函數(shù)的對應法則求法

關(guān)于函數(shù)的對應法則求法函數(shù)的對應法則定義

就是指“送數(shù)”的方式，它決定了函數(shù)的對應法則將對應法則的作用對象以何種方式“送”出去，送出去后又成為什么結(jié)果（表達式）．對于函數(shù)y＝f(x)(x∈R，y∈R)，對應法則，“f”只是個代號，重要的是要弄清對應法則的實質(zhì)，如函數(shù)f(x)＝2x2－x－3的對應法則的含義是指“對象的平方的兩倍與對象的差，再與3的差”，明確了“自變量”x與“應變量”2x2－x－3的對應關(guān)系．而2x2－x－3是函數(shù)f(x)的表達式，2x2＋3x－2是函數(shù)f(x＋1)的表達式．第2頁,共16頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)對應法則的求法1.待定系數(shù)法：已知函數(shù)模型（如：一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)等）求解析式，首先設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)已知條件代入求系數(shù)

。例：是否存在滿足下列條件的函數(shù)：是三次函數(shù)，且

如存在，求出的表達式；若不存在，說明理由．分析：首先假設(shè)函數(shù)存在，用字母設(shè)出函數(shù)的解析式，利用已知的條件建立方程或方程組，解方程組，求出未知數(shù)，寫出函數(shù)解析式．第3頁,共16頁，2024年2月25日，星期天解：設(shè)，則

．由題意可建立方程式，得第4頁,共16頁，2024年2月25日，星期天解以上方程組，得

故存在滿足條件的的函數(shù)存在，表達式為第5頁,共16頁，2024年2月25日，星期天2、換元法：已知f（g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用換元法。具體為：令t=g(x),在求出f(t)可得f（x）的解析式。換元后要確定新元t的取值范圍。例：已知f（1/x）=x/（1-x），求f（x）的解析式？解：令t=1/x(t≠0),則x=1/t所以f(t)=(1/t)/(1-1/t)=1/(t-1)所以f(x)=1/(x-1)(x≠0)第6頁,共16頁，2024年2月25日，星期天3、解方程組法：求抽象函數(shù)的解析式，往往通過變換變量構(gòu)造一個方程，組成方程組，利用消元法求f（x）的解析式。第7頁,共16頁，2024年2月25日，星期天例：已知af(x)+bf(-x)=cx;af(-x)+bf(x)=-cx;求f(x)解：af(x)+bf(-x)=cx;1af(-x)+bf(x)=-cx;21式*a2式*b得a^2f(x)+abf(-x)=acx3abf(-x)+b^2f(x)=-bcx43-4(a^2-b^2)f(x)=(ac+bc)x所以f(x)=cx/(a-b)第8頁,共16頁，2024年2月25日，星期天4、特殊值代入法：令變量取某些特殊值，從而減少未知元，求出函數(shù)解析式.例：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(0)=1，f(y-x)=f(y)-xe3x+y，求函數(shù)f(x)解析式。解：取x=y，則由已知等式，有f(0)=f(x)-xe4x，∵f(0)=1，∴f(x)=1+xe4x.第9頁,共16頁，2024年2月25日，星期天5、配湊法：把形如f(g(x))內(nèi)的g(x)當做整體，在解析式的右端整理成只含有g(shù)(x)的形式，再把g(x)用x代替。

一般的利用完全平方公式。例：已知f(x-1/x)=x2+1/x2,求f(x)解析式。解：f(x-1/x)=(x-1/x)2+2則f(x)=x2+2第10頁,共16頁，2024年2月25日，星期天6、歸納遞推法：若函數(shù)的定義域為N，且函數(shù)關(guān)系式是由遞推關(guān)系給出的，可用遞推法求出f(x).例：已知函數(shù)f(x)定義域為N，且對任意的n∈N，都滿足f(n+1)=f(n)+2n+1，f(1)=1，求f(x).解由f(n+1)=f(n)+2n+1，依次令n=1，2，…，n-1，有f(2)=f(1)+3，f(3)=f(2)+5，……f(n)=f(n-1)+2n-1,以上n-1個式子相加，得f(n)=f(1)+3+5+…+(2n-1)=1+3+5+…+(2n-1)=n2，故f(x)=x2(x∈N).第11頁,共16頁，2024年2月25日，星期天7、數(shù)列法：求定義在正整數(shù)集N上的函數(shù)f(n)，實際上就是數(shù)列{f(n)}(n=1，2，…)的通項.數(shù)列法就是利用等比、等差數(shù)列的有關(guān)知識(通項公式、求和公式等)求定義在N上的函數(shù)f(n).例：已知f(1)=1，且對任意正整數(shù)n，都有f(n+1)=3f(n)+2，求f(n).解由f(n+1)=3f(n)+2，有f(n+1)+1=3［f(n)+1)］.∴f(n+1)+1[]f(n)+1=3.{f(n)+1}為公比是3的等比數(shù)列，其首項為f(1)+1=1+1=2.∴f(n)+1=2?3n-1，即f(n)=2?3n-1-1.第12頁,共16頁，2024年2月25日，星期天8、參數(shù)法：一般地，通過設(shè)參數(shù)、消參數(shù)得出函數(shù)的對應關(guān)系，從而求出f(x)的表達式.例：已知f(2-cosx)=5-sin2x，求f(x).

解：設(shè)所求函數(shù)y=f(x)的參數(shù)表達式為x=2-cost,y=5-sin2t;cost=2-x，①sin2t=5-y.②①2+②，消去參數(shù)t，得y=x2-4x+8,即f(x)=x2-4x+8,x∈［1,3］第13頁,共16頁，2024年2月25日，星期天9、相關(guān)點法：一般的，設(shè)出兩個點，一點已知，一點未知，根據(jù)已知找到兩點之間的聯(lián)系，把已知點用未知點表示，最后代入已知點的解析式整理出即可。（軌跡法）例：已知函數(shù)y=f(x)的圖像與y=x2+x的圖像關(guān)于點（-2，3）對稱，求f(x)的解析式。解：設(shè)（x,y）為f(x)上與y=x2+x關(guān)于（-2，3）的對稱點，（a,b）為y=x2+x上的點

故（x+a）/2=-2;(y+b)/2=3，所以a=-4-x,b=6-y，代入y=x2+x,得6-y=(-4-x)2