高等數(shù)學 課件 5.1 定積分的概念及性質

第五章定積分及其應用

第一節(jié)定積分的概念及性質

目錄一、定積分問題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質一、定積分問題舉例

由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)

0),直線x

=

a,x

=

b(a

<

b)及x軸所圍成的平面圖形的面積實例：求曲邊梯形的面積yo基本想法：用矩形面積近似取代曲邊梯形面積一、定積分問題舉例顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積。abxyo（四個小矩形）abxyo（九個小矩形）一、定積分問題舉例if()iyy=f(x)aAbBOxx1xi-1xn+1xi一、定積分問題舉例曲邊梯形面積為一、定積分問題舉例（1）分割（3）求和（4）取極限（2）近似二、定分的定義任一種分法任取收斂于極限I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,記作即此時稱f(x)在[a,b]上可積.1.定義二、定分的定義x為積分變量b為積分上限a為積分下限f(x)為被積函數(shù)[a,b]稱為積分區(qū)間積分和被積表達式說明2：定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關,而與積分變量用什么字

母表示無關,即：二、定分的定義如果不論對[a,b]怎樣的分法，也不論在小區(qū)間點

i怎樣的取法，就稱f在[a,b]上可積，總有S趨于確定的極限I，說明1：只要

，2.定積分的幾何意義：曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負值各部分面積的代數(shù)和二、定分的定義y123y=x-3Ox二、定分的定義

定理1.定理2.且只有有限個間斷點3.可積的充分條件：例2.利用定義計算定積分解:將[0,1]n等分,分點為取二、定分的定義二、定分的定義說明3：有界是可積的必要條件,無界函數(shù)一定不可積；

說明4：可積的充分條件：

作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分三、定積分的性質(k為常數(shù))證:=右端性質1性質2性質3性質4證:當時,因在上可積,所以在分割區(qū)間時,可以永遠取c為分點,于是三、定積分的性質性質5比如分析：三、定積分的性質問題：如果c不在a與b中間，結論成立否？性質6.若在[a,b]上則證:推論1.若在[a,b]上則三、定積分的性質推論2.證:即三、定積分的性質性質7.設則三、定積分的性質性質8.積分中值定理則至少存在一點使證:則由性質7可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.三、定積分的性質三、定積分的性質積分中值定理的幾何解釋：上的平均值。

例3求①②解：①

②y軸兩邊所圍面積相等符號相反，所以為0三、定積分的性質作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂練習：求主觀題10分例4估計解:

因為，得駐點可能的極值僅有，又比較得函數(shù)在[-2，1]上的最小值為-7，最大值為2，所以.的大小三、定積分的性質例5比較下列各對積分值的大小.（1）與（2）與解（1）由于時時；而當時

.（2）由于三、定積分