2024年中考數學復習（全國版）第24講 特殊四邊形-菱形（講義）（原卷版）

第24講特殊四邊形-菱形目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構考點一菱形的性質與判定題型01利用菱形的性質求角度題型02利用菱形的性質求線段長題型03利用菱形的性質求周長題型04利用矩形的性質求面積題型05利用矩形的性質求坐標題型06利用矩形的性質證明題型07添加一個條件證明四邊形是菱形題型08證明四邊形是菱形題型09根據菱形的性質與判定求角度題型10根據菱形的性質與判定求線段長題型11根據菱形的性質與判定求面積題型12根據菱形的性質與判定解決多結論問題題型13與菱形有關的新定義問題題型14與菱形有關的規(guī)律探究問題題型15與菱形有關的動點問題題型16菱形與一次函數綜合題型17菱形與反比例函數綜合題型18菱形與一次函數、反比例函數綜合題型19菱形與二次函數綜合考點要求新課標要求命題預測菱形的性質與判定探索并證明菱形的性質定理.探索并證明菱形的判定定理.菱形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個圖形之一，年年都會考查，預計2024年各地中考還將出現(xiàn).菱形的考察類型比較多樣，其中選擇、填空題?？疾炝庑蔚幕拘再|，解答題中考查菱形的性質和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數、動態(tài)問題綜合應用的可能性比較大．考點一菱形的性質與判定菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的性質：1）具有平行四邊形的所有性質；2）四條邊都相等；3）兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角.4）菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，菱形的對稱中心是菱形對角線的交點，菱形的對稱軸是菱形對角線所在的直線，菱形的對稱軸過菱形的對稱中心.菱形的判定：1）A對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.A2）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.3）四條邊相等的四邊形是菱形.【解題思路】判定一個四邊形是菱形時，可先說明它是平行四邊形，再說明它的一組鄰邊相等或它的對角線互相垂直，也可直接說明它的四條邊都相等或它的對角線互相垂直平分．菱形的面積公式：S=ah=對角線乘積的一半（其中a為邊長，h為高）.菱形的周長公式：周長l=4a（其中a為邊長）.1.對于1.對于菱形的定義要注意兩點:a.是平行四邊形;b.一組鄰邊相等.2.定義說有一組鄰邊相等的平行四邊形才是菱形,不要錯誤地理解為有一組鄰邊相等的四邊形是菱形.3.菱形的面積S=對角線乘積的一半，適用于對角線互相垂直的任意四邊形的面積的計算.4.在求菱形面積時,要根據圖形特點及已知條體靈活選擇面積公式來解決問題，5.在利用對角線長求菱形的面積時,要特別注意不要漏掉計算公式中的12題型01利用菱形的性質求角度【例1】（2022·河北石家莊·校考模擬預測）如圖，菱形ABCD中，∠1=15°，則∠D=（

A．115° B．150° C．125° D．130°【變式1-1】（2023·陜西西安·一模）如圖，將菱形紙片沿著線段AB剪成兩個全等的圖形，則∠1的度數是（

）A．40° B．60° C．80° D．100°【變式1-2】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABCD中，以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，分別交BC,CD于點E，F(xiàn)．若∠EAF=60°，則

【變式1-3】（2020·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，連接OE，若∠ABC=124°，則∠OED=度．【變式1-4】（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，∠CBD=75，分別以A、B為圓心，大于AB的一半長為半徑畫弧，兩弧在AB的兩側分別交于點P、Q，作直線PQ交AB于點E，交AD于點F，連接BF，求題型02利用菱形的性質求線段長【例2】（2022·安徽·合肥38中?？寄M預測）如圖在菱形ABCD中，AD=12，對角線AC和BD交于點O，點E，F(xiàn)分別是OD和OC的中點，AE與BF交于點G，則EF的長為．

【變式2-1】（2023·浙江·模擬預測）已知菱形的一個內角為60°，一條對角線的長為43，則另一條對角線的長為【變式2-2】（2022·湖南長沙·?？级＃┤鐖D，四邊形ABCD是邊長為5的菱形，對角線AC，BD的長度分別是一元二次方程x2-2m+1x+8m

【變式2-3】（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學?？寄M預測）如圖，在菱形ABCD中，AC、BD交于點O，點E在線段OD上，連接CE，若BE=CD=2DE，

【變式2-4】（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=2，BD=1，AC，BD相交于點O，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，過點O作OF⊥CE交CE于點F

題型03利用菱形的性質求周長【例3】（2023·河北滄州·?？寄M預測）矩形ABCD的對角線AC、BD相交于O，CE∥BD，DE∥AC，若AB=6，AD=8，則四邊形

A．10 B．20 C．28 D．30【變式3-1】（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標軸上，若點A的坐標為0,3，∠D=60°，則菱形ABCD的周長為（

A．13 B．14 C．15 D．8【變式3-2】（2023·河南商丘·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，CD的中點，EF=4，F(xiàn)G=3，則菱形ABCD的周長為（A．12 B．16 C．18 D．20【變式3-3】（2023·湖南永州·?？级＃┤鐖D，在菱形ABCD中，M、N分別為AB、AC的中點，若MN=3

【變式3-4】（2023·湖南長沙·長沙市南雅中學統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點E，F(xiàn)分別為邊AB，

(1)求證：AC⊥(2)若EF=6，tan∠AEF題型04利用矩形的性質求面積【例4】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）一個菱形的周長是20，兩條對角線的比是4:3，則這個菱形的面積是（

）A．12 B．96 C．48 D．24【變式4-1】（2023·青海海東·統(tǒng)考三模）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若OA=6，OH=4，則菱形ABCD的面積為（

）A．72 B．48 C．24 D．9【變式4-2】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）已知菱形ABCD的周長為24，對角線AC、BD交于點O，且AC+BD=16【變式4-3】（2022·福建龍巖·?？寄M預測）如圖，菱形ABCD中，∠CBA=60°，其中一條對角線AC=6cm

題型05利用矩形的性質求坐標【例5】（2022·陜西西安·?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系中，O是菱形ABCD對角線BD的中點，AD∥x軸且AD=4，∠A=60°，將菱形ABCD繞點O順時針旋轉，使點D落在x軸正半軸上，則旋轉后點

A．0，23 B．2，-4【變式5-1】（2023·天津河西·天津市新華中學?？家荒＃┤鐖D，四邊形ABCD是菱形，點D在x軸上，頂點A，B的坐標分別是(0，2)，(4，4)，則點

A．(4，2) B．(6,2) C．(6,4) D【變式5-2】（2023·河南周口·淮陽第一高級中學?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標系xOy中，已知菱形ABCD的頂點A-3,3，C1,-1，對角線BD交AC于點M，交x軸于點N，若BN=2ND

A．32,72 B．2,22 C．（4，2【變式5-3】（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，已知頂點A8,0，點D是OA的中點，點P是對角線OB上的一個動點，∠AOC=60°，當PAA．6,23 B．6,433 C．【變式5-4】（2023·天津紅橋·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD為菱形，點A-3,0，點D0,4，點B在x

A．5,4 B．4,5 C．4,3 D．3,4【變式5-5】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的頂點A的坐標為4,0，點B、C在第一象限,∠AOC=60°，求點

題型06利用矩形的性質證明【例6】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，E,F是對角線AC上的兩點，且AE(1)求證：△ADE(2)證明四邊形BEDF是菱形．【變式6-1】（2023·山西·山西實驗中學?？寄M預測）如圖，在菱形ABCD中，AC是對角線，點E是線段AC延長線上的一點，在線段CA的延長線上截取AF=CE，連接DF，BF，DE，BE．試判斷四邊形【變式6-2】（2024上·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）【操作探究】已知：在菱形ABCD中，點M在直線BD上，過M作AC的平行線交直線AD于點E，交直線AB于點F．(1)【舉例感知】如圖1，當點M在線段BD上時，求證：AC=(2)【類比探究】①當點M在DB延長線上時，直接寫出AC、②當點M在BD延長線上時，直接寫出AC、【變式6-3】（2020·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長．

【變式6-4】（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）已知菱形ABCD中，E是邊AB的中點，F(xiàn)是邊AD上一點．(1)如圖1，連接CE，CF．CE⊥AB，①求證：CE=②若AE=2，求CE(2)如圖2，連接CE，EF．若AE=3，EF=2AF題型07添加一個條件證明四邊形是菱形【例7】（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，下列說法正確的是（

）

A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形【變式7-1】（2019·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線相交于點O，且互相平分．添加下列條件，仍不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A．AC⊥BD B．AB=AD C．【變式7-2】（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點E,F分別在BC,AD上，AF=【變式7-3】（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，AB∥CD，要使四邊形ABCD為菱形，應添加的條件是題型08證明四邊形是菱形【例8】（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點E，使DE=AD，且BE(1)求證：四邊形DBCE為菱形；(2)若△DBC是邊長為2的等邊三角形，點P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運動，求PM【變式8-1】（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AC⊥BD，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過程與同學小潔交流．小惠：證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四邊形ABCD是菱形．小潔：這個題目還缺少條件，需要補充一個條件才能證明．

若贊同小惠的證法，請在第一個方框內打“√”；若贊成小潔的說法，請你補充一個條件，并證明．【變式8-2】（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且

(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若∠ABC=60°，△ABE的面積等于43，求平行線【變式8-3】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E，F(xiàn)在對角線BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°．(1)求證：△ABF≌△CDE；(2)連接AE，CF，已知__________（從以下兩個條件中選擇一個作為已知，填寫序號），請判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結論．條件①：∠ABD=30°；條件2：AB=BC．（注：如果選擇條件①條件②分別進行解答，按第一個解答計分）題型09根據菱形的性質與判定求角度【例9】（2020·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，①以點A為圓心2cm長為半徑畫弧分別交∠MAN的兩邊AM、AN于點B、D；②以點B為圓心，AD長為半徑畫弧，再以點D為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點C；③分別連接BC、CD、AC，若∠MAN=60°，則∠【變式9-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以C、B為圓心，取AB的長為半徑作弧，兩弧交于點D．連接BD、AD．若∠ABD【變式9-2】（2022·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，若四邊形OBCD為菱形，則∠BAD的度數是．【變式9-3】（2022·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，雨傘不論張開還是收緊，傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘骨所成的角∠BAC．當傘收緊時，點D與點M重合，且點A，E（F），D在同一條直線上．已知傘骨的部分長度如下（單位：cm）：DE=DF=AE=AF=40．(1)求AM的長．(2)當傘撐開時，量得∠BAC=110°，求AD的長．（結果精確到1cm）參考數據：sin55°≈0.8192,題型10根據菱形的性質與判定求線段長【例10】（2023·湖北荊州·統(tǒng)考模擬預測）在?ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點E．若BF=6，AB=5，則AE的長為（

A．4 B．6 C．8 D．10【變式10-1】（2023·海南省直轄縣級單位·?？既＃┤鐖D，在矩形ABCD中，過AC的中點O作EF⊥AC，交BC于E，交AD于F，連接AE、CF．若AB=3，∠DCF

A．2 B．5 C．3 D．2【變式10-2】（2023·青海海東·統(tǒng)考三模）如圖所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，P為BC邊上的任意一點，連接PA，以PA、PC為鄰邊作?PAQC

【變式10-3】（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖，小李將一張邊長分別為4和10的矩形紙片對折、再對折，然后沿圖中的虛線AC剪下，將紙展開，就得到一個四邊形．若∠ACB=60°，則這個四邊形的周長為題型11根據菱形的性質與判定求面積【例11】（2023·云南·模擬預測）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．(1)求證：四邊形ADBF是菱形；(2)若AB＝8，菱形ADBF的面積為40，求AC的長．【變式11-1】（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預測）折疊矩形紙片ABCD，使點B落在點D處，折痕為MN，已知AB=8，AD=4，則MN的長是（

）A．535 B．25 C．735【變式11-2】（2019·山東德州·校聯(lián)考二模）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE=DF（1）求證：?ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求?ABCD的面積．【變式11-3】（2022·吉林長春·校考模擬預測）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，BE//AC，（1）求證：四邊形AOBE是菱形；（2）若∠AOB=60°，AC=4【變式11-4】（2022·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、DC的中點．(1)求證∠AEF(2)若菱形ABCD的面積為8，則△AEF的面積為______題型12根據菱形的性質與判定解決多結論問題【例12】（2023·內蒙古·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點A，C為圓心，大于12AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，直線MN分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．下列結論：①四邊形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．其中正確結論的個數是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式12-1】（2023·廣東深圳·校考模擬預測）如圖，四邊形ABCD為菱形，BF∥AC，DF交AC的延長線于點E，交BF于點F，且CE:AC=1:2．則下列結論：①△ABE≌△ADE；②A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【變式12-2】（2022·湖南長沙·長沙市長郡雙語實驗中學校考模擬預測）如圖，直線CE是平行四邊形ABCD的邊AB的垂直平分線，垂足為點O，CE與DA的延長線交于點E．連接AC，BE，DO，DO與AC交于點F，則下列結論：①四邊形ACBE是菱形；

②∠ACD=∠BAE；

③AF：FC=1：2；其中正確的結論有．（填寫所有正確結論的序號）【變式12-3】（2023·福建寧德·?？寄M預測）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，點M，N分別在AD，將矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使得點C落在AD上的一點E①連接CM，四邊形ENCM一定是菱形；②F，M，C三點一定在同一直線上；③當點E與A重合時，A，B，C，D，F(xiàn)五點在同一個圓上；④點E到邊MN，BN的距離可能相等．其中正確的是．（寫出所有正確結論的序號）題型13與菱形有關的新定義問題【例13】（2020·河北唐山·統(tǒng)考模擬預測）定義：如圖，若菱形AECF與正方形ABCD兩個頂點A，C重合，另外兩個頂點E，F(xiàn)在正方形ABCD的內部，則稱菱形AECF為正方形ABCD的內含菱形．若正方形的周長為16，其內含菱形邊長是整數，則內含菱形的周長為；若正方形的面積為18，其內含菱形的面積為6，則內含菱形的邊長為．【變式13-1】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）定義：若四邊形中某個頂點與其它三個頂點距離相等，則這個四邊形叫做等距四邊形，這個頂點叫做這個四邊形的等距點．

(1)判斷：一個內角為60°的菱形________等距四邊形．（填“是”或“不是”）(2)如圖2，在5×5的網格圖中有A、B兩點，請在答題卷給出的兩個網格圖上各找出C、D兩個格點，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形以A為等距點的“等距四邊形”，畫出相應的“等距四邊形”（互不全等），并寫出該等距四邊形的端點均為非等距點的對角線長．端點均為非等距點的對角線長為________．(3)如圖，在海上A，B兩處執(zhí)行任務的兩艘巡邏艇，根據接到指令A，B兩艇同時出發(fā)，A艇直接回到駐地O，B艇到C島執(zhí)行某項任務后回到駐地O（在C島執(zhí)行任務的時間忽略不計），已知A，B，C三點到O點的距離相等，AO∥BC，BC=100km，tanA=32，若【變式13-2】（2022·遼寧沈陽·東北育才雙語學校校考三模）【定義】在平面直角坐標系xOy中，如果點A，C為某個菱形的一組對角的頂點，且點A，C在直線y=x上，那么稱該菱形為點A，C的“陽光菱形”，如圖是點A，C的“陽光菱形

【運用】已知點M的坐標為2，2，點P的坐標為(1)下列各組點，能與點M，P形成“陽光菱形”的是______．（直接填寫序號）①E-4，10，F(xiàn)10,-4；②G1，6，(2)如果四邊形MNPQ是點M，P的“陽光菱形”，點N在MP下方，且面積為16．①求點N、點Q的坐標；②如果直線y=kx-3k【變式13-3】（2022·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預測）若四邊形對角線互相垂直，那么我們定義這種四邊形為“對垂”四邊形．特征辨析(1)下列4個圖中，四邊形ABCD不是“對垂”四邊形的是（）歸納探究(2)如圖1，ED⊥AF于O，動點P，Q都從O點出發(fā)，點P沿OE運動到B，點Q沿OF運動到①當∠BAC=30°，OB=OC，OD=1，OA=4時，則AB2+CD2=___________，AD2+②在“對垂”四邊形ABCD中，當①中的條件都不存在時，①中所猜想的數量關系還成立嗎？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．拓展應用(3)如圖2，四邊形AEDB和四邊形AGFC均為正方形，點B恰好在FC的延長線上，且已知AC=2，AB=題型14與菱形有關的規(guī)律探究問題【例14】（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，菱形OABC的頂點O(0,0)，A(-2,0)，∠B=60°，若菱形OABC繞點O順時針旋轉90°后得到菱形OA1B1C1，依此方式，繞點O連續(xù)旋轉

A．3,1 B．1,-3 C．-3【變式14-1】（2023·河南南陽·統(tǒng)考模擬預測）如圖，正方形ABCD的頂點均在坐標軸上，且點B的坐標為2,0，以AB為邊構造菱形ABEF，將菱形ABEF與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第2023次旋轉結束時，點F的對應點F2023的坐標為（

A．-2,22 B．22,-2 C．【變式14-2】（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）如圖，已知矩形ABCD的邊長分別為6，4，進行如下操作：第一次，順次連接矩形ABCD各邊的中點，得到四邊形A1B1C1D1；第二次，順次連接四邊形A1B1C

A．32n-4 B．32n【變式14-3】（2023·貴州銅仁·?？家荒＃┤鐖D，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延長CD至A1，使DA1=CD，以A1C為一邊，在BC的延長線上作菱形A1CC1D1，連接AA1，得到△ADA1；再延長C1D1至A2，使D1A2=C

【變式14-4】（2020·甘肅蘭州·蘭州市外國語學校?？级＃┤鐖D，在菱形ABCD中，邊長為1，∠A＝60?，順次連接菱形ABCD各邊中點，可得四邊形A1B1C1D1；順次連結四邊形A1B1C1D1各邊中點，可得四邊形A2B2C2D2；順次連結四邊形A2B2C2D2各邊中點，可得四邊形A3B3C3D3；按此規(guī)律繼續(xù)下去，…，則四邊形A2019B2019C2019D2019的面積是．【變式14-5】（2019·甘肅白銀·校聯(lián)考一模）如圖，作出邊長為1的菱形ABCD，∠DAB＝60°，連接對角線AC，以AC為邊作第二個菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°，連接AC1，再以AC1為邊作第三個菱形ACC2D2，使∠D2AC1＝60°；…按此規(guī)律所作的第2019個菱形的邊長為．題型15與菱形有關的動點問題【例15】（2023·廣東東莞·統(tǒng)考一模）如圖菱形ABCD的邊長為4cm，，∠A=60°，動點P，Q同時從點A出發(fā)，都以1cm/s的速度分別沿A→B→C和A→D→C的路經向點C運動，設運動時間為x（單位：s），四邊形PBDQA．B．C．D．【變式15-1】（2017·山東濰坊·統(tǒng)考一模）菱形OBCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，頂點B2，0，∠DOB=60°，點E坐標為0,-3，點P是對角線OC

【變式15-2】（2023·湖北省直轄縣級單位·模擬預測）用四根一樣長的木棍搭成菱形ABCD，P是線段DC上的動點（點P不與點D和點C重合），在射線BP上取一點M，連接DM，CM，使∠CDM操作探究一

(1)如圖1，調整菱形ABCD，使∠A=90°，當點M在菱形ABCD外時，在射線BP上取一點N，使BN=DM，連接CN，則∠操作探究二(2)如圖2，調整菱形ABCD，使∠A=120°，當點M在菱形ABCD外時，在射線BP上取一點N，使BN=DM，連接CN，探索拓展遷移(3)在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=6．若點P在直線CD上，點M在射線BP上，且當∠【變式15-3】（2023·江蘇鹽城·景山中學?？寄M預測）如圖，BD是菱形ABCD的對角線，AB=BD=2cm．動點P從點A出發(fā)，沿折線AB-BC以1cm/s的速度向終點C運動，當點P出發(fā)后，且不與點B重合時，過點P作PQ∥BD交折線AD-DC于點Q．以PQ為邊作正三角形PQE，且點E與BD始終在PQ

(1)當點E落在BD上時，求t的值；(2)當點P在AB邊上時，求S與t之間的函數關系式；(3)當點E落在∠BDC的平分線上時，直接寫出t【變式15-4】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6cm．動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊AB向終點B勻速運動．以PA為一邊作∠APQ=120°，另一邊PQ與折線AC-CB相交于點Q，以PQ為邊作菱形PQMN，點N在線段

(1)當點Q在邊AC上時，PQ的長為cm．（用含x的代數式表示）(2)當點M落在邊BC上時，求x的值．(3)求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．題型16菱形與一次函數綜合【例16】（2022·江蘇常州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=-43x+4的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，以AB為邊作菱形ABCD，BC∥【變式16-1】（2018·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）已知一次函數y=﹣3x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點．直線l過點A且垂直于x軸．兩動點D、E分別從AB兩點間時出發(fā)向O點運動（運動到O點停止）．運動速度分別是每秒1個單位長度和3個單位長度．點G、E關于直線l對稱，GE交AB于點F．設D、E的運動時間為t（s）．（1）當t為何值時，四邊形是菱形？判斷此時△AFG與AGB是否相似，并說明理由；（2）當△ADF是直角三角形時，求△BEF與△BFG的面積之比．題型17菱形與反比例函數綜合【例17】（2023·吉林長春·吉林大學附屬中學?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCO的頂點O為坐標原點，邊CO在x軸正半軸上，∠AOC=60°，反比例函數y=3xx>0的圖象經過點A，且交菱形對角線BO于點D，DE⊥

A．1 B．3 C．2-3 D．【變式17-1】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A,C在反比例函數y=kx(k<0)的圖象上，對角線AC與

A．-4 B．4 C．-9 D【變式17-2】（2023·廣東湛江·?？家荒＃┤鐖D，菱形OABC的一邊OA在x軸的負半軸上，O是坐標原點，tan∠AOC=43，反比例函數y=kx的圖象經過點C，與AB交于點D，若

【變式17-3】（2023·湖北省直轄縣級單位·校聯(lián)考二模）如圖，點A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，以線段AB為邊在第一象限作等邊△ABC，S△ABC=3，且CA

(1)求該反比例函數的解析式；(2)若點N是反比例函數圖像上一點，當四邊形ABCN是菱形時，求出點N坐標．【變式17-4】（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為6,8，連接OA，過點A作x軸的垂線，垂足為B，∠AOB的平分線與線段AB交于點P

(1)若反比例函數y=kx(2)如圖，過點A作x軸的平行線，交射線OP于點Q，過點Q作OA的平行線，交x軸于點R．求證：四邊形OAQR是菱形．【變式17-5】（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）如圖，菱形OBAC頂點A在反比例函數y=kx(x>0)的圖象上，點B在y

(1)求k的值；(2)點P為反比例函數圖象上一個動點，過點P作PN⊥x軸于點N，交OA于點M，若PM=題型18菱形與一次函數、反比例函數綜合【例18】（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=kx+b的圖像與反比例函數y=mxm>0的圖像相交于

(1)求m和n的值；(2)若點Pe,f在該反比例函數的圖像上，且它到y(tǒng)軸的距離小于3，則f(3)以AC為邊在右側作菱形ACDE．使點D在x軸正半軸上，點E在第一象限，雙曲線交DE于點F，連接AF,CF，則△ACF【變式18-1】（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，已知反比例函數y1=kx與一次函數y2=x(1)求n和k的值．(2)根據圖象，當y1≥y(3)如圖，以AB為邊作菱形ABCD，使點C在x軸正半軸上，點D在第一象限，求點D的坐標．【變式18-2】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預測）如圖，已知一次函數y1=32x-3的圖象與反比例函數y(1)求n和k的值；(2)如圖，以AB為邊作菱形ABCD，使點C在x軸正半軸上，點D在第一象限，雙曲線交C