高等數(shù)學(xué) 課件 3.2 函數(shù)的單調(diào)性 3.5 函數(shù)的性態(tài)與作圖

第三章微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.2函數(shù)的單調(diào)性3.5函數(shù)的性態(tài)與作圖（1）目錄二、函數(shù)的極值三、函數(shù)的最值一、函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)的單調(diào)性定理1

設(shè)函數(shù)

f(x)

在閉區(qū)間

[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間

(a,b)

內(nèi)可導(dǎo).

則函數(shù)

y=f(x)在[a,b]上單調(diào)增加(或減少)的充要條件是.一、函數(shù)的單調(diào)性證明充分性在[a,b]上任取兩點(diǎn)x1,x2，不妨設(shè)x1<x2，則由拉格朗日中值定理知

因此f(x)在[a,b]上單調(diào)增加.

因此f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.

一、函數(shù)的單調(diào)性

因?yàn)閒(x)在開區(qū)間

(a,b)

內(nèi)可導(dǎo)

一、函數(shù)的單調(diào)性定理2

設(shè)函數(shù)

f(x)

在閉區(qū)間

[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間

(a,b)

內(nèi)可導(dǎo).(2)若在(a,b)內(nèi)f

(x)<0，則函數(shù)y=f(x)在[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)減少.(1)若在(a,b)內(nèi)f

(x)>0，則函數(shù)

y=f(x)在[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)增加.

一、函數(shù)的單調(diào)性

一、函數(shù)的單調(diào)性解

(1)該函數(shù)的定義區(qū)間為(,)(2)

f

(x)=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1)，令f

(x)=0，得

x1=-1，x2=2

(3)列表討論如下：

x(,-1)(-1,2)

(2,)

f

(x)

-

f(x)

所以(-∞,-1)和(2,+∞)是f(x)

的遞增區(qū)間,(-1,2)是f(x)

的遞減區(qū)間.一、函數(shù)的單調(diào)性例1解單調(diào)區(qū)間為一、函數(shù)的單調(diào)性

作答主觀題10分二、函數(shù)的極值定理

3充分條件I---單調(diào)法則

設(shè)函數(shù)

f(x)在點(diǎn)x0的左右近旁可導(dǎo)，若當(dāng)x

在x0的左右，f

(x)改變符號，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0取得極值，且,)(xf,，則(1)如果),,(00xxxd-?有;0)('>xf而),(00d+?xxx有0)('<xf，則)(xf在x0處取得極大值

(2)如果),,(00xxxd-?有;0)('<xf而),(00d+?xxx有0)('>xf在0x處取得極小值(3)如果當(dāng)),(00xxxd-?及),(00d+?xxx時(shí))('xf符號相同則)(xf在0x處無極值二、函數(shù)的極值

例4求函數(shù)的極值.解令得

二、函數(shù)的極值二、函數(shù)的極值例3求函數(shù)

f(x)=(x-1)3

的極值.解

（3）列表討論如下：二、函數(shù)的極值x(-,0)f

(x)0+不存在-0+f(x)極大值03二、函數(shù)的極值定理

4充分條件II---二階導(dǎo)符號法則

(1)若f

(x0)<0,則f(x0)

為函數(shù)f(x)的極大值，

x0為極大值點(diǎn)；

(2)若f

(x0)>0，則f(x0)

為函數(shù)f(x)的極小值，

x0為極小值點(diǎn).若f

(x0)=0，且f

(x0)

0，

則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0取得極值，且設(shè)函數(shù)

f(x)在點(diǎn)x0的二階導(dǎo)數(shù)存在，若二、函數(shù)的極值例6求函數(shù)

f(x)=x4

–10x2+5

的極值.解(1)f(x)的定義域?yàn)?-

,

+

).(2)f

(x)=4x3

–20x=

4x(x2-5)，令f

(x)=0,得駐點(diǎn)(3)因?yàn)?/p>

f

(x)=12x2

–20，于是有所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0

取得極大值f(0)=5,

作答主觀題10分三、函數(shù)的最值

在實(shí)際問題中常會遇到求函數(shù)的最大值與最小值問題．下面我們在函數(shù)極值的基礎(chǔ)上討論如何求函數(shù)的最大值與最小值．

三、函數(shù)的最值

分析：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么它在[a,b]上一定有最大值和最小值．顯然，在所設(shè)條件下，f(x)在閉區(qū)間[a,b]的最值只可能在極值點(diǎn)和區(qū)間的端點(diǎn)處達(dá)到．

又因?yàn)闃O值點(diǎn)只能在極值嫌疑點(diǎn)中去找，所以只要求出全部極值嫌疑點(diǎn)和兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值，然后加以比較，最大的就是最大值，最小的就是最小值．

1.函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值三、函數(shù)的最值

三、函數(shù)的最值例7求函數(shù)

f(x)=2x3–9x2+12x+10在[0,3]上的最大值和最小值.解

f

(x)=6x2–18x

+12=6(x–2)(x–1),

令

f

(x)=0，得駐點(diǎn)x1=2,x2=1.計(jì)算f(x)在所有駐點(diǎn)及端點(diǎn)處的函數(shù)值：f(1)=15,f(2)=14,f(0)=10,f(3)=19,比較這些值的大小，可知，

在[0,3]上，函數(shù)f(x)的最大值為f(3)=19,最小值為f(0)=10.三、函數(shù)的最值實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;三、函數(shù)的最值例8某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，公寓會全部租出去．當(dāng)租金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)．試問房租定為多少可獲得最大收入？解設(shè)房租為每