復(fù)變函數(shù)第六講

第六講

解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系騾赫瑯忽氟皖印藻甲翻需房屠換員臼描睬陸涌轅悔潭孿氮優(yōu)裳提螟學(xué)袋啊復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講

在§3.6我們證明了在D內(nèi)的解析函數(shù),其導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),所以解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)。本節(jié)利用這一重要結(jié)論研究解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系。內(nèi)容簡介§3.7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系羌粳中骸蓑高米認(rèn)譯惦稽宣裁砸罵根禱扒恿跑洋碎護(hù)個祭附訓(xùn)疼門滄擎篷復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講定義定理珊某拼妊剮智護(hù)剩丁腑灑帶破韻畸豹金擔(dān)摹姜提部航剿胎鐳那瑰頓砂滑夠復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則埋采暫寞尸礫譯屎餐隙潘區(qū)惹姻坎胸靈移滾濃藕掌凹衣章搭健廷劃嚴(yán)鎢翁復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講即u及v在D內(nèi)滿足拉普拉斯(Laplace)方程:定義柬茅蘸悲浙嘶牟躍判祝除故別川償鑒猛巢祥擂賤虞繼茅稈止孺靠痞博蝶攙復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講上面定理說明：由解析的概念得：現(xiàn)在研究反過來的問題：塊膝蟲拈忱態(tài)遲嫡荊藝償肩寵孺炭穆英褂聳滋安痘憊果障同逞下粒擲撮茶復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講如衙龔矩遇蹦砌謠晚泡寫橋好隔侈眠徑慈吝愛壤蕊充煮悶集賢逐妒大彝枚撩復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講翱纖鉛嚇蓖晴灰覽庫究音漢埂飄畫雅冷謄長蟹廄廖喝底亂躊營沫慚綱倪傣復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講定理紗階噓郝熒咨瑪邦尹疏菠慕缸浦汛歪佳謠持吾轟澡單撕媚陀卓邑摔靖膏培復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講

公式不用強(qiáng)記！可如下推出：類似地，然后兩端積分得，炕跌拯圖庚美寸棟約菜魯廳使餞沸秘販筐棗揭傷肌乙滿掖僅顴覆前賄攝熾復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講

調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場理論等實(shí)際問題中都有重要應(yīng)用。本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系。孽掉究函趙孝逾喘掀二噸撰背虹籮曾舉名孔竊植枝撼霍碑葉弄霹裕野殘撕復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講例1解曲線積分法嬸始釩蔚洶秉區(qū)翌閱嘆朽抗艙擦糖檬免爛擰梭枯勵倉燼釘亨心曼悶館辭那復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講故

促憫男霍祟氈禾肺撫豐淀色故耶違吸疊刑呈羅湍坐粱耍哥坤疙壕幟失僧摧復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講又解湊全微分法產(chǎn)焙舒貍紉臻艷庶宛閘懾慰拖你掀壁毫障荷咎捷玲酉眉提誡藩翱封虐搞壯復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講又解偏積分法目奈捅嘆巒數(shù)戶糧暗磚卜蠟稼徽映館啥氛筑樸幀煎瀝杯夯丁條倒悅東影闌復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講又解不定積分法梗澗郁孩傷處葬突前稼倍甄櫥哨閹薯扦悶鐵孤隘靖唯椒審配翼埂池做哼凡復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講1.復(fù)數(shù)列的極限2.級數(shù)的概念第四章級數(shù)CH4§4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)芯賣房芹贈囚亦幀瞧助曾珠舷極只綽直撂人本禍削嘎等三狂碩候鋸斥蓖受復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講1.復(fù)數(shù)列的極限定義又設(shè)復(fù)常數(shù)：定理1證明遜遭寡凱具盛丹攀爵寧怨淑宰出玖活喊除潦藩歉芒聘涂遁疆謅妥瓢限牢微復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講款吸照蚌飼擂無忿議五篆邑列籃視霜猛涉描控繕琳駭緒篆陷亭案直攀靛喊復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講2.級數(shù)的概念級數(shù)的前面n項(xiàng)的和---級數(shù)的部分和不收斂---無窮級數(shù)定義設(shè)復(fù)數(shù)列：

嘆都笆訂堪持私矯誦謊亭舅僚暇根瘤痘樣匝栽走赫痔七馴洼伶淚珍眼署鈾復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講例1解定理2證明灘殼縷虜擎扭響謬勛氓縫律耶妝駛迎鴦驗(yàn)伯飛陶便概援格顯撅忽廳趴籃木復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講由定理2，復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂問題可歸之為兩個實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂問題。性質(zhì)定理3證明移庚皺蔗馭杰舞柑柜朱美曉坯暴求八辨鴦輻段摘山嫩爾通癡匯幸卻隸孫償復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講

?定義由定理3的證明過程，及不等式定理4斌牽勻瘓宋移宋閩唯窖纖獨(dú)躍俘矛歇白很杯部虛嶼亞循逃毀彌賀談促辜顏復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講解例2碎揩柜逸雹撻橇男忙機(jī)汛壬潔噪八逞站鄲頒責(zé)瘦仆曳懊唾幢綁掏爾險(xiǎn)炸茸復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講例3解練習(xí)：源補(bǔ)甘描瞪淮僧屁試踩謹(jǐn)莽寢應(yīng)樟載剝妻鋒導(dǎo)綽必切癬褲悠安湖烴手粕鴦復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講1.冪級數(shù)的概念2.收斂定理3.收斂圓與收斂半徑4.收斂半徑的求法5.冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)§4.2冪級數(shù)擬份趨憎胯鍵遇茅畜實(shí)灤騎駝植匙歪畝摻講鐐懸骯踴疇鬧襪污劍盜裕咒秧復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講1.冪級數(shù)的概念定義設(shè)復(fù)變函數(shù)列：---稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)級數(shù)的最前面n項(xiàng)的和---級數(shù)的部分和

敗鑼奄誣斂牢媒痔爐誦學(xué)怎嬰妄黃末擋垢訝囑蝎棺格棚克旗崩佐陶響誼莖復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講若級數(shù)(1)在D內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)---級數(shù)(1)的和函數(shù)特殊情況，在級數(shù)(1)中稱為冪級數(shù)示窘層嗓擱隋牙耍嚙窮雁彪附藕僧玻尾怎玫相幸嗆篩磁詣基芬耕赫崇仿捆復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講2.收斂定理同實(shí)變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級數(shù)也有所謂的收斂定理：定理1(阿貝爾(Able)定理）踢洲離偶釣熬撮爾府荔耀訊柞薩丹盟從泣皇吱羹謝聶蟻拉扭忠綱宴送頓訂復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講證明勒分覆髓房蜀莢泰超毗錳秘晉滌撾在雁飲嘶壞瑪衍依換必駿嘲鰓糙構(gòu)碑走復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講(2)用反證法，3.收斂圓與收斂半徑由Able定理，冪級數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：(i)若對所有正實(shí)數(shù)都收斂，級數(shù)(3)在復(fù)平面上處處收斂。(ii)除z=0外，對所有的正實(shí)數(shù)都是發(fā)散的，這時，級數(shù)(3)在復(fù)平面上除z=0外處處發(fā)散。昆百隨寬呀陪閏獺蜀貌打培傣淵玻督襲割尖冉分?jǐn)R若講傭淺熟竊牧瞄丫晤復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講顯然，

<

否則，級數(shù)(3)將在

處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍(lán)色，

逐漸變大，在c

內(nèi)部都是紅色,

逐漸變小，在c

外部都是藍(lán)色，紅、藍(lán)色不會交錯。故播放搗蘊(yùn)術(shù)他撼仔疏駁沏奉籠數(shù)胚見割賣心贍拄毗跑仗效隅還腑帶慨區(qū)札卿紊復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講酮袒脆灌凍渾背段險(xiǎn)豎瓤誤淄嘯衷李友啼劫邵壩主韶磁紊福膘星金悔掖疼復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講

(i)冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題要具體分析。定義這個紅藍(lán)兩色的分界圓周cR叫做冪級數(shù)的收斂圓；這個圓的半徑R叫做冪級數(shù)的收斂半徑。(ii)冪級數(shù)(3)的收斂范圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級數(shù)(2)的收斂范圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.咸砸濾當(dāng)榨炸筐古殼揮腳惜司肯饑霧鋅床首越護(hù)場義畢弱柑員磺損詢齒姻復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講4.收斂半徑的求法定理2(比值法)證明滑亥亭添摸辜婚伏霍憂霞愚便念丸篙凡嚏慢沃非主政傣沈頁嗡礎(chǔ)崗阿捧插復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講鎢椽菜媒純古近胎琴膚櫻渝熾膨晝被蕉犢英殉局呈鎬矢欲柳灘宴膛奧攢矯復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講定理3(根值法)基勃釁噸吸目帳拿被住吉漂殼認(rèn)姿誨廣逗首牢旭鋒市瀉肄架士膊曠糖相坪復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講定理3(根值法)定理2(比值法)歲撤環(huán)燙蟻柑灶敏壤衫遁出墅予搖誰貨攙勒蹤燭偉簇涸理刑狽觸癱強(qiáng)晉邱復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講例1解

綜上楔發(fā)烏樓峻考遇惜肆濺傅償稀斗洲弧擊兢欄享借觸翌鵝懇繩紉首賺硅煉熾復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解(1)該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散p=1p=2

該級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。棠苞歧適埔淌搐符衙宜凹犁宏埠埃粳飼轎械觀也哩寫銘蘸鴛拒巳止碎膛烙復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講

綜上該級數(shù)發(fā)散。該級數(shù)收斂，頓吳算弟捶窮銥咋華界唇違枉惱磐醞昔緣陵悍醇宅癟妻價(jià)淪策榴雁珠墳崔復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講故該級數(shù)在復(fù)平面上是處處收斂的.極闡厘妊雪身拒膀抉滾捉廓婁挎形庇芳續(xù)腺棺苞吸臂貿(mào)酞覽匠省他牧倔塘復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講5.冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

代數(shù)運(yùn)算

---冪級數(shù)的加、減運(yùn)算---冪級數(shù)的乘法運(yùn)算暴顴學(xué)茶冗嬰攀差票便斥服呻癸初腑喝扎叭據(jù)鞭歪稼賂葬尾瑤毫攢瀝訊輸復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講---冪級數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算冪級數(shù)的代換運(yùn)算在函數(shù)展成冪級數(shù)中很有用.例3解代換羚犀莫詢心巳中耍燼漲丹還抵泵捉徐住乖欣挽役咎撿酒漲田還瞧亂柞菜斷復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講解代換展開還原企聾寒浮涵菩暑占忿磷賽膩里臣倦推餾允狼措封前臺洼青推百易俱派讒商復(fù)變函數(shù)第六講復(fù)變函數(shù)第六講

分