2024屆河北省武邑中學(xué)高三上學(xué)期三調(diào)考試數(shù)學(xué)及答案

數(shù)學(xué)試題注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘2．答題前請仔細(xì)閱讀答題卡（紙）上的“注意事項”，按照“注意事項”的規(guī)定答題．3．選擇題答案涂在答題卡上，非選擇題答案寫在答題卡的相應(yīng)位置，在試卷和草稿紙上答題無效．第Ⅰ卷:選擇題（60分）一、單選題，本題共8小題，每題5分，共40分，將答案填涂在答題卡上相應(yīng)位置．x3Bx0Axx2ex1，則AB1.已知全集UR，集合，（）Ux2x1x2x1x2x1x2xA.B.C.D.1iai32a2.已知a為實(shí)數(shù)，若（i（）13122A.1B.C.D.3.已知銳角滿足2cos21sin，則tan（）112A.B.C.2D.334.已知向量a,b,x,y滿足axyabab0xy，且，則等于（）b2xy32535A.2B.C.D.75.已知正三棱柱的高與底面邊長均為2，則該正三棱柱內(nèi)半徑最大的球與其外接球的表面積之比為（）17737217A.B.C.D.76.如圖，當(dāng)甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ角的方向沿直線前往B處救援，則sinθ的值為(??)217235714A.B.C.D.227.設(shè)a2，bsina，ce0.2，則（）：A.abcB.acbC.bcaD.cabx22pyp0與雙曲線Cx23y2有一個公共焦點(diǎn)F，過CP35,4上一點(diǎn)8.拋物線1：22AFBF向1作兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則A.49B.68（）C.32D.52二、多選題：本小題共4小題，全選對得5分，部分選對得2分，多選或錯選均不得分，共計20分，將答案填涂在答題卡的相應(yīng)位置．的前項和為SnN其中為常數(shù)）aSn2ana(9.已知數(shù)列na)nn一定是等比數(shù)列數(shù)列可能是等差數(shù)列anaA.數(shù)列C.數(shù)列B.D.n可能是等比數(shù)列數(shù)列可能是等差數(shù)列SnSn10.以下四個命題表述正確的是（）A.直線3mx4y3m0xR恒過定點(diǎn)2,3；B.圓x2y24上有且僅有3個點(diǎn)到直線xy20的距離都等于1y2x0與曲線C：xy4x8ym0C：x2222恰有三條公切線，則m4C.曲線1x22y22ab0)的一條漸近線被圓xy26x0截得的弦長為25，則雙曲線的2D.若雙曲線ab35離心率為．5的11.如圖，棱長為1正方體ABCDAB中，P為線段11111確的是（）πA.直線B.平面1P與AC所成的角可能是6DAPAAP1平面111C.三棱錐的體積為定值A(chǔ)PDD.平面截正方體所得的截面可能是等腰梯形1fxe,gxx，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（12.已知函數(shù)x）yfxegx的極值點(diǎn)為1A.函數(shù)x,fxgx2B.P,Qyfxygx和PQ上的動點(diǎn).則的最小值為2C.若分別是曲線1efaxgx1axD.若對任意的xa恒成立，則的最小值為第Ⅱ卷:非選擇題（90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若直線3x＋4y－8＝0被圓(x－a)2＋y2＝4截得的弦長為23，則a＝______．14.某工廠建造一個無蓋的長方體貯水池，其容積為4800m3，深度為m.如果池底每m2的造價為150元，池壁每m2的造價為120元，要使水池總造價最低，那么水池底部的周長為______m.在圓：x2y2r2（r0）內(nèi)，過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長最小M15.已知點(diǎn)值為8，則CMCr______．2px(p0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，平面上16.已知拋物線C:y2一點(diǎn)M滿足PM9，則直線OM斜率的最大值為_______.四、解答題（本大題滿分70分，每題要求寫出詳細(xì)的解答過程，否則扣分）nn2的前項和a,nN．17.已知數(shù)列nSnn2（1）求數(shù)列的通項公式；an（2）設(shè)bnna，求數(shù)列b的前2n項和．2nnn61122f(x)sinxsinx2x18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；B23,b3，求（2）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f2acosB﹣bcosC的取值范圍.19.已知圓C：x2+y2﹣4y+1＝0，點(diǎn)M（﹣1，﹣1C外一點(diǎn)P向該圓引一條切線，記切點(diǎn)為T．（1）若過點(diǎn)M的直線l與圓交于A，B兩點(diǎn)且|AB|＝22，求直線l的方程；（2）若滿足|PT|＝|PM|，求使|PT|取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)．20.如圖，四棱錐P的底面是等腰梯形，//，BC2AB2AD2，PC3，PC底面ABCD，M為棱AP上的一點(diǎn)．ABCM（1）證明：；17（2）若二面角AM的余弦值為，求的值．17F(2,0)F(2,0)的直線l與曲線C交21.已知曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大2，過點(diǎn)于A，B兩點(diǎn)．（1）求曲線C的方程；（2）若曲線C在A，B處的切線交于點(diǎn)M，求面積的最小值．fxex,kR222.已知函數(shù).fx時，求函數(shù)在2上的值域；k0（1）當(dāng)（2）若函數(shù)在fx上僅有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.k數(shù)學(xué)試題注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘2．答題前請仔細(xì)閱讀答題卡（紙）上的“注意事項”，按照“注意事項”的規(guī)定答題．3．選擇題答案涂在答題卡上，非選擇題答案寫在答題卡的相應(yīng)位置，在試卷和草稿紙上答題無效．第Ⅰ卷:選擇題（60分）一、單選題，本題共8小題，每題5分，共40分，將答案填涂在答題卡上相應(yīng)位置．x3Bx0Axx2ex1，則AB1.已知全集UR，集合，（）Ux2x1x2x1x2x1x2xD.A.B.C.【答案】D【解析】U)BeAU【分析】先分別求出集合A，B，從而求出，由此能求出．【詳解】全集UR，集合x，A{x|x2{x|x2或x3B{x|?{x|?x，x1UA{x|??，U)B{x|?x．故選：D．1iai32a2.已知a為實(shí)數(shù)，若（i（）13122A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】1iaiai，整理為復(fù)數(shù)的一般形式，根據(jù)題中條件計算即可得出結(jié)論.把分子分母同時乘以1ii)(ai)a22a1【詳解】解：i，ai(ai)(ai)a21a122a121aa23,a21212a.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)除法的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.已知銳角滿足2cos21sin，則tan（）112A.B.C.2D.33【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用二倍角公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)的方程，化簡，然后利用同角三角函數(shù)tan關(guān)系求得的值.【詳解】∵1sin2，∴2cos2sin2(sincos)2，2cossinsincos(sincos)即2，又∵為銳角，∴sincos0，∴2cossinsincos，13cos3sin即，∴.故選：A4.已知向量a,b,x,y滿足axyabab0xy，且，則等于（）b2xy32535A.2B.C.D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)方程組求出x，，再分別求它們的模，相加即可.yaxyxab【詳解】由得：，b2xyy2abab1又，b0，22xababa22bb1012，∴2y2ab2ab4a24bb4015.2xy25所以故選：B5.已知正三棱柱的高與底面邊長均為2，則該正三棱柱內(nèi)半徑最大的球與其外接球的表面積之比為.（）17737217A.B.C.D.7【答案】A【解析】【分析】根據(jù)柱體外接球的特點(diǎn)可知，該正三棱柱的外接球的球心在上下底面中心連線的中點(diǎn)處，再根據(jù)勾股定理即可求出外接球的半徑；由正三棱柱的性質(zhì)可知，當(dāng)球半徑r是底面正三角形內(nèi)切圓的半徑時，該內(nèi)切球的半徑最大，由此即可求出該內(nèi)切球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式，即可求出結(jié)果.-ABC-ABC的兩底面中心O，O，1111【詳解】設(shè)正三棱柱，取三棱柱111連結(jié)，取的中點(diǎn)D，連結(jié)BD，則BD為正三棱柱外接球的半徑．11∵是邊長為2的正三角形，O是的中心，2233∴BO3．3121AA11又∵，1273213BD22∴．-ABC外接球的表面積11BD2∴正三棱柱．13根據(jù)題意可知，當(dāng)球半徑r是底面正三角形內(nèi)切圓的半徑時，此時正三棱柱內(nèi)的球半徑最大，即13r3，33-ABC內(nèi)半徑最大的球表面積為11r2所以正三棱柱，1313=所以該正三棱柱內(nèi)半徑最大的球與其外接球的表面積之比為.73故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：①一般地，柱體的外接球的球心在上下底面中心連線的中點(diǎn)處；②柱體的內(nèi)切球的半徑為其中截面內(nèi)切圓的半徑.6.如圖，當(dāng)甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ角的方向沿直線前往B處救援，則sinθ的值為(??)217235714A.B.C.D.22【答案】D【解析】BC理求得sinACBACBsinsin(30ACB)，根據(jù)正弦函數(shù)的兩角和公式，則可得，進(jìn)而利用解決.ABCAC＝10AB＝20∠CAB＝120°.由余弦定理可得BC＝10.又由正弦定理可得?sin∠ACB＝.故sinθ＝sin×＝＝?＝＝×＋.【點(diǎn)睛】該題考查的是利用正余弦定理解決海上救援的問題，在解題的過程中，注意正確分析題中的條件，熟練掌握正余弦定理，將所涉及到的量代入對應(yīng)的式子正確求解即可.7.設(shè)a2，bsina，ce0.2，則（）A.abc【答案】D【解析】B.acbC.bcaD.cabfxexx1，【分析】首先判斷這三個數(shù)與1的大小，確定bac最小；對、先開方，再利用函數(shù)的單調(diào)性判斷他們的大小x0【詳解】∵a1.1.1，bsinace0.2e，01，∴b21.10最小.設(shè)fxexx1x0fxex，則，因為x0，所以，所以在上1fx0fx為增函數(shù).又f00，即f0.102e0.10.110e0.1e0.11.12e0.22，，所以即ca所以.cab.綜上可得：故選：Dfxexx1x0的單調(diào)性比較是難點(diǎn)ac1）先把，開方，利用函數(shù).aca2ln1.1，c0.2（2）也可以先把，取自然對數(shù)：，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來比較它們的大小gxx1x,x02pyp0與雙曲線C.8.拋物線1：x2：x23y2有一個公共焦點(diǎn)F，過CP35,4上一點(diǎn)22AFBF向1作兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則（）A.49B.68C.32D.52【答案】A【解析】【分析】將P坐標(biāo)代入雙曲線方程求得雙曲線的方程，進(jìn)一步求得拋物線的方程中的參數(shù)p,利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求得兩切線的方程，利用韋達(dá)定理求得兩根之和，兩根之積，利用拋物線的定義，將A,B到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，表示為A,B的縱坐標(biāo)的關(guān)系式，求得|AF||BF|關(guān)于A,B縱坐標(biāo)的表達(dá)式.2353423【詳解】由P在雙曲線上，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的方程，，x2b2∴c2b4,∴雙曲線的方程為y21，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，a22a23p2c2,雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為2,拋物線2x2py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,∴p∵拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)重合，∴2，∴拋物線的準(zhǔn)線為y=2，p4，21x28y,即yx2,拋物線的方程為81141Ax,y,Bx,yyxx,x,切線方程分別為12,設(shè),切線PA,PB的斜率分別為11224411y1xxx,yyxxx,2211244181將P的坐標(biāo)及1x21,y2x22代入，并整理得x21651320,22652320,8可得x,x為方程x265x320的兩個實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得12xxxx65,12121818112y2y2x212x222xx2x21x224AFBF112644111142x221x43265=2x122232449,xx12264464故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線與拋物線的方程和性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究切線問題，關(guān)鍵是設(shè)而不求思想和韋達(dá)定理的靈活運(yùn)用.二、多選題：本小題共4小題，全選對得5分，部分選對得2分，多選或錯選均不得分，共計20分，將答案填涂在答題卡的相應(yīng)位置．的前項和為SnN其中為常數(shù)）aSn2ana(9.已知數(shù)列na)nn一定是等比數(shù)列數(shù)列可能是等差數(shù)列anaA.數(shù)列C.數(shù)列B.D.n可能是等比數(shù)列數(shù)列可能是等差數(shù)列SnSn【答案】BD【解析】Sana2aa2a，，分類討論a是否為0，判斷選項正誤.n1n1【分析】由和的關(guān)系求得nS2(aa)n1時，Sa2(aa)a2a，得，1【詳解】因為，當(dāng)nn111將n1代入，得S2(an1a)，aSn1Sn2(an1a)2(ana)，n1n1an12a，n即當(dāng)a0時，a0n，不是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，aSn0，S也是等差數(shù)列；nn2a2)na0aSn2a(2不是等比數(shù)列；n當(dāng)時，是以2a為首項，為公比的等比數(shù)列，2n12故答案為：BD.10.以下四個命題表述正確的是（）A.直線3mx4y3m0xR恒過定點(diǎn)2,3；B.圓x2y24上有且僅有3個點(diǎn)到直線xy20的距離都等于1y2x0與曲線C：xy4x8ym0C：x2222恰有三條公切線，則m4C.曲線1x22y22ab0)的一條漸近線被圓xy26x0截得的弦長為25，則雙曲線的2D.若雙曲線ab35離心率為．5【答案】BCD【解析】【分析】利用直線系方程求解直線所過定點(diǎn)判斷A；求出圓心到直線的距離，結(jié)合圓的半徑判斷B；由圓m6x0所截心距等于半徑和列式求得判斷C；求出雙曲線的一條漸近線方程，利用漸近線被圓x2y2得的弦長為25，結(jié)合弦心距和勾股定理，即可求出雙曲線的離心率，即可判斷選項D是否正確．x30【詳解】由3mx4y3m0xR，得3x4y3mx3，0，聯(lián)立3x4y30x3y33mx4y3m0xR3恒過定點(diǎn)，故A錯誤；解得，∴直線0,0l:xy20的距離等于，∵圓心到直線1∴直線與圓相交，而圓的半徑為2，故到直線距離為1的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個點(diǎn)到直線l:xy20的距離等于1，故B正確；x12y21，曲線C：x12y22x0兩圓有三條公切線，則兩圓外切，曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式x22y4220m0，圓心距為2:x2y24x8ym0化為標(biāo)準(zhǔn)式2122451m420m，解得，故C正確；x2y22ab0)的一條漸近線方程為0，雙曲線a2bbb0的圓心(0)圓x2y26x到雙曲線的漸近線的距離為：，a222b2c2a2c2b2524545953又圓的半徑為，所以9=，解得，所以，即，所以離a2a2a2a2b235心率為e，故D正確．5故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓有關(guān)的線段長問題，一般不是直接求出線段兩端點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求解，而是應(yīng)用幾何方法去求解．122方法是：直線與圓相交時，若l為弦長，d為弦心距，r為半徑，則有r2d2，即l2rd2，求弦長或已知弦長求其他量的值，一般用此公式．2ABCDAB111.如圖，棱長為1的正方體確的是（）中，P為線段1111πA.直線B.平面1P與AC所成的角可能是6DAPAAP1平面111C.三棱錐的體積為定值A(chǔ)PDD.平面截正方體所得的截面可能是等腰梯形1【答案】BCD【解析】【分析】對于A，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法42,1求出直線D1P與AC所成的角為；對于B，由A1D1AA，ADAB，得A1D1平面A1AP，從1116VP而平面DAP平面AAP；對于C，三棱錐D﹣CDP的體積為定值；對于D，當(dāng)111111AP延長線交BB1的中點(diǎn)時，可以得到等腰梯形的截面．【詳解】對于A，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)D0,1,A1,0,0,C0Pa,b0a1,0b110DPa,b1,1DPACa1DP,AC101DPAC11ab222當(dāng)a1時，DP,；12當(dāng)ab1時，DP,AC，14a1120a1,0b1,∴,221a2b22DP,AC1,2442,∴直線D1P與AC所成的角為，故A錯誤；1對于B，正方體ABCD﹣ABCD中，ADAA，ADAB，11111111∵AA1ABAD1A1AP，1＝A，∴平面11∵A1D1平面DAP，∴平面DAP平面A1AP，故B正確；11112對于CS，P到平面CDD1的距離BC＝1，1121∴三棱錐D1﹣CDP的體積：11161P1為定值，故C正確；321APD對于D，當(dāng)AP延長線交BB1的中點(diǎn)E時，設(shè)平面與直線BC交于點(diǎn)F,111APDAPD因為平面ADDA∥平面BCCB,平面∩平面ADDA=AD,平面∩平面BCCB=EF,所以11111111111EF∥AD,∴F為BC的中點(diǎn)，∴截面ADFE為等腰梯形的截面，故D正確；1111故選：BCD．fxe,gxx，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（12.已知函數(shù)x）yfxegx的極值點(diǎn)為1A.函數(shù)x,fxgx2B.P,Qyfxygx和PQ上的動點(diǎn).則的最小值為2C.若分別是曲線1efaxgx1axD.若對任意的xa恒成立，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出極值點(diǎn)；對于B，設(shè)hxfxgx，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可求解；對于C，利用曲yxyx的最小距離dPQ，然后再求的最小值；對于線yex與曲線互為反函數(shù)，可先求點(diǎn)P到xuxD，利用同構(gòu)把恒成立問題轉(zhuǎn)化為axx，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值即可.xeeexyfxxexx．所以yex【詳解】，xx0，當(dāng)0x1時，y0，當(dāng)x1時，yexx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，yfxegx所以所以y的極值點(diǎn)為1，故A正確；1hxfxgxe設(shè)xxhxex，則，xhx由單調(diào)性的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增．111e1x,1h0e00，heee<0,h1e又，則存在．使得00e1e00xxxhx0xhx0時．．x,即，，所以當(dāng)時．，當(dāng)0000所以在0上單調(diào)遞減．在上單調(diào)遞增.hxx,011e1h(x)hxe0ln0x0x，又0,102，所以，則000x,fxgx2所以，故B錯誤；因為函數(shù)fxexgxxyx對稱，與函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于yxfxexyxb，設(shè)點(diǎn)P到的最小距離為d，設(shè)函數(shù)上斜率為1的切線為012fxex，即b1，所以d，由ex1得x0，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，22PQ2，故C正確；所以的最小值為2dfaxgx1ax若對任意的x恒成立，恒成立，則eaxaxxxexx對任意的x令FxxexFx1ex0Fx在上單調(diào)遞增，則axx，，則．所以x1xxuxux，所以即a，令，xxx2xeuxux單調(diào)遞減，當(dāng)0xe時，uxux單調(diào)遞增，當(dāng)時，lnee1e11uea，所以所以u(x)，即的最小值為，故D正確.aee故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.第Ⅱ卷:非選擇題（90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若直線3x＋4y－8＝0被圓(x－a)2＋y2＝4截得的弦長為23，則a＝______．【答案】1或3【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】過C作CDAB，123在Rt△故CDADC中，∠ADC90°＝，，AC2AD2431，因為C(a,0)，a8131，解得a＝1或．a(chǎn)即32423故答案為：1或.314.某工廠建造一個無蓋的長方體貯水池，其容積為4800m3，深度為m.如果池底每m2的造價為150元，池壁每m2的造價為120元，要使水池總造價最低，那么水池底部的周長為______m.【答案】160【解析】4800，然后fx，由題意可得水池總造價m【分析】設(shè)水池底面一邊的長度為，則另一邊的長度為3x利用基本不等式求最值，可得水池總造價最低時的水池底部的周長．4800m，【詳解】設(shè)水池底面一邊的長度為，則另一邊的長度為3x4800348003x由題意可得水池總造價fx15012023x231600240000720x，x0x16001600240000則fx720x2400007202xxx720240240000297600有最小值297600，fx時，xx當(dāng)且僅當(dāng)，即x480040m此時另一邊的長度為，3x因此，當(dāng)水池的底面周長為160m時，水池的總造價最低，最低總造價是元，故答案為160．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式求最值，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，屬于中檔題．在圓：x2y2r2（r0）內(nèi)，過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長最小M15.已知點(diǎn)值為8，則CMCr______．【答案】26【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可求得r的取值范圍，再利用過圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，結(jié)合弦長公式可得到關(guān)于r的方程，求解即可.【詳解】由點(diǎn)在圓C：Mxy222r內(nèi)，且所以3122r，又r0，解得r22231CM過圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，應(yīng)垂直于該定點(diǎn)與圓心的連線，即圓心到直線的距離為又CCM222CM22r8，解得r262所以82r故答案為：2616.已知拋物線C:y2px(p0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，平面上2一點(diǎn)M滿足PM9，則直線OM斜率的最大值為_______.1【答案】【解析】3p【分析】根據(jù)拋物線方程中的幾何意義，結(jié)合共線向量的坐標(biāo)表示公式、直線斜率的公式、基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為拋物線C:y2px(p0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，2p2，，因此該拋物線的方程為y24x，F(xiàn)1,0所以204y,y,Mx,y，設(shè)P0因為PM9，y0109204yy20491xyxx,yy91x,y所以有，0y20y09yx1040設(shè)直線OM斜率為k，yx40360ky0，要想直線OM斜率有最大值，一定有，0則2y4436y013k36xy0，2y0y036y6舍去，y06y，0當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即0y01故答案為：3【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對直線斜率的表達(dá)式進(jìn)行變形，利用基本不等式是解題的關(guān)鍵.四、解答題（本大題滿分70分，每題要求寫出詳細(xì)的解答過程，否則扣分）n2n的前項和a,nN．17.已知數(shù)列nSnn2（1）求數(shù)列的通項公式；an（2）設(shè)bna，求數(shù)列b的前2n項和．nnn2nann【答案】（1）2）22n1n2.【解析】1,n1an求得數(shù)列的通項公式.a1）利用SS,n2nnn1（2）利用分組求和法求得數(shù)列的前項和.bn2n1）當(dāng)n1時，aS1；11n2n(n2(n當(dāng)n2時，aSnSn1n1時，上式也符合.n，當(dāng)n22故數(shù)列的通項公式為an．nanb2nnn的前項和為b2n（2）由（1）知，，記數(shù)列2n，nnT212222n12342n則記．2nA212222n，B1234n，22122n則A22n12，12Bnnn12．34212故數(shù)列的前項和2nTAB22n1n2．2nbn61122f(x)sinxsinx2x18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；B23,b3，求（2）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f2acosB﹣bcosC的取值范圍.411,k,kkZ）【答案】（1），2422【解析】1）先利用降冪公式和輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用整體代換解不等式的方法求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即可；fxB（2）先根據(jù)f3B求得，再利用正弦定理、三角形內(nèi)角和定理及三角恒等變換等知識將2236aBbCAA化簡為，最后結(jié)合角的范圍求解即可.61122f(x)sinxsinx2x1）由題意312126sinxsinxx2x231cos2x131sin2xcos2xsin2x444413sin2x．242k2x2k，kZ，令22kxk解得，kZ，444故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為k,kfxkZ；，4B21333（2）由（1）知fsinB，解得sinB，2422BB因為，所以．23acb332由正弦定理可知sinAsinCsinB，2則a2sinA，c2sinC，a3aBbC3CsinA3A所以2333sinA3AsinAAsinA22316AsinAA22AC3AA0A在銳角中，易知，得，22620C611A,因此，則．3632211aBbC的取值范圍為,故．22【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用降冪公式和輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，在第（2）題中關(guān)鍵6A是利用正弦定理將所求式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合題中條件求出A的范圍，從而得解.19.已知圓C：x2+y2﹣4y+1＝0，點(diǎn)M（﹣1，﹣1C外一點(diǎn)P向該圓引一條切線，記切點(diǎn)為T．（1）若過點(diǎn)M的直線l與圓交于A，B兩點(diǎn)且|AB|＝22，求直線l的方程；（2）若滿足|PT|＝|PM|，求使|PT|取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)．131【答案】（1）x＝﹣1或4x﹣3y+1＝02，）2020【解析】1）首先判斷l(xiāng)斜率不存在時，符合題意.當(dāng)l斜率存在時，設(shè)出直線l的方程，利用弦長列方程，解方程求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線方程.PTPM2x6y10，（2）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)切線長以及列方程，化簡后求得P的軌跡方程PT2x6y102x6y10的距離，求得垂直直線時直線的方將最小轉(zhuǎn)化為M到直線2x6y10程，和聯(lián)立求得P點(diǎn)坐標(biāo).1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y﹣2）2＝3．當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝﹣1，此時|AB|＝22，滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y+1＝k（x+1kx﹣y+k﹣1＝0．∵|AB|＝22，321．∴圓心C到直線l的距離dk31．∴dk2143解得k，則直線l的方程為4x﹣3y+1＝0．∴所求直線l的方程為x＝﹣1或4x﹣3y+1＝0；（2）設(shè)P（x，y|PT|||23，0002(02)3(0(02，22∵|PT|＝|PM|，∴化簡得2x+6y+1＝0，00∴點(diǎn)P（x，y）在直線2x+6y+1＝0．00當(dāng)|PT|取得最小值時，即|PM|取得最小值，即為點(diǎn)M（﹣1，﹣1）到直線2x+6y+1＝0的距離，此時直線PM垂直于直線2x+6y+1＝0，∴直線PM的方程為6x﹣2y+4＝0，即3x﹣y+2＝0．13201x2x6y10由，解得，3xy20y20131∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2020【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查與圓有關(guān)的弦長問題，考查最值問題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.20.如圖，四棱錐P的底面是等腰梯形，//，BC2AB2AD2，PC3，PC底面ABCD，M為棱AP上的一點(diǎn)．ABCM（1）證明：；17（2）若二面角AM的余弦值為，求的值．17【答案】（1）證明見解析1（2）3【解析】1）利用三角形的關(guān)系及余弦定理求得線與線垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)定理即證；（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出，利用空間向量的性質(zhì)表示出二面角AM的余弦值，求得即可.【小問1詳解】ANBC證明：過點(diǎn)A作，垂足為N，1∥BC,BC2AB2AD2，所以BN,ABC60ABCD在等腰梯形中，因為．2．AB2BC22ABBCABC3，則AB2AC2BC2在中，AC2，則因為底面ABCD，AB底面ABCD，所以．ACPCC因為，所以平面．又平面，以ABCM．【小問2詳解】解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令01，則，31C(0,0),(3,0,0),D,,0,M(,0,3)，2231,,0,(,3)則．223xy22x1令，得設(shè)平面CDM的法向量為m(x,y,z)，則x3zm3,．1由圖可知，n(0,是平面ADC的一個法向量．|mn|11717|m,n|因為二面角AM的余弦值為，所以，解得|mn|217174)21．317PM13故當(dāng)二面角AM的余弦值為時，．17PAF(2,0)F(2,0)的直線l與曲線C交21.已知曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大2，過點(diǎn)于A，B兩點(diǎn)．（1）求曲線C的方程；（2）若曲線C在A，B處的切線交于點(diǎn)M，求面積的最小值．2y8x(x0)或y0(x0)【答案】（1）（2）16【解析】的1）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y)，根據(jù)題意得到(x2)2y|x|2，然后分類化2簡；x2（2）由題意設(shè)l的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，弦長公式求得|m2)，設(shè)切線MA的方程為yyk(xx)(k0)，與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式等于11414y1(xx)1零求得，得到切線MA的方程為，同理寫出切線MB的方程，解方程組求得M13的坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)