2024九年級下冊數(shù)學(xué)專題08 銳角三角函數(shù)章末重難點(diǎn)題型（舉一反三）（人教版）含解析

2024九年級下冊數(shù)學(xué)專題08銳角三角函數(shù)章末重難點(diǎn)題型【舉一反三】【人教版】【考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)定義】【方法點(diǎn)撥】銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的銳角三角函數(shù)。正弦（sin）等于對邊比斜邊，余弦（cos）等于鄰邊比斜邊正切（tan）等于對邊比鄰邊；【例1】（2019秋?工業(yè)園區(qū)校級月考）在中，，，則的值為A． B． C． D．【變式1-1】（2019?南海區(qū)模擬）在中，，若斜邊是直角邊的3倍，則的值是 B．3 C． D．【變式1-2】（2019春?江岸區(qū)校級月考）如圖，在中，，于點(diǎn)，下列各組線段的比不能表示的A． B． C． D．【變式1-3】（2018秋?禪城區(qū)期末）如圖，在中，，是斜邊上的高，下列線段的比值等于的值的有個（1）（2）（3）（4）．A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)2網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)值】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解各邊的長度，有時還會運(yùn)用面積法來求解關(guān)鍵邊的長度.【例2】（2018秋?慈溪市期末）如圖，，，是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），則的值為A． B． C． D．【變式2-1】（2019秋?柯橋區(qū)期末）由小正方形組成的網(wǎng)格如圖，，，三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則的正切值為A． B． C． D．【變式2-2】（2019秋?泉州期末）如圖，在網(wǎng)格圖中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)、、都在格點(diǎn)上，則的正切值是A． B． C． D．2【變式2-3】（2019?滕州市校級模擬）如圖，在正方形網(wǎng)格中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的的面積等于，則A． B． C． D．【考點(diǎn)3銳角三角函數(shù)的增減性】【方法點(diǎn)撥】當(dāng)角度在0°～90°間變化時，正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。┯嘞抑惦S著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅┱兄惦S著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。纠?】（2019秋?余姚市期末）已知，關(guān)于角的三角函數(shù)的命題有：①，②，③，④，其中是真命題的個數(shù)是A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式3-1】（2019秋?嵊州市期末）下列不等式不成立的是A． B． C． D．【變式3-2】（2019秋?雁塔區(qū)校級月考）比較，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【變式3-3】（2019?江東區(qū)一模）如圖，是銳角三角形，，則的取值范圍是A． B． C． D．【考點(diǎn)4互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系：sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,【例4】（2019秋?常州期末）如圖，在中，，，垂足為．給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有．【變式4-1】（2019秋?工業(yè)園區(qū)校級月考）在中，，，則．【變式4-2】（2019春?南關(guān)區(qū)校級期末）已知銳角，且，則度．【變式4-3】（2019?荔灣區(qū)校級模擬）在中，，，分別是、的對邊，如果，那么等于．【考點(diǎn)5特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題關(guān)鍵在于熟記特殊角三角函數(shù)值.【例5】（2018秋?北侖區(qū)期末）計(jì)算：．【變式5-1】（2018秋?興化市期末）計(jì)算：（1）；（2）．【變式5-2】（2019春?市中區(qū)校級月考）【變式5-3】（2019秋?煙臺期末）計(jì)算：【考點(diǎn)6解直角三角形】【方法點(diǎn)撥】解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2．兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°．邊角之間的關(guān)系（4）解直角三角形中常見類型：①已知一邊一銳角．②已知兩邊．【例6】（2018春?臨洮縣期中）如圖，在中，于點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，求的值和的長．【變式6-1】（2018秋?撫寧區(qū)期末）如圖，在中，是邊上的高，是邊上的中線，，，．（1）求的長；（2）求的值．【變式6-2】（2019?臨河區(qū)一模）如圖，在等腰中，，，是上一點(diǎn)，若．（1）求的長；（2）求的值．【變式6-3】（2018秋?岳麓區(qū)校級期中）如圖，已知中，，是斜邊上的中線，過點(diǎn)作，分別與、相交于點(diǎn)、，．（1）求的值；（2）如果，求的值．【考點(diǎn)7作垂線解斜三角形】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題關(guān)鍵在于作垂線將斜三角形分割成兩個直角三角形，進(jìn)而通過解直角三角形進(jìn)行求解.【例7】（2019春?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，在中，，，，求的長．【變式7-1】（2019春?香坊區(qū)校級月考）如圖，在中，，，，求的長．【變式7-2】（2018秋?潛山縣期末）已知．在中，，，求的值．【變式7-3】（2019?渠縣一模）如圖，在中，，，，求和．【考點(diǎn)8解直角三角形的應(yīng)用之坡度坡角問題】【方法點(diǎn)撥】坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離l的比叫做坡度，用字母i表示，則，如圖，坡度通常寫成i=h：l的形式.

【例8】（2019春?西湖區(qū)校級月考）如圖，扶梯坡比為，滑梯坡比為．若，，某人從扶梯上去，經(jīng)過頂部，再沿滑梯滑下，共經(jīng)過多少路徑？（結(jié)果精確到，，【變式8-1】（2019?岳麓區(qū)校級二模）今年“五一”假期，某教學(xué)活動小組組織一次登山活動，他們從山腳下點(diǎn)出發(fā)沿斜坡到達(dá)點(diǎn)，再從點(diǎn)沿斜坡到達(dá)山頂點(diǎn)，路線如圖所示，斜坡的長為米，斜坡的長為米，坡度是，已知點(diǎn)海拔121米，點(diǎn)海拔721米（1）求點(diǎn)的海拔；（2）求斜坡的坡度；（3）為了方便上下山，若在到之間架設(shè)一條鋼纜，求鋼纜的長度．【變式8-2】（2019?花都區(qū)一模）如圖，水壩的橫斷面是梯形，背水坡的坡角，坡長，為加強(qiáng)水壩強(qiáng)度，將壩底從處向后水平延伸到處，使新的背水坡的坡度為，求的長度（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：，【變式8-3】（2019?無錫一模）某小區(qū)開展了“行車安全，方便居民”的活動，對地下車庫作了改進(jìn)．如圖，這小區(qū)原地下車庫的入口處有斜坡長為13米，它的坡度為，，為了居民行車安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改為，即（此時點(diǎn)、、在同一直線上）．（1）求這個車庫的高度；（2）求斜坡改進(jìn)后的起點(diǎn)與原起點(diǎn)的距離（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，【考點(diǎn)9解直角三角形的應(yīng)用之仰角俯角問題】【方法點(diǎn)撥】仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

【例9】（2019秋?靖江市校級月考）如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌，小明與同學(xué)們在山坡的坡腳處測得廣告牌底部的仰角為，沿坡面向上走到處測得廣告牌頂部的仰角為，已知山坡的坡度，米，米，求廣告牌的高度．（測角器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，【變式9-1】（2018秋?宣城期末）已知如圖，斜坡的坡度為，斜坡的水平長度為24米在坡頂處的同一水平面上有一座古塔在斜坡底處測得該塔的塔頂?shù)难鼋菫?，在坡頂處測得該塔的塔頂?shù)难鼋菫椋螅海?）坡頂?shù)降孛娴木嚯x；（2）古塔的高度（結(jié)果保留根號）．【變式9-2】（2019?鄧州市二模）如圖（1），在豫西南鄧州市大十字街西南方，聳立著一座古老建筑福勝寺梵塔，建于北宋天圣十年（公元1032年），當(dāng)?shù)孛裰V云：“鄧州有座塔，離天一丈八．”學(xué)完了三角函數(shù)知識后，某?！皵?shù)學(xué)社團(tuán)”的劉明和王華決定用自己學(xué)到的知識測量“福勝寺梵塔”的高度．如圖（2），劉明在點(diǎn)處測得塔頂?shù)难鼋菫?，王華在高臺上的點(diǎn)處測得塔頂?shù)难鼋菫?，若高臺高為5米，點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離為1.3米，且、、三點(diǎn)共線，求該塔的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果保留整數(shù)）【變式9-3】（2019?碑林區(qū)校級三模）我校數(shù)學(xué)社團(tuán)成員想利用所學(xué)的知識測量某廣告牌的寬度（圖中線段的長）．直線垂直于地面，垂足為點(diǎn)，在地面處測得點(diǎn)的仰角為，點(diǎn)的仰角為，在處測得點(diǎn)的仰角為，米．且、、三點(diǎn)在一直線上，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求廣告牌的寬的長．（結(jié)果保留根號）【考點(diǎn)10解直角三角形的應(yīng)用之方向角問題】【方法點(diǎn)撥】方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

【例10】（2019秋?道里區(qū)校級月考）如圖，射線表示一艘輪船的航行路線，從到的走向?yàn)槟掀珫|，在的南偏東方向上有一點(diǎn)，處到處為100海里．（1）求點(diǎn)到航線的距離；（2）在航線上有一點(diǎn)，且，若輪船的速度為50海里時，求輪船從處到處所用時間為多少小時？（結(jié)果保留根號）【變式10-1】（2019春?南崗區(qū)校級月考）如圖，某貨船以24海里時的速度將一批重要物資從處運(yùn)往正東方向的處，在點(diǎn)處測得某島在北偏東的方向上．該貨船航行30分鐘后到達(dá)處，此時再測得該島在北偏東的方向上，（1）求到的距離；（2）如果在島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁．若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險？試說明理由．【變式10-2】（2019?臺安縣二模）某海域有，，三艘船正在捕魚作業(yè)，船突然出現(xiàn)故障，向，兩船發(fā)出緊急求救信號，此時船位于船的北偏西方向，距船36海里的海域，船位于船的北偏東方向，同時又位于船的北偏東方向．（1）求的度數(shù)；（2）船以每小時30海里的速度前去救援，問多長時間能到出事地點(diǎn)（結(jié)果精確到0.01小時．參考數(shù)據(jù)：，．【變式10-3】（2019?越秀區(qū)校級一模）如圖，一般捕魚船在處發(fā)出求救信號，位于處正西方向的處有一艘救援艇決定前去數(shù)援，但兩船之間有大片暗礁，無法直線到達(dá)．救援艇決定馬上調(diào)整方向，先向北偏東方以每小時30海里的速度航行，同時捕魚船向正北低速航行．30分鐘后，捕魚船到達(dá)距離處1.5海里的處，此時救援艇在處測得處在南偏東的方向上．（1）求、兩點(diǎn)的距離；（2）捕魚船繼續(xù)低速向北航行，救援艇決定再次調(diào)整航向，沿方向前去救援，并且捕魚船和救援艇同達(dá)時到處，若兩船航速不變，求的正弦值．（參考數(shù)據(jù)：，，專題08銳角三角函數(shù)章末重難點(diǎn)題型【舉一反三】【人教版】【考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)定義】【方法點(diǎn)撥】銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的銳角三角函數(shù)。正弦（sin）等于對邊比斜邊，余弦（cos）等于鄰邊比斜邊正切（tan）等于對邊比鄰邊；【例1】（2019秋?工業(yè)園區(qū)校級月考）在中，，，則的值為A． B． C． D．【分析】設(shè)BC為x，根據(jù)題意用x表示出AB，根據(jù)勾股定理求出BC，運(yùn)用正弦的定義解答即可．【答案】解：設(shè)BC為x，則AB＝3x，由勾股定理得，AC＝＝＝2x，∴sinB＝＝＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的應(yīng)用，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．【變式1-1】（2019?南海區(qū)模擬）在中，，若斜邊是直角邊的3倍，則的值是 B．3 C． D．【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)正切的概念計(jì)算即可．【答案】解：設(shè)BC＝x，則AB＝3x，由勾股定理得，AC＝＝2x，則tanB＝＝2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理的應(yīng)用，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．【變式1-2】（2019春?江岸區(qū)校級月考）如圖，在中，，于點(diǎn)，下列各組線段的比不能表示的A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BCD＝∠A，再解直角三角形得出即可．【答案】解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A，∴sin∠BCD＝sinA＝＝＝，即只有選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)A、B、D都正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，能熟記銳角三角函數(shù)的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：在Rt△ACB中，∠C＝90°，則sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝．【變式1-3】（2018秋?禪城區(qū)期末）如圖，在中，，是斜邊上的高，下列線段的比值等于的值的有個（1）（2）（3）（4）．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系的定義分析得出答案．【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，∴∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴cosA＝＝＝，故（1），（2），（4）正確．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確把握銳角三角函數(shù)定義是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)2網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)值】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解各邊的長度，有時還會運(yùn)用面積法來求解關(guān)鍵邊的長度.【例2】（2018秋?慈溪市期末）如圖，，，是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），則的值為A． B． C． D．【分析】由勾股定理可求AC，BC的長，由三角形的面積公式可求BD的長，即可求sin∠ACB的值．【答案】解：設(shè)小正方形的邊長為1，過點(diǎn)B作BD⊥AC于D，過點(diǎn)B作BF⊥AE于點(diǎn)F，∵S△ABC＝2×7﹣＝5由勾股定理可知：AC＝＝5，∵AC?BD＝5，∴BD＝，由勾股定理可知：BC＝＝，∴sin∠ACB＝＝＝故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練運(yùn)用面積法求BD的長是本題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2019秋?柯橋區(qū)期末）由小正方形組成的網(wǎng)格如圖，，，三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則的正切值為A． B． C． D．【分析】作CD⊥AB于點(diǎn)D，利用勾股定理計(jì)算出CD和BD，然后再求CD：BD可得答案．【答案】解：如圖，作CD⊥AB于點(diǎn)D，則CD＝，BD＝＝2，故tan∠ABC＝＝＝，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是明確題意，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)解答問題．【變式2-2】（2019秋?泉州期末）如圖，在網(wǎng)格圖中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)、、都在格點(diǎn)上，則的正切值是A． B． C． D．2【分析】如圖，根據(jù)勾股定理可求BD，AD，再根據(jù)正切的定義可求∠BAC的正切值．【答案】解：如圖，在Rt△ADB中，AD＝＝，BD＝＝2，則∠BAC的正切值是＝2．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求得BD，AD．【變式2-3】（2019?滕州市校級模擬）如圖，在正方形網(wǎng)格中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的的面積等于，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理，可得AC、AB、BC的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得CD的長，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案．【答案】解：如圖：作CD⊥AB于D，AE⊥BC于E，由勾股定理，得AB＝AC＝，BC＝．由等腰三角形的性質(zhì)，得BE＝BC＝．由勾股定理，得AE＝＝，由三角形的面積，得AB?CD＝BC?AE．即CD＝＝．sin∠CAB＝＝＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，利用了勾股定理，利用三角形的面積公式得出CD的長是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)3銳角三角函數(shù)的增減性】【方法點(diǎn)撥】當(dāng)角度在0°～90°間變化時，正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）【例3】（2019秋?余姚市期末）已知，關(guān)于角的三角函數(shù)的命題有：①，②，③，④，其中是真命題的個數(shù)是A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)銳角函數(shù)的正弦是增函數(shù)，余弦是減函數(shù)，正切是增函數(shù)，可得答案．【答案】解：由0＜α＜45°，得0＜sinα＜，故①正確；cosα＞sinα，故②錯誤；sin2α＝2sinαcosα＜2sinα，故③錯誤；0＜tanα＜1，故④正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角函數(shù)的增減性，熟記銳角函數(shù)的正弦是增函數(shù)，余弦是減函數(shù)，正切是增函數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（2019秋?嵊州市期末）下列不等式不成立的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)銳角正弦函數(shù)隨角的增大而增大，余弦隨角的增大而減小，正切隨角的增大而增大，可得答案．【答案】解：A、隨角的增大而增大，故A不符合題意；B、余弦隨角的增大而減小，故B符合題意；C、正切隨角的增大而增大，故D不符合題意；D、sin30°＜cos45°＜tan60°，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，銳角正弦函數(shù)隨角的增大而增大，余弦隨角的增大而減小，正切隨角的增大而增大．【變式3-2】（2019秋?雁塔區(qū)校級月考）比較，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的增減性，以及互余的兩個角之間的關(guān)系即可作出判斷．【答案】解：∵cos29°＝sin61°＞sin59°∴cos29°＞sin59°又∵tan46°＞tan45°＞1，cos29°＜1∴sin59°＜cos29°＜tan46°故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的增減性熟記銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2019?江東區(qū)一模）如圖，是銳角三角形，，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】作AH⊥BC于H，如圖，根據(jù)正弦定義得到sinC＝＝，則可設(shè)AH＝4x，AC＝5x，利用勾股定理得到CH＝3x，所以sin∠HAC＝＝，由于∠HAC＜∠BAC＜90°，然后根據(jù)正弦函數(shù)為增函數(shù)即可得到sin∠BAC的范圍．【答案】解：作AH⊥BC于H，如圖，在Rt△ACH中，sinC＝＝，設(shè)AH＝4x，AC＝5x，所以CH＝＝3x，所以sin∠HAC＝＝，∵∠HAC＜∠BAC＜90°，∴＜sin∠BAC＜1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性：銳角三角函數(shù)值都是正值；當(dāng)角度在0°～90°間變化時，正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。挥嘞抑惦S著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；當(dāng)角度在0°≤∠A≤90°間變化時，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．【考點(diǎn)4互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系：sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,【例4】（2019秋?常州期末）如圖，在中，，，垂足為．給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有．【分析】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)∠A＝90°，AD⊥BC，可得∠α＝∠B，∠β＝∠C，再利用銳角三角函數(shù)的定義可列式進(jìn)行逐項(xiàng)判斷．【答案】解：∵∠A＝90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，∴sinα＝sinB，故①正確；sinβ＝sinC，故②正確；∵在Rt△ABC中sinB＝，cosC＝，∴sinB＝cosC，故③正確；∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC，∴sinα＝cos∠β，故④正確；故答案為①②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角的三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握互余兩角的三角函數(shù)間的關(guān)系．【變式4-1】（2019秋?工業(yè)園區(qū)校級月考）在中，，，則．【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系就可以求解．【答案】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sinB＝cosA＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查互為余角的兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，一個角的余弦等于它余角的正弦．【變式4-2】（2019春?南關(guān)區(qū)校級期末）已知銳角，且，則度．【分析】對于任意銳角A，有sinA＝cos（90°﹣A），可得結(jié)論．【答案】解：∵sinα＝cos35°，∴α＝90°﹣35°＝55°，故答案為：55．【點(diǎn)睛】此題考查互余兩角的三角函數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系解答．【變式4-3】（2019?荔灣區(qū)校級模擬）在中，，，分別是、的對邊，如果，那么等于．【分析】根據(jù)正弦的定義得到sinA＝，sinB＝，再由sinA：sinB＝2：3得到：＝2：3，然后利用比例性質(zhì)化簡即可．【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分別是∠A、∠B的對邊，c為∠C對的邊，∴sinA＝，sinB＝，∵sinA：sinB＝2：3，∴：＝2：3，∴a：b＝2：3．故答案為2：3．【點(diǎn)睛】本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系：在直角三角形中，∠A+∠B＝90°時，正余弦之間的關(guān)系為：①一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值，即sinA＝（90°﹣∠A）；②一個角的余弦值等于這個角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）．也考查了銳角三角函數(shù)的定義．【考點(diǎn)5特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題關(guān)鍵在于熟記特殊角三角函數(shù)值.【例5】（2018秋?北侖區(qū)期末）計(jì)算：．【分析】首先代入特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算乘方，后算乘除，最后算加減即可．【答案】解：原式＝+﹣×，＝+﹣，＝．【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是掌握30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．【變式5-1】（2018秋?興化市期末）計(jì)算：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案．【答案】解：（1）原式＝（）2+﹣（）2+（）2＝+﹣+＝+；（2）原式＝＝．【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．【變式5-2】（2019春?市中區(qū)校級月考）【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入原式，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算．【答案】解：原式＝2×+×﹣+1＝+1．【點(diǎn)睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2019秋?煙臺期末）計(jì)算：【分析】依據(jù)30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值，即可得到計(jì)算結(jié)果．【答案】解：原式＝﹣（﹣）＝﹣＝＝【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，其應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用較多．【考點(diǎn)6解直角三角形】【方法點(diǎn)撥】解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2．兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°．邊角之間的關(guān)系（4）解直角三角形中常見類型：①已知一邊一銳角．②已知兩邊．【例6】（2018春?臨洮縣期中）如圖，在中，于點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，求的值和的長．【分析】利用已知表示出BC，CD的長，再利用勾股定理表示出AB的長，進(jìn)而求出sin∠ECB的值和AD的長．【答案】解：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠ACD＝90°．∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，CE＝1，∴BE＝CE＝1，AB＝2CE＝2，∴∠B＝∠ECB．∵＝，∴設(shè)BC＝3x，CD＝2x．在Rt△ACD中，tanD＝2，∴＝2，∴AC＝4x．在Rt△ACB中，由勾股定理得AB＝＝5x，∴sin∠ECB＝sinB＝＝．由AB＝2，得x＝，∴AD＝＝＝2x＝2×＝．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形，正確表示出AB的長以及銳角三角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式6-1】（2018秋?撫寧區(qū)期末）如圖，在中，是邊上的高，是邊上的中線，，，．（1）求的長；（2）求的值．【分析】（1）先由三角形的高的定義得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再解Rt△ADC，得出DC＝1；解Rt△ADB，得出AB＝3，根據(jù)勾股定理求出BD＝2，然后根據(jù)BC＝BD+DC即可求解；（2）先由三角形的中線的定義求出CE的值，則DE＝CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．【答案】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1．在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，∴AB＝＝3，∴BD＝＝2，∴BC＝BD+DC＝2+1；（2）∵AE是BC邊上的中線，∴CE＝BC＝+，∴DE＝CE﹣CD＝+﹣1＝﹣，∴tan∠DAE＝＝＝﹣．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，三角形的高、中線的定義，勾股定理，難度中等，分別解Rt△ADC與Rt△ADB，得出DC＝1，AB＝3是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2019?臨河區(qū)一模）如圖，在等腰中，，，是上一點(diǎn)，若．（1）求的長；（2）求的值．【分析】（1）過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及銳角三角形函數(shù)的定義即可求出答案．（2）由（1）可求出CD＝4，根據(jù)勾股定理可求出BD的長度，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【答案】解：（1）過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，∵等腰三角形ABC，∠C＝90°∴∠A＝45°，∴AH＝DH，設(shè)AH＝x，∴DH＝x，∵tan∠DBA＝，∴BH＝5x，∴AB＝6x，∵AC＝6，∴由勾股定理可知：AB＝6，∴x＝，∴AH＝DH＝，∴由勾股定理可知：AD＝2；（2）由于AD＝2∴DC＝4，∴由勾股定理可知：DB＝2，∴，【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)以及解直角三角形，本題屬于中等題型．【變式6-3】（2018秋?岳麓區(qū)校級期中）如圖，已知中，，是斜邊上的中線，過點(diǎn)作，分別與、相交于點(diǎn)、，．（1）求的值；（2）如果，求的值．【分析】（1）由勾股定理得出AC＝＝CH，由銳角三角函數(shù)定義即可得出答案；（2）根據(jù)sinB的值，可得出AC：AB＝1：，由AB＝2，得AC＝2，設(shè)CE＝x（x＞0），則AE＝x，由勾股定理得出方程，求出CE＝1，從而得出BE．【答案】解：（1）∵AE⊥CD，∴∠AHC＝90°，∵AH＝2CH，∴由勾股定理得：AC＝＝CH，∴sin∠CAH＝＝＝；（2）∵∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，∴AB＝2CD＝2，∴∠B＝∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACH＝90°，∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，∵sinB＝＝sin∠CAH＝＝，∴AC：AB＝1：，∴AC＝2．設(shè)CE＝x（x＞0），則AE＝x，在Rt△ACE中，由勾股定理得：x2+22＝（x）2，解得：x＝1，∴CE＝1，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4，∴BE＝BC﹣CE＝3．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7作垂線解斜三角形】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題關(guān)鍵在于作垂線將斜三角形分割成兩個直角三角形，進(jìn)而通過解直角三角形進(jìn)行求解.【例7】（2019春?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，在中，，，，求的長．【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)∠A＝30°，tanB＝，AC＝6可求出AD與BD的長度．【答案】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．∵在Rt△CDA中，∠A＝30°，∴CD＝AC?sin30°＝3，AD＝AC×cos30°＝9，在Rt△CDB中，∵tanB＝∴＝∴BD＝4，∴AB＝AD+DB＝9+4．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于中等題型．【變式7-1】（2019春?香坊區(qū)校級月考）如圖，在中，，，，求的長．【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后利用勾股定理即可求得BC的長，本題得以解決．【答案】解：作CD⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)D，則∠CDA＝90°，∵∠CAB＝120°，∴∠CAD＝60°，∴∠ACD＝30°，∵AC＝4，∴AD＝2，CD＝2，∵∠CDB＝90°，AB＝2，∴DB＝DA+AB＝4，∴BC＝＝2．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式7-2】（2018秋?潛山縣期末）已知．在中，，，求的值．【分析】過B點(diǎn)作BD⊥AC交AC的延長線于D點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BD＝CD＝BC，根據(jù)正切的定義計(jì)算即可．【答案】解：過B點(diǎn)作BD⊥AC交AC的延長線于D點(diǎn)，則∠BCD＝45，∴BD＝CD＝BC，設(shè)AC＝k，則BD＝CD＝k，AD＝2k，tanA＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、正切的定義是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2019?渠縣一模）如圖，在中，，，，求和．【分析】作CD⊥AB于D，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得BD＝CD＝BC＝5，再利用勾股定理計(jì)算出AD，然后利用正弦定義求sinA，利用AD+BD計(jì)算AB的長．【答案】解：作CD⊥AB于D，如圖，∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝BC＝5，在Rt△ACD中，AD＝＝＝12，∴sinA＝＝＝，AB＝BD+AD＝5+12＝17．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．靈活利用運(yùn)用勾股定理和銳角三角函數(shù)．根據(jù)Rt△BCD是解決此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)8解直角三角形的應(yīng)用之坡度坡角問題】【方法點(diǎn)撥】坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離l的比叫做坡度，用字母i表示，則，如圖，坡度通常寫成i=h：l的形式.

【例8】（2019春?西湖區(qū)校級月考）如圖，扶梯坡比為，滑梯坡比為．若，，某人從扶梯上去，經(jīng)過頂部，再沿滑梯滑下，共經(jīng)過多少路徑？（結(jié)果精確到，，【分析】首先在直角△ABE中根據(jù)AE＝40m和坡比求得AB和BE，然后得出CF的長，最后在直角△CFD中求得CD的長即可，繼而求出經(jīng)過的路徑＝AB+BC+CD的長度即可．【答案】解：∵扶梯AB的坡比為1：2，即BE：AE＝1：2，AE＝40m，∴BE＝20m，∴AB＝＝＝20（m），∵CF＝BE＝20米，CF：DF＝1：，∴FD＝CF＝20（m），∴CD＝＝＝40（m），∴經(jīng)過的路徑＝AB+BC+CD＝20+30+40＝70+20≈114.8（m）．答：共經(jīng)過路徑長114.8m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知坡度的定義，利用坡度的知識求出三角形的邊長．【變式8-1】（2019?岳麓區(qū)校級二模）今年“五一”假期，某教學(xué)活動小組組織一次登山活動，他們從山腳下點(diǎn)出發(fā)沿斜坡到達(dá)點(diǎn)，再從點(diǎn)沿斜坡到達(dá)山頂點(diǎn)，路線如圖所示，斜坡的長為米，斜坡的長為米，坡度是，已知點(diǎn)海拔121米，點(diǎn)海拔721米（1）求點(diǎn)的海拔；（2）求斜坡的坡度；（3）為了方便上下山，若在到之間架設(shè)一條鋼纜，求鋼纜的長度．【分析】（1）根據(jù)題意和圖形，可以求得點(diǎn)B的海波，本題得以解決；（2）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)可以求得AF和BF的長度，從而可以求得斜坡AB的坡度；（3）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)可以求得AD和CD的長度，然后根據(jù)勾股定理即可求得AC的長度．【答案】解：（1）作CD⊥AM于點(diǎn)D，作BE⊥CD于點(diǎn)E，作BF⊥AM于點(diǎn)F，連接AC，∵斜坡BC的長為200米，坡度是1：1，∴BE＝CE＝200米，∵A點(diǎn)海拔121米，C點(diǎn)海拔721米，∴CD＝600米，∴BF＝400米，∵121+400＝521（米），∴點(diǎn)B的海拔是521米；（2）∵斜坡AB的長為200米，BF＝400米，∴AF＝＝600米，∴BF：AF＝400：600＝2：3，即斜坡AB的坡度是2：3；（3）∵CD＝600米，AD＝AF+FD＝AF+BE＝600+200＝800（米），∴AC＝＝1000米，即鋼纜AC的長度是1000米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式8-2】（2019?花都區(qū)一模）如圖，水壩的橫斷面是梯形，背水坡的坡角，坡長，為加強(qiáng)水壩強(qiáng)度，將壩底從處向后水平延伸到處，使新的背水坡的坡度為，求的長度（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：，【分析】作BH⊥AD于H，根據(jù)正弦的定義求出BH，AH，根據(jù)正切的定義求出EH，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【答案】解：作BH⊥AD于H，在Rt△ABH中，sin∠BAH＝，則BH＝AB?sin∠BAH＝20×＝10，AH＝AB＝10，在Rt△EBH中，BE的坡度為1：2，BH＝10，∴EH＝20，∴AE＝EH﹣AH＝20﹣10≈25（米），答：AE的長度約為25米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2019?無錫一模）某小區(qū)開展了“行車安全，方便居民”的活動，對地下車庫作了改進(jìn)．如圖，這小區(qū)原地下車庫的入口處有斜坡長為13米，它的坡度為，，為了居民行車安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改為，即（此時點(diǎn)、、在同一直線上）．（1）求這個車庫的高度；（2）求斜坡改進(jìn)后的起點(diǎn)與原起點(diǎn)的距離（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，【分析】（1）根據(jù)坡度的概念，設(shè)AB＝5x，則BC＝12x，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可；（2）根據(jù)余切的定義列出算式，求出DC．【答案】解：（1）由題意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，在Rt△ABC中，i＝＝，設(shè)AB＝5x，則BC＝12x，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5，答：這個車庫的高度AB為5米；（2）由（1）得：BC＝12，在Rt△ABD中，cot∠ADC＝，∵∠ADC＝13°，AB＝5，∴DB＝5cot13°≈21.655（m），∴DC＝DB﹣BC＝21.655﹣12＝9.655≈9.7（米），答：斜坡改進(jìn)后的起點(diǎn)D與原起點(diǎn)C的距離為9.7米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)9解直角三角形的應(yīng)用之仰角俯角問題】【方法點(diǎn)撥】仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

【例9】（2019秋?靖江市校級月考）如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌，小明與同學(xué)們在山坡的坡腳處測得廣告牌底部的仰角為，沿坡面向上走到處測得廣告牌頂部的仰角為，已知山坡的坡度，米，米，求廣告牌的高度．（測角器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，【分析】過B作DE的垂線，設(shè)垂足為G，BH⊥AE．在△ADE解直角三角形求出DE的長，進(jìn)而可求出EH即BG的長，在Rt△CBG中，∠CBG＝45°，則CG＝BG，由此可求出CG的長然后根據(jù)CD＝CG+GE﹣DE即可求出宣傳牌的高度．【答案】解：過B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，Rt△ABF中，i＝tan∠BAH＝＝，∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝5米；∴AH＝5米，∴BG＝AH+AE＝（5+21）米，Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴CG＝BG＝（5+21）米．Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，∴DE＝AE＝28米．∴CD＝CG+GE﹣DE＝26+5﹣28＝（5﹣2）m．答：宣傳牌CD高為（5﹣2）米．【點(diǎn)睛】此題綜合考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2018秋?宣城期末）已知如圖，斜坡的坡度為，斜坡的水平長度為24米在坡頂處的同一水平面上有一座古塔在斜坡底處測得該塔的塔頂?shù)难鼋菫?，在坡頂處測得該塔的塔頂?shù)难鼋菫椋螅海?）坡頂?shù)降孛娴木嚯x；（2）古塔的高度（結(jié)果保留根號）．【分析】（1）作AD⊥PQ于D，延長BC交PQ于E，根據(jù)坡度的概念求出AD，得到答案；（2）設(shè)BC＝x米，根據(jù)正切的定義用x表示出AC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可．【答案】解：（1）作AD⊥PQ于D，延長BC交PQ于E，則四邊形ADEC為矩形，∴AD＝CE，∵斜坡AP的坡度為1：2.4，斜坡AP的水平長度為24米，∴AD＝10，即坡頂A到地面PQ的距離為10米；（2）設(shè)BC＝x米，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，即＝，解得，AC＝x，在Rt△BPE中，∠BPE＝45°，∴PE＝BE，即24+x＝x+10，解得，x＝21+7，答：古塔BC的高度為（21+7）米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題、坡度坡角問題，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2019?鄧州市二模）如圖（1），在豫西南鄧州市大十字街西南方，聳立著一座古老建筑福勝寺梵塔，建于北宋天圣十年（公元1032年），當(dāng)?shù)孛裰V云：“鄧州有座塔，離天一丈八．”學(xué)完了三角函數(shù)知識后，某?！皵?shù)學(xué)社團(tuán)”的劉明和王華決定用自己學(xué)到的知識測量“福勝寺梵塔”的高度．如圖（2），劉明在點(diǎn)處測得塔頂?shù)难鼋菫椋跞A在高臺上的點(diǎn)處測得塔頂?shù)难鼋菫?，若高臺高為5米，點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離為1.3米，且、、三點(diǎn)共線，求該塔的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果保留整數(shù)）【分析】作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CG＝DE＝5，DG＝EC＝1.3，設(shè)FM＝x米，根據(jù)正切的定義用x表示出DM、BM，結(jié)合圖形列出方程，解方程得到答案．【答案】解：作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，則四邊形DECG為矩形，∴CG＝DE＝5，DG＝EC＝1.3，設(shè)FM＝x米，由題意得，∠BDM＝40°，∠BFM＝∠BCA＝45°，∴∠CFG＝45°，BM＝FM＝x，∴GF＝GC＝5，∴DF＝DG+GF＝5+1.3＝6.3，在Rt△BDM中，tan∠BDM＝，∴DM＝≈，由題意得，DM﹣DF＝FM，即﹣6.3＝x，解得，x≈33.2，則BA＝BM+AM＝38.2≈38（米），答：該塔AB的高度約為38米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2019?碑林區(qū)校級三模）我校數(shù)學(xué)社團(tuán)成員想利用所學(xué)的知識測量某廣告牌的寬度（圖中線段的長）．直線垂直于地面，垂足為點(diǎn)，在地面處測得點(diǎn)的仰角為，點(diǎn)的仰角為，在處測得點(diǎn)的仰角為，米．且、、三點(diǎn)在一直線上，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求廣告牌的寬的長．（結(jié)果保留根號）【分析】在Rt△APN中根據(jù)已知條件得到PA＝PN，設(shè)PA＝PN＝x米，解Rt△APM得到MP＝AP?tan∠MAP＝x，然后在Rt△BPM中，根據(jù)tan∠MBP＝列方程即可得到結(jié)論．【答案】解：∵在Rt△APN中，∠NAP＝45°，∴PA＝PN，在Rt△APM中，tan∠MAP＝，設(shè)PA＝PN＝x米，∵∠MAP＝60°，∴MP＝AP?tan∠MAP＝x，在Rt△BPM中，tan∠MBP＝，∵∠MBP＝30°，AB＝5，∴＝，∴x＝，∴MN＝MP﹣NP＝x﹣x＝，答：廣告牌的寬MN的長為米．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，根據(jù)已知直角三角形得出AP的長是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)10解直角三角形的應(yīng)用之方向角問題】【方法點(diǎn)撥】方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

【例10】（2019秋?道里區(qū)校級月考）如圖，射線表示一艘輪船的航行路線，從到的走向?yàn)槟掀珫|，在的南偏東方向上有一點(diǎn)，處到處為100海里．（1）求點(diǎn)到航線的距離；（2）在航線上有一點(diǎn)，且，若輪船的速度為50海里時，求輪船從處到處所用時間為多少小時？（結(jié)果保留根號）【分析】（1）過A作AH⊥MN于H．由方向角的定義可知∠QMB＝30°，∠QMA＝60°，那么∠NMA＝∠QMA﹣∠QMB＝30°．解直角△AMH中，得出AH＝AM，問題得解；（2）先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠HAM＝60°，由∠MAB＝15°，得出∠HAB＝∠HAM﹣∠MAB＝45°，那么△AHB是等腰直角三角形，求出BH＝AH距離，然后根據(jù)時間＝路程÷速度即可求解．【答案】解：（1）如圖，過A作AH⊥MN于H．∵∠QMB＝30°，∠QMA＝60°，∴∠NMA＝∠QMA﹣∠QMB＝30°．在直角△AMH中，∵∠AHM＝90°，∠AMH＝30°，AM＝100海里，∴AH＝AM＝50海里，答：點(diǎn)A到航線MN的距離為50海里；（2）在直角△AMH中，∵∠AHM＝90°，∠AMH＝30°，∴∠HAM＝60°，∵∠MAB＝15°，∴∠HAB＝∠HAM﹣∠MAB＝45°，∵∠AHB＝90°，∴BH＝AH＝50海里，∵M(jìn)H＝AH＝50海里，∴MB＝（50﹣50）海里，∴輪船從M處到B處所用時間為：＝（﹣1）小時，答：輪船從M處到B處所用時間約為（﹣1）小時．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2019春?南崗區(qū)校級月考）如圖，某貨船以24海里時的速度將一批重要物資從處運(yùn)往正東方向的處，在點(diǎn)處測得某島在北偏東的方向上．該貨船航行30分鐘后到達(dá)處，此時再測得該島在北偏東的方向上，（1）求到的距離；（2）如果在島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁．若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險？試說明理由．【分析】（1）證出∠BAC＝∠ACB，得出BC＝AB＝24×＝12即可；（2）過點(diǎn)C作CD⊥AD于點(diǎn)D，分別在Rt△CBD、Rt△CAD中用式子表示CD、AD，再根據(jù)已知求得BD、CD的長，從而再將CD于9比較，若大于9則無危險，否則有危險．【答案】解：（1）由題意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠MBC＝90°﹣30°＝60°，∵∠MBC＝∠BAC+∠ACB，∴∠ACB＝∠MBC﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠ACB，∴BC＝AB＝24×＝12（海里）；（2）該貨船無觸礁危險，理由如下：過點(diǎn)C作CD⊥AD于點(diǎn)D，如圖所示：∵∠EAC＝60°，∠FBC＝30°，∴∠CAB＝30°，∠CBD＝60°．∴在Rt△CBD中，CD＝BD．在Rt△CAD中，AD＝CD＝3BD＝AB+BD＝12+BD，∴BD＝6．∴CD＝6．∵6＞9，∴貨船繼續(xù)向正東方向行駛無觸礁危險．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【變式10-2】（2019?臺安縣二模）某海域有，，三艘船正在捕魚作業(yè)，船突然出現(xiàn)故障，向，兩船發(fā)出緊急求救信號，此時船位于船的北偏西方向，距船36海里的海域，船位于船的北偏東方向，同時又位于船的北偏東方向．（1）求的度數(shù)；（2）船以每小時30海里的速度前去救援，問多長時間能到出事地點(diǎn)（結(jié)果精確到0.01小時．參考數(shù)據(jù)：，．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得到∠ECB的度數(shù)，則∠ACB即可求得；（2）作BH⊥AC于點(diǎn)H，解直角△BCH，求出BH，解直角△ABH，求出AB，進(jìn)而求得時間．【答案】解：（1）∵BD∥CE，∴∠DBC+∠ECB＝180°，∴∠ECB＝180°﹣81°＝99°，∴∠ACB＝99°﹣69°＝30°；（2）如圖，作BH⊥AC，垂足為H．在△ABC中，∠CAB＝180°﹣81°﹣24°﹣30°＝45°．∵∠ACB＝30°，∴在Rt△BCH中，BH＝BC＝18，∵在Rt△ABH中，sin∠CAB＝，∴AB＝＝＝18．則B船到A船出事地點(diǎn)的時間是：≈≈0.85（小時）．答：B船約0.85小時能到達(dá)A船出事地點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣﹣方向角問題，結(jié)合航海中的實(shí)際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．【變式10-3】（2019?越秀區(qū)校級一模）如圖，一般捕魚船在處發(fā)出求救信號，位于處正西方向的處有一艘救援艇決定前去數(shù)援，但兩船之間有大片暗礁，無法直線到達(dá)．救援艇決定馬上調(diào)整方向，先向北偏東方以每小時30海里的速度航行，同時捕魚船向正北低速航行．30分鐘后，捕魚船到達(dá)距離處1.5海里的處，此時救援艇在處測得處在南偏東的方向上．（1）求、兩點(diǎn)的距離；（2）捕魚船繼續(xù)低速向北航行，救援艇決定再次調(diào)整航向，沿方向前去救援，并且捕魚船和救援艇同達(dá)時到處，若兩船航速不變，求的正弦值．（參考數(shù)據(jù)：，，【分析】（1）過點(diǎn)C、D分別作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分別為G，F(xiàn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出CG，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得出CD的長；（2）如圖，設(shè)漁政船調(diào)整方向后t小時能與捕漁船相會合，由題意知CE＝30t，DE＝1.5×2×t＝3t，∠EDC＝53°，過點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，根據(jù)三角函數(shù)表示出EH，在Rt△EHC中，根據(jù)正弦的定義求值即可．【答案】解：（1）過點(diǎn)C、D分別作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分別為G，F(xiàn)，∵在Rt△CGB中，∠CBG＝90°﹣60°＝30°，∴CG＝BC＝×（30×）＝7.5海里，∵∠DAG＝90°，∴四邊形ADFG是矩形，∴GF＝AD＝1.5海里，∴CF＝CG﹣GF＝7.5﹣1.5＝6海里，在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∵∠DCF＝53°，∴COS∠DCF＝，∴CD＝＝＝10（海里）．答：CD兩點(diǎn)的距離是10海里；（2）如圖，設(shè)漁政船調(diào)整方向后t小時能與捕漁船相會合，由題意知CE＝30t，DE＝1.5×2×t＝3t，∠EDC＝53°，過點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，則∠EHD＝∠CHE＝90°，∴sin∠EDH＝，∴EH＝EDsin53°＝3t×0.8＝2.4t，∴在Rt△EHC中，sin∠ECD＝＝＝0.08．答：sin∠ECD的正弦值是0.08．【點(diǎn)睛】考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，此題是一道方向角問題，結(jié)合航海中的實(shí)際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．專題09投影與視圖章末重難點(diǎn)題型【舉一反三】【人教版】【考點(diǎn)1平行投影】【方法點(diǎn)撥】太陽光線可看成平行光線，平行光線所形成的投影稱為平行投影.相應(yīng)地，我們會得到兩個結(jié)論：①等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長.

②等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.【例1】（2019?石家莊一模）一個長方形的正投影不可能是（）A．正方形 B．矩形 C．線段 D．點(diǎn)【變式1-1】（2018秋?永登縣期末）下面是一天中四個不同時刻兩座建筑物的影子，將它們按時間先后順序正確的是（）A．③①④② B．③②①④ C．③④①② D．②④①③【變式1-2】（2019?馬山縣模擬）小亮同學(xué)在教學(xué)活動課中，用一塊長方形硬紙板在陽光下做投影實(shí)驗(yàn)，通過觀察，發(fā)現(xiàn)這塊長方形硬紙板在平整的地面上不可能出現(xiàn)的投影是（）A．線段 B．三角形 C．平行四邊形 D．正方形【變式1-3】（2019秋?太原期末）把一個正六棱柱如圖水平放置，一束水平方向的平行光線照射此正六棱柱時的正投影是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)2中心投影】【方法點(diǎn)撥】手電筒、路燈和臺燈的光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的，這樣的光線照射在物體上所形成的投影，稱為中心投影.相應(yīng)地，我們會得到兩個結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.

【例2】（2018秋?市北區(qū)期末）如圖，小明夜晚從路燈下A處走到B處這一過程中，他在路上的影子（）A．逐漸變長 B．逐漸變短 C．長度不變 D．先變短后變長【變式2-1】（2018?寧晉縣模擬）如圖，夜晚路燈下有一排同樣高的旗桿，離路燈越近，旗桿的影子（）A．越長 B．越短 C．一樣長 D．隨時間變化而變化【變式2-2】（2019秋?寶豐縣期末）小陽和小明兩人從遠(yuǎn)處沿直線走到路燈下，他們規(guī)定：小陽在前，小明在后，兩人之間的距離始終與小陽的影長相等．在這種情況下，他們兩人之間的距離（）A．始終不變 B．越來越遠(yuǎn) C．時近時遠(yuǎn) D．越來越近【變式2-3】（2019?玄武區(qū)一模）我們常用“y隨x的增大而增大（或減?。眮肀硎緝蓚€變量之間的變化關(guān)系．有這樣一個情境：如圖，小王從點(diǎn)A經(jīng)過路燈C的正下方沿直線走到點(diǎn)B，他與路燈C的距離y隨他與點(diǎn)A之間的距離x的變化而變化．下列函數(shù)中y與x之間的變化關(guān)系，最有可能與上述情境類似的是（）A．y＝x B．y＝x+3 C．y＝ D．y＝（x﹣3）2+3【考點(diǎn)3簡單幾何體的三視圖】【方法點(diǎn)撥】在實(shí)際生活和工程中，人們常常從正面、左面和上面三個不同方向觀察一個物體，分別得到這個物體的三個視圖.通常我們把從正面得到的視圖叫做主視圖，從左面得到的視圖叫做左視圖，從上面得到的視圖叫做俯視圖.【例3】（2019?阜陽模擬）在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形、一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”（如圖）．“陽馬”的俯視圖是（）A． B． C． D．【變式3-1】（2018秋?焦作期末）如圖所示的四棱柱的主視圖為（）A． B． C． D．【變式3-2】（2018?長豐縣三模）如圖是一個空心圓柱體，它的主視圖是（）A． B． C． D．【變式3-3】（2019?朝陽區(qū)校級三模）在下面的四個幾何體中，它們各自的主視圖、左視圖與俯視圖都一樣的是（）A．圓柱 B．圓錐 C．三菱柱 D．正方體【考點(diǎn)4簡單組合體的三視圖】【例4】（2019春?渝中區(qū)校級期末）如圖，這個幾何體的左視圖正確的是（）A． B． C． D．【變式4-1】（2019?涪城區(qū)校級自主招生）一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是（）A． B． C． D．【變式4-2】（2019?中原區(qū)校級三模）如圖所示，該物體的主視圖為（）A． B． C． D．【變式4-3】（2019?杏花嶺區(qū)校級三模）如圖所示幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)5由三視圖判斷幾何體】【方法點(diǎn)撥】由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定的難度，可以從如下途徑進(jìn)行分析：(1)根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀以及幾何體的長、寬、高；(2)根據(jù)實(shí)線和虛線想象幾何體看得見和看不見的輪廓線；(3)熟記一些簡單的幾何體的三視圖會對復(fù)雜幾何體的想象有幫助；(4)利用由三視圖畫幾何體與由幾何體畫三視圖為互逆過程，反復(fù)練習(xí)，不斷總結(jié)方法.

【例5】（2019?恩施州）桌上擺放著一個由相同正方體組成的組合體，其俯視圖如圖所示，圖中數(shù)字為該位置小正方體的個數(shù)，則這個組合體的左視圖為（）A． B． C． D．【變式5-1】（2019?阜新）如圖所示的主視圖和俯視圖對應(yīng)的幾何體（陰影所示為右）是（）A． B． C． D．【變式5-2】（2019?金水區(qū)校級模擬）一個由16個完全相同的小立方塊搭成的幾何體，它的主視圖和左視圖如圖所示，其最下層放了9個小立方塊，那么這個幾何體的搭法共有（）種．A．8種 B．9種 C．10種 D．11種【變式5-3】（2019?齊齊哈爾）如圖是由幾個相同大小的小正方體搭建而成的幾何體的主視圖和俯視圖，則搭建這個幾何體所需要的小正方體的個數(shù)至少為（）A．5 B．6 C．7 D．8【考點(diǎn)6中心投影與相似】【例6】（2018秋?潛山縣期末）如圖，小欣站在燈光下，投在地面上的身影AB＝2.4m，蹲下來，則身影AC＝1.05m，已知小欣的身高AD＝1.6m，蹲下時的高度等于站立高度的一半，求燈離地面的高度PH．【變式6-1】（2018秋?通川區(qū)期末）如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影子如圖中線段AC所示，小亮的身高如圖中線段FG所示，路燈燈泡在線段DE上．（1）請你確定燈泡所在的位置，并畫出小亮在燈光下形成的影子．（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子長AC＝1.4m，且他到路燈的距離AD＝2.1m，求燈泡的高．【變式6-2】（2018秋?儀征市校級月考）如圖，路燈（P點(diǎn)）距地面9米，身高1.5米的小云從距路燈的底部（O點(diǎn)）20米的A點(diǎn)，沿OA所在的直線行走14米到B點(diǎn)時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？【變式6-3】（2018?確山縣一模）如圖，小明家窗外有一堵圍墻AB，由于圍墻的遮擋，清晨太陽光恰好從窗戶的最高點(diǎn)C射進(jìn)房間的地板F處，中午太陽光恰好能從窗戶的最低點(diǎn)D射進(jìn)房間的地板E處，小明測得窗子距地面的高度OD＝0.8m，窗高CD＝1.2m，并測得OE＝0.8m，OF＝3m，求圍墻AB的高度．【考點(diǎn)7作圖—三視圖】【方法點(diǎn)撥】畫一個幾何體的三視圖時，要從三個方面觀察幾何體，具體畫法如下：

(1)確定主視圖的位置，畫出主視圖；

(2)在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”；

(3)在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.

幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線要畫成虛線.

【例7】（2019秋?和平區(qū)校級月考）如圖所示，是由幾個小立方塊所搭幾何體的俯視圖，小立方塊中的數(shù)字表示在該位置小立方塊的個數(shù)．（1）請?jiān)诰W(wǎng)格內(nèi)畫出從正面和從左面看到的這個幾何體的形狀圖；（2）如圖1，是小明用9個棱長為lcm的小立方塊積木搭成的幾何體的俯視圖，小立方塊中的數(shù)字表示在該位置小立方塊的個數(shù)他請小亮用盡可能少的同樣大小的立方塊在旁邊再搭建一個幾何體使小亮所搭建的幾何體恰好可以和小明所搭建的幾何體拼成一個大的正方體（即拼大正方體時將其中一個幾何體翻轉(zhuǎn)，且假定組成每個幾何體的立方塊粘合在一起），則：①小亮至少還需要個小正方體；②上面①中小亮所搭幾何體的表面積為cm2．【變式7-1】（2019春?道里區(qū)期末）由一些大小相同，棱長為1的小正方體搭成的幾何體放在地面上，從上面看得到的平面圖形如圖所示，數(shù)字表示該位置的正方體個數(shù)．（1）網(wǎng)格是由邊長為1的小正方形組成，請分別畫出從正面看和從左面看得到的平面圖形；（2）給這個幾何體噴上顏色（只給露在外面的面噴色），需要噴色的面積為．【變式7-2】（2018秋?高郵市期末）一個由一些相同的正方體搭成的幾何體，如圖1是它的俯視圖和左視圖．（1）這個幾何體可以是圖A、B、C中的；（2）這個幾何體最多有塊相同的正方體搭成，并在網(wǎng)格中畫出正方體最多時的主視圖（如圖2）．【變式7-3】（2018秋?句容市期末）畫圖，探究：（1）一個正方體組合圖形的主視圖、左視圖（如圖1）所示．①這個幾何體可能是（圖2）甲、乙中的；②這個幾何體最多可由個小正方體構(gòu)成，請?jiān)趫D3中畫出符合最多情況的一個俯視圖．（2）如圖，已知一平面內(nèi)的四個點(diǎn)A、B、C、D，根據(jù)要求用直尺畫圖．①畫線段AB，射線AD；②找一點(diǎn)M，使M點(diǎn)即在射線AD上，又在直線BC上；③找一點(diǎn)N，使N到A、B、C、D四個點(diǎn)的距離和最短．【考點(diǎn)8視點(diǎn)、視角和盲區(qū)】【例8】（2018秋?諸暨市期末）在同車道行駛的機(jī)動車，后車應(yīng)當(dāng)與前車保持足以采取緊急制動措施的安全距離，如圖，在一個路口，一輛長為10m的大巴車遇紅燈后停在距交通信號燈20m的停止線處，小張駕駛一輛小轎車跟隨大巴車行駛．設(shè)小張距大巴車尾xm，若大巴車車頂高于小張的水平視線0.8m，紅燈下沿高于小張的水平視線3.2m，若小張能看到整個紅燈，求出x的最小值．【變式8-1】（2019?廣陵區(qū)校級二模）綜合實(shí)踐活動課，某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)校操場上想測量汽車的速度，利用如下方法：如圖，小王站在點(diǎn)處A（點(diǎn)A處）和公路（l）之間豎立著一塊30m長且平行于公路的巨型廣告牌（DE）．廣告牌擋住了小王的視線，請?jiān)趫D中畫出視點(diǎn)A的盲區(qū)，并將盲區(qū)內(nèi)的那段公路記為BC．已知一輛勻速行駛的汽車經(jīng)過公路BC段的時間是3s，已知小王到廣告牌和公路的距離是分別是40m和80m，求該汽車的速度？【變式8-2】如圖所示：筆直的公路邊有甲、乙兩棟樓房，高度分別為12m和25m，兩樓之間的距離為10m，現(xiàn)有一人沿著公路向這兩棟樓房前進(jìn)，當(dāng)他走到與甲樓的水平距離為30m且筆直站立時（這種姿勢下眼睛到地面的距離為1.6m），他所看到的乙樓上面的部分有多高？【變式8-3】如圖，公園入口處前有一間售票處，其屋面DEGH是矩形．售票處后墻DE與兩側(cè)通道垂直．小亮的爸爸已購公園門票，在點(diǎn)P處等候小亮，小亮沿售票處北側(cè)的通道中央行進(jìn)，去找爸爸．（1）請?jiān)趫D上畫出小亮開始看見爸爸時的實(shí)線，以及此時小亮所在位置（用點(diǎn)C表示，未畫出）；（2）圖中已知MN＝20m，MD＝8m，PN＝24m，求（1）中的點(diǎn)C到點(diǎn)P的距離．專題09投影與視圖章末重難點(diǎn)題型【舉一反三】【人教版】【考點(diǎn)1平行投影】【方法點(diǎn)撥】太陽光線可看成平行光線，平行光線所形成的投影稱為平行投影.相應(yīng)地，我們會得到兩個結(jié)論：①等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長.

②等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.【例1】（2019?石家莊一模）一個長方形的正投影不可能是（）A．正方形 B．矩形 C．線段 D．點(diǎn)【分析】根據(jù)平行投影的特點(diǎn)：在同一時刻，平行物體的投影仍舊平行，即可得出答案．【答案】解：在同一時刻，平行物體的投影仍舊平行．得到的應(yīng)是平行四邊形或特殊的平行四邊形．故長方形的正投影不可能是點(diǎn)，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行投影的性質(zhì)，利用太陽光線是平行的，那么對邊平行的圖形得到的投影依舊平行是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2018秋?永登縣期末）下面是一天中四個不同時刻兩座建筑物的影子，將它們按時間先后順序正確的是（）A．③①④② B．③②①④ C．③④①② D．②④①③【分析】太陽光可以看做平行光線，從而可求出答案．【答案】解：太陽從東邊升起，西邊落下，所以先后順序?yàn)椋孩邰堍佗诠蔬x：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行投影，解題的關(guān)鍵是熟練知道太陽光是平行光線，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式1-2】（2019?馬山縣模擬）小亮同學(xué)在教學(xué)活動課中，用一塊長方形硬紙板在陽光下做投影實(shí)驗(yàn)，通過觀察，發(fā)現(xiàn)這塊長方形硬紙板在平整的地面上不可能出現(xiàn)的投影是（）A．線段 B．三角形 C．平行四邊形 D．正方形【分析】根據(jù)平行投影的性質(zhì)進(jìn)行分析即可得出答案．【答案】解：將長方形硬紙的板面與投影線平行時，形成的影子為線段；將長方形硬紙板與地面平行放置時，形成的影子為矩形；將長方形硬紙板傾斜放置形成的影子為平行四邊形；由物體同一時刻物高與影長成比例，且長方形對邊相等，故得到的投影不可能是三角形．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了投影與視圖的有關(guān)知識，是一道與實(shí)際生活密切相關(guān)的熱點(diǎn)試題，靈活運(yùn)用平行投影的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2019秋?太原期末）把一個正六棱柱如圖水平放置，一束水平方向的平行光線照射此正六棱柱時的正投影是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行投影特點(diǎn)以及圖中正六棱柱的擺放位置即可求解．【答案】解：把一個正六棱柱如圖擺放，束水平方向的平行光線照射此正六棱柱時的正投影是矩形．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影特點(diǎn)，不同位置，不同時間，影子的大小、形狀可能不同，具體形狀應(yīng)按照物體的外形即光線情況而定．【考點(diǎn)2中心投影】【方法點(diǎn)撥】手電筒、路燈和臺燈的光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的，這樣的光線照射在物體上所形成的投影，稱為中心投影.相應(yīng)地，我們會得到兩個結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.

【例2】（2018秋?市北區(qū)期末）如圖，小明夜晚從路燈下A處走到B處這一過程中，他在路上的影子（）A．逐漸變長 B．逐漸變短 C．長度不變 D．先變短后變長【分析】因?yàn)槿撕吐窡糸g的位置發(fā)生了變化，光線與地面的夾角發(fā)生變化，所以影子的長度也會發(fā)生變化，進(jìn)而得出答案．【答案】解：當(dāng)他遠(yuǎn)離路燈走向B處時，光線與地面的夾角越來越小，小明在地面上留下的影子越來越長，所以他在走過一盞路燈的過程中，其影子的長度逐漸變長，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了中心投影的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是了解人從路燈下走過的過程中，人與燈間位置變化，光線與地面的夾角發(fā)生變化，從而導(dǎo)致影子的長度發(fā)生變化．【變式2-1】（2018?寧晉縣模擬）如圖，夜晚路燈下有一排同樣高的旗桿，離路燈越近，旗桿的影子（）A．越長 B．越短 C．一樣長 D．隨時間變化而變化【分析】連接路燈和旗桿的頂端并延長交平面于一點(diǎn)，這點(diǎn)到旗桿的底端的距離是就是旗桿的影長，畫出相應(yīng)圖形，比較即可．【答案】解：由圖易得AB＜CD，那么離路燈越近，它的影子越短，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了中心投影，用到的知識點(diǎn)為：影長是點(diǎn)光源與物高的連線形成的在地面的陰影部分的長度．【變式2-2】（2019秋?寶豐縣期末）小陽和小明兩人從遠(yuǎn)處沿直線走到路燈下，他們規(guī)定：小陽在前，小明在后，兩人之間的距離始終與小陽的影長相等．在這種情況下，他們兩人之間的距離（）A．始終不變 B．越來越遠(yuǎn) C．時近時遠(yuǎn) D．越來越近【分析】由題意易得，小陽和小明離光源是由遠(yuǎn)到近的過程，根據(jù)中心投影的特點(diǎn)，即可得到身影越來越短，而兩人之間的距離始終與小陽的影長相等，則他們兩人之間的距離越來越近．【答案】解：因?yàn)樾￡柡托∶鲀扇藦倪h(yuǎn)處沿直線走到路燈下這一過程中離光源是由遠(yuǎn)到近的過程，所以他在地上的影子會變短，所以他們兩人之間的距離越來越近．故選D．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了中心投影的特點(diǎn)和規(guī)律．中心投影的特點(diǎn)是：①等高的物體垂直地面放置時，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長．②等長的物體平行于地面放置時，在燈光下，離點(diǎn)光源越近，影子越長；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會比物體本身的長度還短．【變式2-3】（2019?玄武區(qū)一模）我們常用“y隨x的增大而增大（或減小）”來表示兩個變量之間的變化關(guān)系．有這樣一個情境：如圖，小王從點(diǎn)A經(jīng)過路燈C的正下方沿直線走到點(diǎn)B，他與路燈C的距離y隨他與點(diǎn)A之間的距離x的變化而變化．下列函數(shù)中y與x之間的變化關(guān)系，最有可能與上述情境類似的是（）A．y＝x B．y＝x+3 C．y＝ D．y＝（x﹣3）2+3【分析】根據(jù)從A到路燈的正下方前他與路燈的距離逐漸減少，經(jīng)過路燈后他與路燈的距離逐漸增加，可得答案．【答案】解：由題意，得從A到路燈的正下方前他與路燈的距離逐漸減少，經(jīng)過路燈后他與路燈的距離逐漸增加．A、y隨x的增加而增加，與題意不符，故A錯誤；B、y隨x的增加而增加，與題意不符，故B錯誤；C、y隨x的增加而減少，與題意不符，故C錯誤；D、當(dāng)x＜3時，y隨x的增加而減少；當(dāng)x＞3時，y隨x的增加而增加，故D正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影，利用了函數(shù)的性質(zhì)，熟記一次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)3簡單幾何體的三視圖】【方法點(diǎn)撥】在實(shí)際生活和工程中，人們常常從正面、左面和上面三個不同方向觀察一個物體，分別得到這個物體的三個視圖.通常我們把從正面得到的視圖叫做主視圖，從左面得到的視圖叫做左視圖，從上面得到的視圖叫做俯視圖.【例3】（2019?阜陽模擬）在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形、一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”（如圖）．“陽馬”的俯視圖是（）A． B． C． D．【分析】找到從上面看所得到的圖形即可．【答案】解：“陽馬”的俯視圖是一個矩形，還有一條看得見的棱，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生的思考能力和對幾何體三種視圖的空間想象能力與及考查視圖的畫法，看得到的棱畫實(shí)線，看不到的棱畫虛線．【變式3-1】（2018秋?焦作期末）如圖所示的四棱柱的主視圖為（）A． B． C． D．【分析】依據(jù)從該幾何體的正面看到的圖形，即可得到主視圖．【答案】解：由圖可得，幾何體的主視圖是：故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖，解題時注意：視圖中每一個閉合的線框都表示物體上的一個平面，而相連的兩個閉合線框常不在一個平面上．【變式3-2】（2018?長豐縣三模）如圖是一個空心圓柱體，它的主視圖是（）A． B． C． D．【分析】找到從前面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．【答案】解：從前面觀察物體可以發(fā)現(xiàn)：它的主視圖應(yīng)為矩形，又因?yàn)樵搸缀误w為空心圓柱體，故中間的兩條棱在主視圖中應(yīng)為虛線