實(shí)根，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）分和兩種情況討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，再結(jié)合題意即可得解；（2）由（1）知是函數(shù)的兩個不同零點(diǎn)，不妨設(shè)，根據(jù)，作差可得，則要證，即證，即證，設(shè)，則只需證，即證，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求證即可；再證，由題意可得，再根據(jù),可得,則,設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得證.【小問1詳解】，當(dāng)時，，則上單調(diào)遞增，所以函數(shù)最多一個零點(diǎn)，不符題意；當(dāng)時，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，要使函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，則，解得，綜上所述，；【小問2詳解】由（1）知是函數(shù)的兩個不同零點(diǎn)，不妨設(shè)，則有，即，，作差得，先證，即證，即證，設(shè)，則只需證，即證，設(shè)，則，則在上單調(diào)遞增，則，則成立，也即成立；再證，因?yàn)槭欠匠痰母?，則，又有，，則，則，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，則，故要證，只需證，即證，只需證，因?yàn)?，則，且在上單調(diào)遞減，則只需證，又因?yàn)?，即證，設(shè)，則，則在上單調(diào)遞減，則，則，從而，故成立.綜上所述，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類