2022高考數(shù)學高頻考點突破：等差數(shù)列、等比數(shù)列

第第頁2022高考數(shù)學高頻考點突破：等差數(shù)列、等比數(shù)列高三好材料!數(shù)學

與等差(比)數(shù)列有關的基本運算一般是求數(shù)列中某一項或幾項的值的問題，通常利用數(shù)列的通項公式或數(shù)列的前n項和公式列出方程組，求出a1、d(q)或者依據(jù)已知條件進行簡約代換.

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[例1]設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a3=4,a4a5a6=212.(1)求首項a1和公比q的值；(2)假設Sn=210-1,求n的值.

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[思路點撥](1)可列出關于a1、q的方程組解之.(2)通過a4a5a6=a可得a5,再由a3即可求得q及a1.

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[自主解答](1)法一：∵{an}是等比數(shù)列，∴4=a3=a1q2212=a4a5a6=a3q3+4+5=a3q1211由①②可解得q2=4.又∵{an}為正項等比數(shù)列.∴q=2.①②

將q=2代入①或②可得a1=1.

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法二：由題設有a4a5a6=a3=212a5=24=16(a50),5a52∴=q=4q=2,代入a3=a1q2=4,a3解得a1=1.a1qn-1n(2)由Sn=210-1,Sn==2-1,q-1得2n-1=210-12n=210,∴n=10.

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(1)假設等差(比)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公差(比)為d(q),那么Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍成等差(比)數(shù)列，且其公差(比)為m2d(qm);(2)設{an},{bn}為等差數(shù)列，它們的公差分別是d1,d2,那么{kan}是等差數(shù)列，且公差為kd1;{ann}是等差數(shù)列，其b公差為d12.d1(3)設{an},{bn}為等比數(shù)列，它們的公比分別是q和Q,那么{a}n1an是等比數(shù)列，且公比為q;{ann}和也是等比數(shù)列，其bnq公比分別是和Q.

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[例2]

(1)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3=5,()

a7a8a9=10,那么a4a5a6=A.52C.6B.7D.42

(2)已知正數(shù)組成的等差數(shù)列{an},20項和為100,a714前那么a的最大值是A.25C.100B.50D.不存在()

[思路點撥](1)利用等比中項，(2)利用am+an=ap+aq.

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3[自主解答](1)(a1a2a3)(a7a8a9)=a6=50,a4a5a6=a5=52.5

a1+a20(2)∵S20=20=100,2∴a1+a20=10,∵a1+a20=a7+a14,∴a7+a14=10.a7+a142∵an0,∴a714≤(a)=25.2

[答案](1)A

(2)A

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(1)等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,那么a4+a5+a6=________.(2)已知正數(shù)組成的等比數(shù)列{an},前20項積為210,那么a7a14=

________.

a1+a2+a3+a7+a8+a915解析：(1)a4+a5+a6==.22(2)∵a123a20=(a714)10=210aaa又∵an0,∴a714=2.a

15答案：(1)2

(2)2

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(1)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列有如下方法：①定義法：證明an+1-an=d(與n值無關的常數(shù));②等差中項法：證明2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N*).(2)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列有如下方法：an+1①定義法：證明a=q(與n值無關的非零常數(shù)).n②等比中項法：a2=an-1n+1(n≥2,n∈N).an

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[例3]

13已知數(shù)列{an}滿意a1=,a2=,44*

1an+1=2an-an-1(n≥2,n∈N),數(shù)列{bn}滿意b1=,23bn-bn-1=n(n≥2,n∈N*)

.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)證明：數(shù)列{bn-an}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{bn}的通項公式.

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[思路點撥]此題的第(1)問是利用一個簡約的遞推式，即可將an+1=2an-an-1變形為an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N*),轉化成等差數(shù)列求解；第(2)問求證{bn-an}為等比數(shù)列，需1111要把{an}的通項公式an=n-和條件bn=bn-1+n聯(lián)合起2433來遞推，然后再求{bn}的通項公式.

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[自主解答](1)由an+1=2an-an-1(n≥2,n∈N*),可得an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N*).11∴數(shù)列{an}是首項為a1=,公差為d=a2-a1=的等差數(shù)列.4211∴an=a1+(n-1)d=n-(n∈N*),2411即an=n-(n∈N*)24

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11(2)由3bn-bn-1=n,得bn=bn-1+n(n≥2,n∈N*),331111∴bn-an=bn-1+n-n+3324111113=bn-1-n+=(bn-1-n+)3643241111=[bn-1-(n-1)+]=(bn-1-an-1),3243

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1又b1-a1=≠0,∴bn-an≠0(n∈N*),4bn-an1得=(n≥2,n∈N*),bn-1-an-1311即數(shù)列{bn-an}是首項為b1-a1=,公比為的等比數(shù)列，432n-111n-111n-1于是，bn-an=),即bn=(+)(4344311n-1=[()+2n-1](n∈N*).43

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1.公式法：等差(比)數(shù)列的前n項和公式.2.錯位相減法：適用于{anbn}的前n項和，其中{an}是等差

數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列.3.裂項法：求{an}的前n項和時，假設能將an拆分為an=bn-bn+1,那么a1+a2+…+an=b1-bn+1.4.倒序相加法：一個數(shù)列倒過來與原數(shù)列相加時，假設有公因式可提，并且剩余的項的和簡單求出，那么這樣的數(shù)

列求和可采納此法.其主要用于求組合數(shù)數(shù)列的和.這里易忽視因式為零的狀況.

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5.(理)試值猜想法：通過對S1,S2,S3,…的計算進行歸

納分析，尋求規(guī)律，猜想出Sn,然后用數(shù)學歸納法給出證明.易錯點：對于Sn不加證明.6.并項求和法：先將某些項放在一起先求和，然后再求Sn.例如對于數(shù)列{an}:a1=1,a2=3,a3=2,an+2=an+1-an,可證其滿意an+6=an,在求和時，依次6項求

和，再求Sn.

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[例4]

n+11在數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=(1+n)an+n.2

an(1)設bn=n,求數(shù)列{bn}的通項公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

[思路點撥](1)先將an=nbn代入條件等式，得到bn與bn+1之間的關系，再結合其特點求通項bn;(2)借助拆項法，轉化為等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和問題解決.

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an+1an1[自主解答](1)由已知得b1=a1=1,且=n+n,2n+1111即bn+1=bn+n,從而b2=b1+,b3=b2+2,2221bn=bn-1+n-1(n≥2),21111于是bn=b1++2++n-1=2-n-1(n≥2).22221又b1=1,故所求的通項公

式bn=2-n-1.2

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(2)由(1)知，an=n(2-n-1)=2n-n-1.22令Tn=k=1nk-1,那么2Tn=

1

n

k

2

2k-2.k=1

n

k

于是Tn=2Tn-Tn=n-1k=0

n+2-=4-n-1.2k-12n-121nn+2(2k)=n(n+1),所以Sn=n(n+1)+n-1-4.2

又k=1

n

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