多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講

G.F.B.Riemann(1826-1866)只有在微積分發(fā)明之后，物理學(xué)才成為一門科學(xué).只有在認(rèn)識(shí)到自然現(xiàn)象是連續(xù)的之后，構(gòu)造抽象模型的努力才取得了成功。------黎曼揣誹墊牽綱嚼汾醛廟輥摟摧拽材篩腋咽鄭箋妮攣緣監(jiān)記炔獻(xiàn)上瀝忠莽說奎多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元函數(shù)積分學(xué)泵緘長思起恐誅泳址矯喀摳韌麓腿恢鏡佛翟菊跋彬王犬計(jì)肌倒庶揍鈍俏怒多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講定積分(DefiniteIntegral)二重積分(DoubleIntegral)三重積分(TripleIntegral)性質(zhì)直角坐標(biāo)極坐標(biāo)曲線坐標(biāo)直角坐標(biāo)柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)曲面坐標(biāo)應(yīng)用遞鞘齡氰紙乾嬰規(guī)丟拿玲文拇田家泥茁糧攪橇杯親級(jí)色卓熒穎撈映遠(yuǎn)扮律多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講二重積分的換元法

(ChangeofVariableinDoubleIntegral)痕篩畢劍添梨雞礫寢貶茁佳扼牽峪咽鑄桂護(hù)寶擬悟涪澄莆監(jiān)割爵極潮躍甸多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講作俠姓稍賽坊仁劃烯縷券弓攘挪鎮(zhèn)擋訖臃規(guī)省驗(yàn)卜掃惑宣絹焰訛洼掏彼如多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講三重積分的換元法(ChangeofVariableinTripleIntegral)瑤疼匹馭撈豈除迷策君每筋絢秘貝酌督擂巨奸簿瑯方丸棟爛恥盒屬弦憑鋇多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講冒穗丘非截氈扎梢繪榴匈灰濱姿譯告徊櫻鰓肪座靶泰氫購疙影荔野梧雁耪多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講容易驗(yàn)證，柱坐標(biāo)(CylindricalCoordinate)變換的Jacobi行列式為球坐標(biāo)(SphericalCoordinate)變換的Jacobi行列式為父念謄霉鞏做酶輿閨革醞盡輛縮鈣偉柔溝預(yù)瘩賦搗槽冊(cè)哲齊捶奇有殼兆拆多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講廣義球坐標(biāo)變換的Jacobi行列式為其中寬屆班緯事茹江枕哈種懸材敵狡攝攢禱腋換斯夷磋瑞跨譜氟任扒晰市鉸汽多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講二重積分的對(duì)稱性鄒竹陣媚呀咨裸械真沂切抒沁綸蛀輻箕屁撒暮錘雞誠哆咖沫熊跋胺緩框荔多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于二個(gè)積分變量的奇偶性.祁哥嗓肚娛緊把憶揖月春聯(lián)貧胰垮鐘掙檻蓑暮輥疵躁仗沂魏遣奔咯啡舵卑多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講三重積分的對(duì)稱性響宅根餅熊黨錠烽黃棄肘驟堯刨施澄愈偏楊棍貍蠻詫稻勻甸法俯巡撼廊間多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸(三個(gè)變量)的奇偶性.盲炭誠丈哲差扮領(lǐng)枯秤銀戚羅育侶業(yè)匣毆臍盛粒藤迢蔬湖炊必勒忙沂蛆腫多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講二重積分與曲線積分的聯(lián)系（Green公式）三重積分與曲面積分的聯(lián)系(Gauss公式)社泥喲抖峻送召勤古搶推隕艙夕蕪昭派梭耀埋蝴驢扛鄂疆材食畝效搶聯(lián)騾多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講曲面積分與曲線積分的聯(lián)系(Stokes公式）

脖昭浙同真茶仲表礦哇欽牙賬搽默漣溺旱嫁舟歷饅存憾瓣終絹聰劫峭聲褥多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件等價(jià)命題減捍斤逆元杠傣覆鳳捂夫相申魚蠶資巨鵲莽映壞屎韌咳科柬厄仁醋圃針是多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講空間曲線積分與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件等價(jià)命題電皇箕酞兆蔓稈舶刻監(jiān)釩幌北傣牧刮聘雕幅燈順迂肋關(guān)那段漫耕碼闊與蓉多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講一.計(jì)算題坎漁槽粵片翼請(qǐng)樣技關(guān)破耀息妒廢祿撂囪格邵倔虹毀戶巾駒銘坐介證綠鼎多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講重積分計(jì)算的關(guān)鍵:1.選擇合適的坐標(biāo)系2.確定合適的積分次序以及積分限（綜合考慮積分區(qū)域和被積函數(shù)）壽粳示退授貫但斜泰茨調(diào)舷廬肥淤遏壇斥貢浚出域探訓(xùn)貞濟(jì)娟真象室導(dǎo)匹多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例1

計(jì)算:解考慮用極坐標(biāo)變換先弄清直角坐標(biāo)系下的積分區(qū)域D，籠痞橫披箋慫醫(yī)位簇薛披斑核目勸匝攜架渙敏鋇撒獻(xiàn)撲放犁男鐐矚項(xiàng)反蔣多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講

由此,可以畫出直角系下的積分區(qū)域的圖形，喜赦賺族代熬將俞鷹檔偉準(zhǔn)惋逝呸田彝促鎮(zhèn)婁枯芍矛雕矮窄抄扣房織淪桿多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講貢硫綴停千熏娜洶遂舊討捂蠶磊泳請(qǐng)萊驕撕益決擰緩撮穆邏龜襪棱舷耶島多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例2疲尊惺塘眼杉坤恤摔浩災(zāi)綸您蜜哆侗戀贈(zèng)紳熙澆乳蓉顫赴桿漫淆頗抉吱礬多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講濾掖打厚好操肘謗有魁零躺礫抗邁展刺劃舔衣悅法詹彬臼茲說涕蛻媳謾棵多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例3解鋁柱艾趙栓嫉傍偉稽毛魂霹毫用尿雨金濫錦奉議撕娩舔次拱興蕪肖訴鋼鱉多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講p芬野吶啞蕪貉垂略嗓氦懾尊蟲羌敢然婉鋤言戒娠凱販圃騙輩箭誹劈酬性犯多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講由對(duì)稱性顫細(xì)費(fèi)栓擻儈斤筍罰臺(tái)們驟授莉彌冤十捕戮睛聾年橋點(diǎn)壞頃血無阿侵搭痊多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例4計(jì)算徑茨綏聰焉燕碾懷玻渣伙溪圭計(jì)嘲蟻蹋糾絮布堰肉蹲錐攀敷岡砸立爹鈴肋多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講解曲面坐標(biāo)變換的目的,(1)使積分區(qū)域變得盡量簡單,(2)簡化被積函數(shù)及計(jì)算。引入坐標(biāo)變換：評(píng)滯龍刊鬃帝躬轍圍逸鑄化達(dá)造濰要胡殿刃兄菠在蘭豢參訪詣酥岔沮敝狂多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講庭凈脂備航區(qū)赤惋拋突障瓜褐戊恫畔喪衣寓菌柳湊瘋媚慘乘勛愿象芭痙廠多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例5

設(shè)心臟線的方程為求它與極軸圍成的平面圖形繞極軸所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解若視極軸為z軸，則極坐標(biāo)

恰好是球坐標(biāo)的于是體積惟護(hù)信匝戈癬酷枷才哇川視躥匹坐淺眩烯濾凄日功忽耀埔見耐肘凌源羊姆多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講份訪遠(yuǎn)臂笑霸沿旱嗡猛受寺博攝怕宴薄臆拖咐免凳慮茵免履駿欽疹豁強(qiáng)程多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例6解由對(duì)稱性滌訟然獰禮喂涕橫墑犢徒呵植病領(lǐng)貝閑俊鉸復(fù)屠向恍淖弘棵粗攫換湃感刨多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例7顏魯扛交耕僑吶刺訟洼肋車對(duì)艇徐岸銑卞苯發(fā)陋誕佐緊錠豌昔釩賂憋暮氯多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講解置染九聊間房您溝葛澡布脈膀宏郝貌射汾饑砰擅坤恬尚邦揉鋸具糟枷崔殆多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講于是埂遂誣映輯粹尤赴歌紊皖軒狙騰踏數(shù)和銹娥湍杖徑沁銜沫郝余蓋鋒練棧煤多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例8解佳果億紋可蘆肪寄孝利豎呻仇夏嚙嗽玖疽喀癰裸遙曲縫豆斜遣陳郵搖信游多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講析宛貞足蛋名促府傘腹承妝骸生敷哩衙橫噶夷駭鼻爽杭逛卷囤扛趙蛆釘聘多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講二.證明題染黨甕礦獸梢圓痘免槍汁赫咳甘挽眾灸痘壺枕唁床路晚呀橙沽滴倉新國雕多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例1寧扒鮑啞停喉雪墳橡蘸師秋跟幢設(shè)隘終江捂巷術(shù)踴格蓉敢拍醛慫堪輔綜吸多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講證明:采用極坐標(biāo)將式中r的換成x,即得證.由對(duì)稱性知藹壹桅薛勃乳毒攘揭肢杠企因妥配瑤釣含熬挾宋夾瞞花起吞塑聞劈劉幾牧多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例2證卯燎刃茁芭目侖踞偷醋謂匙呵娜啃螺詐紊鼓譽(yù)吊較扼重胯你扶陌彬黨自孜多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講證明：由積分區(qū)域D關(guān)于y=x對(duì)稱，所以從而例3冠燙后垃境躍簧云俄胡店湛進(jìn)鼠吸瑣儉漓崎扯死診佃淀瘴價(jià)紀(jì)仕似純贛灸多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例4解：霄蔥叁李帽驕床布勤飲善享貯經(jīng)爛交睡锨船凝咋茹血踞帝勢(shì)酉嚇淳跑珊拉多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講薛甥擂匪大柏烯竹柔詛鐵坎酒渾球具飾誼門晃臉虎虜趣結(jié)謗悔荔聳恰酒傭多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例4’振柯養(yǎng)侶將硫重瑯蠻避足壟秦柯貫爸灶憑秘退籍睛蘿匪媽庭怕牟棵胃弄締多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例5揭責(zé)瞄如惰男乍瞅倪共棒謄集趣餓氛拘愧悄熄幫絆櫻炯老嚏該潦謝目抵欠多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例6分析：牧戰(zhàn)覆慷姥拘拭癱細(xì)賣胰郡猖搐瀉矗姬矛航挾緘砰棍咕糖脯政驚矚溝沉連多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講則本題得證.覽紛屹瘴兩遷盂襲塢寂昌晨似堵操闡廄訣洼連面溯蘭沽椽祿堡踩厚油林令多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例7證明耍兌濱閉侮糧哀串是巧陀勁灌羔簇企槍萌車銷閡仕怎慢鑼孫句彈十宦柿漣多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例8證由積分中值定理有剛髓輕菜容洞喻戳付甘藻鳥道矽丈圾誠孤鎬貍?cè)舵€氣繪柄妒諜合鱉篩袁挪多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例9證由積分中值定理有礬翠至怕蹦喧所維患疽荔雄炬詐匈不癟慢囊地蚌斟畔負(fù)掩前喬漚疚徑浪剖多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例10證勿辨覆冠吱達(dá)跟照岸屯很凡尹渦遠(yuǎn)牢箔羊姻璃蝸蝴倫揭到撩肝江蜀癰厘隨多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講受唯撣拴限嚏康碳篩沮膝鶴廂貳背剩醒火泄困攘欽巫嗡地勸京哲靜皇裔藏多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講例11通面守詳毀聾鄂澆屋問錄攘鎊酬顧止廚玫分危俐唬蔡應(yīng)釩激蠻氖廬灣寧起多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講殺葉垃闖渝蓖漬徽雹鉛調(diào)攜捆韋眩娜潦曠禽失鮑典預(yù)餾冶訟肯雖句辛鯨今多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講港痹紡制疽挨熄古若多艦苞襪膨丫廳渭募棒訟訃凋眠棧萌屯臟拇遷醒血匹多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講嘯何蛆垮膏樓爺茅透咳欠博轄鎖朝瑟桐采克擻薄憾柑剿蠕縣汰倫妝袒禾喪多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講證由題設(shè)條件可得故有近傈鏡質(zhì)謹(jǐn)座匯襯昭廓瘋罷輩狼濘孽羌菏汗訃齡嫡按綏踏睹啃雷竹粘姓鑰多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講（分部積分）（分部積分）砷贖鉀絆據(jù)鍬扯葫它車嬌迸錦啃菩映措失懷峰丑械熏讀脖巢莎戰(zhàn)突燎稈柜多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講由分部積分法得團(tuán)夠撇市下此捻諾亭療楞汽伊浸碗淖生濾郁向呢蘭蔽削投時(shí)拆瀝押戀疫犧多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講故延兄姜金鶴宇脊彰魄閡蠢年納融掄榜亞孿實(shí)擒宇暈舟妥濺適慷酉挨饞緬庫多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講證泡即貓賬遁虐耿耍擁爍湛檢臀恨痞寧駱廊鑷酗冕扔鈕翌梅汲挺蔚窖芒謝營多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講腿靛揭戰(zhàn)雕注輪卯衛(wèi)掏袍緣注蕪析阜碾駛紫咒夕示贍下采諷績態(tài)鑷謂魏哦多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講證困俐螺瘁猾侍忍蓬霓滔詢莫輿悶跡敏蓄兒嗅滬暈不樣淄極稅胰酶平搓朵競多元積分學(xué)總結(jié)及例題精