求拋物線解析式幾法

關(guān)于求拋物線解析式幾法知識回顧：（1）開口向下且過（0，3）的拋物線可能是（）A、y=-x2+x+3B、y=x2+3x+2C、y=x+3D、y=-x+3（2）開口向下，頂點(diǎn)為（-1，2）的拋物線可能是（）A、y=-2(x+1)2+2B、y=-2(x-1)2+2C、y=(2x+1)2+2D、y=x2+1

（3）開口向上，且與x軸交于（-3，0）；（2，0）的拋物線可能是（）A、y=3(x-3)(x+2)

B、y=2(x+3)(x-2)（4）將拋物線y=x2向右平移5個單位后的解析式是

。AABy=(x－5)2第2頁,共45頁，2024年2月25日，星期天二次函數(shù)常見的幾種模型一般式：y=ax2+bx+c(a≠

0）頂點(diǎn)式（平移式）：y=a(x-d)2+h(a≠

0）交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)

(a≠

0）第3頁,共45頁，2024年2月25日，星期天題一：已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，求其解析式。（3，0）知識探究:第4頁,共45頁，2024年2月25日，星期天拋物線解析式的合理選擇如圖一，已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，通常選擇一般式。如圖二，已知拋物線上頂點(diǎn)坐標(biāo)，通常選擇頂點(diǎn)式。

如圖三，已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，選擇交點(diǎn)式。oxyA（d,h）oxyx1x2oxyBAC一般式：y=ax2+bx+c(a≠

0）頂點(diǎn)式（平移式）：y=a(x-d)2+h(a≠

0）交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)

(a≠

0）圖一圖二圖三第5頁,共45頁，2024年2月25日，星期天題二：如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面AB的寬為20m，如果水位上升3米時，水面CD的寬為10m．ABCD（1）建立合適的直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)，并設(shè)出拋物線的解析式。知識鞏固：第6頁,共45頁，2024年2月25日，星期天ABCDOxy以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系可設(shè)拋物線：y＝a(x＋10)(x－10)(－10,0)(10,0)(－5,3)(5,3)第7頁,共45頁，2024年2月25日，星期天ABCDOxy以CD的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系可設(shè)拋物線：y＝a(x＋5)(x－5)(－10,－3)(10,－3)(－5,0)(5,0第8頁,共45頁，2024年2月25日，星期天ABCDOxy以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系可設(shè)拋物線：y＝a(x－

20)(x－0)(20,0)(5,3)(15,3）第9頁,共45頁，2024年2月25日，星期天ABCDOxy過C點(diǎn)作AB的垂線，垂足為O，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系可設(shè)拋物線：y＝a(x＋5)(x－15)(－5,0)(15,0)(0,3)(10,3)或：y＝ax2＋bx＋3第10頁,共45頁，2024年2月25日，星期天y＝a(x＋10)(x－10)y＝ax2或y＝a(x－

20)(x－0)或y＝a(x＋5)(x－15)y＝ax2＋bx

＋

3y＝ax2＋bx（2）求當(dāng)正常水位時，拱橋的頂端離水面有多少米？

第11頁,共45頁，2024年2月25日，星期天解：以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系可知，A(-10,0)，B(10,0)可設(shè)拋物線：y＝a(x＋10)(x－10)又易知C（-5，3），D(5,3)所以3＝a(5＋10)(5－10)所以a

＝－所以拋物線的解析式為y＝－x2＋4當(dāng)X=0時，Y=4所以當(dāng)正常水位時，拱橋的頂端離水面4米第12頁,共45頁，2024年2月25日，星期天知識拓展Oxyb(0,b2)2b(2b,b＋2)OxyEFy=(x－b)2題三：如圖，將拋物線y=x2左右平移，平移后的拋物線與直線y=x+2交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，若EF//x軸，求平移后的拋物線的解析式。EFy=x+2第13頁,共45頁，2024年2月25日，星期天解：不妨設(shè)拋物線的解析式為y=（x-b）2，

對稱軸直線x＝b，則F（o，b2）因?yàn)镋F∥X軸∴E、F關(guān)于直線x＝b對稱∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2b，且點(diǎn)E在直線y=

x+2上∴E（2b，b+2）∴b2=b+2解之有b1=-1，b2=2∴平移后拋物線的解析式為y=（x+1）2或y=（x-2）2即：y=x2+2x+1或y=x2－4x+4第14頁,共45頁，2024年2月25日，星期天思維提煉解析式表達(dá)形式頂點(diǎn)式交點(diǎn)式一般式解析式求法利用待定系數(shù)法建立解析式模型根據(jù)題目給定的信息求系數(shù)解題思想函數(shù)與方程思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想第15頁,共45頁，2024年2月25日，星期天2.拋物線y=x2-2x-1的頂點(diǎn)為A,另一拋物線與軸交于原點(diǎn)O及另一點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)B在拋物線y=x2-2x-1的對稱軸上，(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)(2)當(dāng)四邊形AOBC為菱形時，求另一拋物線的解析式課后練習(xí)1.已知二次函數(shù)的圖像過原點(diǎn)，當(dāng)x=1時，y有最小值為-1，求其解析式。第16頁,共45頁，2024年2月25日，星期天二次函數(shù)常用的幾種解析式的確定技巧已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，通常選擇一般式。已知拋物線上頂點(diǎn)坐標(biāo)（對稱軸或最值），通常選擇頂點(diǎn)式。

已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，選擇交點(diǎn)式。1、一般式2、頂點(diǎn)式3、交點(diǎn)式

4、平移式

將拋物線平移，函數(shù)解析式中發(fā)生變化的只有頂點(diǎn)坐標(biāo)，可將原函數(shù)先化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則，即可得出所求新函數(shù)的解析式。 第17頁,共45頁，2024年2月25日，星期天解法二：交點(diǎn)式不妨設(shè)解析式為即y=a(x+1)(x-3)又C（1，4）在拋物線上∴4=a(1+1)(1-3)∴a=-1∴y=-(x+1)(x-3)即：例1、已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，求其解析式。

三、應(yīng)用舉例由題可知，拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)為A(-1,0)、B（3，0）（3，0）第18頁,共45頁，2024年2月25日，星期天例1、已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，求其解析式。解法三：一般式設(shè)解析式為∴即：

三、應(yīng)用舉例又由題可知，拋物線經(jīng)過

A(-1,0)、C（1，4）

（3，0）易得B（3，0）第19頁,共45頁，2024年2月25日，星期天例2、將拋物線向左平移4個單位，再向下平移3個單位，求平移后所得拋物線的解析式。解法：將二次函數(shù)的解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式得：(1)、由向左平移4個單位得：（左加右減）（2）、再將向下平移3個單位得

（上加下減）

即：所求的解析式為

三、應(yīng)用舉例第20頁,共45頁，2024年2月25日，星期天例3、已知：如圖，是某一拋物線形拱形橋，拱橋底面寬度OB是12米，當(dāng)水位是2米時，測得水面寬度AC是8米。（1）求拱橋所在拋物線的解析式；

三、應(yīng)用舉例即：

∴

EFa=-0.1解：（1）、由圖可知：拋物線經(jīng)過O（0，0），B（-12，0）。設(shè)解析式為又∵A（-2，2）點(diǎn)在圖像上，

∴即：（-12，0）（-2，2）第21頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

三、應(yīng)用舉例例3、已知：如圖，是某一拋物線形拱形橋，拱橋底面寬度OB是12米，當(dāng)水位是2米時，測得水面寬度AC是8米。（1）求拱橋所在拋物線的解析式；（2）當(dāng)水位是2.5米時，高1.4米的船能否通過拱橋？請說明理由（不考慮船的寬度。船的高度指船在水面上的高度）。PQ(2)、分析：船能否通過，只要看船在拱橋正中間時，船及水位的高度是否超過拱橋頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。水位+船高=2.5+1.4=3.9＞3.6解：∵∴∴頂點(diǎn)（-6，3.6）,當(dāng)水位為2.5米時，∴船不能通過拱橋。PQ是對稱軸。2.5第22頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

三、應(yīng)用舉例例3、已知：如圖，是某一拋物線形拱形橋，拱橋底面寬度OB是12米，當(dāng)水位是2米時，測得水面寬度AC是8米。（1）求拱橋所在拋物線的解析式；（2）當(dāng)水位是2.5米時，高1.4米的船能否通過拱橋？請說明理由（不考慮船的寬度。船的高度指船在水面上的高度）。（3）當(dāng)水位是2米時，高1米，寬為4米的船能否通過拱橋？請說明理由。PQ(3)、分析：船能否通過，只要看船在拱橋正中間時，船及水位的高度是否超過船的邊緣所在位置拱橋的拱高。水位+船高=2+1=3解：當(dāng)水位為2米時，∴船能通過拱橋。當(dāng)船寬為4米時，船邊緣所在位置拱橋的拱高為：即當(dāng)x=-4時，=-0.1×(-4)2-1.2×(-4)=3.2∵3＜3.2-423.2第23頁,共45頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)1練習(xí)2思想方法應(yīng)用舉例一般式頂點(diǎn)式交點(diǎn)式例2

應(yīng)用例1嘗試練習(xí)二次函數(shù)的幾種解析式及求法前言二次函數(shù)解析式練習(xí)3小結(jié)一般式頂點(diǎn)式交點(diǎn)式平移式例3平移式練習(xí)4第24頁,共45頁，2024年2月25日，星期天

二次函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容之一，也是歷年中考的重點(diǎn)。這部分知識命題形式比較靈活，既有填空題、選擇題，又有解答題，而且常與方程、幾何、三角等綜合在一起，出現(xiàn)在壓軸題之中。因此，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識，會靈活運(yùn)用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式是解決綜合應(yīng)用題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。第25頁,共45頁，2024年2月25日，星期天四、嘗試練習(xí)：練習(xí)1.已知二次函數(shù)的圖像過原點(diǎn)，當(dāng)x=1時，y有最小值為-1，求其解析式。練習(xí)2.已知二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）,（1，0），點(diǎn)（0，1）在圖像上，求其解析式。練習(xí)3.將二次函數(shù)的圖像向右平移1個單位，再向上平移4個單位，求其解析式。練習(xí)4.如右圖；有一個拋物線形的隧道橋拱，這個橋拱的最大高度為3.6m，跨度為7.2m．一輛卡車車高3米，寬1.6米，它能否通過隧道？

ABCDOxy練習(xí)5.有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面AB的寬為20m，如果水位上升3米時，水面CD的寬為10m．（1）建立如圖直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)B、D的坐標(biāo)。（2）求此拋物線的解析式；

練習(xí)6.探索：利用二次函數(shù)說出x2-2x-3＜0的解集第26頁,共45頁，2024年2月25日，星期天評析：

剛才采用一般式、頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式求解，通過對比可發(fā)現(xiàn)用頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式求解比用一般式求解簡便。同時也培養(yǎng)學(xué)生一題多思、一題多解的能力，從不同角度進(jìn)行思維開放、解題方法開放的培養(yǎng)。注重解題技巧的養(yǎng)成訓(xùn)練，可事半功倍。2007年中考數(shù)學(xué)命題趨勢，貼近學(xué)生生活，聯(lián)系實(shí)際，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)以致用的意識。第27頁,共45頁，2024年2月25日，星期天1、已知二次函數(shù)的圖像過原點(diǎn)，當(dāng)x=1時，y有最小值為

-1，求其解析式。∴四、嘗試練習(xí)解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為∵x=1,y=-1,∴頂點(diǎn)（1，-1）。又（0，0）在拋物線上，∴a=1即：∴∴第28頁,共45頁，2024年2月25日，星期天2、已知二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）,（1，0），點(diǎn)（0，1）在圖像上，求其解析式。解：設(shè)所求的解析式為∵拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）、（1，0）∴又∵點(diǎn)（0，1）在圖像上，

∴a=-1即：∴∴∴四、嘗試練習(xí)第29頁,共45頁，2024年2月25日，星期天3、如圖；有一個拋物線形的隧道橋拱，這個橋拱的最大高度為3.6m，跨度為7.2m．一輛卡車車高3米，寬1.6米，它能否通過隧道？四、嘗試練習(xí)

即當(dāng)x=OC=1.6÷2=0.8米時，過C點(diǎn)作CD⊥AB交拋物線于D點(diǎn)，若y=CD≥3米，則卡車可以通過。

分析：卡車能否通過，只要看卡車在隧道正中間時，其車高3米是否超過其位置的拱高。第30頁,共45頁，2024年2月25日，星期天四、嘗試練習(xí)3、如圖；有一個拋物線形的隧道橋拱，這個橋拱的最大高度為3.6m，跨度為7.2m．一輛卡車車高3米，寬1.6米，它能否通過隧道？解：由圖知：AB=7.2米，OP=3.6米，，∴A（-3.6，0），

B（3.6，0），P（0，3.6）。又∵P（0，3.6）在圖像上，當(dāng)x=OC=0.8時，∴卡車能通過這個隧道。第31頁,共45頁，2024年2月25日，星期天四、嘗試練習(xí)

4、將二次函數(shù)的圖像向右平移1個單位，再向上平移4個單位，求其解析式。解：∵二次函數(shù)解析式為（1）、由向右平移1個單位得：（左加右減）（2）、再把向上平移4個單位得：（上加下減）即：所求的解析式為第32頁,共45頁，2024年2月25日，星期天劉煒跳投想一想5.劉煒在距離籃下4米處跳起投籃,籃球運(yùn)行的路線是拋物線,當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時,達(dá)到最高度3.5米,然后準(zhǔn)確落入藍(lán)筐.已知藍(lán)筐中心到地面距離為3.05米.如果劉煒的身高為1.9米,在這次跳投中,球在頭頂上方0.15米處出手,問求出手時,他跳離地面的高度是多少?第33頁,共45頁，2024年2月25日，星期天c分析：要求出他跳離地面的高度，關(guān)鍵是1.首先要求出該拋物線的函數(shù)關(guān)系式2.由函數(shù)關(guān)系式求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，即求出點(diǎn)C離地面的高度h，h-0.15米-劉煒的身高即,他跳離地面的高度.?h如圖，劉煒在距離籃下4米處跳起投籃,籃球運(yùn)行的路線是拋物線,當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時,達(dá)到最高度3.5米,然后準(zhǔn)確落入藍(lán)筐.已知藍(lán)筐中心到地面距離為3.05米.如果劉煒的身高為1.9米,在這次跳投中,球在頭頂上方0.15米處出手,問求出手時,他跳離地面的高度是多少?探索:第34頁,共45頁，2024年2月25日，星期天Cyxoh解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則拋物線的頂點(diǎn)A(0,3.5),藍(lán)筐中心點(diǎn)B(1.5,3.05)所以，設(shè)所求的拋物線為y=ax2＋3.5又拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（1.5，3.05），得a=-0.2即所求拋物線為y=-0.2x2＋3.5當(dāng)x=-2.5時,代入得y=2.25又2.25-1.9-0.15=0.2m所以,他跳離地面的高度為0.2m第35頁,共45頁，2024年2月25日，星期天6：有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面AB的寬為20m，如果水位上升3米時，水面CD的寬為10m．（2）求此拋物線的解析式；ABCDOxy（1）建立如圖直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)B、D的坐標(biāo)。第36頁,共45頁，2024年2月25日，星期天（3）現(xiàn)有一輛載有救援物質(zhì)的貨車，從甲出發(fā)需經(jīng)此橋開往乙，已知甲距此橋280km（橋長忽略不計）貨車以40km／h的速度開往乙；當(dāng)行駛1小時，忽然接到通知，前方連降暴雨，造成水位以每小時0．25m的速度持續(xù)上漲（貨車接到通知時水位在CD處，當(dāng)水位到達(dá)最高點(diǎn)E時，禁止車輛通行）試問：如果貨車按原速行駛，能否安全通過此橋？若能，請說明理由，若不能，要使貨車安全通過此橋，速度應(yīng)不小于每小時多少千米？6：有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面AB的寬為20m，如果水位上升3米時，水面CD的寬為10m．ABCDOxyEF第37頁,共45頁，2024年2月25日，星期天解：（1）B（10，0），D（5，3）（2）設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為由題意可得：解得：∴拋物線的函數(shù)解析式為：ABCDOxy第38頁,共45頁，2024年2月25日，星期天ABCDOxyEF(3)解:∴E(0，4)∵拋