高中數(shù)學(xué)競賽大綱(修訂稿)

中學(xué)數(shù)學(xué)競賽大綱（修訂稿）

在“普及的基礎(chǔ)上不斷提高”的方針指引下，全國數(shù)學(xué)競賽活動方興未艾，特殊是連續(xù)幾年我國選手在國際數(shù)學(xué)奧林匹克中取得了可喜的成果，使廣袤中小學(xué)師生和數(shù)學(xué)工作者為之激昂，熱忱不斷高漲，數(shù)學(xué)競賽活動進(jìn)入了一個新的階段。為了使全國數(shù)學(xué)競賽活動長久、健康、逐步深化地開展，應(yīng)廣袤中學(xué)師生和各級數(shù)學(xué)奧林匹克教練員的要求，特制定《數(shù)學(xué)競賽大綱》以適應(yīng)當(dāng)前形勢的須要。

本大綱是在國家教委制定的全日制中學(xué)“數(shù)學(xué)教學(xué)大綱”的精神和基礎(chǔ)上制定的?！督虒W(xué)大綱》在教學(xué)日的一欄中指出：“要培育學(xué)生對數(shù)學(xué)的愛好，激勵學(xué)生為實(shí)現(xiàn)四個現(xiàn)代化學(xué)好數(shù)學(xué)的主動性”。具體作法是：“對學(xué)有余力的學(xué)生，要通過課外活動或開設(shè)選修課等多種方式，充分發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能”，“要重視實(shí)力的培育......，著重培育學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力、邏輯思維實(shí)力和空間想象實(shí)力，要使學(xué)生逐步學(xué)會分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。同時，要重視培育學(xué)生的獨(dú)立思索和自學(xué)的實(shí)力”。

《教學(xué)大綱》中所列出的內(nèi)容，是教學(xué)的要求，也是競賽的最低要求。在競賽中對同樣的學(xué)問內(nèi)容的理解程度與敏捷運(yùn)用實(shí)力，特殊是方法與技巧駕馭的嫻熟程度，有更高的要求。而“課堂教學(xué)為主，課外活動為輔”是必需遵循的原則。因此，本大綱所列的課外講授內(nèi)容必需充分考慮學(xué)生的實(shí)際狀況，分階段、分層次讓學(xué)生逐步地去駕馭，并且要貫徹“少而精”的原則，這樣才能加強(qiáng)基礎(chǔ)，不斷提高。一試

全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽的一試競賽大綱，完全根據(jù)全日制中學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中所規(guī)定的教學(xué)要求和內(nèi)容，即高考所規(guī)定的學(xué)問范圍和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微積分初步不考。二試

1、平面幾何

基本要求：駕馭初中數(shù)學(xué)競賽大綱所確定的全部內(nèi)容。

補(bǔ)充要求：面積和面積方法。

幾個重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

幾個重要的極值：到三角形三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)--費(fèi)馬點(diǎn)。到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)--重心。三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)--重心。

幾何不等式。

簡潔的等周問題。了解下述定理：

在周長肯定的ｎ邊形的集合中，正ｎ邊形的面積最大。

在周長肯定的簡潔閉曲線的集合中，圓的面積最大。

在面積肯定的ｎ邊形的集合中，正ｎ邊形的周長最小。

在面積肯定的簡潔閉曲線的集合中，圓的周長最小。

幾何中的運(yùn)動：反射、平移、旋轉(zhuǎn)。

復(fù)數(shù)方法、向量方法。

平面凸集、凸包及應(yīng)用。

2、代數(shù)

在一試大綱的基礎(chǔ)上另外要求的內(nèi)容：

周期函數(shù)與周期，帶肯定值的函數(shù)的圖像。

三倍角公式，三角形的一些簡潔的恒等式，三角不等式。

其次數(shù)學(xué)歸納法。

遞歸，一階、二階遞歸，特征方程法。

函數(shù)迭代，求ｎ次迭代，簡潔的函數(shù)方程。

ｎ個變元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及應(yīng)用。

復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，歐拉公式，棣美弗定理，單位根，單位根的應(yīng)用。

圓排列，有重復(fù)的排列與組合，簡潔的組合恒等式。

一元n次方程（多項式）根的個數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實(shí)系數(shù)方程虛根成對定理。

簡潔的初等數(shù)論問題，除初中大綱中所包括的內(nèi)容外，還應(yīng)包括無窮遞降法，同余，歐幾里得除法，非負(fù)最小完全剩余類，高斯函數(shù)，費(fèi)馬小定理，歐拉函數(shù)，孫子定理，格點(diǎn)及其性質(zhì)。

3、立體幾何

多面角，多面角的性質(zhì)。三面角、直三面角的基本性質(zhì)。

正多面體，歐拉定理。

體積證法。

截面，會作截面、表面綻開圖。

4、平面解析幾何

直線的法線式，直線的極坐標(biāo)方程，直線束及其應(yīng)用。

二元一次不等式表示的區(qū)域。

三角形的面積公式。

圓錐曲線的切線和法線。

圓的冪和根軸。

5、其它

抽屜原理。

容斤原理。

極端原理。

集合的劃分。

覆蓋。新高一生如何適應(yīng)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)隨著學(xué)習(xí)的深化，數(shù)學(xué)成果的分化是必定的，那么成果落后的緣由何在？學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有困難的新高一同學(xué)應(yīng)怎樣順當(dāng)度過適應(yīng)期呢？

【緣由一】中學(xué)數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)相比，難度提高。因此會有少部分新高一生一時無法適應(yīng)。表現(xiàn)在上課都聽懂，作業(yè)不會做；或即使做出來，老師批改后才知道有多處錯誤，這種現(xiàn)象被戲稱為“一聽就懂，一看就會，一做就錯”。因此有些家長會認(rèn)為孩子在初中數(shù)學(xué)考試都接近滿分，怎么到了中學(xué)會考試不及格？！

【應(yīng)對方法】要透徹理解書本上和課堂上老師補(bǔ)充的內(nèi)容，有時要反復(fù)思索、一再探討，要能在理解的基礎(chǔ)上舉一反三，并在勤學(xué)的基礎(chǔ)上好問。

【緣由二】初、中學(xué)不同學(xué)習(xí)階段對數(shù)學(xué)的不同要求所致。中學(xué)考試平均分一般要求在70分左右。假如一個班有50名學(xué)生，通常會有10個以下不及格，90分以上人數(shù)較少。有些同學(xué)和家長不了解這些狀況，對初三時的成果接近滿分到高一起先時的不及格這個落差感到不行思議，重點(diǎn)中學(xué)的學(xué)生及其家長會特殊有壓力。

【應(yīng)對方法】看學(xué)生的成果不能僅看分?jǐn)?shù)值，關(guān)鍵要看在班級或年級的相對位置，同時還要看學(xué)生所在學(xué)校在全市所處的位置，綜合考慮就會心理平衡，不必要的負(fù)擔(dān)也就隨之而去。

【緣由三】學(xué)習(xí)方法的不適應(yīng)。中學(xué)數(shù)學(xué)與初中相比，內(nèi)容多、進(jìn)度快、題目難，課堂聽懂作業(yè)卻經(jīng)?？目慕O絆，由于各科信息量都較大，假如不能有效地復(fù)習(xí)，前學(xué)后忘的現(xiàn)象比較嚴(yán)峻。

【應(yīng)對方法】課堂上不僅要聽懂，還要把老師補(bǔ)充的內(nèi)容適當(dāng)?shù)氐怯泚恚n后最好把所學(xué)的內(nèi)容消化后再做作業(yè)，不要一邊做題一邊看筆記或看公式。課后盡可能再選擇一些相關(guān)問題來練習(xí)，以便做到觸類旁通。

【緣由四】思想上有所放松。由于初三學(xué)習(xí)比較辛苦，到高一部分同學(xué)會有松口氣的想法，因?yàn)殡x高考終歸還有三年時間，尤其是初三靠舍命補(bǔ)課突擊上來的部分同學(xué)，還希望“重溫舊夢”，這是很危急的想法。假如高一基礎(chǔ)太差，希望高三突擊，實(shí)踐表明多數(shù)同學(xué)會落空。部分智力較好的男生“恃才傲物”，解題只追求答案的正確性，書寫不規(guī)范，考試時丟分嚴(yán)峻。

【應(yīng)對方法】高一的課程內(nèi)容不得懈怠，函數(shù)學(xué)問貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的始終，函數(shù)思想更是解決很多問題的利器，學(xué)好函數(shù)對整個中學(xué)數(shù)學(xué)都很重要，放松不得。在高一起先時養(yǎng)成勤奮、刻苦的學(xué)習(xí)看法，嚴(yán)謹(jǐn)、仔細(xì)的學(xué)習(xí)習(xí)慣和方法特別重要。中學(xué)數(shù)學(xué)有十幾章內(nèi)容，高一數(shù)學(xué)主要是函數(shù)，有些同學(xué)函數(shù)學(xué)得不怎么好，但高二立體幾何、解析幾何卻能學(xué)得不錯，因此，肯定要用改變的觀點(diǎn)對待學(xué)生。激勵和自信是永不失效的教化法寶。中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中應(yīng)用問題初探課程教材探討所張勁松－、數(shù)學(xué)及其應(yīng)用數(shù)學(xué)是探討空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。當(dāng)代數(shù)學(xué)能夠處理科學(xué)中的數(shù)據(jù)和觀測資料，進(jìn)行推理、演繹、證明，可供應(yīng)自然現(xiàn)象、社會系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)：高度抽象性、邏輯嚴(yán)密性、應(yīng)用的廣泛性。隨著社會的發(fā)展，數(shù)學(xué)的地位日益提高，應(yīng)用越來越廣泛。它是人們參與社會生活、從事生產(chǎn)勞動和學(xué)習(xí)、探討現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)；它在培育思維品質(zhì)，提高思維水平方面發(fā)揮著特有的作用；它的內(nèi)容、思想、方法和語言已成為現(xiàn)代文化的重要組成部分。１９５９年５月，華羅庚教授在《人民日報》發(fā)表了《大哉數(shù)學(xué)之為用》一文，精彩地敘述數(shù)學(xué)在“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁”等各方面的應(yīng)用；進(jìn)入九十年頭，中國科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部在《今日數(shù)學(xué)及其應(yīng)用》（王梓坤執(zhí)筆）一文中，對數(shù)學(xué)及其應(yīng)用進(jìn)行了酣暢淋漓的論述。正如該文的第一句話：“本文的目的是雙重的和互補(bǔ)的：一是論述數(shù)學(xué)在國富民強(qiáng)中的重要意義；二是通過近年來數(shù)學(xué)在我國的很多應(yīng)用來證明這種意義的真實(shí)性，從而希望提高人們對數(shù)學(xué)的相識?！睌?shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展對數(shù)學(xué)課程教材的建設(shè)起著至關(guān)重要的作用。二、數(shù)學(xué)課程改革中的“應(yīng)用”近年來，數(shù)學(xué)教化界內(nèi)的“問題解決”、數(shù)學(xué)建模等無一例外地把應(yīng)用提高到一個特別高的程度，因此，正確理解“應(yīng)用”就成為一個特別重要的問題。對于“問題解決”、“大眾數(shù)學(xué)”、“數(shù)學(xué)建?！?、“應(yīng)用”等等，對于使數(shù)學(xué)課程“貼近”實(shí)際，歷史上已作了很多探討。事實(shí)上，理論與實(shí)踐相結(jié)合是數(shù)學(xué)課程教材改革的重要目標(biāo)之一。在兩千多年前，數(shù)學(xué)教化就存在著著眼于好用和訓(xùn)練思維的兩大目標(biāo)。今日數(shù)學(xué)的內(nèi)容大大地豐富和深化了，實(shí)際應(yīng)用和訓(xùn)練思維的涵義也大大拓展了。歸根究竟，數(shù)學(xué)教化的目的除思想教化方針之外，仍舊是這兩個目標(biāo)的結(jié)合。數(shù)學(xué)就自身發(fā)展來說，始終是理論與實(shí)踐親密結(jié)合一門科學(xué)。綜觀數(shù)學(xué)教化史，我們不難發(fā)覺，數(shù)學(xué)教學(xué)總是具有很強(qiáng)職業(yè)成分，只是隨著中學(xué)和高校的學(xué)院化，數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系才被忽視，但是如何人教“應(yīng)用”和運(yùn)用“現(xiàn)實(shí)生活”例子為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)仍有待探討。應(yīng)用在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以有很多說明，有些人為的，非現(xiàn)實(shí)生活的例子，也可能有重要的教化價值，能養(yǎng)成學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的技能，不能一概否定；還有一類傳統(tǒng)的例子是過分“現(xiàn)實(shí)”的，是干脆從職業(yè)中拿出來的，如儲蓄、稅收等，這就有一個誰的“現(xiàn)實(shí)”的問題。這些例子只是社會的一些特殊須要，不足取。就算解除了這類實(shí)例，還會有多種形式體現(xiàn)“應(yīng)用”。比如，守門員如何占位才能縮小對手的射門角度？這些問題把數(shù)學(xué)與實(shí)際情境聯(lián)系在一起，對一些學(xué)生有吸引力，但并不是真用數(shù)學(xué)解決問題，沒有哪個球員會這樣去計算他們站立的位置。數(shù)學(xué)的應(yīng)用主要不在于這樣的“應(yīng)用”，更重要的是，這種“聯(lián)系”不行能總是結(jié)合學(xué)生的“現(xiàn)實(shí)”的，正如卡爾松說的“現(xiàn)實(shí)是主體和時間的函數(shù)，對我是現(xiàn)實(shí)的，對別人未必是現(xiàn)實(shí)的，在過去是現(xiàn)實(shí)的，現(xiàn)在不肯定再是現(xiàn)實(shí)的了”?？梢娨拐n程有“應(yīng)用”性是既困難，又有待長期解決的問題。前面說的都是用來為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)的“現(xiàn)實(shí)”例子，當(dāng)數(shù)學(xué)為現(xiàn)實(shí)服務(wù)時，狀況就完全不同了，它是完全不同的一種例子，它是用數(shù)學(xué)去描述、理解和解決學(xué)生熟識的社會現(xiàn)實(shí)問題，這種問題不僅有社會意義，而且不局限于單一的數(shù)學(xué)，還要用到學(xué)生多方面的學(xué)問。聞名數(shù)學(xué)教化家弗蘭登塔爾曾對數(shù)學(xué)教學(xué)表示了憂慮，他認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)講授從豐富的現(xiàn)實(shí)情境中抽象出這些結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)發(fā)覺過程。學(xué)習(xí)是指形成這種系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)活動過程，而不是系統(tǒng)化的最終結(jié)果。因?yàn)橄到y(tǒng)化的最終結(jié)果是一個系統(tǒng)，是一個美麗的封閉系統(tǒng)，甚至封閉到?jīng)]有入口和出口……學(xué)生所要學(xué)習(xí)的不是作為一個封閉系統(tǒng)的數(shù)學(xué)，而是作為一項人類活動的數(shù)學(xué)，即從現(xiàn)實(shí)生活動身的數(shù)學(xué)化過程。假如須要，也可以包括從數(shù)學(xué)本身動身的數(shù)學(xué)化過程。學(xué)生應(yīng)當(dāng)形成一個相對開放的系統(tǒng)，至少是一個既有入口又有出口的封閉系統(tǒng)。“問題解決”恰恰反映了“入口”和“出口”問題，即從現(xiàn)實(shí)情景（“入口”）動身，這里所說的現(xiàn)實(shí)情景，既包括客觀的世界和現(xiàn)實(shí)的生活，又包括學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。事實(shí)上，這是應(yīng)用的一個特別重要的方面。所謂“出口”，是指數(shù)學(xué)學(xué)問應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)情景中去。我們所說的應(yīng)用，不僅僅是解決出口問題，更重要的是解決入口問題，即從現(xiàn)實(shí)情景引入數(shù)學(xué)，讓學(xué)生隨時隨地都感到數(shù)學(xué)就在我身邊。我國的一些數(shù)學(xué)教化工作者提出的“掐頭去尾燒中段”與“入口”和“出口”的觀點(diǎn)可以說不謀而和，他們都強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個完整過程，要了解數(shù)學(xué)的來龍去脈。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用現(xiàn)已成為各國數(shù)學(xué)課程教材改革的共同特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)課程、教科書中更加重視應(yīng)用。在處理數(shù)學(xué)內(nèi)容時，更多地遵循“實(shí)際問題→數(shù)學(xué)概念→實(shí)際問題”這個模式來綻開。很多教科書面對現(xiàn)實(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)問的引入以閱讀材料的方式出現(xiàn)。這些材料內(nèi)容廣泛，形式各異，圖文并茂，有生動具體的現(xiàn)實(shí)問題，有讓人著迷的數(shù)學(xué)史，有發(fā)人深思的懸念，也有尚未解決的各種實(shí)際問題，還有現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的最新發(fā)展等。教科書中每節(jié)后，還支配大量與現(xiàn)實(shí)世界結(jié)合并帶有挑戰(zhàn)性的問題，供學(xué)生探討、思索和實(shí)踐，并對每一問題在題首注明數(shù)學(xué)學(xué)問被應(yīng)用的領(lǐng)域（例如天文、建筑、管理、經(jīng)濟(jì)、物理、化學(xué)等），讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)與其他學(xué)科和科學(xué)之間的聯(lián)系?？傊?，數(shù)學(xué)教化改革中對于應(yīng)讓學(xué)生相識有關(guān)學(xué)問的來龍去脈已形成共識?！度罩埔话愀呒壷袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試驗(yàn)修訂版）》（以下簡稱《大綱》）進(jìn)一步突出了理論聯(lián)系實(shí)際，加強(qiáng)應(yīng)用。“培育解決實(shí)際問題的實(shí)力，并逐步形成數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識”是中學(xué)數(shù)學(xué)的教目的之一。解決實(shí)際問題的實(shí)力是指：會提出、分析和解決帶有實(shí)際意義的或在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)和生活中的數(shù)學(xué)問題；會運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、進(jìn)行溝通，形成用數(shù)學(xué)的意識。數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識主要是指：對自然界和社會中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象具有新奇心，不斷追求新知，獨(dú)立思索，會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)覺和提出問題，加以探究和探討?！洞缶V》在“教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)”“教學(xué)中需留意的幾個問題”等處，對應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問解決實(shí)際問題只做了原則性的說明。《大綱》中規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求由教科書、老師的教學(xué)、學(xué)生的學(xué)習(xí)等多種渠道來體現(xiàn)，教科書如何更好地貫徹大綱中的“應(yīng)用”，對編者來說，有一個再發(fā)覺、再創(chuàng)建的過程。我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)應(yīng)用不僅包括人們常講的用數(shù)學(xué)的結(jié)論，用數(shù)學(xué)的方法，用數(shù)學(xué)的思想，還包括用數(shù)學(xué)的語言，用數(shù)學(xué)的觀念，用數(shù)學(xué)的精神。因此，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程教材中的應(yīng)用，并不是僅僅通過“增加一些有用的數(shù)學(xué)內(nèi)容”，，“在例題和習(xí)題中增加一些應(yīng)用題”，而是要在教材設(shè)計、編排體系等方面做更深層次的考慮。三、中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的“應(yīng)用”下面以《全日制一般高級中學(xué)教科書（試驗(yàn)修訂本）數(shù)學(xué)第一冊（上）為例》，對“應(yīng)用”進(jìn)行具體的分析：1．教學(xué)內(nèi)容的選取學(xué)問點(diǎn)：函數(shù)的應(yīng)用舉例。實(shí)習(xí)作業(yè)。等差數(shù)列及其通項公式。等差數(shù)列前n項和公式。等比數(shù)列及其通項公式。等比數(shù)列前n項和公式。探討性課題：數(shù)列在分期付款中的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡潔的實(shí)際問題。實(shí)習(xí)作業(yè)已函數(shù)應(yīng)用為內(nèi)容，培育學(xué)生應(yīng)用函數(shù)學(xué)問解決實(shí)際問題的實(shí)力。理解等差數(shù)列的概念，駕馭等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能運(yùn)用公式解決簡潔的問題。理解等比數(shù)列的概念，駕馭等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能運(yùn)用公式解決簡潔的問題。毋庸諱言，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教科書主要是以數(shù)學(xué)學(xué)問為中心，進(jìn)行教材的設(shè)計；數(shù)學(xué)的組織基本上以數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在邏輯依次為主線。2．教學(xué)內(nèi)容的處理（1）正文：“2.2函數(shù)一節(jié)中”例5在國內(nèi)投寄外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g而不超過40g付郵資160分，依此類推，試建立平信應(yīng)付郵資（單位：分）的函數(shù)關(guān)系，并畫出圖象。這是幾乎每個人在現(xiàn)實(shí)生活中都會遇到的問題，也即現(xiàn)實(shí)情境（問題情境），建立函數(shù)關(guān)系式（數(shù)學(xué)模型）：當(dāng)郵寄35g的外埠平信時，從圖象中可以看出，應(yīng)付160分的郵資（應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)情境中去）。這是一個比較簡潔的“數(shù)學(xué)建?！边^程：問題情境→建立模型→說明與應(yīng)用?？梢哉f，在肯定程度上，“數(shù)學(xué)建?！笔箲?yīng)用更現(xiàn)實(shí)化。學(xué)生看到數(shù)學(xué)如何才能應(yīng)用到真正的“現(xiàn)實(shí)生活”問題中，并且渴望獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動力，會自然地找尋“數(shù)學(xué)建?！钡臋C(jī)會。在解決實(shí)際問題中，“會運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、進(jìn)行溝通，形成用數(shù)學(xué)的意識”是應(yīng)用的一個重要的方面。從上例中可以看出，在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，自然經(jīng)驗(yàn)自然語言、數(shù)學(xué)語言（函數(shù)關(guān)系式）、圖形語言（函數(shù)圖象）相互轉(zhuǎn)化的過程。(２）閱讀材料自由落體運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型該閱讀材料結(jié)合典型事例，具體地介紹了數(shù)學(xué)模型的概念、數(shù)學(xué)模型建立過程，以及利用數(shù)學(xué)模型方法解決問題的基本步驟。（３）探討性課題：數(shù)列在分期付款中的作用探討性課題主要是指對某些數(shù)學(xué)問題的深化探討，或者從數(shù)學(xué)角度對某些日常生活和其他學(xué)科中出現(xiàn)的問題進(jìn)行探討。充分地體現(xiàn)學(xué)生的自主活動和合作活動。探討性課題應(yīng)以所學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)問為基礎(chǔ)，并且親密結(jié)合生活和生產(chǎn)實(shí)際。可以師生自擬課題。提倡老師和學(xué)生自己提出問題。四、應(yīng)留意的幾個問題（一）應(yīng)用的層次性單就出口而言，有以下幾個層次：1．在數(shù)學(xué)學(xué)科本身的應(yīng)用。由于數(shù)學(xué)學(xué)科本身具有邏輯嚴(yán)密的特點(diǎn)，前面學(xué)問的學(xué)習(xí)為學(xué)習(xí)后面的學(xué)問做打算。換句話說，前面的學(xué)問要應(yīng)用到后面學(xué)問的學(xué)習(xí)中。2．在其他相關(guān)學(xué)科的應(yīng)用，特殊是物理及工程技術(shù)中的應(yīng)用。3．應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)情境中去由于中學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)問終歸還是有限的，他們用數(shù)學(xué)學(xué)問解決的現(xiàn)實(shí)問題，與應(yīng)用數(shù)學(xué)家所面臨的現(xiàn)實(shí)問題相比，充其量是個“準(zhǔn)數(shù)學(xué)問題”，至少是“半數(shù)學(xué)化”的問題，是一個經(jīng)過人為加工的“數(shù)學(xué)半成品”。4．發(fā)覺問題、提出問題、分析問題、解決問題這四者之間，能夠發(fā)覺問題、提出問題，這是要求最高的。能夠解決已經(jīng)“數(shù)學(xué)化”了的問題，對學(xué)生來講，是個技能化的過程。而能夠發(fā)覺問題、提出問題、分析問題則是一個實(shí)力問題。5．?dāng)?shù)學(xué)語言的敏捷運(yùn)用是應(yīng)用的最高層次，特殊是自然語言、數(shù)學(xué)語言、圖形語言的相互轉(zhuǎn)化，以及用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行溝通。（二）應(yīng)用與基礎(chǔ)學(xué)問的關(guān)系對中學(xué)學(xué)生來講，駕馭數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)問應(yīng)當(dāng)是教學(xué)的首要目標(biāo)，應(yīng)用是以駕馭數(shù)學(xué)學(xué)問為前提的。應(yīng)用不僅僅是目的，更重要的是過程，即我們不僅要使學(xué)生樹立起數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，相識到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性特點(diǎn)和應(yīng)用價值，具備應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的規(guī)律性相識和操作性實(shí)力，而且還要切切實(shí)實(shí)讓學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)中駕馭基礎(chǔ)學(xué)問和數(shù)學(xué)方法，學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)語言，并受到數(shù)學(xué)文化的熏陶。很難想象，沒有扎實(shí)的基礎(chǔ)學(xué)問，談何應(yīng)用？（三）應(yīng)用與計算機(jī)（器）計算機(jī)（器）的普及，為數(shù)學(xué)的應(yīng)用供應(yīng)了先進(jìn)的計算工具，更便于處理實(shí)際數(shù)據(jù)，使應(yīng)用問題更加真實(shí)，切合實(shí)際；良好的演示平臺，使數(shù)學(xué)應(yīng)用有了廣袤的空間，計算機(jī)能夠把靜態(tài)的變成動態(tài)的，把抽象的東西具體化，直觀化，使人們的思維能夠得到肯定程度的延長。（四）從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)活動看“應(yīng)用”數(shù)學(xué)不同于其他自然科學(xué)，它具有逐級抽象的特點(diǎn)。從客觀實(shí)際、現(xiàn)實(shí)世界中的抽象只是數(shù)學(xué)的低級抽象；脫離具體事和物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學(xué)探討的對象是數(shù)學(xué)的高級抽象。高級抽象是在低級抽象基礎(chǔ)上的進(jìn)一步抽象，它的探討對象是一種形式化的