高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱(修訂稿)

中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱（修訂稿）

在“普及的基礎(chǔ)上不斷提高”的方針指引下，全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)方興未艾，特殊是連續(xù)幾年我國(guó)選手在國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克中取得了可喜的成果，使廣袤中小學(xué)師生和數(shù)學(xué)工作者為之激昂，熱忱不斷高漲，數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)進(jìn)入了一個(gè)新的階段。為了使全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)長(zhǎng)久、健康、逐步深化地開展，應(yīng)廣袤中學(xué)師生和各級(jí)數(shù)學(xué)奧林匹克教練員的要求，特制定《數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱》以適應(yīng)當(dāng)前形勢(shì)的須要。

本大綱是在國(guó)家教委制定的全日制中學(xué)“數(shù)學(xué)教學(xué)大綱”的精神和基礎(chǔ)上制定的。《教學(xué)大綱》在教學(xué)日的一欄中指出：“要培育學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的愛好，激勵(lì)學(xué)生為實(shí)現(xiàn)四個(gè)現(xiàn)代化學(xué)好數(shù)學(xué)的主動(dòng)性”。具體作法是：“對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，要通過課外活動(dòng)或開設(shè)選修課等多種方式，充分發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能”，“要重視實(shí)力的培育......，著重培育學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力、邏輯思維實(shí)力和空間想象實(shí)力，要使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。同時(shí)，要重視培育學(xué)生的獨(dú)立思索和自學(xué)的實(shí)力”。

《教學(xué)大綱》中所列出的內(nèi)容，是教學(xué)的要求，也是競(jìng)賽的最低要求。在競(jìng)賽中對(duì)同樣的學(xué)問內(nèi)容的理解程度與敏捷運(yùn)用實(shí)力，特殊是方法與技巧駕馭的嫻熟程度，有更高的要求。而“課堂教學(xué)為主，課外活動(dòng)為輔”是必需遵循的原則。因此，本大綱所列的課外講授內(nèi)容必需充分考慮學(xué)生的實(shí)際狀況，分階段、分層次讓學(xué)生逐步地去駕馭，并且要貫徹“少而精”的原則，這樣才能加強(qiáng)基礎(chǔ)，不斷提高。一試

全國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽的一試競(jìng)賽大綱，完全根據(jù)全日制中學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中所規(guī)定的教學(xué)要求和內(nèi)容，即高考所規(guī)定的學(xué)問范圍和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微積分初步不考。二試

1、平面幾何

基本要求：駕馭初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱所確定的全部?jī)?nèi)容。

補(bǔ)充要求：面積和面積方法。

幾個(gè)重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

幾個(gè)重要的極值：到三角形三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)--費(fèi)馬點(diǎn)。到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)--重心。三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)--重心。

幾何不等式。

簡(jiǎn)潔的等周問題。了解下述定理：

在周長(zhǎng)肯定的ｎ邊形的集合中，正ｎ邊形的面積最大。

在周長(zhǎng)肯定的簡(jiǎn)潔閉曲線的集合中，圓的面積最大。

在面積肯定的ｎ邊形的集合中，正ｎ邊形的周長(zhǎng)最小。

在面積肯定的簡(jiǎn)潔閉曲線的集合中，圓的周長(zhǎng)最小。

幾何中的運(yùn)動(dòng)：反射、平移、旋轉(zhuǎn)。

復(fù)數(shù)方法、向量方法。

平面凸集、凸包及應(yīng)用。

2、代數(shù)

在一試大綱的基礎(chǔ)上另外要求的內(nèi)容：

周期函數(shù)與周期，帶肯定值的函數(shù)的圖像。

三倍角公式，三角形的一些簡(jiǎn)潔的恒等式，三角不等式。

其次數(shù)學(xué)歸納法。

遞歸，一階、二階遞歸，特征方程法。

函數(shù)迭代，求ｎ次迭代，簡(jiǎn)潔的函數(shù)方程。

ｎ個(gè)變?cè)钠骄坏仁?，柯西不等式，排序不等式及?yīng)用。

復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，歐拉公式，棣美弗定理，單位根，單位根的應(yīng)用。

圓排列，有重復(fù)的排列與組合，簡(jiǎn)潔的組合恒等式。

一元n次方程（多項(xiàng)式）根的個(gè)數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理。

簡(jiǎn)潔的初等數(shù)論問題，除初中大綱中所包括的內(nèi)容外，還應(yīng)包括無窮遞降法，同余，歐幾里得除法，非負(fù)最小完全剩余類，高斯函數(shù)，費(fèi)馬小定理，歐拉函數(shù)，孫子定理，格點(diǎn)及其性質(zhì)。

3、立體幾何

多面角，多面角的性質(zhì)。三面角、直三面角的基本性質(zhì)。

正多面體，歐拉定理。

體積證法。

截面，會(huì)作截面、表面綻開圖。

4、平面解析幾何

直線的法線式，直線的極坐標(biāo)方程，直線束及其應(yīng)用。

二元一次不等式表示的區(qū)域。

三角形的面積公式。

圓錐曲線的切線和法線。

圓的冪和根軸。

5、其它

抽屜原理。

容斤原理。

極端原理。

集合的劃分。

覆蓋。新高一生如何適應(yīng)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)隨著學(xué)習(xí)的深化，數(shù)學(xué)成果的分化是必定的，那么成果落后的緣由何在？學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有困難的新高一同學(xué)應(yīng)怎樣順當(dāng)度過適應(yīng)期呢？

【緣由一】中學(xué)數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)相比，難度提高。因此會(huì)有少部分新高一生一時(shí)無法適應(yīng)。表現(xiàn)在上課都聽懂，作業(yè)不會(huì)做；或即使做出來，老師批改后才知道有多處錯(cuò)誤，這種現(xiàn)象被戲稱為“一聽就懂，一看就會(huì)，一做就錯(cuò)”。因此有些家長(zhǎng)會(huì)認(rèn)為孩子在初中數(shù)學(xué)考試都接近滿分，怎么到了中學(xué)會(huì)考試不及格？！

【應(yīng)對(duì)方法】要透徹理解書本上和課堂上老師補(bǔ)充的內(nèi)容，有時(shí)要反復(fù)思索、一再探討，要能在理解的基礎(chǔ)上舉一反三，并在勤學(xué)的基礎(chǔ)上好問。

【緣由二】初、中學(xué)不同學(xué)習(xí)階段對(duì)數(shù)學(xué)的不同要求所致。中學(xué)考試平均分一般要求在70分左右。假如一個(gè)班有50名學(xué)生，通常會(huì)有10個(gè)以下不及格，90分以上人數(shù)較少。有些同學(xué)和家長(zhǎng)不了解這些狀況，對(duì)初三時(shí)的成果接近滿分到高一起先時(shí)的不及格這個(gè)落差感到不行思議，重點(diǎn)中學(xué)的學(xué)生及其家長(zhǎng)會(huì)特殊有壓力。

【應(yīng)對(duì)方法】看學(xué)生的成果不能僅看分?jǐn)?shù)值，關(guān)鍵要看在班級(jí)或年級(jí)的相對(duì)位置，同時(shí)還要看學(xué)生所在學(xué)校在全市所處的位置，綜合考慮就會(huì)心理平衡，不必要的負(fù)擔(dān)也就隨之而去。

【緣由三】學(xué)習(xí)方法的不適應(yīng)。中學(xué)數(shù)學(xué)與初中相比，內(nèi)容多、進(jìn)度快、題目難，課堂聽懂作業(yè)卻經(jīng)常磕磕絆絆，由于各科信息量都較大，假如不能有效地復(fù)習(xí)，前學(xué)后忘的現(xiàn)象比較嚴(yán)峻。

【應(yīng)對(duì)方法】課堂上不僅要聽懂，還要把老師補(bǔ)充的內(nèi)容適當(dāng)?shù)氐怯泚?，課后最好把所學(xué)的內(nèi)容消化后再做作業(yè)，不要一邊做題一邊看筆記或看公式。課后盡可能再選擇一些相關(guān)問題來練習(xí)，以便做到觸類旁通。

【緣由四】思想上有所放松。由于初三學(xué)習(xí)比較辛苦，到高一部分同學(xué)會(huì)有松口氣的想法，因?yàn)殡x高考終歸還有三年時(shí)間，尤其是初三靠舍命補(bǔ)課突擊上來的部分同學(xué)，還希望“重溫舊夢(mèng)”，這是很危急的想法。假如高一基礎(chǔ)太差，希望高三突擊，實(shí)踐表明多數(shù)同學(xué)會(huì)落空。部分智力較好的男生“恃才傲物”，解題只追求答案的正確性，書寫不規(guī)范，考試時(shí)丟分嚴(yán)峻。

【應(yīng)對(duì)方法】高一的課程內(nèi)容不得懈怠，函數(shù)學(xué)問貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的始終，函數(shù)思想更是解決很多問題的利器，學(xué)好函數(shù)對(duì)整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)都很重要，放松不得。在高一起先時(shí)養(yǎng)成勤奮、刻苦的學(xué)習(xí)看法，嚴(yán)謹(jǐn)、仔細(xì)的學(xué)習(xí)習(xí)慣和方法特別重要。中學(xué)數(shù)學(xué)有十幾章內(nèi)容，高一數(shù)學(xué)主要是函數(shù)，有些同學(xué)函數(shù)學(xué)得不怎么好，但高二立體幾何、解析幾何卻能學(xué)得不錯(cuò)，因此，肯定要用改變的觀點(diǎn)對(duì)待學(xué)生。激勵(lì)和自信是永不失效的教化法寶。中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中應(yīng)用問題初探課程教材探討所張勁松－、數(shù)學(xué)及其應(yīng)用數(shù)學(xué)是探討空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。當(dāng)代數(shù)學(xué)能夠處理科學(xué)中的數(shù)據(jù)和觀測(cè)資料，進(jìn)行推理、演繹、證明，可供應(yīng)自然現(xiàn)象、社會(huì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)：高度抽象性、邏輯嚴(yán)密性、應(yīng)用的廣泛性。隨著社會(huì)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的地位日益提高，應(yīng)用越來越廣泛。它是人們參與社會(huì)生活、從事生產(chǎn)勞動(dòng)和學(xué)習(xí)、探討現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)；它在培育思維品質(zhì)，提高思維水平方面發(fā)揮著特有的作用；它的內(nèi)容、思想、方法和語言已成為現(xiàn)代文化的重要組成部分。１９５９年５月，華羅庚教授在《人民日?qǐng)?bào)》發(fā)表了《大哉數(shù)學(xué)之為用》一文，精彩地?cái)⑹鰯?shù)學(xué)在“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁”等各方面的應(yīng)用；進(jìn)入九十年頭，中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部在《今日數(shù)學(xué)及其應(yīng)用》（王梓坤執(zhí)筆）一文中，對(duì)數(shù)學(xué)及其應(yīng)用進(jìn)行了酣暢淋漓的論述。正如該文的第一句話：“本文的目的是雙重的和互補(bǔ)的：一是論述數(shù)學(xué)在國(guó)富民強(qiáng)中的重要意義；二是通過近年來數(shù)學(xué)在我國(guó)的很多應(yīng)用來證明這種意義的真實(shí)性，從而希望提高人們對(duì)數(shù)學(xué)的相識(shí)?！睌?shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)課程教材的建設(shè)起著至關(guān)重要的作用。二、數(shù)學(xué)課程改革中的“應(yīng)用”近年來，數(shù)學(xué)教化界內(nèi)的“問題解決”、數(shù)學(xué)建模等無一例外地把應(yīng)用提高到一個(gè)特別高的程度，因此，正確理解“應(yīng)用”就成為一個(gè)特別重要的問題。對(duì)于“問題解決”、“大眾數(shù)學(xué)”、“數(shù)學(xué)建?！薄ⅰ皯?yīng)用”等等，對(duì)于使數(shù)學(xué)課程“貼近”實(shí)際，歷史上已作了很多探討。事實(shí)上，理論與實(shí)踐相結(jié)合是數(shù)學(xué)課程教材改革的重要目標(biāo)之一。在兩千多年前，數(shù)學(xué)教化就存在著著眼于好用和訓(xùn)練思維的兩大目標(biāo)。今日數(shù)學(xué)的內(nèi)容大大地豐富和深化了，實(shí)際應(yīng)用和訓(xùn)練思維的涵義也大大拓展了。歸根究竟，數(shù)學(xué)教化的目的除思想教化方針之外，仍舊是這兩個(gè)目標(biāo)的結(jié)合。數(shù)學(xué)就自身發(fā)展來說，始終是理論與實(shí)踐親密結(jié)合一門科學(xué)。綜觀數(shù)學(xué)教化史，我們不難發(fā)覺，數(shù)學(xué)教學(xué)總是具有很強(qiáng)職業(yè)成分，只是隨著中學(xué)和高校的學(xué)院化，數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系才被忽視，但是如何人教“應(yīng)用”和運(yùn)用“現(xiàn)實(shí)生活”例子為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)仍有待探討。應(yīng)用在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以有很多說明，有些人為的，非現(xiàn)實(shí)生活的例子，也可能有重要的教化價(jià)值，能養(yǎng)成學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的技能，不能一概否定；還有一類傳統(tǒng)的例子是過分“現(xiàn)實(shí)”的，是干脆從職業(yè)中拿出來的，如儲(chǔ)蓄、稅收等，這就有一個(gè)誰的“現(xiàn)實(shí)”的問題。這些例子只是社會(huì)的一些特殊須要，不足取。就算解除了這類實(shí)例，還會(huì)有多種形式體現(xiàn)“應(yīng)用”。比如，守門員如何占位才能縮小對(duì)手的射門角度？這些問題把數(shù)學(xué)與實(shí)際情境聯(lián)系在一起，對(duì)一些學(xué)生有吸引力，但并不是真用數(shù)學(xué)解決問題，沒有哪個(gè)球員會(huì)這樣去計(jì)算他們站立的位置。數(shù)學(xué)的應(yīng)用主要不在于這樣的“應(yīng)用”，更重要的是，這種“聯(lián)系”不行能總是結(jié)合學(xué)生的“現(xiàn)實(shí)”的，正如卡爾松說的“現(xiàn)實(shí)是主體和時(shí)間的函數(shù)，對(duì)我是現(xiàn)實(shí)的，對(duì)別人未必是現(xiàn)實(shí)的，在過去是現(xiàn)實(shí)的，現(xiàn)在不肯定再是現(xiàn)實(shí)的了”?？梢娨拐n程有“應(yīng)用”性是既困難，又有待長(zhǎng)期解決的問題。前面說的都是用來為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)的“現(xiàn)實(shí)”例子，當(dāng)數(shù)學(xué)為現(xiàn)實(shí)服務(wù)時(shí)，狀況就完全不同了，它是完全不同的一種例子，它是用數(shù)學(xué)去描述、理解和解決學(xué)生熟識(shí)的社會(huì)現(xiàn)實(shí)問題，這種問題不僅有社會(huì)意義，而且不局限于單一的數(shù)學(xué)，還要用到學(xué)生多方面的學(xué)問。聞名數(shù)學(xué)教化家弗蘭登塔爾曾對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)表示了憂慮，他認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)講授從豐富的現(xiàn)實(shí)情境中抽象出這些結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)發(fā)覺過程。學(xué)習(xí)是指形成這種系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，而不是系統(tǒng)化的最終結(jié)果。因?yàn)橄到y(tǒng)化的最終結(jié)果是一個(gè)系統(tǒng)，是一個(gè)美麗的封閉系統(tǒng)，甚至封閉到?jīng)]有入口和出口……學(xué)生所要學(xué)習(xí)的不是作為一個(gè)封閉系統(tǒng)的數(shù)學(xué)，而是作為一項(xiàng)人類活動(dòng)的數(shù)學(xué)，即從現(xiàn)實(shí)生活動(dòng)身的數(shù)學(xué)化過程。假如須要，也可以包括從數(shù)學(xué)本身動(dòng)身的數(shù)學(xué)化過程。學(xué)生應(yīng)當(dāng)形成一個(gè)相對(duì)開放的系統(tǒng)，至少是一個(gè)既有入口又有出口的封閉系統(tǒng)。“問題解決”恰恰反映了“入口”和“出口”問題，即從現(xiàn)實(shí)情景（“入口”）動(dòng)身，這里所說的現(xiàn)實(shí)情景，既包括客觀的世界和現(xiàn)實(shí)的生活，又包括學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。事實(shí)上，這是應(yīng)用的一個(gè)特別重要的方面。所謂“出口”，是指數(shù)學(xué)學(xué)問應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)情景中去。我們所說的應(yīng)用，不僅僅是解決出口問題，更重要的是解決入口問題，即從現(xiàn)實(shí)情景引入數(shù)學(xué)，讓學(xué)生隨時(shí)隨地都感到數(shù)學(xué)就在我身邊。我國(guó)的一些數(shù)學(xué)教化工作者提出的“掐頭去尾燒中段”與“入口”和“出口”的觀點(diǎn)可以說不謀而和，他們都強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)完整過程，要了解數(shù)學(xué)的來龍去脈。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用現(xiàn)已成為各國(guó)數(shù)學(xué)課程教材改革的共同特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)課程、教科書中更加重視應(yīng)用。在處理數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)，更多地遵循“實(shí)際問題→數(shù)學(xué)概念→實(shí)際問題”這個(gè)模式來綻開。很多教科書面對(duì)現(xiàn)實(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)問的引入以閱讀材料的方式出現(xiàn)。這些材料內(nèi)容廣泛，形式各異，圖文并茂，有生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問題，有讓人著迷的數(shù)學(xué)史，有發(fā)人深思的懸念，也有尚未解決的各種實(shí)際問題，還有現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的最新發(fā)展等。教科書中每節(jié)后，還支配大量與現(xiàn)實(shí)世界結(jié)合并帶有挑戰(zhàn)性的問題，供學(xué)生探討、思索和實(shí)踐，并對(duì)每一問題在題首注明數(shù)學(xué)學(xué)問被應(yīng)用的領(lǐng)域（例如天文、建筑、管理、經(jīng)濟(jì)、物理、化學(xué)等），讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)與其他學(xué)科和科學(xué)之間的聯(lián)系?？傊瑪?shù)學(xué)教化改革中對(duì)于應(yīng)讓學(xué)生相識(shí)有關(guān)學(xué)問的來龍去脈已形成共識(shí)?！度罩埔话愀呒?jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試驗(yàn)修訂版）》（以下簡(jiǎn)稱《大綱》）進(jìn)一步突出了理論聯(lián)系實(shí)際，加強(qiáng)應(yīng)用?！芭嘤鉀Q實(shí)際問題的實(shí)力，并逐步形成數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)”是中學(xué)數(shù)學(xué)的教目的之一。解決實(shí)際問題的實(shí)力是指：會(huì)提出、分析和解決帶有實(shí)際意義的或在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)和生活中的數(shù)學(xué)問題；會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、進(jìn)行溝通，形成用數(shù)學(xué)的意識(shí)。數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)主要是指：對(duì)自然界和社會(huì)中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象具有新奇心，不斷追求新知，獨(dú)立思索，會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)覺和提出問題，加以探究和探討?！洞缶V》在“教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)”“教學(xué)中需留意的幾個(gè)問題”等處，對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問解決實(shí)際問題只做了原則性的說明。《大綱》中規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求由教科書、老師的教學(xué)、學(xué)生的學(xué)習(xí)等多種渠道來體現(xiàn)，教科書如何更好地貫徹大綱中的“應(yīng)用”，對(duì)編者來說，有一個(gè)再發(fā)覺、再創(chuàng)建的過程。我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)應(yīng)用不僅包括人們常講的用數(shù)學(xué)的結(jié)論，用數(shù)學(xué)的方法，用數(shù)學(xué)的思想，還包括用數(shù)學(xué)的語言，用數(shù)學(xué)的觀念，用數(shù)學(xué)的精神。因此，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程教材中的應(yīng)用，并不是僅僅通過“增加一些有用的數(shù)學(xué)內(nèi)容”，，“在例題和習(xí)題中增加一些應(yīng)用題”，而是要在教材設(shè)計(jì)、編排體系等方面做更深層次的考慮。三、中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的“應(yīng)用”下面以《全日制一般高級(jí)中學(xué)教科書（試驗(yàn)修訂本）數(shù)學(xué)第一冊(cè)（上）為例》，對(duì)“應(yīng)用”進(jìn)行具體的分析：1．教學(xué)內(nèi)容的選取學(xué)問點(diǎn)：函數(shù)的應(yīng)用舉例。實(shí)習(xí)作業(yè)。等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式。等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式。等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式。探討性課題：數(shù)列在分期付款中的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)潔的實(shí)際問題。實(shí)習(xí)作業(yè)已函數(shù)應(yīng)用為內(nèi)容，培育學(xué)生應(yīng)用函數(shù)學(xué)問解決實(shí)際問題的實(shí)力。理解等差數(shù)列的概念，駕馭等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)潔的問題。理解等比數(shù)列的概念，駕馭等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)潔的問題。毋庸諱言，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教科書主要是以數(shù)學(xué)學(xué)問為中心，進(jìn)行教材的設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)的組織基本上以數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在邏輯依次為主線。2．教學(xué)內(nèi)容的處理（1）正文：“2.2函數(shù)一節(jié)中”例5在國(guó)內(nèi)投寄外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g而不超過40g付郵資160分，依此類推，試建立平信應(yīng)付郵資（單位：分）的函數(shù)關(guān)系，并畫出圖象。這是幾乎每個(gè)人在現(xiàn)實(shí)生活中都會(huì)遇到的問題，也即現(xiàn)實(shí)情境（問題情境），建立函數(shù)關(guān)系式（數(shù)學(xué)模型）：當(dāng)郵寄35g的外埠平信時(shí)，從圖象中可以看出，應(yīng)付160分的郵資（應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)情境中去）。這是一個(gè)比較簡(jiǎn)潔的“數(shù)學(xué)建?！边^程：?jiǎn)栴}情境→建立模型→說明與應(yīng)用?？梢哉f，在肯定程度上，“數(shù)學(xué)建模”使應(yīng)用更現(xiàn)實(shí)化。學(xué)生看到數(shù)學(xué)如何才能應(yīng)用到真正的“現(xiàn)實(shí)生活”問題中，并且渴望獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動(dòng)力，會(huì)自然地找尋“數(shù)學(xué)建?！钡臋C(jī)會(huì)。在解決實(shí)際問題中，“會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、進(jìn)行溝通，形成用數(shù)學(xué)的意識(shí)”是應(yīng)用的一個(gè)重要的方面。從上例中可以看出，在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，自然經(jīng)驗(yàn)自然語言、數(shù)學(xué)語言（函數(shù)關(guān)系式）、圖形語言（函數(shù)圖象）相互轉(zhuǎn)化的過程。(２）閱讀材料自由落體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型該閱讀材料結(jié)合典型事例，具體地介紹了數(shù)學(xué)模型的概念、數(shù)學(xué)模型建立過程，以及利用數(shù)學(xué)模型方法解決問題的基本步驟。（３）探討性課題：數(shù)列在分期付款中的作用探討性課題主要是指對(duì)某些數(shù)學(xué)問題的深化探討，或者從數(shù)學(xué)角度對(duì)某些日常生活和其他學(xué)科中出現(xiàn)的問題進(jìn)行探討。充分地體現(xiàn)學(xué)生的自主活動(dòng)和合作活動(dòng)。探討性課題應(yīng)以所學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)問為基礎(chǔ)，并且親密結(jié)合生活和生產(chǎn)實(shí)際?？梢詭熒詳M課題。提倡老師和學(xué)生自己提出問題。四、應(yīng)留意的幾個(gè)問題（一）應(yīng)用的層次性單就出口而言，有以下幾個(gè)層次：1．在數(shù)學(xué)學(xué)科本身的應(yīng)用。由于數(shù)學(xué)學(xué)科本身具有邏輯嚴(yán)密的特點(diǎn)，前面學(xué)問的學(xué)習(xí)為學(xué)習(xí)后面的學(xué)問做打算。換句話說，前面的學(xué)問要應(yīng)用到后面學(xué)問的學(xué)習(xí)中。2．在其他相關(guān)學(xué)科的應(yīng)用，特殊是物理及工程技術(shù)中的應(yīng)用。3．應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)情境中去由于中學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)問終歸還是有限的，他們用數(shù)學(xué)學(xué)問解決的現(xiàn)實(shí)問題，與應(yīng)用數(shù)學(xué)家所面臨的現(xiàn)實(shí)問題相比，充其量是個(gè)“準(zhǔn)數(shù)學(xué)問題”，至少是“半數(shù)學(xué)化”的問題，是一個(gè)經(jīng)過人為加工的“數(shù)學(xué)半成品”。4．發(fā)覺問題、提出問題、分析問題、解決問題這四者之間，能夠發(fā)覺問題、提出問題，這是要求最高的。能夠解決已經(jīng)“數(shù)學(xué)化”了的問題，對(duì)學(xué)生來講，是個(gè)技能化的過程。而能夠發(fā)覺問題、提出問題、分析問題則是一個(gè)實(shí)力問題。5．?dāng)?shù)學(xué)語言的敏捷運(yùn)用是應(yīng)用的最高層次，特殊是自然語言、數(shù)學(xué)語言、圖形語言的相互轉(zhuǎn)化，以及用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行溝通。（二）應(yīng)用與基礎(chǔ)學(xué)問的關(guān)系對(duì)中學(xué)學(xué)生來講，駕馭數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)問應(yīng)當(dāng)是教學(xué)的首要目標(biāo)，應(yīng)用是以駕馭數(shù)學(xué)學(xué)問為前提的。應(yīng)用不僅僅是目的，更重要的是過程，即我們不僅要使學(xué)生樹立起數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，相識(shí)到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性特點(diǎn)和應(yīng)用價(jià)值，具備應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的規(guī)律性相識(shí)和操作性實(shí)力，而且還要切切實(shí)實(shí)讓學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)中駕馭基礎(chǔ)學(xué)問和數(shù)學(xué)方法，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)語言，并受到數(shù)學(xué)文化的熏陶。很難想象，沒有扎實(shí)的基礎(chǔ)學(xué)問，談何應(yīng)用？（三）應(yīng)用與計(jì)算機(jī)（器）計(jì)算機(jī)（器）的普及，為數(shù)學(xué)的應(yīng)用供應(yīng)了先進(jìn)的計(jì)算工具，更便于處理實(shí)際數(shù)據(jù)，使應(yīng)用問題更加真實(shí)，切合實(shí)際；良好的演示平臺(tái)，使數(shù)學(xué)應(yīng)用有了廣袤的空間，計(jì)算機(jī)能夠把靜態(tài)的變成動(dòng)態(tài)的，把抽象的東西具體化，直觀化，使人們的思維能夠得到肯定程度的延長(zhǎng)。（四）從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)活動(dòng)看“應(yīng)用”數(shù)學(xué)不同于其他自然科學(xué)，它具有逐級(jí)抽象的特點(diǎn)。從客觀實(shí)際、現(xiàn)實(shí)世界中的抽象只是數(shù)學(xué)的低級(jí)抽象；脫離具體事和物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學(xué)探討的對(duì)象是數(shù)學(xué)的高級(jí)抽象。高級(jí)抽象是在低級(jí)抽象基礎(chǔ)上的進(jìn)一步抽象，它的探討對(duì)象是一種形式化的