2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)解三角形第6講解三角形課件

第六講解三角形知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點一正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容___________________＝2R(其中R是△ABC外接圓的半徑)a2＝________________b2＝________________c2＝________________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2accosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理常見變形①a＝___________，b＝___________，c＝___________

②sinA＝________，sinB＝________，

sinC＝________③a∶b∶c＝___________________④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA

cosA＝__________

cosB＝__________

cosC＝__________2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC定理正弦定理余弦定理解決解斜三角形的問題(1)已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角(1)已知三邊，求各角(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角知識點二在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下知識點三三角形常用面積公式知識點四實際問題中的常用術(shù)語

術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角．方位角α的范圍是0°≤α<360°術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)××度知識點五實際測量中的常見問題

求AB圖形需要測量的元素解法求豎直高度底部可達∠ACB＝αBC＝a解直角三角形AB＝atanα歸

納

拓

展在△ABC中，常有以下結(jié)論1．∠A＋∠B＋∠C＝π.2．任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．4．∠A>∠B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB．5．tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC．6．三角形式的余弦定理sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB·sinCcosA，sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，sin2C＝sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC．7．三角形中的射影定理：bcosC＋ccosB＝a，acosC＋ccosA＝b，acosB＋bcosA＝c.9．三角形中判斷內(nèi)角范圍的方法：①若b2＋c2>a2，則角A為銳角；②若b2＋c2＝a2，則角A為直角：③若b2＋c2<a2，則角A為鈍角．10．在銳角三角形ABC中，必有sinA>cosB，sinB>cosC，sinC>cosA等．雙

基

自

測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)在△ABC中，a∶b∶c＝A∶B∶C．(

)(2)在△ABC中，A>B必有sinA>sinB．(

)(3)在△ABC中，若b2＋c2>a2，則△ABC為銳角三角形．(

)(4)在△ABC中，若bcosB＝acosA，則△ABC是等腰三角形．(

)×√×××題組二走進教材AA．45° B．75°C．105° D．60°B題組三走向高考C[解析]

解法一：∵acosB－bcosA＝c，∴sinAcosB－sinBcosA＝sinC，∴sin(A－B)＝sinC，∴A－B＝C(A－B＋C＝π舍去)，解法二：由acosB－bcosA＝c得sinAcosB－sinBcosA＝sinC，即sinAcosB－sinBcosA＝sinAcosB＋cosAsinB，∴cosAsinB＝0，又知sinB≠0，考點突破·互動探究利用正、余弦定理解三角形——自主練透D2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列條件能確定三角形有兩解的是(

)B3．(2024·南陽四校聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，則此三角形的外接圓的半徑R＝______.4．(2023·全國甲理，16,5分)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分線交BC于D，則AD＝______.2名師點撥：2．正、余弦定理可將三角形邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可將角(三角函數(shù))的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系．3．在三角形的判斷中注意應(yīng)用“大邊對大角”．4．已知邊多優(yōu)先考慮余弦定理，角多優(yōu)先考慮正弦定理.判斷三角形的形狀——師生共研1．(2023·開封調(diào)研)已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，則△ABC的形狀是(

)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形D[解析]

解法一(轉(zhuǎn)化為三角函數(shù))：已知等式可化為a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA．由正弦定理知上式可化為sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，∴sin2A＝sin2B，由0<2A<2π，0<2B<2π，∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．故選D．解法二(轉(zhuǎn)化為邊)：同解法一可得2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB．∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2＋b2＝c2，∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．故選D．2．(2024·長春調(diào)研)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosC－2ccosB＝a，且B＝2C，則△ABC的形狀是(

)A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形B名師點撥：判斷三角形形狀的2種途徑【變式訓(xùn)練】1．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，則△ABC的形狀為(

)A．等邊三角形

B．直角三角形C．鈍角三角形

D．不確定AA．直角三角形B．等邊三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形A即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等．又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，正、余弦定理的綜合應(yīng)用——師生共研角度1三角形面積問題名師點撥：三角形面積公式的應(yīng)用原則2．與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化．角度2三角形中的范圍問題(1)求角B；(2)求2a－c的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．名師點撥：解三角形問題中，求解某個量(式子)的取值范圍是命題的熱點，其主要解決思路如下：要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)(2022·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.(1)求sinA的值；(2)若b＝11，求△ABC的面積．(1)求A；(2)若b＝2，D為AB的中點，求CD的取值范圍．名師講壇·素養(yǎng)提升三角形中的實際測量問題角度1測量距離問題(2023·武漢模擬)如圖，一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔時，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔時，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是(

)A[解析]

過點C向正南方向作一條射線CD，如圖所示，由題意可知，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°，所以∠ACB＝110°－65°＝45°.AB＝24×0.5＝12(海里)．名師點撥：距離問題的常見類型及解法1．類型：測量距離問題常分為三種類型：山兩側(cè)、河兩岸、河對岸．2．解法：選擇合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將實際問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解．在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解．注意：(1)基線的選取要恰當(dāng)準(zhǔn)確；(2)選取的三角形及正、余弦定理要恰當(dāng)．若圖中涉及多個三角形，則先解可解三角形，借助公共邊、公共角再解其他三角形從而求解．角度2測量高度問題60名師點撥：求解高度問題的三個關(guān)注點1．在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．2．在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．3．注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.易錯提醒：解三角形實際問題時注意各個角的含義，根據(jù)這些角把需要的三角形的內(nèi)角表示出來．而容易出現(xiàn)的錯誤是把角的含義弄錯，把這些角與要求解的三角形的內(nèi)角之間的關(guān)系弄錯．角度3角度問題在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12海里的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10海里的速度沿南偏東75°方向前進，若紅方偵察艇以每小時14海里的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍方的小艇，若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值．[解析]

如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍方的小艇，則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.名師點撥：角度問題的解題方法首先應(yīng)明確方向角的含義，在解應(yīng)用題時，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問題