(完整)高中數(shù)學(xué)提高精練：解析幾何中定值問(wèn)題的解題技巧.專題研究(教師版)

【課題】：圓錐曲線定點(diǎn)定值·專題研究【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：學(xué)會(huì)在研究解析幾何問(wèn)題時(shí)根據(jù)具體情況靈活技巧地去處理問(wèn)題.【學(xué)習(xí)過(guò)程】：高考試卷中的解析幾何題，是干擾學(xué)生得高分的“瓶頸”．三種情況：①無(wú)法取得適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算途徑，往往是只做第一問(wèn)，得到4～5分，心安理得；②期望突破第二問(wèn)，但運(yùn)算途徑不合理，越算越復(fù)雜，耽誤時(shí)間，耗時(shí)耗精力，運(yùn)氣好的話，再得到2～3分；=3\*GB3③思路正確，途徑合理，但演算過(guò)程中稍不注意出一點(diǎn)點(diǎn)錯(cuò)，前功盡棄，嚴(yán)重影響整體解題心情。與期望得高分往往距離較大。圓錐曲線定點(diǎn)定值問(wèn)題往往運(yùn)算量大，占用時(shí)間長(zhǎng)，這就對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力、處理數(shù)據(jù)能力提出了較高要求，也要注意一些運(yùn)算技巧，力爭(zhēng)快速地準(zhǔn)確尋找解題突破口，爭(zhēng)取節(jié)省寶貴時(shí)間，提高準(zhǔn)確率.同時(shí).不得不指出，千萬(wàn)不要過(guò)于依賴技巧，一定要重視平時(shí)運(yùn)算基本功的培養(yǎng).探究1：“特殊”探求.已知橢圓：．是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)定點(diǎn)．如果直線的斜率互為相反數(shù)，試證明：直線的斜率為定值，并求出這個(gè)定值．解：①“特殊”探討：取點(diǎn)(即右頂點(diǎn))直線的方程：．由．②一般性的證明：設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為：由．設(shè)方程的兩根為、，則·＝＝．分別用“”“”替換“”＝，＝，＝，＝．所以直線的斜率=．即直線的斜率為定值，其值為．練習(xí)：1、已知橢圓的左焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值是.(1)求橢圓的方程（）（2）過(guò)作兩直線，交橢圓與,,,四點(diǎn)，若，求證：為定值解析：（1）（2）特殊位置驗(yàn)證，然后證明之，答案2、已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)在上.（1）求的方程（2）直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn),,線段的中點(diǎn)為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值解析：（1）（2）特殊位置驗(yàn)證，然后證明之，答案3、已知橢圓：的離心率為，短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2.（1）求的方程（2）設(shè),為橢圓上的任意兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.求證：原點(diǎn)到直線的距離為定值，并求出該定值解析：（1）（2）特殊位置驗(yàn)證，然后證明之，答案小結(jié)：曲線定點(diǎn)、定值問(wèn)題常用方法步驟：先用特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊直線、極端位置、極限位置、特殊值、特殊圖形，求出定點(diǎn)、定值；然后有目標(biāo)地進(jìn)行運(yùn)算，后續(xù)運(yùn)算僅僅是一個(gè)填空程序.圓錐曲線定點(diǎn)定值問(wèn)題往往運(yùn)算量大，占用時(shí)間長(zhǎng)，而“對(duì)偶運(yùn)算”、“對(duì)稱運(yùn)算”、“合情推理”等是強(qiáng)力支撐．可以大大降低運(yùn)算量，減輕思維負(fù)擔(dān).探究3：先局部后整體，有序進(jìn)行重組.過(guò)雙曲線－＝的右頂點(diǎn)，作兩條斜率分別為、的直線、，交雙曲線于、．其中·＝－，＋，且＞，求直線的斜率為定值，并求這個(gè)定值．分析：題設(shè)條件是·＝－，提示了解題順序．先局部地分別求出、，然后重組為·＝－．可以預(yù)見：一定能消除參數(shù).解：設(shè)過(guò)右頂點(diǎn)(1，0)的直線方程：，由方程組：·＝－．由＝1(？)＝－＝－＝－【注：用的是“對(duì)偶”運(yùn)算】．又＝－·，代入上式：＝－＝，＝．所以＝＝－，【注：用的是“由局部→整體的重組”下的“整體消參”】由對(duì)稱性：＝－＝∥軸，得直線的斜率.小結(jié)：解析幾何題目的解題順序應(yīng)該是：先局部，后整體，有序進(jìn)行重組，整體消參.而“對(duì)偶運(yùn)算”、“對(duì)稱運(yùn)算”、“合情推理”等是強(qiáng)力支撐．可以大大降低運(yùn)算量，減輕思維負(fù)擔(dān)，節(jié)省寶貴時(shí)間，達(dá)到“事半功倍”、“設(shè)而不求”的效果.①本題是“對(duì)偶運(yùn)算”的經(jīng)典題目，反復(fù)“復(fù)制”運(yùn)算結(jié)果，節(jié)約了大量的時(shí)間；②在“對(duì)偶運(yùn)算”的幫助下,“代點(diǎn)、代入”與“由局部→整體的重組”有效合成為一體；③本題可以先?。?，＝1，＝－4，求出直線的斜率后，再有目標(biāo)地運(yùn)算．探究4：“代點(diǎn)配湊、代入消參”的解題定式.（09·宣武）已知是橢圓：＋上兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足＋＝，求證：|·|是定值，并求這個(gè)定值．解：設(shè)、(＋)＋(＋)＝；①代點(diǎn)：＋，＋②配湊：[＋(＋)]＋[＋(＋)]＝；(＋)＋(＋)＝＋＝1．③代入消參：·＝＝＝＝＝＝|·|定值．小結(jié)：（1）“代點(diǎn)配湊、代入消參”的解題定式，是非常重要的運(yùn)算，在求定點(diǎn)定值和軌跡方程時(shí)常常用到．同時(shí)還要注意：用“特殊”探求處理定點(diǎn)、定值、定形問(wèn)題，僅僅是一種方法，并不是所有的問(wèn)題都必須采用，不要構(gòu)成錯(cuò)誤的“思維定勢(shì)”.復(fù)雜一點(diǎn)的問(wèn)題，其題型特征是：曲線上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).于是很容易誤導(dǎo)“直線與曲線相交于兩點(diǎn)”運(yùn)算模式；一旦用上式，得到的是無(wú)效運(yùn)算．（2）“點(diǎn)差法”，本質(zhì)上是“代點(diǎn)配湊、代入消參”的解題定式的先期運(yùn)用．反之：“代點(diǎn)配湊、代入消參”的定式，是“點(diǎn)差法”運(yùn)算的深化．同時(shí)，“代點(diǎn)配湊、代入消參”的運(yùn)算定式，也是“先局部，后整體，有序地運(yùn)算”的深化．“代點(diǎn)配湊、代入消參”的運(yùn)算定式所以求解時(shí)，可以按照“點(diǎn)差法”的模式：“先局部，后整體，有序地運(yùn)算”；（3）“代點(diǎn)配湊、代入消參”的解題定式，僅僅是比“點(diǎn)差法”的運(yùn)算多了一個(gè)“消參”環(huán)節(jié)，從而得到常數(shù)；有時(shí)候，“代點(diǎn)配湊、代入消參”不一定用到基本特征式.“代點(diǎn)配湊、代入消參”的解題定式：①代點(diǎn)：因?yàn)?、在曲線上，；＋，＋②配湊：按照求解目標(biāo)，兩式相加或相減，得到關(guān)于、、、的整體關(guān)系式；(＋)＋(＋)＝把上述關(guān)系式，整合為含有、的式子，經(jīng)過(guò)配湊得到一個(gè)新的關(guān)系式；＋＝1③代入消元：把配湊得到的結(jié)果，代入求解目標(biāo)，繼續(xù)運(yùn)算．·＝＝＝＝(是“點(diǎn)差法”運(yùn)算的復(fù)制)圓錐曲線定點(diǎn)定值·專題研究過(guò)定點(diǎn)作直線與橢圓：＋相交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．求證：點(diǎn)總在定直線上．證明：記λ＝＝，則λ＞０，且λ≠１．由四點(diǎn)共線＝－λ，＝λ．設(shè)點(diǎn)，，①代點(diǎn)：＋，＋；②配湊：＝－λ，＝λ＝，＝，＝，＝＝，＝；③代入消參：＝＋＝·[（＋）－(＋）]＝·（1－）＝1，所以：點(diǎn)Q的軌跡方程為：＝1．小結(jié)：①把線段的比，轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系．然后直接采用“定式”運(yùn)算．這里沒(méi)有使用“基本特征式”參與運(yùn)算；②根據(jù)求解目標(biāo)：“”，代入、配湊、消元，一氣呵成．圓錐曲線定點(diǎn)定值·專題研究（江蘇省鹽城中學(xué)2015屆高三上學(xué)期1月月階段性考試題第18題，本小題滿分16分）若橢圓的方程為，、是它的左、右焦點(diǎn)，橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)為、，直線的方程為，是橢圓上任一點(diǎn)，直線、分別交直線于、兩點(diǎn)，求的值；（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)任意作直線（與軸不垂直）與橢圓交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．證明：為定值．解：（1）（2）設(shè)，則，=（3）設(shè)，,由得所以代入橢圓方程得=1\*GB3①同理由得=2\*GB3②由=1\*GB3①-=2\*GB3②得圓錐曲線定點(diǎn)定值·專題研究（南京市2015屆高三年級(jí)第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題第18題，本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，右準(zhǔn)線xyAOBMPQ（第18題圖）F2F1llxyAOBMPQ（第18題圖）F2F1l（1）已知點(diǎn)(eq\F(eq\R(,6),2)，1)在橢圓C上，求實(shí)數(shù)m的值；（2）已知定點(diǎn)A(－2，0)．①若橢圓C上存在點(diǎn)T，使得eq\F(TA,TF1)＝eq\R(,2)，求橢圓C的離心率的取值范圍；②當(dāng)m＝1時(shí)，記M為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，直線AM，BM分別與橢圓C交于另一點(diǎn)P，Q，若eq\o(AM,\s\up7(→))＝λeq\o(AP,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(BQ,\s\up7(→))，求證：λ＋為定值．18．解：（1）設(shè)橢圓C的方程為eq\F(x2,a2)＋eq\F(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由題意，得eq\b\lc\{(\a\al(eq\F(a2,c)＝m＋1，,(m＋1)－c＝m，))解得eq\b\lc\{(\a\al(a2＝m＋1，,b2＝m，,c＝1．))所以橢圓方程為eq\f(x2,m＋1)＋eq\f(y2,m)＝1．因?yàn)闄E圓C過(guò)點(diǎn)(eq\F(eq\R(,6),2)，1)，所以eq\f(3,2(m＋1))＋eq\f(1,m)＝1，解得m＝2或m＝－eq\f(1,2)(舍去）．所以m＝2．4分（2）①設(shè)點(diǎn)T(x，y)．由eq\F(TA,TF1)＝eq\R(,2)，得(x＋2)2＋y2＝2[(x＋1)2＋y2]，即x2＋y2＝2．…6分由eq\b\lc\{(\a\al(x2＋y2＝2，,eq\F(x2,m＋1)＋eq\F(y2,m)＝1，))得y2＝m2－m．故0≤m2－m≤m，得1≤m≤2．所以橢圓C的離心率e＝eq\F(1,eq\R(,m＋1))eq\o(\s\up1(),∈)[eq\F(eq\R(,3),3)，eq\F(eq\R(,2),2)]．10分②（方法一）設(shè)M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．則eq\o(\s\up8(),AM)＝(x0＋2，y0)，eq\o(\s\up8(),AP)＝(x1＋2，y1)．由eq\o(\s\up8(),AM)＝eq\o(\s\up8(),AP)，得eq\b\lc\{(\a\al(x0＋2＝(x1＋2)，,y0＝y(tǒng)1．))從而eq\b\lc\{(\a\al(x0＝x1＋2(－1)，,y0＝y(tǒng)1．))……12分因?yàn)閑q\f(x02,2)＋y02＝1，所以eq\f([x1＋2(－1)]2,2)＋(y1)2＝1．即2(eq\f(x12,2)＋y12)＋2(－1)x1＋2(－1)2－1＝0．因?yàn)閑q\f(x12,2)＋y12＝1，代入得2(－1)x1＋32－4＋1＝0．由題意知，≠1，故x1＝－eq\f(3－1,2)，所以x0＝eq\f(－3,2)．同理可得x0＝eq\f(－＋3,2)．……14分因此eq\f(－3,2)＝eq\f(－＋3,2)，所以λ＋＝6．16分（方法二）設(shè)M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．直線AM的方程為y＝eq\F(y0,x0＋2)(x＋2)．將y＝eq\F(y0,x0＋2)(x＋2)代入eq\f(x2,2)＋y2＝1，得(eq\F(1,2)(x0＋2)2＋yeq\o(\s\up5(2),0))x2＋4yeq\o(\s\up5(2),0)x＋4yeq\o(\s\up5(2),0)－(x0＋2)2＝0(*)．因?yàn)閑q\f(x02,2)＋y02＝1，所以（*）可化為(2x0＋3)x2＋4yeq\o(\s\up5(2),0)x－3xeq\o(\s\up5(2),0)－4x0＝0．因?yàn)閤0x1＝－eq\F(3xeq\o(\s\up5(2),0)＋4x0,2x0＋3)，所以x1＝－eq\F(3x0＋4,2x0＋3)．同理x2＝eq\F(3x0－4,2x0－3)．14分因?yàn)閑q\o(\s\up8(),AM)＝eq\o(\s\up8(),AP)，eq\o(BM,\d\fo1()\s\up7(→))＝eq\o(BQ,\d\fo1()\s\up7(→))，所以λ＋＝eq\F(x0＋2,x1＋2)＋eq\F(x0－2,x1－2)＝eq\F(x0＋2,－eq\F(3x0＋4,2x0＋3)＋2)＋eq\F(x0－2,eq\F(3x0－4,2x0－3)－2)＝eq\F((x0＋2)(2x0＋3),x0＋2)＋eq\F((x0－2)(2x0－3),－x0＋2)＝6．即λ＋為定值6．16分圓錐曲線定點(diǎn)定值·專題研究(2014·蘇北三市模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(\r(6),2))).(1)求橢圓E的方程．(2)若點(diǎn)A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M.①設(shè)直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值；②設(shè)過(guò)點(diǎn)M垂直于PB的直線為m，求證：直線m過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．2．解：(1)由題意得2c＝2，所以c＝1.又eq\f(2,a2)＋eq\f(3,2b2)＝1，消去a得2b4－5b2－3＝0，解得b2＝3或b2＝－eq\f(1,2)(舍去)，則a2＝4，所以橢圓E的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3