18.4 菱形的性質(zhì)與判定（原卷版）

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》18.4菱形的性質(zhì)和判定知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一菱形的定義●●定義：有一組鄰邊相等的平行的四邊形叫做菱形.◆1、菱形必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等，二者必須同時(shí)具備，缺一不可.◆2、菱形的定義既是菱形的性質(zhì)，也是菱形的基本判定方法.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二菱形的性質(zhì)◆1、菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì).②菱形的四條邊都相等.③菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直，并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角.④菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有2條對(duì)稱(chēng)軸，分別是兩條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn).⑤利用菱形的性質(zhì)可證線(xiàn)段線(xiàn)段，角相等.性質(zhì)定理應(yīng)用格式：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD；

AC平分∠BAD，AC平分∠BCD；

BD平分∠ABC，BD平分∠ADC；◆2、菱形的面積計(jì)算①利用平行四邊形的面積公式=底×高．②菱形面積＝ab．（a、b是兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度）③四個(gè)小直角三角形的面積之和(或一個(gè)小直角三角形面積的4倍)；知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三菱形的判定●●菱形的判定方法：◆1、定義法：有一組鄰邊相等的平行的四邊形叫做菱形.◆2、判定定理1（從對(duì)角線(xiàn)）：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.定理1應(yīng)用格式：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形.◆3、判定定理2（從邊）：四條邊相等四邊形是菱形.定理2應(yīng)用格式：∵AB=BC=CD=AD,

∴四邊形ABCD是菱形.【要點(diǎn)解析】（1）判斷菱形時(shí)，一定要明確前提條件是從“四邊形”出發(fā)的，還是從“平行四邊形”出發(fā)的；（2）①若從“四邊形”出發(fā)的，則還需四條邊相等.②若從“平行四邊形”出發(fā)的，則還需一組鄰邊相等或?qū)蔷€(xiàn)互相垂直.（3）①若用對(duì)角線(xiàn)進(jìn)行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明對(duì)角線(xiàn)互相垂直，或直接證明四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分；②若用邊進(jìn)行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等，或直接證明四邊形的四條邊都相等.題型一利用菱形的性質(zhì)求角度題型一利用菱形的性質(zhì)求角度【例題1】（2022秋?南海區(qū)期末）如圖，AC為菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，已知∠ADC＝140°，則∠BCA等于（）A．40° B．30° C．20° D．15°解題技巧提煉在求有關(guān)菱形的角的問(wèn)題時(shí)，由于菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分一組對(duì)角，因此常通過(guò)連接對(duì)角線(xiàn)，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊三角形（等邊三角形、直角三角形）問(wèn)題來(lái)解答.【變式1-1】（2022秋?豐城市校級(jí)期末）如圖，菱形ABCD中對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，AB＝AC，則∠ADB的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【變式1-2】（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)是40cm，對(duì)角線(xiàn)AC為10cm，則菱形相鄰兩內(nèi)角的度數(shù)分別為．【變式1-3】（2023?博羅縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，∠CAD＝20°，則∠DHO的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．30° D．35°【變式1-4】（2022春?香坊區(qū)校級(jí)期中）已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于點(diǎn)O，在AC上取點(diǎn)P，連接PB、PD，若∠PBD＝20°，則∠PDC的度數(shù)為．【變式1-5】如圖所示，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝24°，求∠CEF的度數(shù)．題型二利用菱形的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)題型二利用菱形的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)【例題2】（2022秋?山亭區(qū)期末）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接OE，∠ABC＝60°，BD＝43，則OE＝．解題技巧提煉由于菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，所以對(duì)于菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)及邊這三個(gè)元素中知道任意兩個(gè)的長(zhǎng)度，都能根據(jù)勾股定理求出第三個(gè).【變式2-1】（2022秋?滕州市校級(jí)期末）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝64，則OH的長(zhǎng)為（）A．45 B．8 C．4 D．【變式2-2】（2021秋?嶗山區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝10，AC：BD＝3：4，DH⊥AB于H，則DH等于（）A．245 B．485 C．5 D【變式2-3】（2023?雁塔區(qū)校級(jí)一模）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線(xiàn)段BO上，連接AE，若CD＝3BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，則線(xiàn)段AE的長(zhǎng)為6．【變式2-4】（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為20，面積為24，P是對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，分別作P點(diǎn)到直線(xiàn)AB、AD的垂線(xiàn)段PE、PF，則PE+PF等于．【變式2-5】（2023?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠BAD＝60°，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AB交CD于點(diǎn)E，連接AE，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，連接FH和CF，CF交BE于點(diǎn)G，則GF的長(zhǎng)為（）A．3 B．5 C．23 D．19題型三利用菱形的性質(zhì)求周長(zhǎng)或面積題型三利用菱形的性質(zhì)求周長(zhǎng)或面積【例題3】（2022秋?峰峰礦區(qū)校級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，若∠BAD＝60°，AC＝23，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．8 B．43 C．6 D．解題技巧提煉因?yàn)榱庑蔚乃倪叾枷嗟?，所以菱形的周長(zhǎng)等于邊長(zhǎng)×4；菱形的面積計(jì)算公式：（1）底×高；（2）對(duì)角線(xiàn)乘積的12【變式3-1】（2022秋?武侯區(qū)期末）在菱形ABCD中，若對(duì)角線(xiàn)AC=2，BD＝8，則菱形ABCD的面積是【變式3-2】（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)．若OE＝4，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．48 B．32 C．24 D．16【變式3-3】（2022秋?陽(yáng)山縣期中）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BC相交于點(diǎn)O，E、F分別是AB、BC邊上的中點(diǎn)，連接EF，著EF=3，BD＝4，則菱形ABCDA．4 B．46 C．47 D．28【變式3-4】（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)AC與BD長(zhǎng)分別是12和16，則這個(gè)菱形的面積是（）A．192 B．48 C．96 D．40【變式3-5】（2022秋?峰峰礦區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)的三條直線(xiàn)將菱形分成陰影和空白部分．當(dāng)菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)分別為6和8時(shí)，則陰影部分的面積為（）A．48 B．24 C．12 D．6【變式3-6】（2022春?巨野縣校級(jí)月考）若菱形ABCD的周長(zhǎng)為8，∠A：∠B＝1：2，則菱形的面積為（）A．3 B．33 C．43 D題型四利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行證明題型四利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行證明【例題4】（2022秋?臨渭區(qū)期末）已知：如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是邊AB和BC上的點(diǎn)，且∠ADE＝∠CDF，求證：BE＝BF．解題技巧提煉菱形的一條對(duì)角線(xiàn)把菱形分成兩個(gè)全等的等腰三角形（特殊時(shí)為兩個(gè)全等的等邊三角形），兩條對(duì)角線(xiàn)把菱形分成四個(gè)全等的直角三角形，所以有關(guān)菱形的一些證明與計(jì)算問(wèn)題常常與特殊三角形的有關(guān)問(wèn)題綜合在一起.【變式4-1】（2021秋?楚雄州期末）如圖，在菱形ABCD中，E是對(duì)角線(xiàn)AC上的一點(diǎn)．連BE，DE，求證：BE＝DE．【變式4-2】（2021秋?武功縣期末）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)在對(duì)角線(xiàn)BD上，且BF＝DE，連接AE，AF．求證：AE＝AF．【變式4-3】（2022秋?渭濱區(qū)校級(jí)月考）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分別與AC交于點(diǎn)M，N．求證：DM＝DN．【變式4-4】（2022秋?榆陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知四邊形ABCD是菱形，且AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝AF；（2）若AB＝10，CE＝4，求菱形ABCD的面積．【變式4-5】（2022春?江漢區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD是菱形，AC，BD交于點(diǎn)O，DH⊥AB于點(diǎn)H．（1）若對(duì)角線(xiàn)AC＝8cm，BD＝6cm，求DH的長(zhǎng)；（2）連HO，求證：∠BOH＝∠DAH．【變式4-6】（2022春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使BE＝AB，連接CE．（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；（2）若∠E＝60°，BD＝8，求菱形ABCD的面積．題型五菱形判定的條件題型五菱形判定的條件【例題5】（2022秋?二七區(qū)校級(jí)月考）如圖?ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于點(diǎn)O，下列說(shuō)法正確的是（）A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形 C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形解題技巧提煉①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）；②四條邊都相等的四邊形是菱形．③【變式5-1】（2022?鐵鋒區(qū)二模）中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，在不添加任何輔助線(xiàn)的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使平行四邊形ABCD是菱形．【變式5-2】（2022春?海倫市期末）如圖，已知AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使四邊形AEDF是菱形．【變式5-3】（2022?營(yíng)口）如圖，將△ABC沿著B(niǎo)C方向平移得到△DEF，只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形ABED是菱形，這個(gè)條件可以是．（寫(xiě)出一個(gè)即可）【變式5-4】（2022春?房山區(qū)期中）在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O．現(xiàn)存在以下四個(gè)條件：①AB∥CD；②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．從中選取三個(gè)條件，可以判定四邊形ABCD為菱形．則可以選擇的條件序號(hào)是（寫(xiě)出所有可能的情況）．【變式5-5】（2022秋?寶雞期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE，DF，當(dāng)△ABC滿(mǎn)足下列哪個(gè)條件時(shí)，四邊形AEDF為菱形（）A．AB＝AC B．∠B＝∠A C．BD＝DF D．DE⊥DF【變式5-6】（2022秋?順慶區(qū)月考）如圖，在?ABCD中，O為AC的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)交AD于E交BC于F，連接AF、CE，下列選項(xiàng)可以使四邊形AFCE是菱形的為（）A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC【變式5-7】（2022春?高唐縣期末）如圖所示，D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，添加下列條件后，不能得到四邊形DBFE是菱形的是（）A．AB＝BC B．BE平分∠ABC C．BE⊥AC D．AB＝AC【變式5-8】（2022?大名縣三模）如圖，在?ABCD中，E、F分別為邊AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、H在AC上，且AH＝CG，若添加一個(gè)條件使四邊形EGFH是菱形，則下列可以添加的條件是（）A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AB＝AC D．AB⊥AC題型六菱形的判定的證明題型六菱形的判定的證明【例題6】（2022秋?武功縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，且DE＝BC，連接BE，求證：四邊形BCDE是菱形．解題技巧提煉證明一個(gè)圖形是菱形時(shí)，關(guān)鍵是看已知條件，若是一般的四邊形，則考慮證明四條邊相等或?qū)蔷€(xiàn)互相垂直平分；若是平行四邊形，則考慮證明一組鄰邊相等或?qū)蔷€(xiàn)互相垂直.【變式6-1】（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，M為AC中點(diǎn)，MN⊥BD于點(diǎn)O，BN∥DM，求證：BNDM為菱形．【變式6-2】（2023?東莞市模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在BD上，且BE＝DF．（1）求證：△ADF≌△CBE；（2）不添加輔助線(xiàn)，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件，使得四邊形AECF是菱形；并給予證明．【變式6-3】（2022春?蒼溪縣期末）如圖，在△AFC中，∠FAC＝90°，B、E分別是FC、AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD∥FC交FE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．（1）求證：BF＝AD；（2）求證：四邊形ABCD是菱形．【變式6-4】（2022春?南丹縣期末）已知：如圖，在?ABCD中，M，N分別是AD和BC的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；（2）當(dāng)∠ACD滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形AMCN是菱形，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式6-5】（2022春?梅江區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對(duì)角線(xiàn)AC上的兩點(diǎn)，∠1＝∠2．（1）求證：AE＝CF．（2）若BE＝ED時(shí)，求證：四邊形EBFD是菱形．【變式6-6】（2022春?郯城縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，M是BD上任意一點(diǎn)，連接AM并延長(zhǎng)至點(diǎn)N，使AM＝MN，交BC于H，連接CN、BN．（1）求證：OM∥CN．（2）連接CM，若AD⊥AN，且AC＝AB，求證：四邊形BNCM是菱形．題型七菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用題型七菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用【例題7】（2022春?鎮(zhèn)安縣期末）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點(diǎn)O，E為CD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且CD＝DE，連接BE，分別交AC，AD于點(diǎn)F、G，連接OG、AE，則下列結(jié)論：①OG=12②四邊形ABDE是菱形；③四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等．其中正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)解題技巧提煉菱形的判定可以確定菱形的存在，再利用菱形的性質(zhì)，可以得出線(xiàn)段或角的對(duì)應(yīng)關(guān)系.【變式7-1】（2022春?高邑縣期末）如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB；再分別以點(diǎn)A，B為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；再連接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．則四邊形AOBC的面積是（）A．45 B．8 C．4 D．5【變式7-2】（2022春?惠民縣期末）如圖，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構(gòu)成了一個(gè)四邊形，轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張紙條，則下列相等關(guān)系：①AD＝AB；②AD＝BC；③∠DAC＝∠ACD；④AO＝BO，其中一定成立的是.（只填序號(hào)）【變式7-3】（2022秋?碭山縣校級(jí)月考）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：四邊形ADCF是菱形；（2）若AC＝32，AB＝42，求四邊形ADCF的面積．【變式7-4】（2022春?潁州區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，CE＝DF，AB＝BE，AE與BF相交于點(diǎn)O，連接EF．（1）求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為20，CE＝DF＝2，∠ABE＝60°，求AE的長(zhǎng)．【變式7-5】（2022?巴州區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若AD=6，BD＝2，求OE【變式7-6】（2022秋?龍崗區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，連接BD交AC于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ABCD為菱形；（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的長(zhǎng)．題型八菱形與矩形的綜合應(yīng)用題型八菱形與矩形的綜合應(yīng)用【例題8】（2022秋?鐵西區(qū)校級(jí)期末）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，DE⊥AB于點(diǎn)E交AC于點(diǎn)P，BF⊥CD于點(diǎn)F．（1）判斷四邊形DEBF的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如果BE＝3，BF＝6，求DP的長(zhǎng)．解題技巧提煉綜合利用菱形、矩形的性質(zhì)與判定方法實(shí)現(xiàn)相應(yīng)線(xiàn)段、角之間的轉(zhuǎn)化時(shí)解題的關(guān)鍵.【變式8-1】（2022?五