函數(shù)的概念與性質(zhì)（講）-2023年高考數(shù)學一輪復習講練測（原卷版）

第1講二次函數(shù)與一元二次方程、不等

式

日考綱考情

本講為重要知識點，題型主要圍繞函數(shù)的思想以及函數(shù)的性質(zhì)考察，配合導數(shù)的幾何意義對

學生的邏輯思維能力要求很高。主要學習用集合語言和對應關(guān)系刻畫函數(shù)概念。通過函數(shù)的

不同表示方法加深對函數(shù)概念的認識。學習用精確的符號語言刻畫函數(shù)性質(zhì)的方法，并通過

事函數(shù)的學習函數(shù)研究函數(shù)的基本內(nèi)容、過程和方法。

合考點梳理

考點一函數(shù)的概念及其表示

1.函數(shù)的定義

設A,B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,

在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，稱f：A-B為從集合A到集合B的一個函數(shù)y

=f(x),xGA

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y=f(x),xWA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做眼

數(shù)的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f(x)IxCA｝叫做函數(shù)的值

域.顯然，值域是集合B的子集.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應關(guān)系.

(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷

兩函數(shù)相等的依據(jù).

(4)函數(shù)的表示法：解析法、圖象法、列表法.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關(guān)系，這樣的函數(shù)通

常叫做分段函數(shù).

(1)確定函數(shù)的定義域常從解析式本身有意義，或從實際出發(fā).

(2)如果函數(shù)y=f(x)用表格給出，則表格中x的集合即為定義域.

(3)如果函數(shù)y=f(x)用圖象給出，則圖象在x軸上的投影所覆蓋的x的集合即為定義域.

值域是一個數(shù)集，由函數(shù)的定義域和對應關(guān)系共同確定.

(1)分段函數(shù)雖由幾個部分構(gòu)成，但它表示同一個函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

(3)各段函數(shù)的定義域不可以相交.

4.常用結(jié)論

(1)若f(x)為整式，則函數(shù)的定義域為R；

(2)若f(x)為分式，則要求分母不為0；

(3)若f(x)為對數(shù)式，則要求真數(shù)大于0；

(4)若f(x)為根指數(shù)是偶數(shù)的根式，則要求被開方式非負；

(5)若f(x)描述實際問題，則要求使實際問題有意義.

如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構(gòu)成的，求定義域常常等價于解不等式(組).

考點二函數(shù)的基本性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為/,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間〃上的任意

兩個自變量的值X”X!

當汨＜及時，都有

定義

當汨〈生時，都有『(%)”(電),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間。/'(小)＞「(入2)，那么

上是增函數(shù)就說函數(shù)f(x)在

區(qū)間〃上是減函數(shù)

用網(wǎng)

N里A的伊)

圖象描述

自左向右看圖象

自左向右看圖象是上升的

是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間〃上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有

(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間〃叫做尸f(x)的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前提設函數(shù)f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)“滿足

對于任意都有對于任意x￡/,都有f(x)，肱

條件

存在照￡I,使得〃照)=M存在照￡I,使得AAO)=M

結(jié)論”為最大值"為最小值

3.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數(shù)Ax)的定義域內(nèi)任意一個X,都有A-x)=f(x),

偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱

那么函數(shù)/Xx)是偶函數(shù)

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個X,都有F(-X)=一

奇函數(shù)關(guān)于原點對稱

f(x),那么函數(shù)/1(X)是奇函數(shù)

4.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)7,使得當x取定義域內(nèi)的任何值

時，都有/■(x+7)=F(x),那么就稱函數(shù)尸/Xx)為周期函數(shù)，稱7為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正

數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.

注意：

(1)如果一個奇函數(shù)F(x)在原點處有定義，即/X0)有意義，那么一定有/"(())=().

(2)如果函數(shù)/Xx)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).

(3)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反

的單調(diào)性.

(4)函數(shù)周期性常用結(jié)論

對Mx)定義域內(nèi)任一自變量的值上

①若f(x+a)=—F(x),則7=2a(a〉0).

②若F(x+a)=、，則7=2a(a>0).

f(Jx)

③若F(x+a)=—貝ij7=2a(a>0).

f(.x)

5.對稱性的三個常用結(jié)論

①若函數(shù)尸F(xiàn)(*+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)尸f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

②若對于R上的任意x都有f(2a—x)=f(x)或/X—x)=f(2a+x),則y=f(x)的圖象關(guān)于

直線x=a對稱.

③若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(6,0)中心對稱.

隹］題型剖析

高頻考點一函數(shù)的概念及其表示

例1、下列命題中，正確的有()

A.函數(shù)y=\/x+l-Jx-l與函數(shù)y=Jx，—1表示同一函數(shù)

B.已知函數(shù)/(2x+l)=4x-6,若/(a)=1(),則。=9

C.若函數(shù)/卜5-1)=刀-3、片，則/(力=%2-%—2(乂..一1)

D.若函數(shù)/(x)的定義域為[0,2],則函數(shù)f(2x)的定義域為[0,4]

【變式訓練】

1、若函數(shù)y=GT^77^+ln(x+2)的定義域為口,+8),則”=()

A.-3B.3C.1D.-1

高頻考點二函數(shù)的基本性質(zhì)

例2：已知函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，且在(0,+。。)上是減函數(shù)，且在區(qū)間切(a<b<0)上的

值域為[—3,4],則在區(qū)間[―4―。]上()

A.有最大值4B.有最小值-4C.有最大值一3D.有最小值一3

【變式訓練】

1.設函數(shù)/(x)=?''々°,則滿足/(x+l)<f(2x)的*的取值范圍是()

[l,x>0

A.(—oo,—1]B.(0,+oo)

C.(—1,0)D.(—oo,0)

高頻考點三中心對稱性質(zhì)：幾個復雜的奇函數(shù)

例3、對于定義在。上的函數(shù)“X),點是/(x)圖像的一個對稱中心的充要條件是:

對任意xe。都有〃x)+/(2m—x)=2n,判斷函數(shù)f(x)=d+2/+3x+4的對稱中心.

【變式訓練】

1、設函數(shù)〃x)=ln(77W-x),若“，b滿足不等式/(/_24)+/(26-/)《0,則當

時，2a—b

的最大值為

A.1B.10C.5D.8

【基本規(guī)律】

(a+b

1、若/(x)滿足/(a+x)+/(I)=勿，則/(x)關(guān)于〔三

，中心對稱

2、特殊的奇函數(shù)：(考試難點)：

mn%m+nxJL,1-x,1-kxix-1

①、對數(shù)與反比例復合：y=loga>y=loga,

如：loga——,loga----，loga——

m+nxm-nxa1+xa1+kxdx+1

②、指數(shù)與反比例復合：y=￡&,y=『L,y==l,1+優(yōu)

K

2

③、對數(shù)與無理式復合：y=loga(J(與)2+1士kx),如：y=loga(7(x)+l+x)

3.形如y=《坦對稱中心為(0,上巴)

優(yōu)+12

高頻考點四軸對稱

例4:已知函數(shù)/（力=2『-2|一；4（2A2+22-，）_儲有唯一零點，則負實數(shù)。=（）

A.-2B.--C.-1D.-'或-1

22

【變式訓練】

1.已知函數(shù)〃力=（/一4q（/-2-62一）+》+1在區(qū)間［-1,5］的值域為［加,"］,則

m+M=（）

A.2B.4C.6D.8

【基本規(guī)律】

1.函數(shù)〃x）對于定義域內(nèi)任意實數(shù)X滿足/（"+力=/僅一力，則函數(shù)“X）關(guān)于直線

_a+b

“一丁對稱，特別地當〃力=〃為一”時，函數(shù)AH關(guān)于直線Xj對稱；

2.如果函數(shù)j=/（X）滿足/（a+x）=f（a-x）,則函數(shù)j=/（x）的圖象關(guān)于直線x=a

對稱.

a+b

3y=