2.6 直角三角形（原卷版）

2.6直角三角形1.認識直角三角形2.掌握直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)定理3.掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的性質(zhì)知識點一直角三角形我們知道,有一個角是直角的三角形叫做直角三角形(righttriangle),直角三角形可以用符號“Rt△”表示,如圖所示的三角形可記為Rt△ABC知識點二直角三角形性質(zhì)定理直角三角形性質(zhì)定理1直角三角形的兩個銳角互余因為“三角形三個內(nèi)角的和等于180°”,直角三角形兩個銳角的和為180-90°=90°直角三角形性質(zhì)定理2直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半直角三角形性質(zhì)定理3（含30°角的直角三角形的性質(zhì)）在直角三角形中,如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半即學(xué)即練1如圖，將直尺與含30°角的三角尺疊放在一起，∠1=62°，則∠2的大小是（

）

A．56° B．58° C．60° D．62°即學(xué)即練2（2022秋·浙江臺州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=5，點E在BA的延長線上，點D在BC邊上，且ED=EC，若AE=4，則BD的長等于(

)

A．1 B．32 C．2 D．即學(xué)即練3（2023秋·浙江寧波·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于點D，點E為AC的中點，連結(jié)DE，則△CDE的周長為（）

A．12 B．14 C．16 D．18知識點三直角三角形的判定定理有兩個角互余的三角形是直角三角形.事實上,根據(jù)“三角形三個內(nèi)角的和等于180°”,當一個三角形中有兩個角互余時,它的第三個角就等于90°,所以這個三角形是直角三角形.即學(xué)即練1（2023秋·浙江紹興·八年級?？茧A段練習(xí)）已知線段AB的垂直平分線上有兩點E，F(xiàn)，直線EF交AB于點C，且∠AEC=70°，∠AFC=45°，則∠EAF=．即學(xué)即練2（2023春·重慶江津·八年級重慶市江津中學(xué)校校考階段練習(xí)）最近，小明同學(xué)學(xué)習(xí)了定理：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，同時產(chǎn)生了一個猜想：“如果三角形一邊上的中線的長度等于所在邊長度的一半，那么這個三角形是直角三角形．”請驗證小明同學(xué)的猜想．已知：如圖，在△ABC中，CD是ΔABC邊AB上的中線，且CD=求證：△ABC為直角三角形．證明：用直尺和圓規(guī)，作線段AB的垂直平分線交AB于點D（保留作圖痕跡），連接CD，則點D是線段AB的中點，CD是△ABC的中線∴①又∵CD=∴AD=BD=CD∵AD=CD∴②∵BD=CD∴③又∵∠DCA+∠A+∠DCB+∠B=180°∴∠A+④=90°∵∠A+∠ACB+∠B=180°∴⑤=90°∴△ABC為直角三角形題型一直角三角形的兩個銳角互余例1（2023秋·浙江杭州·八年級杭州市公益中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知ΔABC，∠C=90°，AC<BC

(1)用直尺和圓規(guī)作出∠BAC的角平分線交BC于點D，作出點D的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，若∠B=36°，求∠CAD的度數(shù)．舉一反三1（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角∠O的大面小，需將∠O轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（

）

A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO舉一反三2（2022秋·浙江杭州·八年級校考階段練習(xí)）下列命題中，其逆命題是假命題的是（

）A．若a=b，則aB．若ab=1，則a與b互為倒數(shù)C．直角三角形兩個銳角互余D．角平分線上的一點到角的兩邊距離相等舉一反三3（2021秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，高線CE⊥AB于E，角平分線CD平分∠ACB，∠ACE=34∠B，且∠ECD=10°，則

題型二含30度角的直角三角形例2（2022秋·浙江臺州·八年級校考期中）如圖所示，∠AOB=60°，點P是∠AOB內(nèi)一定點，并且OP=4，點M、N分別是射線OA，OB上異于點O的動點，當△PMN的周長取最小值時，點O到線段

A．1 B．2 C．3 D．4舉一反三1（2023秋·浙江臺州·八年級臺州市書生中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，CD平分∠ACB，交邊AB于點D，點E是邊AB的中點．點P為邊CB

(1)∠ACD=°，AE=；(2)若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度數(shù)；(3)若點M在線段CD上，連接MP、ME，則MP+ME的值最小時CP=．舉一反三2（2022秋·浙江臺州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=5，點E在BA的延長線上，點D在BC邊上，且ED=EC，若AE=4，則BD的長等于(

)

A．1 B．32 C．2 D．舉一反三3（2022秋·浙江臺州·八年級校聯(lián)考期中）已知：如圖所示，△ABC是邊長6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP=2cm/s，VQ=1.5cm/s，當點

(1)當t為何值時，△PBQ為等邊三角形？(2)當t為何值時，△PBQ為直角三角形？題型三斜邊的中線等于斜邊的一半例3．（2023春·浙江·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，BE⊥AC，D是AB的中點，且DE=BE，則∠C的度數(shù)（）

A．65° B．70° C．75° D．80°舉一反三1．（2022秋·浙江金華·八年級校考階段練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°．延長AB到D，使得CD=AB，則∠BCD=°．

舉一反三2（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=6，則∠B的度數(shù)為（

A．30° B．45° C．60° D．75°舉一反三3（2022秋·浙江麗水·八年級校考期中）如圖，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，

(1)求∠AEB的度數(shù)；(2)求線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．單選題1.（2022秋·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，將△BCD沿CD折疊，B點恰好落在AB的中點E處，則∠AA．25° B．30° C．45° D．60°2．（2022秋·浙江溫州·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=25°，O為斜邊中點，將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)a0°<α<A．80° B．65° C．50°3．（2022秋·浙江溫州·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是邊BC的中點．若∠C=70°，則∠BAD的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．35° D．40°4．（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D是一張長方形紙片ABCD，點M是對角線AC的中點，點E在BC邊上，把△DCE沿直線DE折疊，使點C落在對角線AC上的點F處，連接DF，EF．若MF=CD，則∠DAF的度數(shù)為（

）A．15° B．16° C．18° D．20°5．（2022秋·浙江寧波·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠B=30°，D為AB的中點，P為CD上一點，E為BC延長線上一點，且PA=PE．有下列結(jié)論：①∠PAD+∠PEC=30°；②△PAE為等邊三角形：③PD=CE-CP；④S四邊形AECP=A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②③④6．（2022秋·浙江麗水·九年級校聯(lián)考期中）在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，那么這個三角形的外接圓直徑是（

A．5 B．10 C．5或4 D．10或87．（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB的中點．連接CD，若CD+AB=7.5，則CD的長度是（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．5二、填空題1.（2021秋·浙江臺州·八年級?？计谥校┤鐖D，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D為BC中點，E為AC邊上一動點，連接DE，以DE為邊并在DE的右側(cè)作等邊△DEF，連接BF，則BF的最小值為．

2．（2021秋·浙江臺州·八年級?？计谥校┤鐖D，將長方形紙片ABCD沿直線EF折疊，使點C落在AD邊的中點C'處，點B落在點B'處，其中∠C'

3．（2022秋·浙江杭州·八年級校考期中）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使得點A落在四邊形BCDE的外部A'的位置，且A'與點C在直線AB的異側(cè)，折痕為DE，已知∠C=90°，若A'E∥BC，當∠A=30°時，則∠ADE的度數(shù)；當∠A=α?xí)r，則∠ADE的度數(shù)為（用

4．（2022秋·浙江麗水·八年級校考期中）如圖，點E是Rt△ABC、Rt△BCD的斜邊BC的中點，且AB=AC，∠BCD=20°，分別連接AD，AE，則∠DAE的度數(shù)是

5．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B=30°，以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交直線AB于點D，連接DC，則∠DCB的度數(shù)是

三、解答題1.（2022秋·浙江金華·八年級義烏市繡湖中學(xué)教育集團校考期中）如圖，已知在△ABC中，AB=AC，過AB邊上一點D作DE⊥BC于點E，延長ED，與CA的延長線相交于點F．

(1)求證：AF=AD．(2)若D是AB的中點，DE=4，求DF的長