2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題5.5 二次函數(shù)的應(yīng)用【九大題型】（舉一反三）（蘇科版）含解析

2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題5.5二次函數(shù)的應(yīng)用【九大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1圖形面積或周長問題】 1【題型2圖形運動問題】 4【題型3拱橋問題】 7【題型4銷售問題】 10【題型5投球問題】 12【題型6噴水問題】 16【題型7增長率問題】 20【題型8車過隧道問題】 22【題型9行程問題】 25【知識點1解二次函數(shù)的實際應(yīng)用問題的一般步驟】審：審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系（即函數(shù)關(guān)系）；設(shè)：設(shè)出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設(shè)變量的單位要準確；列：列函數(shù)解析式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)；解：按題目要求結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題；檢：檢驗所得的解，是否符合實際，即是否為所提問題的答案；答：寫出答案.【題型1圖形面積或周長問題】【例1】（2022秋?越城區(qū)期末）為優(yōu)化迪蕩湖公園的燈光布局，需要在一處岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為80m的燈帶在湖中圍成了如圖所示的①②③三塊燈光噴泉的矩形區(qū)域，且要求這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設(shè)BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；（2）x為何值時，y有最大值？最大值是多少？【變式1-1】（2022?永春縣校級自主招生）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用32m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設(shè)AB＝xm．（1）若花園的面積為252m2，求x的值；（2）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是17m和6m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細），求花園面積S的最大值．【變式1-2】（2022秋?清江浦區(qū)校級月考）愛動腦筋的小明在學(xué)過用配方法解一元二次方程后，他發(fā)現(xiàn)二次三項式也可以配方，從而解決一些問題．例如：x2﹣6x+10＝（x2﹣6x+9﹣9）+10＝（x﹣3）2﹣9+10＝（x﹣3）2+1≥1；因此x2﹣6x+10有最小值是1，只有當x＝3時，才能得到這個式子的最小值1．同樣﹣3x2﹣6x+5＝﹣3（x2+2x+1﹣1）+5＝﹣3（x+1）2+8，因此﹣3x2﹣6x+5有最大值是8，只有當x＝﹣1時，才能得到這個式子的最小值8．（1）當x＝時，代數(shù)式﹣2（x﹣3）2+5有最大值為．（2）當x＝時，代數(shù)式2x2+4x+3有最小值為．（3）矩形自行車場地ABCD一邊靠墻（墻長10m），在AB和BC邊各開一個1米寬的小門（不用木板），現(xiàn)有能圍成14m長的木板，當AD長為多少時，自行車場地的面積最大？最大面積是多少？【變式1-3】（2022?市南區(qū)一模）小明準備給長16米，寬12米的長方形空地栽種花卉和草坪，圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區(qū)域分別栽種甲、乙、丙三種花卉，其余區(qū)域栽種草坪．四邊形ABCD和EFGH均為正方形，且各有兩邊與長方形邊重合：矩形MFNC（區(qū)域Ⅱ）是這兩個正方形的重疊部分，如圖所示．（1）若花卉均價為300元/米2，種植花卉的面積為S（米2），草坪均價為200元/米2，且花卉和草坪栽種總價不超過43600元，求S的最大值．（2）若矩形MFNC滿足MF：FN＝1：2．①求MF，F(xiàn)N的長．②若甲、乙、丙三種花卉單價分別為為180元/米2，90元/米2，180元/米2，且邊BN的長不小于邊ME長的54倍．求圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區(qū)域栽種花卉總價W【題型2圖形運動問題】【例2】（2022秋?利川市校級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝9cm．P、Q兩點同時從點B、D出發(fā)，分別沿BA、DA方向勻速運動（當P運動到A時，P、Q同時停止運動），已知P點的速度比Q點大1cm/s，設(shè)P點的運動時間為x秒，△PAQ的面積為ycm2，（1）經(jīng)過3秒△PAQ的面積是矩形ABCD面積的13時，求P、Q（2）以（1）中求出的結(jié)論為條件，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍．【變式2-1】（2022?巨野縣期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，動點P從點A開始沿邊AB向終點B以每秒2個單位長度的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC以每秒4個單位長度的速度向終點C移動，如果點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，那么△PBQ的面積S隨出發(fā)時間t（s）如何變化？寫出函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍．【變式2-2】（2022秋?丹陽市校級月考）如圖，在△ABC中，BC＝7cm，AC＝24cm，AB＝25cm，P點在BC上，從B點到C點運動（不包括C點），點P運動的速度為2cm/s；Q點在AC上從C點運動到A點（不包括A點），速度為5cm/s．若點P、Q分別從B、C同時運動，請解答下面的問題，并寫出探索的主要過程：（1）經(jīng)過多少時間后，P、Q兩點的距離為52cm2？（2）經(jīng)過多少時間后，S△PCQ的面積為15cm2？（3）請用配方法說明，何時△PCQ的面積最大，最大面積是多少？【變式2-3】（2022秋?杭州期末）如圖（a），點F、G、H、E分別從正方形ABCD的頂點B、C、D、A同時出發(fā)，以1cm/s的速度沿著正方形的邊向C、D、A、B運動．若設(shè)運動時間為x（s），問：（1）四邊形EFGH是什么圖形？證明你的結(jié)論；（2）若正方形ABCD的邊長為2cm，四邊形EFGH的面積為y（cm2），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍；（3）若改變點的連接方式（如圖（b）），其余不變．則當動點出發(fā)幾秒時，圖中空白部分的面積為3cm2．【題型3拱橋問題】【例3】（2022?海曙區(qū)校級開學(xué)）圖1是一座彩虹橋兩條拋物線型鋼梁在橋面上的跨度分別為AB＝50米和CD＝40米（如圖2所示），x軸表示橋面，BC＝10米．若兩拋物線交y軸于同一點，且它們的形狀相同，則OBOC的值為【變式3-1】（2022秋?西城區(qū)校級期中）廊橋是我國古老的文化遺產(chǎn)，如圖，是某座拋物線型的廊橋示意圖．已知水面AB寬40米，拋物線最高點C到水面AB的距離為10米，為保護廊橋的安全，在該拋物線上距水面AB高為8米的點E，F(xiàn)處要安裝兩盞警示燈，求這兩盞燈的水平距離EF．（結(jié)果保留根號）【變式3-2】（2022秋?詔安縣校級月考）如圖所示，橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀，按照圖中的直角坐標系，左邊的一條拋物線可以用y=9400x2+910（1）鋼纜的最低點到橋面的距離是多少？（2）兩條鋼纜最低點之間的距離是多少？（3）寫出如圖拋物線的表達式？【變式3-3】（2022秋?袁州區(qū)校級期中）宜春袁山公園內(nèi)有一座景觀橋，橋洞形狀如拋物線ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標系中，拋物線的解析式為y=-150x2+c且過頂點C（0，8）（長度單位：（1）直接寫出c的值；（2）現(xiàn)因搞慶典活動，計劃沿拱橋的臺階表面鋪設(shè)一條寬度為1.5m的地毯，求需要多少平方米的地毯？（不計損耗）（3）為了使景觀橋夜晚更加漂亮，需在橋洞下方洞壁相同高度處如圖示的E、F位置安裝兩盞LED燈，且點E的橫坐標與縱坐標之和為﹣4，求安裝的LED燈距離水面AB的高度．【知識點2銷售問題中的常用公式】（1）利潤=售價-進價=進價×利潤率（2）利潤率=（3）總利潤=總售價-總進價=銷售量×（單件售價-單件成本）【題型4銷售問題】【例4】（2022秋?平谷區(qū)期末）某地的藥材批發(fā)公司指導(dǎo)農(nóng)民養(yǎng)植和銷售某種藥材，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)1﹣8月份這種藥材售價（元）與月份之間存在如表所示的一次函數(shù)關(guān)系，同時，每千克的成本價（元）與月份之間近似滿足如圖所示的拋物線，觀察兩幅圖表，試判斷5月份出售這種藥材獲利最大．月份…36…每千克售價…86…【變式4-1】（2022秋?舞陽縣期末）某商場一種商品的進價為每件30元，售價為每件50元．每天可以銷售48件，為盡快減少庫存，商場決定降價促銷．（1）若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價降至每件40.5元，求兩次下降的百分率；（2）經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價1元，每天可多銷售8件，那么每天要想獲得最大利潤，每件售價應(yīng)多少元？最大利潤是多少？【變式4-2】（2022秋?椒江區(qū)期末）某一種蜜桔在農(nóng)貿(mào)水果市場的需求量y1（萬斤）、市場供應(yīng)量y2（萬斤）與市場價格x（元/斤）分別滿足下列關(guān)系：y1＝﹣0.2x+2.8，y2＝0.4x﹣0.8，當y1＝y(tǒng)2時的市場價格稱為市場平衡價格，此時的需求量稱為平衡需求量．（1）求平衡價格和平衡需求量；（2）若該蜜桔的市場銷售量y（萬件）是市場需求量y1和市場供應(yīng)量y2兩者中的較小者，該蜜桔的市場銷售額P（萬元）等于市場銷售量y與市場價格x的乘積．當市場價格x取何值時，市場銷售額P取得最大值？（3）蜜桔的每斤進價為m元，若當3≤x≤10時，隨著x的增大，蜜桔的銷售利潤（萬元）會經(jīng)歷先減小后增大再減小的變化，請直接寫出m的取值范圍．【變式4-3】（2022?廬陽區(qū)校級一模）某商店銷售一種商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在實際銷售中，售價x為整數(shù)，且該商品的月銷售量y（件）是售價x（元/件）的一次函數(shù)，其售價x（元/件）、月銷售量y（件）、月銷售利潤w（元）的部分對應(yīng)值如表：售價x（元/件）4045月銷售量y（件）300250月銷售利潤w（元）30003750注：月銷售利潤＝月銷售量×（售價﹣進價）（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；（2）當該商品的售價是多少元時，月銷售利潤最大？并求出最大利潤；（3）現(xiàn)公司決定每銷售1件商品就捐贈m元利潤（m≤6）給“精準扶貧”對象，要求：在售價不超過52元時，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨售價x的增大而增大，求m的取值范圍．【題型5投球問題】【例5】（2022?威縣校級模擬）彈力球游戲規(guī)則：彈力球拋出后與地面接觸一次，彈起降落，若落入筐中，則游戲成功．彈力球著地前后的運動軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線．如圖16，甲站在原點處，從離地面高度為1m的點A處拋出彈力球，彈力球在B處著地后彈起，落至點C處，彈力球第一次著地前拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2+2．（1）a的值為；點B的橫坐標為；（2）若彈力球在B處著地后彈起的最大高度為著地前手拋出的最大高度的一半．①求彈力球第一次著地后拋物線解析式；②求彈力球第二次著地點到點O的距離；③如果擺放一個底面半徑為0.5m，高0.5m的圓柱形筐，且筐的最左端距離原點9m，若要甲能投球成功，需將筐沿x軸向左移動bm，直接寫出b的取值范圍．【變式5-1】（2022?六盤水模擬）如圖，籃球場上OF的長為25米，籃球運動員小明站在左方的點O處向右拋球，球從離地面2米的A處拋出，球的運動軌跡可看作一條拋物線，在距O點4米的B處達到最高點，最高點C距離地面4米；籃球在點D處落地后彈起，彈起后在點E處落地，且彈起后的軌跡與拋出后的軌跡形狀相同，但高度減少為原來最大高度的一半．以點O為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．（1）求拋物線ACD的函數(shù)表達式；（2）求籃球第二次落地點E與點O之間的距離；（3）若運動員小易在點E處拿球前進到點G處起跳投籃，起跳后籃球在距離地面3米的地方出手，球出手后的運動軌跡與拋出后的軌跡形狀相同，高度相等，并且恰好投入離地面3米的籃筐中，求EG的長？【變式5-2】（2022?巧家縣模擬）如圖所示的是小青同學(xué)設(shè)計的一個動畫示意圖，某彈球P（看作一點）從數(shù)軸上表示﹣8的點A處彈出后，呈拋物線y＝﹣x2﹣8x狀下落，落到數(shù)軸上后，該彈球繼續(xù)呈現(xiàn)原拋物線狀向右自由彈出，但是第二次彈出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次彈出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐漸向右自由彈出．（1）根據(jù)題意建立平面直角坐標系，并計算彈球第一次彈出的最大高度．（2）當彈球P在數(shù)軸上兩個相鄰落點之間的距離為4時，求此時下落的拋物線的解析式．【變式5-3】（2022?濰坊模擬）女生排球考試要求：墊球后，球在運動中離地面的最大高度至少為2米．某次模擬測試中，某女生在O處將球墊偏，之后又在A，B兩處先后墊球，球沿拋物線C1→C2→C3運動（假設(shè)拋物線C1，C2，C3在同一平面內(nèi)），最終正好在O處墊住，O處離地面的距離為1米．如圖所示，以O(shè)為坐標原點1米為單位長度建立直角坐標系，x軸平行于地面水平直線m，已知點A（32，38），點B的橫坐標為-32，拋物線C1和C3的表達式分別為y＝ax2﹣2ax和y＝2ax2+（1）求拋物線C1的函數(shù)表達式．（2）第一次墊球后，球在運動中離地面的最大高度是否達到要求？請說明理由．（3）為了使第三次墊球后，球在運動中離地面的最大高度達到要求，該女生第三次墊球處B離地面的高度至少為多少米？【題型6噴水問題】【例6】（2022?西城區(qū)校級模擬）某公園在人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分，若記水柱上某一位置與水管的水平距離為d米，與湖面的垂直高度為h米，下面的表中記錄了d與h的五組數(shù)據(jù)：d（米）01234h（米）0.51.251.51.250.5根據(jù)上述信息，解決以下問題：（1）在如下網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并根?jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示h與d函數(shù)關(guān)系的圖象；（2）若水柱最高點距離湖面的高度為m米，則m＝；（3）現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項目，準備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱下方通過，如圖所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時，頂棚上任意一點到水柱的豎直距離均不小于0.5米．已知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為1.5米，那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計）至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請通過計算說明理由（結(jié)果保留一位小數(shù)）．【變式6-1】（2022?安徽模擬）音樂噴泉（圖1）可以使噴水造型隨音樂的節(jié)奏起伏變化而變化．某種音樂噴泉形狀如拋物線，設(shè)其出水口為原點，出水口離岸邊18m，音樂變化時，拋物線的頂點在直線y＝kx上變動，從而產(chǎn)生一組不同的拋物線（圖2），這組拋物線的統(tǒng)一形式為y＝ax2+bx．（1）若已知k＝1，且噴出的拋物線水線最大高度達3m，求此時a、b的值；（2）若k＝1，噴出的水恰好達到岸邊，則此時噴出的拋物線水線最大高度是多少米？（3）若k＝3，a=-2【變式6-2】（2022?河北模擬）音樂噴泉的某一個噴水口，噴出的一束水流形狀是拋物線，在這束水流所在平面建立平面直角坐標系，以水面與此面的相交線為x軸，以噴水管所在的鉛垂線為y軸，噴出的水流拋物線的解析式為：y＝﹣x2+bx+2．但控制進水速度，可改變噴出的水流達到的最大高度，及落在水面的落點距噴水管的水平距離．（1）噴出的水流拋物線與拋物線y＝ax2的形狀相同，則a＝；（2）落在水面的落點距噴水管的水平距離為2個單位長時，求水流拋物線的解析式；（3）求出（2）中的拋物線的頂點坐標和對稱軸；（4）對于水流拋物線y＝﹣x2+bx+2．當b＝b1時，落在水面的落點坐標為M（m，0），當b＝b2時，落在水面的落點坐標為N（n，0），點M與點N都在x軸的正半軸，且點M在點N的右邊，試比較b1與b2的大?。咀兪?-3】（2022?新昌縣模擬）某噴泉中間的噴水管OA＝0.5m，噴水點A向各個方向噴射出去的水柱為形狀相同的拋物線，以水平方向為x軸，噴水管所在直線為y軸，噴水管與地面的接觸點O為原點建立直角坐標系，如圖所示．已知噴出的水柱在距原點的水平距離為3m處達到最高，高度為2m．（1）求水柱所在拋物線（第一象限）的函數(shù)表達式．（2）身高為1.7m的小明站在距離噴水管4m的地方，他會被水噴到嗎？（3）現(xiàn)重新改建噴泉，升高噴水管，使落水點與噴水管距離7m，已知噴水管升高后，噴水管噴出的水柱拋物線形狀不變，且水柱仍在距離原點3m處達到最高，則噴水管OA要升高多少？【題型7增長率問題】【例7】（2022?武漢模擬）戰(zhàn)疫扶貧兩手抓，多措并舉促增收．為貫徹落實黨中央全面建設(shè)小康社會的戰(zhàn)略部署，某貧困地區(qū)的廣大黨員干部深入農(nóng)村積極開展“精準扶貧”工作．經(jīng)過多年的精心幫扶，截至2018年底，按照農(nóng)村家庭人均年純收入8000元的小康標準，該地區(qū)僅剩部分家庭尚未實現(xiàn)小康.2019年7月，為估計該地能否在2020年全面實現(xiàn)小康，統(tǒng)計了該地當時最貧困的一個家庭2019年1至6的人均月純收入，匯總?cè)缦拢涸路荽a123456人均月純收入（元）310350390430470510根據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)該家庭人均月純收入y與月份代碼x之間具有較強的一次函數(shù)關(guān)系（記2019年1月、2月、…、2020年1月、……分別為x＝1，x＝2，…，x＝13，…，依此類推）．但2020年1月突如其來的新型冠狀病毒感染的肺炎疫情影響了奔小康的進展，該家庭2020年第一季度每月人均月純收入只有2019年12月的預(yù)估值的三分之二．根據(jù)以上信息，完成以下問題．（1）求該家庭人均月純收入y與月份代碼x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）若疫情沒有爆發(fā)，2020年該家庭是否能實現(xiàn)小康？（3）若2020年3月初開始，在當?shù)攸h員干部的扶持下，該家庭的人均月純收入y與月份代碼x之間滿足二次函數(shù)y＝x2+bx+c的關(guān)系．若該家庭2020年12月人均月純收入可達到1400元以上，求b的最小值．（4）若以該家庭2020年3月人均月純收入為基數(shù)，以后每月的增長率為a，為了使該家庭2020年能實現(xiàn)小康，a至少為多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）參考數(shù)據(jù)：452+4×120×4≈參考公式：1+x+x2+…+x9=x10-1x-1；（1+a）10≈1+10a+45a2+120a【變式7-1】（2022?彌勒市校級月考）國家決定對某藥品價格分兩次降價，若設(shè)平均每次降價的百分比為x，該藥品的原價為36元，降價后的價格為y元，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系為（）A．y＝72（1﹣x） B．y＝36（1﹣x） C．y＝36（1﹣x2） D．y＝36（1﹣x）2【變式7-2】（2021秋?西山區(qū)校級期中）某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件60萬個，設(shè)該廠第二季度平均每月的增長率為x，如果第二季度共生產(chǎn)零件y萬個，那么y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式是（）A．y＝60（1+x）2 B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2 C．y＝60（1+x）+60（1+x）2 D．y＝60+60（1+x）【變式7-3】（2022?濱州校級月考）2009年度東風(fēng)公司神鷹汽車改裝廠開發(fā)出A型農(nóng)用車，其成本價為每輛2萬元，出廠價為每輛2.4萬元，年銷售價為10000輛，2010年為了支援西部大開發(fā)的生態(tài)農(nóng)業(yè)建設(shè)，該廠抓住機遇，發(fā)展企業(yè)，全面提高A型農(nóng)用車的科技含量，每輛農(nóng)用車的成本價增長率為x，出廠價增長率為0.75x，預(yù)測年銷售增長率為0.6x．（年利潤＝（出廠價﹣成本價）×年銷售量）（1）求2010年度該廠銷售A型農(nóng)用車的年利潤y（萬元）與x之間的函數(shù)關(guān)系．（2）該廠要是2010年度銷售A型農(nóng)用車的年利潤達到4028萬元，該年度A型農(nóng)用車的年銷售量應(yīng)該是多少輛？【題型8車過隧道問題】【例8】（2022?太原二模）如圖1，在某段公路上有一條雙行線隧道（可雙向行駛）．隧道的縱截面由矩形的三邊和一段拋物線構(gòu)成，如圖2是它的示意圖，隧道寬度AB＝8m，內(nèi)壁兩側(cè)各留有1m寬的安全帶，頂部最高處距路面6m，矩形的寬AD＝2m．（1）為了保證安全，交通部門要求行駛車輛的頂部（設(shè)為平頂）與隧道的頂部在豎直方向上的高度差至少要0.5m，求一輛寬為3m的貨運卡車通過該隧道時的限高應(yīng)為多少？（2）若有一輛寬為5.5m的超寬箱式工程車欲通過該隧道，其頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差不小于10cm，在實行交通管制后，求這輛車單向通過該隧道的限高應(yīng)為多少？（結(jié)果精確到1m）【變式8-1】（2022秋?始興縣校級期中）一拱形隧道的輪廓是拋物線如圖，拱高6m，跨度20m，（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，求拱形隧道的拋物線關(guān)系式（2）拱形隧道下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬2m，高3m的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計）？請說說你的理由．【變式8-2】（2022?長春校級模擬）路在山腹行是滬蓉西高速公路的顯著特點之一，全線共有隧道37座，共計長達742421.2米．正在修建的廟埡隧道的截面是由一拋物線和一矩形構(gòu)成，其行車道CD總寬度為8米，隧道為單行線車道，即左右各5米寬的車道．（1）建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并求出隧道拱拋物線的解析式；（2）在隧道拱兩側(cè)距地面3米高處各安裝一盞燈，在（1）的平面直角坐標系中用坐標表示其中一盞燈的位置；（3）為保證行車安全，要求行駛車輛頂部（假設(shè)為平頂）與隧道拱在豎直方向上高度之差至少有0.5米，現(xiàn)有一輛汽車，裝載貨物后，其寬度為4米，車載貨物的頂部與路面的距離為2.5米，該車能否安全通過這個隧道？請說明理由．【變式8-3】（2022?東城區(qū)校級月考）施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米．現(xiàn)以O(shè)點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖1所示）．（1）求出這條拋物線的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”CDAB，使A、D點在拋物線上．B、C點在地面OM線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少，請你幫施工隊計算一下．【題型9行程問題】【例9】（2022?寶應(yīng)縣三模）“城市發(fā)展，交通先行”，我市啟動了緩堵保暢的快速路建設(shè)工程，建成后將大大提升道路的通行能力．研究表明，在確保安全行車情況下，快速路的車流速度v（千米/時）是車流密度x（輛/千米）的函數(shù)，其圖象近似的如圖所示．（1）求v關(guān)于x的函數(shù)表達式；（2）求車流量p和車流密度x之間的函數(shù)表達式并求出車流量p（輛/時）的最大值．（注：車流量是單位時間內(nèi)通過觀測點的車輛數(shù)，計算公式為：車流量＝車流速度×車流密度）（3）經(jīng)過測算，每日上下班高峰時段快速路車流量將不低于4000輛/時，為保證快速路安全暢通，城市道路交通指揮中心將實時發(fā)布道路預(yù)警信息，提醒駕駛員按預(yù)警速度要求行駛，請你幫助城市交通指揮中心測算一下上下班高峰時段車速應(yīng)控制在什么范圍才能確?？焖俾钒踩珪惩?？【變式9-1】（2022?定海區(qū)模擬）在長、寬均為45米的十字路口，現(xiàn)遇到紅燈，有10輛車依次呈一直線停在路口的交通白線后，每兩輛車間隔為2.5米，每輛車長5米，每輛車的速度v（米/秒）關(guān)于時間t（秒）的函數(shù)（如圖1）所示，當綠燈亮起，第一輛車的車頭與交通白線的距離s（米）關(guān)于時間t（秒）的函數(shù)解析式為s＝a（t﹣1）2（1≤t≤4），如圖2所示當前車啟動后，后面一輛車在1秒后也啟動．（1）求a的值；（2）當t＞4時，求第一輛車的車頭與交通白線的距離s（米）關(guān)于時間（秒）的函數(shù)解析式；（3）當t＞4時，求第一輛車和第二輛車在這個十字路口中的最大間距；（第一輛車的車尾和第二輛車的車頭哦）（4）綠燈持續(xù)時間至少要設(shè)置多長才能保證在綠燈期間這十輛車都能通過交通白線．【變式9-3】（2022?溫嶺市一模）當前，交通擁堵是城市管理的一大難題．我市城東高架橋的開通為分流過境車輛、緩解市內(nèi)交通壓力起到了關(guān)鍵作用，但為了保證安全，高架橋上最高限速80千米/小時．在一般條件下，高架橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當橋上的車流密度達到180輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當0≤x≤20時，橋上暢通無阻，車流速度都為80千米/小時，研究表明：當20≤x≤180時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．（1）當0≤x≤20和20≤x≤180時，分別寫出函數(shù)v關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）w＝x?v可以達到最大，并求出最大值；（3）某天早高峰（7：30﹣9：30）經(jīng)交警部門控制管理，橋上的車流速度始終保持40千米/小時，問這天早高峰期間高架橋分流了多少輛車？專題5.5二次函數(shù)的應(yīng)用【九大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1圖形面積或周長問題】 1【題型2圖形運動問題】 6【題型3拱橋問題】 10【題型4銷售問題】 14【題型5投球問題】 18【題型6噴水問題】 24【題型7增長率問題】 30【題型8車過隧道問題】 33【題型9行程問題】 38【知識點1解二次函數(shù)的實際應(yīng)用問題的一般步驟】審：審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系（即函數(shù)關(guān)系）；設(shè)：設(shè)出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設(shè)變量的單位要準確；列：列函數(shù)解析式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)；解：按題目要求結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題；檢：檢驗所得的解，是否符合實際，即是否為所提問題的答案；答：寫出答案.【題型1圖形面積或周長問題】【例1】（2022秋?越城區(qū)期末）為優(yōu)化迪蕩湖公園的燈光布局，需要在一處岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為80m的燈帶在湖中圍成了如圖所示的①②③三塊燈光噴泉的矩形區(qū)域，且要求這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設(shè)BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；（2）x為何值時，y有最大值？最大值是多少？【分析】（1）根據(jù)三個矩形面積相等，得到矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，可得出AE＝2BE，設(shè)BE＝a，則有AE＝2a，表示出a與2a，進而表示出y與x的關(guān)系式，并求出x的范圍即可；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值，以及此時x的值即可．【解答】解：（1）∵三塊矩形區(qū)域的面積相等，∴矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，∴AE＝2BE，設(shè)BE＝FC＝am，則AE＝HG＝DF＝2am，∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，∴a=-14x+10，3a=-∴y＝（-34x+30）x=-34x∵a=-14∴x＜40，則y=-14x2+30x（0＜（2）∵y=-34x2+30x=-34（x﹣20）2+300（0＜∴當x＝20時，y有最大值，最大值為300平方米．【變式1-1】（2022?永春縣校級自主招生）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用32m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設(shè)AB＝xm．（1）若花園的面積為252m2，求x的值；（2）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是17m和6m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細），求花園面積S的最大值．【分析】（1）根據(jù)AB＝x米可知BC＝（32﹣x）米，再根據(jù)矩形的面積公式即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)P處有一棵樹與墻CD、AD的距離分別是18米和8米求出x的取值范圍，再根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)系式即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)AB＝x米，可知BC＝（32﹣x）米，根據(jù)題意得：x（32﹣x）＝252．解這個方程得：x1＝18，x2＝14，答：x的長度18m或14m．（2）設(shè)周圍的矩形面積為S，則S＝x（32﹣x）＝﹣（x﹣16）2+256．∵在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離是17m和6米，∴6≤x≤15．∴當x＝15時，S最大＝﹣（15﹣16）2+256＝255（平方米）．答：花園面積的最大值是255平方米．【變式1-2】（2022秋?清江浦區(qū)校級月考）愛動腦筋的小明在學(xué)過用配方法解一元二次方程后，他發(fā)現(xiàn)二次三項式也可以配方，從而解決一些問題．例如：x2﹣6x+10＝（x2﹣6x+9﹣9）+10＝（x﹣3）2﹣9+10＝（x﹣3）2+1≥1；因此x2﹣6x+10有最小值是1，只有當x＝3時，才能得到這個式子的最小值1．同樣﹣3x2﹣6x+5＝﹣3（x2+2x+1﹣1）+5＝﹣3（x+1）2+8，因此﹣3x2﹣6x+5有最大值是8，只有當x＝﹣1時，才能得到這個式子的最小值8．（1）當x＝3時，代數(shù)式﹣2（x﹣3）2+5有最大值為5．（2）當x＝﹣1時，代數(shù)式2x2+4x+3有最小值為1．（3）矩形自行車場地ABCD一邊靠墻（墻長10m），在AB和BC邊各開一個1米寬的小門（不用木板），現(xiàn)有能圍成14m長的木板，當AD長為多少時，自行車場地的面積最大？最大面積是多少？【分析】（1）類比例子得出答案即可；（2）根據(jù)題意利用配方法配成（1）中的類型，進一步確定最值即可；（3）根據(jù)題意利用長方形的面積列出式子，利用（1）（2）的方法解決問題．【解答】解：（1）在代數(shù)式﹣2（x﹣3）2+5中，當x＝3時，有最大值5，故答案為：3、5；（2）∵2x2+4x+3＝2（x2+2x+1﹣1）+3＝2（x+1）2+1，∴當x＝﹣1時，代數(shù)式2x2+4x+3有最小值為1，故答案為：﹣1、1；（3）設(shè)AD＝x，則AB＝14﹣（x+x﹣1）+1＝16﹣2x，∵S＝x（16﹣2x）＝﹣2（x﹣4）2+32，∴當AD＝4m時，面積最大值為32m2．【變式1-3】（2022?市南區(qū)一模）小明準備給長16米，寬12米的長方形空地栽種花卉和草坪，圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區(qū)域分別栽種甲、乙、丙三種花卉，其余區(qū)域栽種草坪．四邊形ABCD和EFGH均為正方形，且各有兩邊與長方形邊重合：矩形MFNC（區(qū)域Ⅱ）是這兩個正方形的重疊部分，如圖所示．（1）若花卉均價為300元/米2，種植花卉的面積為S（米2），草坪均價為200元/米2，且花卉和草坪栽種總價不超過43600元，求S的最大值．（2）若矩形MFNC滿足MF：FN＝1：2．①求MF，F(xiàn)N的長．②若甲、乙、丙三種花卉單價分別為為180元/米2，90元/米2，180元/米2，且邊BN的長不小于邊ME長的54倍．求圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區(qū)域栽種花卉總價W【分析】（1）先求出長方形空地的面積，從而可得栽種草坪的面積，再根據(jù)“總價不超過43600元”建立一元一次不等式，然后求解即可得；（2）①設(shè)AB＝a，EF＝b，根據(jù)正方形的性質(zhì)、線段的和差可得MF、FN的長，再根據(jù)MF：FN＝1：2可得a、b的關(guān)系等式，由此即可得出答案；②先在①的基礎(chǔ)上，求出W關(guān)于a的函數(shù)表達式，再根據(jù)題意求出a的取值范圍，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得．【解答】解：（1）長方形空地的面積為16×12＝192（米2），由題意得：300S+200（192﹣S）≤43600，解得：S≤52，故S的最大值為52米2；（2）①設(shè)AB＝a，EF＝b，∵四邊形ABCD和EFGH均為正方形，∴AD＝AB＝a，F(xiàn)G＝EF＝b，∴MF＝AD+EF﹣16＝a+b﹣16，F(xiàn)N＝AB+FG﹣12＝a+b﹣12，又∵MFFN∴a+b-16a+b-12解得：a+b＝20，∴MF＝20﹣16＝4（米），F(xiàn)N＝20﹣12＝8（米），答：MF的長為4米，F(xiàn)N的長為8米；②由①可知，a+b＝20，即b＝20﹣a，∴ME＝16﹣AD＝16﹣a，DM＝12﹣FG＝12﹣b＝12﹣（20﹣a）＝a﹣8，BN＝16﹣EF＝16﹣b＝16﹣（20﹣a）＝a﹣4NG＝12﹣AB＝12﹣a，則由題意得：w＝180（16﹣a）（a﹣8）+90×4×8+180（12﹣a）（a﹣4）＝﹣360（a﹣10）2+7200，又∵BN≥54ME且∴a﹣4≤54（16﹣a）且解得：323＜由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當323＜a＜12時，W隨則當a=323時，w取得最大值，最大值為﹣360×（323答：圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區(qū)域栽種花卉總價w的最大值為7040元．【題型2圖形運動問題】【例2】（2022秋?利川市校級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝9cm．P、Q兩點同時從點B、D出發(fā)，分別沿BA、DA方向勻速運動（當P運動到A時，P、Q同時停止運動），已知P點的速度比Q點大1cm/s，設(shè)P點的運動時間為x秒，△PAQ的面積為ycm2，（1）經(jīng)過3秒△PAQ的面積是矩形ABCD面積的13時，求P、Q（2）以（1）中求出的結(jié)論為條件，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍．【分析】（1）設(shè)Q點的運動速度為vcm/s，則P的運動速度為（v+1）cm/s，得出DQ＝3v，BP＝3（v+1），根據(jù)3秒△PAQ的面積是矩形ABCD面積的13（2）根據(jù)題意知BP＝（4-2）x，DQ＝（3-2）x，由矩形面積公式可得函數(shù)解析式，根據(jù)AP≥0得出【解答】解：（1）設(shè)Q點的運動速度為vcm/s，則P的運動速度為（v+1）cm/s，則DQ＝3v，BP＝3（v+1），由題意得：12?[12﹣3（v+1）]?（9﹣3v）=解得：v＝3+2或v＝3-又3（v+1）≤12，∴v≤3，∵3+2故點Q的運動速度為3-2cm/s，點P的運動速度為4-2cm/（2）當點Q的運動速度為3-2cm/s，點P的運動速度為4-2cm/BP＝（4-2）x，DQ＝（3-2）∴y=12[12﹣（4-2）x]?[9﹣（3-=14-722x2∵9﹣（3-2）x∴0≤x≤27+9【變式2-1】（2022?巨野縣期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，動點P從點A開始沿邊AB向終點B以每秒2個單位長度的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC以每秒4個單位長度的速度向終點C移動，如果點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，那么△PBQ的面積S隨出發(fā)時間t（s）如何變化？寫出函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍．【分析】根據(jù)題意表示出BP，BQ的長進而得出△PBQ的面積S隨出發(fā)時間t（s）的函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：△PBQ的面積S隨出發(fā)時間t（s）成二次函數(shù)關(guān)系變化，∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，動點P從點A開始沿邊AB向終點B以每秒2個單位長度的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC以每秒4個單位長度的速度向終點C移動，∴BP＝12﹣2t，BQ＝4t，∴△PBQ的面積S隨出發(fā)時間t（s）的解析式為：S=12（12﹣2t）×4t＝﹣4t2+24t，（0＜【變式2-2】（2022秋?丹陽市校級月考）如圖，在△ABC中，BC＝7cm，AC＝24cm，AB＝25cm，P點在BC上，從B點到C點運動（不包括C點），點P運動的速度為2cm/s；Q點在AC上從C點運動到A點（不包括A點），速度為5cm/s．若點P、Q分別從B、C同時運動，請解答下面的問題，并寫出探索的主要過程：（1）經(jīng)過多少時間后，P、Q兩點的距離為52cm2？（2）經(jīng)過多少時間后，S△PCQ的面積為15cm2？（3）請用配方法說明，何時△PCQ的面積最大，最大面積是多少？【分析】（1）根據(jù)勾股定理PC2+CQ2＝PQ2，便可求出經(jīng)過1s后，P、Q兩點的距離為52cm2（2）根據(jù)三角形的面積公式S△PCQ=12×PC×CQ便可求出經(jīng)過2或1.5s后，S△PCQ（3）根據(jù)三角形的面積公式S△PCQ=12×PC×CQ以及二次函數(shù)最值便可求出t＝1.75s【解答】解：（1）設(shè)經(jīng)過ts后，P、Q兩點的距離為52cm，ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，根據(jù)勾股定理可知PC2+CQ2＝PQ2，代入數(shù)據(jù)(7-2t)2解得t＝1或t=-1（2）設(shè)經(jīng)過ts后，S△PCQ的面積為15cm2ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，S△PCQ=12×PC×CQ=12解得t1＝2，t2＝1.5，經(jīng)過2或1.5s后，S△PCQ的面積為15cm2（3）設(shè)經(jīng)過ts后，△PCQ的面積最大，ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，S△PCQ=12×PC×CQ=12×（7﹣2t）×5t=當t=-b2a時，即t=72×2=即S△PCQ=12×PC×CQ=當時間為1.75秒時，最大面積為24516【變式2-3】（2022秋?杭州期末）如圖（a），點F、G、H、E分別從正方形ABCD的頂點B、C、D、A同時出發(fā)，以1cm/s的速度沿著正方形的邊向C、D、A、B運動．若設(shè)運動時間為x（s），問：（1）四邊形EFGH是什么圖形？證明你的結(jié)論；（2）若正方形ABCD的邊長為2cm，四邊形EFGH的面積為y（cm2），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍；（3）若改變點的連接方式（如圖（b）），其余不變．則當動點出發(fā)幾秒時，圖中空白部分的面積為3cm2．【分析】（1）用全等或利用勾股定理計算都可得到HE＝EF＝FG＝GH，說明∠G＝90°，得四邊形EFGH是正方形；（2）設(shè)運動時間為x（s），則直角△AHE中，AH＝x，AE＝2﹣x．根據(jù)勾股定理即可求得HE的長，再根據(jù)正方形的面積公式即可求解；（3）空白部分的面積=4x-4+4(x-2)2【解答】解：（1）∵正方形ABCD中AB＝BC，而∠A＝∠B＝90°又∵AH＝BE∴AE＝BF∴△AEH≌△BFE∴HE＝EF，∠HEA＝∠EFB而∠HEA+∠AHE＝90°∴∠HEA+∠FEB＝90°∴∠HEF＝90°同理：HE＝EF＝FG＝GH∴四邊形EFGH是正方形．（2）y=＝2x2﹣4x+4（0＜x＜2），（3）空白部分的面積=4x-4+4方程為：4x-4+4化簡得：4x3﹣3x2﹣12＝0，由計算器估算得x≈1.74所以當動點出發(fā)約1.74秒時，圖中空白部分的面積為3cm2．【題型3拱橋問題】【例3】（2022?海曙區(qū)校級開學(xué)）圖1是一座彩虹橋兩條拋物線型鋼梁在橋面上的跨度分別為AB＝50米和CD＝40米（如圖2所示），x軸表示橋面，BC＝10米．若兩拋物線交y軸于同一點，且它們的形狀相同，則OBOC的值為56【分析】因為兩個拋物線形狀相同，可設(shè)：AB所在拋物線：y＝m（x﹣xA）（x﹣xB）①CD所在拋物線：y＝m（x﹣xC）（x﹣xD）②其中xA，xB，xC，xD分別為A，BC，D的橫坐標，令x＝0，可以分別求出兩條拋物線與y軸的交點E，F(xiàn)坐標，然后根據(jù)兩拋物線交y軸于同一點，可以得出xAxB＝xCxD，然后根據(jù)已知條件B，C橫坐標，從而得出結(jié)論．【解答】解：因為兩個拋物線形狀相同，可設(shè)：yAB＝m（x﹣xA）（x﹣xB）①，yCD＝m（x﹣xC）（x﹣xD）②，其中xA，xB，xC，xD分別為A，B，C，D的橫坐標，對于①令x＝0，則y＝mxA?xB，所以E點坐標為（0，mxAxB）；同理，對于②令x＝0，則y＝mxC?xD，所以E點坐標為（0，mxCxD），因為mxAxB＝mxCxD，即xAxB＝xCxD，因為AB＝50米，BC＝10米，CD＝40米．所以AC＝60米，所以xC﹣xA＝60，xC﹣xB＝10，xD﹣xC＝40，所以xA＝xC﹣60，xB＝xC﹣10，xD＝xC十40，將上式代入xAxB＝xCxD得，（xC60）（xC﹣10）＝xC（xC40），解得xC=60又因為xB=-50所以O(shè)BOC故答案為：56【變式3-1】（2022秋?西城區(qū)校級期中）廊橋是我國古老的文化遺產(chǎn)，如圖，是某座拋物線型的廊橋示意圖．已知水面AB寬40米，拋物線最高點C到水面AB的距離為10米，為保護廊橋的安全，在該拋物線上距水面AB高為8米的點E，F(xiàn)處要安裝兩盞警示燈，求這兩盞燈的水平距離EF．（結(jié)果保留根號）【分析】利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式．已知拋物線上距水面AB高為8米的E、F兩點，可知E、F兩點縱坐標為8，把y＝8代入拋物線解析式，可求E、F兩點的橫坐標，根據(jù)拋物線的對稱性求EF長．【解答】解：如圖，以AB所在直線為x軸、線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，由題意知，A（﹣20，0），B（20，0），C（0，10）．設(shè)過點A、B、C的拋物線方程為：y＝a（x+20）（x﹣20）（a＜0）．把點C（0，10）的坐標代入，得10＝a（0+20）（0﹣20），解得：a=-1則該拋物線的解析式為：y=-140（x+20）（x﹣20）=-1把y＝8代入，得-140x即x2＝80，x1＝45，x2＝﹣45．所以兩盞警示燈之間的水平距離為：EF＝|x1﹣x2|＝|45-（﹣45）|＝85（m【變式3-2】（2022秋?詔安縣校級月考）如圖所示，橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀，按照圖中的直角坐標系，左邊的一條拋物線可以用y=9400x2+910（1）鋼纜的最低點到橋面的距離是多少？（2）兩條鋼纜最低點之間的距離是多少？（3）寫出如圖拋物線的表達式？【分析】（1）根據(jù)拋物線頂點的坐標公式可以求得頂點的橫坐標和縱坐標，根據(jù)拋物線頂點的縱坐標可得出鋼纜的最低點到橋面的距離；（2）根據(jù)兩最低點的橫坐標可得出兩條鋼纜最低點之間的距離；（3）根據(jù)左右兩側(cè)的拋物線關(guān)于y軸對稱，可知兩個拋物線的解析式，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)，從而可以得到右側(cè)拋物線的解析式．【解答】解：（1）∵y=9400x2+∴該拋物線的頂點的橫坐標為：x=910-2×9即鋼纜的最低點到橋面的距離是1m；（2）∵橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀，按照圖中的直角坐標系，左邊的一條拋物線可以用y=9400x2+910∴兩條鋼纜的頂點橫坐標為，﹣20，20，即兩條鋼纜最低點對應(yīng)的橫坐標分別是：﹣20，20，故兩條鋼纜最低點之間的距離是：20﹣（﹣20）＝40（米），即兩條鋼纜最低點之間的距離是：40米；（3）∵橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀，按照圖中的直角坐標系，左邊的一條拋物線可以用y=9400x2+910∴右側(cè)拋物線的解析式為：y=9即拋物線右側(cè)的表達式是：y=9【變式3-3】（2022秋?袁州區(qū)校級期中）宜春袁山公園內(nèi)有一座景觀橋，橋洞形狀如拋物線ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標系中，拋物線的解析式為y=-150x2+c且過頂點C（0，8）（長度單位：（1）直接寫出c的值；（2）現(xiàn)因搞慶典活動，計劃沿拱橋的臺階表面鋪設(shè)一條寬度為1.5m的地毯，求需要多少平方米的地毯？（不計損耗）（3）為了使景觀橋夜晚更加漂亮，需在橋洞下方洞壁相同高度處如圖示的E、F位置安裝兩盞LED燈，且點E的橫坐標與縱坐標之和為﹣4，求安裝的LED燈距離水面AB的高度．【分析】（1）把點C坐標代入即可求得c的值；（2）根據(jù)解析式求出A，B，C三點坐標，求出地毯的總長度；（3）設(shè)E點橫坐標為x，則縱坐標為﹣x﹣2，代入函數(shù)解析式，求出坐標即可．【解答】解：（1）拋物線的解析式為y=-150x2+∵點C（0，8）在拋物線上，∴c＝8；（2）由（1）知，OC＝8，令y＝0，即-150x2+8＝0，解得x1＝20，x∴地毯的面積為：1.5（AB+2CO）＝1.5×（40+2×8）＝84（平方米）；（3）設(shè)點E的坐標為（x，-150x由題意得：x+（-150x解得x1＝60（不合題意，舍去），x2＝﹣10，當x＝﹣10時，y＝6，∴安裝的LED燈距離水面AB的高度是6米．【知識點2銷售問題中的常用公式】（1）利潤=售價-進價=進價×利潤率（2）利潤率=（3）總利潤=總售價-總進價=銷售量×（單件售價-單件成本）【題型4銷售問題】【例4】（2022秋?平谷區(qū)期末）某地的藥材批發(fā)公司指導(dǎo)農(nóng)民養(yǎng)植和銷售某種藥材，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)1﹣8月份這種藥材售價（元）與月份之間存在如表所示的一次函數(shù)關(guān)系，同時，每千克的成本價（元）與月份之間近似滿足如圖所示的拋物線，觀察兩幅圖表，試判斷5月份出售這種藥材獲利最大．月份…36…每千克售價…86…【分析】根據(jù)兩幅圖分別求出售價、成本與月份的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)利潤＝售價﹣成本得出利潤關(guān)于月份的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出x即可．【解答】解：設(shè)這種藥材售價（元）與月份的一次函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，把（3，8），（6，6）代入得，3k+b=86k+b=6∴k=-2∴這種藥材售價（元）與月份所示的一次函數(shù)關(guān)系式為y=-23設(shè)每千克的成本價（元）與月份的之間的拋物線的解析式為m＝a（x﹣6）2+1，把（1，9）代入得，9＝a（1﹣6）2+1，∴a=8∴每千克的成本價（元）與月份的之間的拋物線的解析式為m=825（x﹣6）設(shè)這種藥材利潤為w元，則w＝y(tǒng)﹣m=-23x+10-825（x﹣6）2﹣1=-23x-825x2+9625x-28825+9∵-825＜0，對稱軸為x=∵x為正整數(shù)，∴當x＝5時，w最大．故答案為：5．【變式4-1】（2022秋?舞陽縣期末）某商場一種商品的進價為每件30元，售價為每件50元．每天可以銷售48件，為盡快減少庫存，商場決定降價促銷．（1）若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價降至每件40.5元，求兩次下降的百分率；（2）經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價1元，每天可多銷售8件，那么每天要想獲得最大利潤，每件售價應(yīng)多少元？最大利潤是多少？【分析】（1）根據(jù)增長率（下降率）公式列出一元二次方程即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）設(shè)每次下降的百分率為x．根據(jù)題意得50（1﹣x）2＝40.5，解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不符合題意，舍去），答：該商品連續(xù)兩次下降的百分率為10%；（2）設(shè)降價m元，利潤為w元．根據(jù)題意得w＝（50﹣30﹣m）（48+8m）＝﹣8m2+112m+960＝﹣8（m﹣7）2+1352．∴當m＝7，即售價為43元時，可獲最大利潤1352元．【變式4-2】（2022秋?椒江區(qū)期末）某一種蜜桔在農(nóng)貿(mào)水果市場的需求量y1（萬斤）、市場供應(yīng)量y2（萬斤）與市場價格x（元/斤）分別滿足下列關(guān)系：y1＝﹣0.2x+2.8，y2＝0.4x﹣0.8，當y1＝y(tǒng)2時的市場價格稱為市場平衡價格，此時的需求量稱為平衡需求量．（1）求平衡價格和平衡需求量；（2）若該蜜桔的市場銷售量y（萬件）是市場需求量y1和市場供應(yīng)量y2兩者中的較小者，該蜜桔的市場銷售額P（萬元）等于市場銷售量y與市場價格x的乘積．當市場價格x取何值時，市場銷售額P取得最大值？（3）蜜桔的每斤進價為m元，若當3≤x≤10時，隨著x的增大，蜜桔的銷售利潤（萬元）會經(jīng)歷先減小后增大再減小的變化，請直接寫出m的取值范圍．【分析】（1）令y1＝y(tǒng)2，再解方程可得x的值，把x的值代入y1或y2，可得平衡需求量；（2）分0＜x≤6和6＜x≤14兩種情況列出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，再進行比較即可；（3）設(shè)蜜桔是銷售利潤為w萬元，分3≤x≤6和6＜x≤10兩種情況分別列出w與x的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合對稱軸得到不等式組，可得m的取值范圍．【解答】解：（1）令y1＝y(tǒng)2，則﹣0.2x+2.8＝0.4x﹣0.8，解得x＝6，∴y1＝y(tǒng)2＝﹣0.2×6+2.8＝1.6，答：平衡價格為6元/斤，平衡需求量為1.6萬斤；（2）令y1＞0，y2＞0，則-0.2x+2.8＞00.4x-0.8＞0解得：2＜x＜14，當2＜x≤6時，y＝0.4x﹣0.8，P1＝xy＝0.4x2﹣0.8x，∵0.4＞0，對稱軸為直線x＝1，∴當2＜x≤6時，P1隨著x的增大為增大．∴當x＝6時，P1最大＝0.4×36﹣0.8×6＝9.6，當6＜x＜14時，y＝﹣0.2x+2.8，P2＝y(tǒng)x＝﹣0.2x2+2.8x，∵﹣0.2＜0，對稱軸為直線x＝7，∴當x＝7時，P2最大＝﹣0.2×49+2.8×7＝9.8，綜上，當x＝7時，市場銷售額P取得最大值為9.8萬元；（3）設(shè)蜜桔是銷售利潤為w萬元，由題意得，當3≤x≤6時，w＝（0.4x﹣0.8）（x﹣m）＝0.4x2﹣（0.8+0.4m）x+0.8m，當6＜x≤10時，w＝（﹣0.2x+2.8）（x﹣m）＝﹣0.2x2+（2.8+0.2m）x﹣2.8m，∵當3≤x≤10時，隨著x的增大，蜜桔的銷售利潤（w萬元）會經(jīng)歷先減小后增大再減小的變化，∴--(0.8+0.4m)解得4＜m＜6．【變式4-3】（2022?廬陽區(qū)校級一模）某商店銷售一種商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在實際銷售中，售價x為整數(shù)，且該商品的月銷售量y（件）是售價x（元/件）的一次函數(shù)，其售價x（元/件）、月銷售量y（件）、月銷售利潤w（元）的部分對應(yīng)值如表：售價x（元/件）4045月銷售量y（件）300250月銷售利潤w（元）30003750注：月銷售利潤＝月銷售量×（售價﹣進價）（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；（2）當該商品的售價是多少元時，月銷售利潤最大？并求出最大利潤；（3）現(xiàn)公司決定每銷售1件商品就捐贈m元利潤（m≤6）給“精準扶貧”對象，要求：在售價不超過52元時，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨售價x的增大而增大，求m的取值范圍．【分析】（1）設(shè)出函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以求出每件進價，設(shè)該商品的月銷售利潤為w元，根據(jù)利潤＝單件利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)最值；（3）根據(jù)總利潤＝（單件利潤﹣m）×銷售量列出函數(shù)解析式，再根據(jù)x≤52時，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨售價x的增大而增大，利用函數(shù)性質(zhì)求m的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y＝kx+b，根據(jù)題意，得40k+b=30045k+b=250解得：k=-10b=700所以y與x的函數(shù)表達式為y＝﹣10x+700；（2）由表中數(shù)據(jù)知，每件商品進價為300×40-3000300設(shè)該商品的月銷售利潤為w元，則w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴當x＝50時，w最大，最大值為4000，∴當該商品的售價是50元時，月銷售利潤最大，最大利潤為4000元；（3）根據(jù)題意得：w＝（x﹣30﹣m）（﹣10x+700）＝﹣10x2+（1000+10m）x﹣21000﹣700m，對稱軸為直線x=-1000+10m2×(-10)=∵﹣10＜0，∴當x≤50+m2時，w隨∵x≤52時，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨售價x的增大而增大，∴50+m解得：m＞3，∵3＜m≤6，∴m的取值范圍為3＜m≤6．【題型5投球問題】【例5】（2022?威縣校級模擬）彈力球游戲規(guī)則：彈力球拋出后與地面接觸一次，彈起降落，若落入筐中，則游戲成功．彈力球著地前后的運動軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線．如圖16，甲站在原點處，從離地面高度為1m的點A處拋出彈力球，彈力球在B處著地后彈起，落至點C處，彈力球第一次著地前拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2+2．（1）a的值為-14；點B的橫坐標為22（2）若彈力球在B處著地后彈起的最大高度為著地前手拋出的最大高度的一半．①求彈力球第一次著地后拋物線解析式；②求彈力球第二次著地點到點O的距離；③如果擺放一個底面半徑為0.5m，高0.5m的圓柱形筐，且筐的最左端距離原點9m，若要甲能投球成功，需將筐沿x軸向左移動bm，直接寫出b的取值范圍．【分析】（1）先求出A點坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，將點A坐標代入解析式，得出第一次著地前拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣2）2+2，令y＝0，解方程即可；（2）①根據(jù)兩條拋物線形狀相同，設(shè)彈力球第一次著地后的拋物線解析式為y=-14（x﹣h）2+1，將點②根據(jù)彈力球第一次著地后的拋物線，求出對稱軸為直線x＝22+4，根據(jù)點B的橫坐標為22+2，點到第一次著地后的拋物線的對稱軸的距離為22+③根據(jù)高0.5m的圓柱形筐，解方程-1【解答】解：（1）∵點A（0，1）是拋物線y＝a（x﹣2）2+2的起點，∴1＝a（0﹣2）2+2，解得：a=-1∴第一次著地前拋物線的解析式為y=-14（x﹣2）當y＝0時，-14（x﹣2）解得：x1＝2+22，x，＝2﹣22（舍去），∴點B的橫坐標為2+22，故答案為：-14，2（2）①∵兩條拋物線是形狀相同的兩條拋物線，設(shè)彈力球第一次著地后的拋物線解析式為y=-14（x﹣h）將點B代入該解析式，得h1＝22（舍去），h2＝22+∴彈力球第一次著地后的拋物線解析式為y=-14（x﹣22-②由①可得，彈力球第一次著地后的拋物線的對稱軸為直線x＝22+4，點B的橫坐標為22點B到第一次著地后的拋物線的對稱軸的距離為22+4﹣22∴點C的橫坐標為x+2＝22+∴點C（22+∴彈力球第二次著地點到點О的距離為（22+6）m③∵圓柱形筐的高為0.5m，當y＝0.5時，-14（x﹣22-解得．x1＝4+32．x2＝4+2∵筐的最左端距離原點9m，當彈力球恰好砸中筐的最左端時，b＝9﹣（4+32）＝5﹣32；∵筐的底面半徑為0.5m，直徑為1m，∴筐的最右端距離原點10m，當彈力球恰好砸中筐的最右端時，b＝10﹣（4+32）＝6﹣32，∴b的取值范圍為5﹣32＜b＜6﹣32【變式5-1】（2022?六盤水模擬）如圖，籃球場上OF的長為25米，籃球運動員小明站在左方的點O處向右拋球，球從離地面2米的A處拋出，球的運動軌跡可看作一條拋物線，在距O點4米的B處達到最高點，最高點C距離地面4米；籃球在點D處落地后彈起，彈起后在點E處落地，且彈起后的軌跡與拋出后的軌跡形狀相同，但高度減少為原來最大高度的一半．以點O為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．（1）求拋物線ACD的函數(shù)表達式；（2）求籃球第二次落地點E與點O之間的距離；（3）若運動員小易在點E處拿球前進到點G處起跳投籃，起跳后籃球在距離地面3米的地方出手，球出手后的運動軌跡與拋出后的軌跡形狀相同，高度相等，并且恰好投入離地面3米的籃筐中，求EG的長？【分析】（1）根據(jù)頂點坐標為（4，4），可設(shè)頂點式，再將點A（0，2）代入可得；（2）令y＝0可求出x的兩個值，可以求出OD的長度，如圖可得第二次籃球彈出后的距離為DE，相當于將拋物線ACD向下平移了2個單位可得2=-18（x﹣4）2解得x的值即可知道（3）令y＝3，則3=-18（x﹣4）2+4，解方程求出x的值，再用OE﹣【解答】解：（1）設(shè)籃球開始飛出到第一次落地時拋物線的表達式為y＝a（x﹣h）2+k，∵h＝4，k＝4，∴y＝a（x﹣4）2+4，由已知：當x＝0時y＝2，即2＝16a+4，∴a=-1∴拋物線ACD的函數(shù)表達式為y=-18（x﹣4）（2）令y＝0，-18（x﹣4）∴（x﹣4）2＝32，解得：x1＝42+4≈9.7，x2＝﹣42∴籃球第一次落地距O點約9.7米；如圖，第二次籃球彈出后的距離為DE，根據(jù)題意：DE＝AN，相當于將拋物線ACD向下平移了2個單位，∴2=-18（x﹣4）解得：x1＝0，x2＝8，∴DE＝|x1﹣x2|＝8，∴OE＝OD+DE≈9.7+8＝17.7（米），∴籃球第二次落地點E距O點的距離約為17.7米；（3）當y＝3時，3=-18（x﹣4）解得：x1＝4﹣22≈1.2，x2＝4+22∵OF＝25，∴EG＝OF﹣OE﹣（6.8﹣1.2）＝1.7（米），∴EG的長為1.7米．【變式5-2】（2022?巧家縣模擬）如圖所示的是小青同學(xué)設(shè)計的一個動畫示意圖，某彈球P（看作一點）從數(shù)軸上表示﹣8的點A處彈出后，呈拋物線y＝﹣x2﹣8x狀下落，落到數(shù)軸上后，該彈球繼續(xù)呈現(xiàn)原拋物線狀向右自由彈出，但是第二次彈出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次彈出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐漸向右自由彈出．（1）根據(jù)題意建立平面直角坐標系，并計算彈球第一次彈出的最大高度．（2）當彈球P在數(shù)軸上兩個相鄰落點之間的距離為4時，求此時下落的拋物線的解析式．【分析】（1）根據(jù)題意建立坐標系，根據(jù)函數(shù)解析式求出最大值即可；（2）分別求出彈球第二次、第三次的解析式，以及落地見的距離，當落地之間距離為4時求出解析式即可．【解答】解：（1）根據(jù)彈球彈出的位置和函數(shù)解析式建立如圖所示坐標系：∵拋物線解析式為y＝﹣x2﹣8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴函數(shù)最大值為16，∴彈球第一次彈出的最大高度為16；（2）當y＝0時，則﹣x2﹣8x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣8，∴第一次相鄰兩落點之間的距離為：|﹣8﹣0|＝8，設(shè)第二次彈出時，彈球下落的拋物線的解析式為y＝﹣x（x﹣b），當x=b2時，y＝16∴-b2×解得b＝42或b＝﹣42（舍去），∴所求拋物線的解析式為y＝﹣x（x﹣42），∴第二次相鄰兩落點之間的距離為42，設(shè)第三次彈出時，彈球下落的拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣42）（x﹣c），當x=2+c2時，y解得c＝42+4或c＝42∴所求拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣42）（x﹣42-∴第三次相鄰兩落點之間的距離為|42+4﹣42∴相鄰兩落點之間的距離為4時，彈球下落拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣42）（x﹣42-【變式5-3】（2022?濰坊模擬）女生排球考試要求：墊球后，球在運動中離地面的最大高度至少為2米．某次模擬測試中，某女生在O處將球墊偏，之后又在A，B兩處先后墊球，球沿拋物線C1→C2→C3運動（假設(shè)拋物線C1，C2，C3在同一平面內(nèi)），最終正好在O處墊住，O處離地面的距離為1米．如圖所示，以O(shè)為坐標原點1米為單位長度建立直角坐標系，x軸平行于地面水平直線m，已知點A（32，38），點B的橫坐標為-32，拋物線C1和C3的表達式分別為y＝ax2﹣2ax和y＝2ax2+（1）求拋物線C1的函數(shù)表達式．（2）第一次墊球后，球在運動中離地面的最大高度是否達到要求？請說明理由．（3）為了使第三次墊球后，球在運動中離地面的最大高度達到要求，該女生第三次墊球處B離地面的高度至少為多少米？【分析】（1）將點A坐標代入C：y＝a﹣2a中，求出a值即可；（2）求出拋物線C的頂點，求出實際最大高度，可得結(jié)果；（3）根據(jù)達到最大高度達到要求得到不等式，求出b的范圍，從而算出B離地面的高度．【解答】解：（1）∵C1：y＝ax2﹣2ax，將A（32，38）代入，得：38=a×(解得：a=-1∴C1：y=-12x2+（2）由（1）得：y=-12x2+x=-12（x∴C1的對稱軸為直線x＝1，頂點為（1，12∵O處距離地面1米，∴最大高度為12+1∴未達到要求；（3）C3：y＝2ax2+bx（a≠0），對稱軸為直線x=-b4a，頂點（-b∵最大距離達標，∴-b∵B的橫坐標為-3∴yB=9由（1）知a=-1∴b2解得：b≥2或b≤﹣2，∵x=-b∴a，b同號，則b≤﹣2，∴yB∴高度至少應(yīng)為1+3∴該女生第三次墊球處B離地面的高度至少為1.75米．【題型6噴水問題】【例6】（2022?西城區(qū)校級模擬）某公園在人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分，若記水柱上某一位置與水管的水平距離為d米，與湖面的垂直高度為h米，下面的表中記錄了d與h的五組數(shù)據(jù)：d（米）01234h（米）0.51.251.51.250.5根據(jù)上述信息，解決以下問題：（1）在如下網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并根?jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示h與d函數(shù)關(guān)系的圖象；（2）若水柱最高點距離湖面的高度為m米，則m＝1.5；（3）現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項目，準備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱下方通過，如圖所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時，頂棚上任意一點到水柱的豎直距離均不小于0.5米．已知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為1.5米，那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計）至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請通過計算說明理由（結(jié)果保留一位小數(shù)）．【分析】（1）建立坐標系，描點．用平滑的曲線連接即可；（2）觀察圖象即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求出最高點的高度，設(shè)二次函數(shù)的頂點式，求解原拋物線的解析式；設(shè)出二次函數(shù)圖象平移后的解析式，根據(jù)題意求解即可．【解答】解：（1）以噴泉與湖面的交點為原點，噴泉所在的直線為縱軸建立平面直角坐標系，如圖1所示：（2）根據(jù)題意可知，該拋物線的對稱軸為x＝2，此時最高，即m＝1.5，故答案為：1.5；（3）根據(jù)圖象可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：h＝a（d﹣2）2+1.5，將（0，0.5）代入h＝a（d﹣2）2+1.5，得a=-1∴拋物線的解析式為：h=-14d2+設(shè)調(diào)節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：h=-14d2+d+0.5+由題意可知，當橫坐標為2+3∴-14×（72）2解得n≥1.1，∴水管高度至少向上調(diào)節(jié)1.1米，∴0.5+1.1＝1.6（米），∴公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計）至少調(diào)節(jié)到1.6米才能符合要求．【變式6-1】（2022?安徽模擬）音樂噴泉（圖1）可以使噴水造型隨音樂的節(jié)奏起伏變化而變化．某種音樂噴泉形狀如拋物線，設(shè)其出水口為原點，出水口離岸邊18m，音樂變化時，拋物線的頂點在直線y＝kx上變動，從而產(chǎn)生一組不同的拋物線（圖2），這組拋物線的統(tǒng)一形式為y＝ax2+bx．（1）若已知k＝1，且噴出的拋物線水線最大高度達3m，求此時a、b的值；（2）若k＝1，噴出的水恰好達到岸邊，則此時噴出的拋物線水線最大高度是多少米？（3）若k＝3，a=-2【分析】（1）根據(jù)拋物線的頂點在直線y＝kx上，拋物線為y＝ax2+bx，k＝1，且噴出的拋物線水線最大高度達3m，可以求得a，b的值；（2）根據(jù)k＝1，噴出的水恰好達到岸邊，拋物線的頂點在直線y＝kx上，可以求得拋物線的對稱軸x的值，從而可以得到此時噴出的拋物線水線最大高度；（3）根據(jù)k＝3，a=-27，拋物線的頂點在直線y＝kx上，拋物線為y＝ax2+bx，可以求得b的值，然后令y＝0代入拋物線的解析式，求得【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx的頂點為（-b2a，-b24a），拋物線的頂點在直線y∴-b2a=解得，a=-13，即k＝1，且噴出的拋物線水線最大高度達3m，此時a、b的值分別是-1（2）∵k＝1，噴出的水恰好達到岸邊，出水口離岸邊18m，拋物線的頂點在直線y＝kx上，∴此時拋物線的對稱軸為直線x＝9，y＝x＝9，即此時噴出的拋物線水線最大高度是9米；（3）∵y＝ax2+bx的頂點為（-b2a，-b24a）在直線∴-b解得，b＝6，∴拋物線y=-2當y＝0時，0=-2解得，x1＝21，x2＝0，∵21＞18，∴若k＝3，a=-2即若k＝3，a=-2【變式6-2】（2022?河北模擬）音樂噴泉的某一個噴水口，噴出的一束水流形狀是拋物線，在這束水流所在平面建立平面直角坐標系，以水面與此面的相交線為x軸，以噴水管所在的鉛垂線為y軸，噴出的水流拋物線的解析式為：y＝﹣x2+bx+2．但控制進水速度，可改變噴出的水流達到的最大高度，及落在水面的落點距噴水管的水平距離．（1）噴出的水流拋物線與拋物線y＝ax2的形狀相同，則a＝﹣1；（2）落在水面的落點距噴水管的水平距離為2個單位長時，求水流拋物線的解析式；（3）求出（2）中的拋物線的頂點坐標和對稱軸；（4）對于水流拋物線y＝﹣x2+bx+2．當b＝b1時，落在水面的落點坐標為M（m，0），當b＝b2時，落在水面的落點坐標為N（n，0），點M與點N都在x軸的正半軸，且點M在點N的右邊，試比較b1與b2的大?。痉治觥浚?）兩個拋物線的形狀相同，則二次項系數(shù)的絕對值相等，再根據(jù)已知拋物線的開口方向，即可判斷a的值；（2）落在水面的落點距噴水管的水平距離為2個單位長，即拋物線經(jīng)過點（2，0），代入函數(shù)解析式即可求解；（3）利用配方法即可求解；（4）點M與點N都在x軸的正半軸，且點M在點N的右邊，即m＞n＞0．在拋物線y＝﹣x2+bx+2中令y＝0，得到＝﹣x2+bx+2＝0．把坐標M（m，0）代入得到0＝﹣m2+b1m+2，求得b1，同理可以求得b2，即可進行比較．【解答】解：（1）a＝﹣1（2）落在水面的落點距噴水管的水平距離為2個單位長時，即點（2，0）在拋物線y＝﹣x2+bx+2上得：0＝﹣4+2b+2有b＝1拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2（3）y＝﹣x2+x+2＝﹣（x-12）拋物線的頂點坐標為（12，9（4）∵點M與點N都在x軸的正半軸，且點M在點N的右邊∴m＞n＞0∴m﹣n＞0，mn＞0．∵當b＝b1時，落在水面的落點坐標為M（m，0）∴0＝﹣m2+b1m+2∴b1=同理b2=b1﹣b2=∴b1﹣b2＞0，∴b1＞b2【變式6-3】（2022?新昌縣模擬）某噴泉中間的噴水管OA＝0.5m，噴水點A向各個方向噴射出去的水柱為形狀相同的拋物線，以水平方向為x軸，噴水管所在直線為y軸，噴水管與地面的接觸點O為原點建立直角坐標系，如圖所示．已知噴出的水柱在距原點的水平距離為3m處達到最高，高度為2m．（1）求水柱所在拋物線（第一象限）的函數(shù)表達式．（2）身高為1.7m的小明站在距離噴水管4m的地方，他會被水噴到嗎？（3）現(xiàn)重新改建噴泉，升高噴水管，使落水點與噴水管距離7m，已知噴水管升高后，噴水管噴出的水柱拋物線形狀不變，且水柱仍在距離原點3m處達到最高，則噴水管OA要升高多少？【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)拋物線頂點坐標，將拋物線解析式設(shè)為頂點式，然后利用待定系數(shù)法求解；（2）解法一：利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，求出當x＝4時y的值，由