人教版七年級數(shù)學下冊專題01平行線的判定與性質(zhì)重難點題型專訓(原卷版+解析)

專題01平行線的判定與性質(zhì)重難點題型專訓【題型目錄】題型一平行公理的應用題型二“三線八角”判定直線平行題型三平行線判定的綜合題型四平行線性質(zhì)的綜合題型五根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度題型六平行線的性質(zhì)在生活中的實際應用題型七平行線的判定與性質(zhì)綜合（折疊問題）題型八平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)問題）【經(jīng)典例題一平行公理的應用】【例1】(2023春·山東泰安·七年級?？计谥校┙o出下列說法：①過兩點有且只有一條直線；②連接兩點的線段叫作兩點間的距離；③兩點之間，線段最短；④若，則點B是線段AC的中點；⑤同一平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；⑥平行于同一直線的兩條直線互相平行．其中正確的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓練】【變式1】(2023·全國·七年級專題練習）下列說法中是真命題正確的個數(shù)有（

）個（1）若ab，bd，則ad；（2）過一點有且只有一條直線與已知直線平行；（3）兩條直線不相交就平行；（4）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2】(2023春·黑龍江牡丹江·七年級校考期中）給出下列說法：（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；（2）平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交；（3）相等的兩個角是對頂角；（4）三條直線兩兩相交，有三個交點；（5）若a⊥b，b⊥c，則a⊥c．其中正確的有________個【變式3】（2023春·七年級單元測試）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是1，點M、N、P、Q均為格點（格點是指每個小正方形的頂點），線段MN經(jīng)過點P．(1)過點P畫線段AB，使得線段AB滿足以下兩個條件：①AB⊥MN；②；(2)過點Q畫MN的平行線CD，CD與AB相交于點E；(3)若格點F使得△PFM的面積等于4，則這樣的點F共有個．【經(jīng)典例題二“三線八角”判定直線平行】知識點：同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角兩條直線被第三條線所截，可得八個角，即“三線八角”，如圖6所示。（1）同位角：可以發(fā)現(xiàn)∠1與∠5都處于直線的同一側(cè)，直線、的同一方，這樣位置的一對角就是同位角。圖中的同位角還有∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8。（2）內(nèi)錯角：可以發(fā)現(xiàn)∠3與∠5都處于直線的兩旁，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是內(nèi)錯角。圖中的內(nèi)錯角還有∠4與∠6。（3）同旁內(nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)∠4與∠5都處于直線的同一側(cè)，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是同旁內(nèi)角。圖中的同旁內(nèi)角還有∠3與∠6。知識點：平行線判定判定方法（1）：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡單說成：同位角相等，兩直線平行。幾何語言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）判定方法（2）：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行?！摺?＝∠3∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）判定方法（3）：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行簡單說成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行?！摺?＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）【例2】(2023秋·八年級課時練習）如圖，直線a，b，c被直線l所截，下列條件中：①1=3，4=5；②2+3=，3=7；③1=2，5=6；④2=3，4=5，能確定ac的條件的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④【變式訓練】【變式1】(2023秋·全國·八年級專題練習）在鋪設鐵軌時，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經(jīng)知道是直角，那么再度量圖中已標出的哪個角，不能判斷兩條直軌是否平行(

)A． B． C． D．【變式2】(2023秋·八年級課時練習）將一塊三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如圖方式放置，使A，B兩點分別落在直線m，n上，對于給出的五個條件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判斷直線mn的有__．（填序號）【變式3】(2023秋·八年級課時練習）臺球運動中，如果母球P擊中桌邊點A，經(jīng)桌邊反彈擊中相鄰的另一條桌邊，再次反彈，那么母球P經(jīng)過的路線與平行嗎？證明你的判斷．【經(jīng)典例題三平行線判定的結(jié)合】【例3】(2023春·河北張家口·七年級統(tǒng)考期中）如圖（1），在中，，邊繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周回到原來的位置．在旋轉(zhuǎn)的過程中（圖（2）），當（

）時，．A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128°【變式訓練】【變式1】(2023春·山東青島·七年級青島經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)第四中學?？茧A段練習）如圖，在四邊形中，點在上，連接，下列說法正確的是（

）.A．因為，所以B．因為，所以C．因為，所以D．因為，所以【變式2】(2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，，現(xiàn)將木棒a、b同時順時針旋轉(zhuǎn)一周，速度分別為18度/秒和3度/秒，兩根木棒都停止時運動結(jié)束，則___________秒后木棒a，b平行．【變式3】(2023秋·全國·八年級專題練習）動手操作：如圖①：將一副三角板中的兩個直角頂點疊放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．(1)若∠BCD＝150°，求∠ACE的度數(shù)；(2)試猜想∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；(3)若按住三角板ABC不動，繞頂點C轉(zhuǎn)動三角板DCE，試探究當時，∠BCD等于多少度，并簡要說明理由．【經(jīng)典例題四平行線性質(zhì)的綜合】【例4】(2023秋·全國·八年級專題練習）某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖②是其示意圖，其中，都與地面l平行，，．當為（

）度時，與平行．A．16 B．60 C．66 D．114【變式訓練】【變式1】(2023春·廣西河池·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，點在的上方，連接，，是延長線上的一點，連接，已知，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2】(2023春·江西九江·七年級統(tǒng)考期末）為了提醒司機不要疲勞駕駛，高速公路上安裝了如圖1所示的激光燈，圖2是激光位于初始位置時的平面示意圖，其中，是直線上的兩個發(fā)射點，，現(xiàn)激光繞點以每秒3度的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時激光繞點以每秒2度的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設旋轉(zhuǎn)時間為秒，當時，的值為________．【變式3】(2023秋·吉林長春·七年級?？计谀咎岢鰡栴}】若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【解決問題】分兩種情況進行探究，請結(jié)合下圖探究這兩個角的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖1，，，試證：；（2）如圖2，，，試證：；【得出結(jié)論】由（1）（2）我們可以得到結(jié)論：若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為_____________；【拓展應用】（3）若兩個角的兩邊分別平行，其中一個角比另一個角的2倍少，求這兩個角的度數(shù)．（4）同一平面內(nèi)，若兩個角的兩邊分別垂直，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為_____________．【經(jīng)典例題五根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度】【例5】（2023春·七年級單元測試）如圖，直線分別與直線相交于點，已知，平分交直線于點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓練】【變式1】(2023春·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，于點，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式2】(2023春·安徽安慶·七年級?？茧A段練習）如圖，，點E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點，點M位于AB與CD之間且在EF的右側(cè)．（1）若，則______°；（2）若，與的角平分線交于點N，則的度數(shù)為______．（用含n的式子表示）【變式3】(2023秋·吉林長春·七年級校考期末）已知，點E在上，點F在DC上，點G為射線上一點．(1)【基礎(chǔ)問題】如圖1，試說明：．（完成圖中的填空部分）證明：過點G作直線，又∵，∴①∵，∴∠②．∵，∴③（④）∴．(2)【類比探究】如圖2，當點G在線段延長線上時，請寫出三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【應用拓展】如圖3，平分，交于點H，且，直接寫出的度數(shù)為°．【經(jīng)典例題六平行線的性質(zhì)在生活中的實際應用】【例6】(2023春·全國·七年級期末）如圖是長方形紙帶，，將紙帶沿折疊成圖，再沿折疊成圖，則圖中的的度數(shù)是（

）A．102° B．112° C．120° D．128°【變式訓練】【變式1】(2023春·江蘇連云港·七年級?？茧A段練習）如圖，修建一條公路，從王村沿北偏東方向到李村，從李村沿北偏西方向到張村，從張村到杜村的公路平行從王村到李村的公路，則張杜兩村公路與李張兩村公路方向夾角的度數(shù)為（）．A． B． C． D．【變式2】(2023春·云南昆明·七年級統(tǒng)考期末）《七彩云南》少數(shù)民族傳統(tǒng)藝術(shù)表演，是七彩云南歡樂世界的王牌演藝節(jié)目，它薈萃云南人文之美，深受觀眾喜愛．在展演中，舞臺上的燈光由燈帶上位于點和點的兩盞激光燈控制．如圖，光線與燈帶的夾角，當光線與燈帶的夾角______時，．【變式3】(2023秋·全國·八年級專題練習）光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，例如：在圖1中，有∠1＝∠2．(1)如圖2，已知鏡子MO與鏡子ON的夾角∠MON＝90°，請判斷入射光線AB與反射光線CD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖3，有一口井，已知入射光線AO與水平線OC的夾角為50°，當平面鏡MN與水平線OC的夾角為°，能使反射光線OB正好垂直照射到井底；(3)如圖4，直線EF上有兩點A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射線AB、CD分別繞A點、C點以3度/秒和1度/秒的速度同時逆時針轉(zhuǎn)動，設時間為t秒，在射線AB轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，是否存在某時刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時間t．【經(jīng)典例題七平行線的判定與性質(zhì)綜合（折疊問題）】【例7】(2023春·浙江杭州·七年級校考期中）一條兩邊沿互相平行的圍巾按圖所示折疊，已知∠DAB-∠ABC=8°，且DFCG，則∠DAB+2∠ABC=（）度．A．130 B．131 C．132 D．133【變式訓練】【變式1】(2023春·黑龍江牡丹江·七年級校考期末）一張長方形紙條按如圖所示折疊，EF是折痕，若∠EFB=35°，則：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上結(jié)論正確的有（

）A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②【變式2】(2023春·福建福州·七年級?？计谥校┤鐖D（1）紙片ABCD（ADBC），將CD按如圖（2）所示沿著DE折疊至DC′，DC′與線段BC交于F，∠BFD=m，點E在線段BC上，若將AD按如圖（3）所示沿著DO折疊至DA′，且A′在線段DC的延長線上，點O在線段BC上，則∠ODE=__________．（用含m的式子表示）【變式3】(2023秋·貴州銅仁·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，將一張上、下兩邊平行（即ABCD）的紙帶沿直線MN折疊，EF為折痕．(1)試說明∠1＝∠2；(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度數(shù)．【經(jīng)典例題八平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)問題）】【例8】(2023秋·八年級課時練習）如圖，△OAB為等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD為等邊三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），滿足OC＞OA，△OCD繞點O從射線OC與射線OA重合的位置開始，逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為α（0°＜α＜360°），下列說法正確的是（）A．當α＝15°時，DC∥ABB．當OC⊥AB時，α＝45°C．當邊OB與邊OD在同一直線上時，直線DC與直線AB相交形成的銳角為15°D．整個旋轉(zhuǎn)過程，共有10個位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行【變式訓練】【變式1】(2023春·江蘇宿遷·七年級?？茧A段練習）為了亮化某景點，石家莊市在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發(fā)出的光束自AM逆時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，B燈發(fā)出的光束自BP逆時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動30°，B燈每秒轉(zhuǎn)動10°，B燈先轉(zhuǎn)動2秒，A燈才開始轉(zhuǎn)動，當B燈光束第一次到達BQ之前，兩燈的光束互相平行時A燈旋轉(zhuǎn)的時間是（）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒【變式2】(2023春·江西南昌·七年級?？茧A段練習）如圖，直線EF上有兩點A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠DCF=60°，∠EAB=70°，射線AB、CD分別繞A點，C點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)動，在射線CD轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，使得CD與AB平行所有滿足條件的時間t=_____．【變式3】(2023春·北京·七年級校考期中）“一帶一路”讓中國和世界聯(lián)系更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖所示，燈A射線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒，燈轉(zhuǎn)動的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且．(1)填空：______；(2)若燈射線先轉(zhuǎn)動秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈射線到達之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)若兩燈同時開始轉(zhuǎn)動，兩燈射出的光束交于點，且，則在燈射線到達之前，轉(zhuǎn)動的時間為______秒．【培優(yōu)檢測】1．(2023春·內(nèi)蒙古包頭·七年級統(tǒng)考期中）在下列說法中，正確的有（

）個．①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；

②已知、的兩邊分別平行，那么；③垂直于同一條直線的兩條直線平行；

④從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到直線的距離．A．3 B．2 C．1 D．02．(2023春·福建寧德·七年級統(tǒng)考期末）如圖，由兩個完全相同的三角板拼成一個四邊形，則下列條件能直接判斷的是（

）A． B．C． D．3．(2023春·貴州安順·七年級統(tǒng)考期末）如圖，某沿湖公路有三次拐彎，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角為∠C，第三次拐彎后的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C的度數(shù)是（

）A．130° B．140° C．145° D．150°4．(2023春·廣東江門·七年級江門市福泉奧林匹克學校校考階段練習）①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C=180°；②如圖2，ABCD，則∠E=∠A+∠C;③如圖3，ABCD，則∠A+∠E－∠1=180°；④如圖4，ABCD，則∠A=∠C+∠P．以上結(jié)論正確的個數(shù)是(

)

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．(2023秋·浙江·八年級開學考試）如圖，在科學《光的反射》活動課中，小麥同學將支架平面鏡放置在水平桌面MN上，鏡面AB的調(diào)節(jié)角的調(diào)節(jié)范圍為12°~69°，激光筆發(fā)出的光束DG射到平面鏡上，若激光筆與水平天花板（直線EF）的夾角，則反射光束GH與天花板所形成的角不可能取到的度數(shù)為（

）A．129° B．72° C．51° D．18°6．(2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，AB∥CD，點E，P在直線AB上（P在E的右側(cè)），點G在直線CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線段EF上的一動點，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線交與點Q，且點Q在直線AB，CD之間的區(qū)域，下列結(jié)論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．17．(2023秋·八年級單元測試）如圖，添加一個你認為合適的條件______使．8．(2023春·山東濰坊·七年級統(tǒng)考期中）在同一平面內(nèi)有2022條直線，如果，，，……那么與的位置關(guān)系是_____________．9．(2023春·河北邯鄲·七年級校考期中）如圖，，，垂足為A，交于點，點在射線上．（1）若平分，則______．（2）若，在直線上取一點，連接，過點作，交直線于點，若，則______．10．(2023秋·八年級課時練習）如圖，，的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點，，則的度數(shù)為_________．11．(2023春·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，邊重合，，．接著如圖2保持三角板不動，將三角板繞著點C按順時針以每秒的速度旋轉(zhuǎn)后停止．在此旋轉(zhuǎn)過程中，當旋轉(zhuǎn)時間______________秒時，三角板有一條邊與三角板的一條邊恰好平行．12．（2023春·七年級單元測試）如圖，直線，點、分別為直線和上的點，點為兩條平行線間的一點，連接和，過點作的平分線交直線于點，過點作，垂足為，若，則________．13．(2023春·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期末）如圖，已知直線，點，分別在直線，上，點為，之間一點，且點在的右側(cè)，．若與的平分線相交于點，與的平分線相交于點，與的平分線相交于點……以此類推，若，則的值是______．14．(2023春·福建龍巖·七年級龍巖初級中學?？茧A段練習）將一副三角板如圖1所示擺放，直線，現(xiàn)將三角板ABC繞點A以每秒1°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時三角板DEF繞點D以每秒2°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，如圖2，設時間為t秒，當時，若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，DF）平行，則所有滿足條件的t的值為_____．三、解答題15．(2023春·遼寧沈陽·七年級?？计谥校┯袃蓚€與，保持不動，且的一邊，另一邊DE與直線OB相交于點F．若，，解答下列問題：(1)如圖，當點E、O、D在同一條直線上，即點O與點F重合，求的度數(shù)．(2)當點E、O、D不在同一條直線上，直接寫出的度數(shù)_______．16．(2023春·廣東江門·七年級校聯(lián)考期中）如圖，直線，直線與，分別交于點M，N，分別是與的平分線，交于點F，過點N作交于點G．(1)若，則___________；(2)求證：；(3)連接，在上取一點H，使，作的平分線交于點P，求的度數(shù)．17．(2023秋·八年級單元測試）如圖1，已知直線，點A為直線上一點，點B為直線上一點，且，點C是直線上一動點，且點C在點B右側(cè)，過點C作交直線于點D，連接．(1)若平分，請直接寫出的度數(shù)；(2)作，交直線于點E，平分．（說明：解答過程用數(shù)字表示角）①如圖2，若點E，F(xiàn)都在點B的右側(cè)，求的度數(shù)．②在點C的運動過程中，是否存在這樣的情形，使成立？若存在，求出的度數(shù)：若不存在，請說明理由．18．(2023秋·全國·八年級專題練習）綜合與探究，問題情境：綜合實踐課上，王老師組織同學們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學活動．(1)如圖1，，點A，B分別為直線，上的一點，點P為平行線間一點且，，求度數(shù)；問題遷移(2)如圖2，射線與射線交于點O，直線，直線m分別交于點A，D，直線n分別交于點B，C，點P在射線上運動．①當點P在A，B（不與A，B重合）兩點之間運動時，設，．則之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②若點P不在線段上運動時（點P與點A，B，O三點都不重合），請你直接寫出間的數(shù)量關(guān)系．19．(2023秋·吉林長春·七年級長春市第二實驗中學?？计谀┬∶魍瑢W遇到這樣一個問題：如圖①，已知：，為之間一點，連接，得到．求證：．小亮幫助小明給出了該問的證明．證明：過點作，則有∵∴∴∴請你參考小亮的思考問題的方法，解決問題：(1)直線，直線和直線、分別交于兩點，點分別在直線、上，猜想：如圖②，若點在線段上，，，求的度數(shù)．(2)拓展：如圖③，若點在直線上，連接、，直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系．20．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖1，已知，點，分別在射線和上，在內(nèi)部作射線，，使平行于．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)小穎發(fā)現(xiàn)，在內(nèi)部，無論如何變化，的值始終為定值，請你結(jié)合圖2求出這一定值；(3)①如圖3，把圖1中的改為，其他條件不變，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖4，已知，點，分別在射線，上，在與內(nèi)部作射線，，使平行于，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．專題01平行線的判定與性質(zhì)重難點題型專訓【題型目錄】題型一平行公理的應用題型二“三線八角”判定直線平行題型三平行線判定的綜合題型四平行線性質(zhì)的綜合題型五根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度題型六平行線的性質(zhì)在生活中的實際應用題型七平行線的判定與性質(zhì)綜合（折疊問題）題型八平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)問題）【經(jīng)典例題一平行公理的應用】【例1】(2023春·山東泰安·七年級?？计谥校┙o出下列說法：①過兩點有且只有一條直線；②連接兩點的線段叫作兩點間的距離；③兩點之間，線段最短；④若，則點B是線段AC的中點；⑤同一平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；⑥平行于同一直線的兩條直線互相平行．其中正確的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)直線公理、平行線公理以及垂線公理得①過兩點有且只有一條直線；③兩點之間，線段最短；⑤同一平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；⑥平行于同一直線的兩條直線互相平行正確；②連接兩點的線段叫做兩點間的距離；④若，則點是線段的中點錯誤．【詳解】解：①過兩點有且只有一條直線；③兩點之間，線段最短；⑤在同一平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．⑥平行于同一直線的兩條直線互相平行．①③⑤⑥正確；②連接兩點的線段的長度叫做兩點間的距離；④若且三點共線，則點是線段的中點；②④錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了平行公理、直線的性質(zhì)、兩點間的距離以及垂線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．【變式訓練】【變式1】(2023·全國·七年級專題練習）下列說法中是真命題正確的個數(shù)有（

）個（1）若ab，bd，則ad；（2）過一點有且只有一條直線與已知直線平行；（3）兩條直線不相交就平行；（4）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)平行線的定義與判定、垂線的性質(zhì)、平行公理對各小題分析判斷后即可得解．【詳解】（1）若ab，bd，則ad，故原說法正確；（2）過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故原說法錯誤；（3）在同一平面內(nèi)，兩條直線不相交就平行，故原說法錯誤；（4）同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故原說法錯誤．故選：A．【點睛】此題主要考查了平行公理，平行線的性質(zhì)定義，垂線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握課本內(nèi)容．【變式2】(2023春·黑龍江牡丹江·七年級?？计谥校┙o出下列說法：（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；（2）平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交；（3）相等的兩個角是對頂角；（4）三條直線兩兩相交，有三個交點；（5）若a⊥b，b⊥c，則a⊥c．其中正確的有________個【答案】1【分析】根據(jù)各小題的描述情況，判斷各小題的正誤，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故（1）不正確；（2）∵平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交，故（2）正確；（3）∵對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角，故（3）不正確；（4）∵三條直線兩兩相交，也可能是交于同一個點，故（4）不正確；（5）∵若ab，bc，則ac，故（5）不正確，正確的只有（2）一個選項，故答案為：1．【點睛】本題主要考察了平面內(nèi)直線的位置關(guān)系，平行公理的應用、直線相交交點個數(shù)問題，解題的關(guān)鍵在于畫出題意所示的直線位置圖，以此判斷說法的正誤．【變式3】（2023春·七年級單元測試）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是1，點M、N、P、Q均為格點（格點是指每個小正方形的頂點），線段MN經(jīng)過點P．(1)過點P畫線段AB，使得線段AB滿足以下兩個條件：①AB⊥MN；②；(2)過點Q畫MN的平行線CD，CD與AB相交于點E；(3)若格點F使得△PFM的面積等于4，則這樣的點F共有個．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)6【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格作圖即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格作圖即可；（3）根據(jù)網(wǎng)格作圖即可.【詳解】（1）解：作圖如下：（2）解：作圖見（1）（3）如圖：故符合題意的點F有6個.故答案為：6【點睛】本題考查了直線、射線、線段及平行公理的應用，解題的關(guān)鍵是準確作出圖形.【經(jīng)典例題二“三線八角”判定直線平行】知識點：同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角兩條直線被第三條線所截，可得八個角，即“三線八角”，如圖6所示。（1）同位角：可以發(fā)現(xiàn)∠1與∠5都處于直線的同一側(cè)，直線、的同一方，這樣位置的一對角就是同位角。圖中的同位角還有∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8。（2）內(nèi)錯角：可以發(fā)現(xiàn)∠3與∠5都處于直線的兩旁，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是內(nèi)錯角。圖中的內(nèi)錯角還有∠4與∠6。（3）同旁內(nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)∠4與∠5都處于直線的同一側(cè)，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是同旁內(nèi)角。圖中的同旁內(nèi)角還有∠3與∠6。知識點：平行線判定判定方法（1）：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡單說成：同位角相等，兩直線平行。幾何語言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）判定方法（2）：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。∵∠2＝∠3∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）判定方法（3）：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行簡單說成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）【例2】(2023秋·八年級課時練習）如圖，直線a，b，c被直線l所截，下列條件中：①1=3，4=5；②2+3=，3=7；③1=2，5=6；④2=3，4=5，能確定ac的條件的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐項分析判斷即可．【詳解】解：①∵∠1＝∠3，∴ab，∵∠4＝∠5，∴bc，∴ac，符合題意；②∵2+3=，∴ab，∵3=4，3=7，∴4=7，∴bc，∴ac，符合題意；③∵1=2，1＋2＝180°，∴1=2=90°，∴a⊥l，∵5=6，5＋6＝180°，∴5=6=90°，∴c⊥l，∴ac，符合題意；④由4=5可得bc，但是由2=3，無法推出ab，故無法得出ac，不符合題意，故選：B．【點睛】本題考查的是平行線的判定，用到的知識點為：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線互相平行．【變式訓練】【變式1】(2023秋·全國·八年級專題練習）在鋪設鐵軌時，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經(jīng)知道是直角，那么再度量圖中已標出的哪個角，不能判斷兩條直軌是否平行(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】因為∠2是直角，只要找出與∠2互為同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的其他角，根據(jù)平行線的判定定理判定即可得到正確答案．【詳解】因為∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，∠5和∠2是內(nèi)錯角，如果度量出，根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，∠3和∠2是同旁內(nèi)角，如果度量出，根據(jù)“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，所以答案為：A．【點睛】本題考查兩直線平行的判定定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線的判定定理．【變式2】(2023秋·八年級課時練習）將一塊三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如圖方式放置，使A，B兩點分別落在直線m，n上，對于給出的五個條件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判斷直線mn的有__．（填序號）【答案】①④⑤【分析】根據(jù)平行線的判定方法和題目中各個小題中的條件，逐一判斷是否可以得到m∥n，從而可以解答本題．【詳解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，∴mn，故①符合題意；∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故②不符合題意；∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故③不符合題意；過點C作CEm，∴∠3=∠4，∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，∴∠1=∠5，∴ECn，∴mn，故④符合題意；∵∠ABC=∠2-∠1，∴∠2=∠ABC+∠1，∴mn，故⑤符合題意；故答案為：①④⑤．【點睛】本題考查平行線的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式3】(2023秋·八年級課時練習）臺球運動中，如果母球P擊中桌邊點A，經(jīng)桌邊反彈擊中相鄰的另一條桌邊，再次反彈，那么母球P經(jīng)過的路線與平行嗎？證明你的判斷．【答案】，理由見解析【分析】通過計算同旁內(nèi)角互補即可證明結(jié)論．【詳解】解：，理由如下：∵，∴．同理：．∵，∴．∴．【點睛】本題主要考查了平行線的判定定理，將實際問題轉(zhuǎn)化成幾何問題是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三平行線判定的結(jié)合】【例3】(2023春·河北張家口·七年級統(tǒng)考期中）如圖（1），在中，，邊繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周回到原來的位置．在旋轉(zhuǎn)的過程中（圖（2）），當（

）時，．A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128°【答案】C【分析】結(jié)合旋轉(zhuǎn)的過程可知，因為位置的改變，與∠A可能構(gòu)成內(nèi)錯角，也有可能構(gòu)成同旁內(nèi)角，所以需分兩種情況加以計算即可．【詳解】解：如圖（2），當∠ACB'=42°時，∵，∴∠ACB'=∠A．∴CB'∥AB．如圖（2），當∠ACB'=138°時，∵∠A=42°，∴∴CB'∥AB．綜上可得，當或時，CB'∥AB．故選：C【點睛】本題考查了平行線的判定、分類討論的數(shù)學思想等知識點，根據(jù)CB'在旋轉(zhuǎn)過程中的不同位置，進行分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】【變式1】(2023春·山東青島·七年級青島經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)第四中學?？茧A段練習）如圖，在四邊形中，點在上，連接，下列說法正確的是（

）.A．因為，所以B．因為，所以C．因為，所以D．因為，所以【答案】C【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.觀察各個選項中角的數(shù)量關(guān)系（相等或互補）、位置關(guān)系是否符合上述三個定理，即可判斷所給選項是否正確.【詳解】A.因為和是同旁內(nèi)角，所以根據(jù)不能得到，故A選項錯誤；B.因為和不是同位角也不是內(nèi)錯角，所以根據(jù)不能得到，故B選項錯誤；C.因為和是同旁內(nèi)角，所以根據(jù)可以得到，故本選項正確；D.和雖然是同位角，但根據(jù)只可以得出，故本選項錯誤.故本題選C.【點睛】本題考查平行線的判定定理，在這里①判斷兩條直線是否平行，是根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系（相等或互補）和位置關(guān)系去判定的，只有同時滿足兩種關(guān)系，才可根據(jù)定理判斷平行；②完整的定理前面有一句兩直線被第三條直線所截，找準截線和被截線很關(guān)鍵（例如D選項和是同位角，它們的被截線是AB和DE）.【變式2】(2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，，現(xiàn)將木棒a、b同時順時針旋轉(zhuǎn)一周，速度分別為18度/秒和3度/秒，兩根木棒都停止時運動結(jié)束，則___________秒后木棒a，b平行．【答案】2或14或50或110【分析】設t秒后木棒a，b平行，分四種情況討論：當秒時，當時，當時，當時，即可求解．【詳解】解：設t秒后木棒a，b平行，根據(jù)題意得：當秒時，，解得：t=2；當時，，解得：t=14；當時，木棒a停止運動，當時，，解得：t=-10；（不合題意，舍去）當時，或，解得：t=50或t=110；綜上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．故答案為：2或14或50或110【點睛】本題主要考查了平行線的判定，一元一次方程的應用，明確題意，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式3】(2023秋·全國·八年級專題練習）動手操作：如圖①：將一副三角板中的兩個直角頂點疊放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．(1)若∠BCD＝150°，求∠ACE的度數(shù)；(2)試猜想∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；(3)若按住三角板ABC不動，繞頂點C轉(zhuǎn)動三角板DCE，試探究當時，∠BCD等于多少度，并簡要說明理由．【答案】(1)30°(2)∠BCD＋∠ACE＝180°；理由見解析(3)當∠BCD＝120°或60°時，；理由見解析【分析】（1）依據(jù)∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度數(shù)；（2）依據(jù)∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度數(shù)；（3）分兩種情況討論，依據(jù)平行線的判定，即可得到當∠BCD等于120°或60°時，．【詳解】（1）解：∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，∴∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°+90°=180°∵∠BCD=150°，∴∠ACE=180°-150°=30°．（2）∠BCD+∠ACE=180°，理由如下：∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，∴∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°+90°=180°（3）當∠BCD＝120°或60°時，．如圖1所示，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，當∠B＋∠BCD＝180°時，，∴此時∠BCD＝180°－∠B＝180°－60°＝120°；如圖2所示，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，當∠BCD＝∠B＝60°時，．綜上所述，∠BCD=60°或120°.【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理和判定定理，并且能夠準確識圖，是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四平行線性質(zhì)的綜合】【例4】(2023秋·全國·八年級專題練習）某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖②是其示意圖，其中，都與地面l平行，，．當為（

）度時，與平行．A．16 B．60 C．66 D．114【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理求解即可．【詳解】解：∵，都與地面l平行，∴，∴，∴，∵，，∴，∴當時，．故選：C．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】【變式1】(2023春·廣西河池·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，點在的上方，連接，，是延長線上的一點，連接，已知，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以計算出∠GCF和∠GCB的度數(shù)，然后即可計算出∠BCF的度數(shù)．【詳解】解：過點C作GCAB，如圖所示：∵ABED，∴ABEDGC，∴∠GCB＋∠ABC＝180°，∠GCF＋∠EFC＝180°，∵∠CFD＝50°，∠ABC＝130°，∴∠GCF＝130°，∠GCB＝50°，∴∠BCF＝∠GCF?∠GCB＝130°?50°＝80°，故選：B．【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式2】(2023春·江西九江·七年級統(tǒng)考期末）為了提醒司機不要疲勞駕駛，高速公路上安裝了如圖1所示的激光燈，圖2是激光位于初始位置時的平面示意圖，其中，是直線上的兩個發(fā)射點，，現(xiàn)激光繞點以每秒3度的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時激光繞點以每秒2度的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設旋轉(zhuǎn)時間為秒，當時，的值為________．【答案】12【分析】根據(jù)當時，，建立等式即可求解．【詳解】解：設旋轉(zhuǎn)時間為秒后，，由題意得：，，解得：，故答案為：12．【點睛】本題考查了一元一次方程，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)時，得出．【變式3】(2023秋·吉林長春·七年級?？计谀咎岢鰡栴}】若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【解決問題】分兩種情況進行探究，請結(jié)合下圖探究這兩個角的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖1，，，試證：；（2）如圖2，，，試證：；【得出結(jié)論】由（1）（2）我們可以得到結(jié)論：若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為_____________；【拓展應用】（3）若兩個角的兩邊分別平行，其中一個角比另一個角的2倍少，求這兩個角的度數(shù)．（4）同一平面內(nèi)，若兩個角的兩邊分別垂直，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為_____________．【答案】【提出問題】相等或互補【解決問題】（1）證明見解析；（2）證明見解析【得出結(jié)論】相等或互補【拓展應用】（3）當一個角為時，另一個角為；當一個角為時，另一個角為；（4）相等或互補【分析】“提出問題”：根據(jù)題意，分兩種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案；“解決問題”：（1）由圖可知，利用平行線性質(zhì)，即可得證；（2）由圖可知，利用平行線性質(zhì)，即可得證；“得出結(jié)論”：由【提出問題】【解決問題】可知，若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系：相等或互補；“拓展應用”：（3）根據(jù)題意，設一個角為，則另一個角為，根據(jù)若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為相等或互補，列方程求解即可得到答案；（4）根據(jù)題意，分兩種情況，作出圖形，數(shù)形結(jié)合即可得到答案．【詳解】解：“提出問題”分兩種情況，如圖所示：或，即若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系：相等或互補；“解決問題”（1）如圖所示：，，，，；（2）如圖所示：，，，，；“得出結(jié)論”由（1）（2）我們可以得到結(jié)論：若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為相等或互補，故答案為：相等或互補；“拓展應用”（3）設一個角為，則另一個角為，若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為相等或互補，或，解得或，當一個角為時，另一個角為；當一個角為時，另一個角為；（4）如圖所示：由圖可知或，同一平面內(nèi)，若兩個角的兩邊分別垂直，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為相等或互補，故答案為：相等或互補．【點睛】本題考查幾何綜合，考查了平行線的性質(zhì)，探究應用類題型，讀懂題意，分析情況，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)求證即可得到答案．【經(jīng)典例題五根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度】【例5】（2023春·七年級單元測試）如圖，直線分別與直線相交于點，已知，平分交直線于點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，根據(jù)平行線的判定得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出，利用補角的定義即可得出答案．【詳解】解：如下圖，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定、角平分線的定義以及鄰補角等知識，能靈活運用平行線的性質(zhì)和判定進行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式訓練】【變式1】(2023春·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，于點，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，過點H作，過點F作，根據(jù)平行線的性質(zhì)定理進行解答即可．【詳解】解：如圖，過點H作，過點F作，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】(2023春·安徽安慶·七年級校考階段練習）如圖，，點E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點，點M位于AB與CD之間且在EF的右側(cè)．（1）若，則______°；（2）若，與的角平分線交于點N，則的度數(shù)為______．（用含n的式子表示）【答案】

270

【分析】（1）過點M作MPAB，則ABCDMP，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得答案；（2）過點N作NQAB，則ABCDNQ，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等和角平分線的定義可得答案．【詳解】解：（1）過點M作MPAB，∵ABCD，∴ABCDMP，∴∠1=∠MEB，∠2=∠MFD，∵∠M=∠1+∠2=90°，∴∠MEB+∠MFD=90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD=180°+180°=360°，∴∠AEM+∠CFM=360°-90°=270°．故答案為：270；（2）過點N作NQAB，∵ABCD，∴ABCDNQ，∴∠3=∠NEB，∠4=∠NFD，∴∠NEB+∠NFD=∠3+∠4=∠ENF，∵∠BEM與∠DFM的角平分找交于點N，∵∠NEB=∠MEB，∠DFN=∠MFD，∴∠3+∠4=∠BEN+∠DFN=（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD=∠EMF，∴∠ENF=∠EMF=n°．故答案為：n°．【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理和角平分線的定義是解題關(guān)鍵．【變式3】(2023秋·吉林長春·七年級校考期末）已知，點E在上，點F在DC上，點G為射線上一點．(1)【基礎(chǔ)問題】如圖1，試說明：．（完成圖中的填空部分）證明：過點G作直線，又∵，∴①∵，∴∠②．∵，∴③（④）∴．(2)【類比探究】如圖2，當點G在線段延長線上時，請寫出三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【應用拓展】如圖3，平分，交于點H，且，直接寫出的度數(shù)為°．【答案】(1)；；；兩直線平行，內(nèi)錯角相等(2)．理由見解析(3)【分析】（1）由，可得，由，可得，則；（2）如圖所示，過點G作直線，同理可得，，則．（3）如圖所示，過點G作直線，過點H作直線，得到，由，得到，再由，可得，再由平分，即可得到，則．【詳解】（1）過點G作直線，又∵，∴（平行于同一條直線的兩條直線平行），∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴．故答案為：；；；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．（2）如圖所示，過點G作直線，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．（3）如圖所示，過點G作直線，過點H作直線，又∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質(zhì)．【經(jīng)典例題六平行線的性質(zhì)在生活中的實際應用】【例6】(2023春·全國·七年級期末）如圖是長方形紙帶，，將紙帶沿折疊成圖，再沿折疊成圖，則圖中的的度數(shù)是（

）A．102° B．112° C．120° D．128°【答案】A【分析】根據(jù)兩條直線平行，內(nèi)錯角相等，則∠BFE=∠DEF=26°，根據(jù)平角定義，則∠EFC=154°（圖a），進一步求得∠BFC=154°-26°=128°（圖b），進而求得∠CFE=128°-26°=102°（圖c）．【詳解】解：∵AD∥BC，∠DEF=26°，∴∠BFE=∠DEF=26°，∴∠EFC=154°（圖a），∴∠BFC=154°-26°=128°（圖b），∴∠CFE=128°-26°=102°（圖c）．故選：A．【點睛】本題考查了翻折變換，平行線的性質(zhì)和平角定義，根據(jù)折疊能夠發(fā)現(xiàn)相等的角是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】【變式1】(2023春·江蘇連云港·七年級校考階段練習）如圖，修建一條公路，從王村沿北偏東方向到李村，從李村沿北偏西方向到張村，從張村到杜村的公路平行從王村到李村的公路，則張杜兩村公路與李張兩村公路方向夾角的度數(shù)為（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線同位角相等和同旁內(nèi)角互補的性質(zhì)，即可完成求解．【詳解】∵王村沿北偏東方向到李村∴∵從張村到杜村的公路平行從王村到李村的公路，且從李村沿北偏西方向到張村∴∴張杜兩村公路與李張兩村公路方向夾角的度數(shù)為故選：B．【點睛】本題考查了方位角、平行線的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線同位角相等和同旁內(nèi)角互補的性質(zhì)，從而完成求解．【變式2】(2023春·云南昆明·七年級統(tǒng)考期末）《七彩云南》少數(shù)民族傳統(tǒng)藝術(shù)表演，是七彩云南歡樂世界的王牌演藝節(jié)目，它薈萃云南人文之美，深受觀眾喜愛．在展演中，舞臺上的燈光由燈帶上位于點和點的兩盞激光燈控制．如圖，光線與燈帶的夾角，當光線與燈帶的夾角______時，．【答案】140°或40°【分析】當AB與在AC同側(cè)時，CB′∥AB，同旁內(nèi)角互補；當AB與CB"在AC異側(cè)時，CB"∥AB，內(nèi)錯角相等．【詳解】解：如下圖：當AB與CB′在AC同側(cè)時，當CB′∥AB時，∵∠CAB+∠ACB′=180°∴∠ACB′=140°當AB與CB"在AC異側(cè)時，當CB"∥AB時，∠CAB=∠ACB"=40°答案：140°或40°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補及需要由分論討論的思想求解．【變式3】(2023秋·全國·八年級專題練習）光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，例如：在圖1中，有∠1＝∠2．(1)如圖2，已知鏡子MO與鏡子ON的夾角∠MON＝90°，請判斷入射光線AB與反射光線CD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖3，有一口井，已知入射光線AO與水平線OC的夾角為50°，當平面鏡MN與水平線OC的夾角為°，能使反射光線OB正好垂直照射到井底；(3)如圖4，直線EF上有兩點A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射線AB、CD分別繞A點、C點以3度/秒和1度/秒的速度同時逆時針轉(zhuǎn)動，設時間為t秒，在射線AB轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，是否存在某時刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時間t．【答案】(1)ABCD，理由見解析(2)65或115(3)在射線AB轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，存在時間t，使得CD與AB平行，其t=10s或100s．【分析】（1）計算∠ABC+∠BCD的值便可得出結(jié)論；（2）先計算出∠AOB，進而得∠AOM+∠BON的值，再根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，得出結(jié)果；（3）分四種情況討論：當0s≤t≤20s時，當20s＜t≤40s時，當40s＜t≤80s時，當80s＜t≤120s時，根據(jù)角度大小變化關(guān)系鎖確ABCD時的t值．【詳解】（1）解：ABCD．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3，∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3），∵∠BOC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD；（2）解：∵∠AOC=40°，∠BOC=90°，∴∠AOM+∠BON=180°-90°=40°=50°，∵∠AOM=∠BON，∴∠AOM=∠BON=25°，∴∠COM=25°+40°=65°，∠CON=25°+90°=115°，∴當平面鏡MN與水平線OC的夾角為65°或115°時，能使反射光線OB正好垂直照射到井底，故答案為：65或115；（3）解：①當0s≤t≤20s時，如下圖，若ABCD，則∠BAC=∠ACD，即120+3t=140+t，解得t=10，∴當t=10s時ABCD；②當20s＜t≤40s時，如下圖，有∠BAE＜90°＜∠ACD，則AB與CD不平行；③當40s＜t≤80s時，如下圖，有∠BAC＜∠ACD，AB與CD不平行；④當80s＜t≤120s時，如下圖，若ABCD，則∠BAC=∠DCF，即3t-240=t-40，解得t=100，∴當t=100s時，ABCD；綜上可知，在射線AB轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，存在時間t，使得CD與AB平行，其t=10s或100s．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是應用分類討論思想解決問題．【經(jīng)典例題七平行線的判定與性質(zhì)綜合（折疊問題）】【例7】(2023春·浙江杭州·七年級?？计谥校┮粭l兩邊沿互相平行的圍巾按圖所示折疊，已知∠DAB-∠ABC=8°，且DFCG，則∠DAB+2∠ABC=（）度．A．130 B．131 C．132 D．133【答案】B【分析】將圍巾展開，利用折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)推導即可．【詳解】解：如圖，將圍巾展開，則∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，設∠ABC=x，則∠DAB=x+8°，∵CDAB，∴∠ADM=∠DAB=∠ADF=x+8°，∵DFCG，∴∠FDC=∠KCG=2x，∵∠FDC+∠FDM=180°，即2x+2（x+8°）=180°，解得x=41°，∴∠DAB+2∠ABC=（x+8°）+2x=131°．故選：B．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)，根據(jù)∠FDC+∠FDM=180°列方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】【變式1】(2023春·黑龍江牡丹江·七年級校考期末）一張長方形紙條按如圖所示折疊，EF是折痕，若∠EFB=35°，則：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上結(jié)論正確的有（

）A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②【答案】A【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，進而可得，即可判斷①③；再利用平行線的性質(zhì)可得、的度數(shù)，即可判斷②；再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得的度數(shù)，進而可得的度數(shù)，即可判斷④【詳解】解：∵四邊形ABCD是長方形∴由折疊的性質(zhì)可得故①正確故③正確故②正確又由折疊的性質(zhì)可得：故④正確故選：A【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)．【變式2】(2023春·福建福州·七年級?？计谥校┤鐖D（1）紙片ABCD（ADBC），將CD按如圖（2）所示沿著DE折疊至DC′，DC′與線段BC交于F，∠BFD=m，點E在線段BC上，若將AD按如圖（3）所示沿著DO折疊至DA′，且A′在線段DC的延長線上，點O在線段BC上，則∠ODE=__________．（用含m的式子表示）【答案】【分析】設∠CDE=x，∠DCE=y，由圖（1）折疊性質(zhì)可得：∠C’DE=∠CDE=x，由平行線性質(zhì)可得∠ADF=180°-m，則∠ADC=180°-m+2x，由圖（2）折疊性質(zhì)可得：∠ADO=∠CDO=，最后可得∠ODE的度數(shù)．【詳解】解：設∠CDE=x，∠DCE=y，由圖（1）折疊性質(zhì)可得：∠C’DE=∠CDE=x，∵∠BFD=m，ADBC，∴∠BFD+∠ADF=180°，∴∠ADF=180°-m，∴∠ADC=180°-m+2x，由圖（2）折疊性質(zhì)可得：∠ADO=∠CDO=，∴∠ODE=∠CDO-∠CDE=．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及角的有關(guān)計算，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．【變式3】(2023秋·貴州銅仁·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，將一張上、下兩邊平行（即ABCD）的紙帶沿直線MN折疊，EF為折痕．(1)試說明∠1＝∠2；(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連續(xù)兩次利用定理“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”即可求證；（2）先利用求出，再利用求出，最后利用關(guān)系式求解即可．【詳解】（1）解：證明：∵，∴．∵，∴，∴．（2）∵，∠2＝54°∴．根據(jù)折疊的性質(zhì)知：，∴．又∵，即，∴，∴．【點睛】本題考查平行的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握平行的性質(zhì)和折疊前后對應的角相等是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)問題）】【例8】(2023秋·八年級課時練習）如圖，△OAB為等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD為等邊三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），滿足OC＞OA，△OCD繞點O從射線OC與射線OA重合的位置開始，逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為α（0°＜α＜360°），下列說法正確的是（）A．當α＝15°時，DC∥ABB．當OC⊥AB時，α＝45°C．當邊OB與邊OD在同一直線上時，直線DC與直線AB相交形成的銳角為15°D．整個旋轉(zhuǎn)過程，共有10個位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行【答案】A【分析】設OC與AB交點為M，OD與AB交點為N，當α＝15°時，可得∠OMN＝α+∠A＝60°，可證DC∥AB；當OC⊥AB時，α+∠A＝90°，可得α＝30°；當邊OB與邊OD在同一直線上時，應分兩種情況，則直線DC與直線AB相交形成的銳角也有兩種情況；整個旋轉(zhuǎn)過程，因OC、OB、OD、OA都有交點，只有AB和CD存在平行，根據(jù)圖形的對稱性可判斷有兩個位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行．【詳解】解：設OC與AB交點為M，OD與AB交點為N，當α＝15°時，∠OMN＝α+∠A＝60°，∴∠OMN＝∠C，∴DC∥AB，故A正確；當OC⊥AB時，α+∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，∴α＝45°或225°，故B錯誤；當邊OB與邊OD在同一直線上時，應分兩種情況，則直線DC與直線AB相交形成的銳角也有兩種情況，故C錯誤；整個旋轉(zhuǎn)過程，因OC、OB、OD、OA都有交點，只有AB和CD存在平行，根據(jù)圖形的對稱性可判斷有兩個位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行，故D錯誤；故選A．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，垂直的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.【變式訓練】【變式1】(2023春·江蘇宿遷·七年級?？茧A段練習）為了亮化某景點，石家莊市在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發(fā)出的光束自AM逆時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，B燈發(fā)出的光束自BP逆時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動30°，B燈每秒轉(zhuǎn)動10°，B燈先轉(zhuǎn)動2秒，A燈才開始轉(zhuǎn)動，當B燈光束第一次到達BQ之前，兩燈的光束互相平行時A燈旋轉(zhuǎn)的時間是（）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒【答案】C【分析】設燈旋轉(zhuǎn)的時間為秒，求出的取值范圍為，再分①，②和③三種情況，先分別求出和的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此建立方程，解方程即可得．【詳解】解：設燈旋轉(zhuǎn)的時間為秒，燈光束第一次到達所需時間為秒，燈光束第一次到達所需時間為秒，燈先轉(zhuǎn)動2秒，燈才開始轉(zhuǎn)動，，即，由題意，分以下三種情況：①如圖，當時，，，，，，即，解得，符合題設；②如圖，當時，，，，，，即，解得符合題設；③如圖，當時，，，同理可得：，即，解得，不符題設，舍去；綜上，燈旋轉(zhuǎn)的時間為1秒或秒，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、一元一次方程的幾何應用等知識點，正確求出時間的取值范圍，并據(jù)此分三種情況討論是解題關(guān)鍵．【變式2】(2023春·江西南昌·七年級校考階段練習）如圖，直線EF上有兩點A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠DCF=60°，∠EAB=70°，射線AB、CD分別繞A點，C點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)動，在射線CD轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，使得CD與AB平行所有滿足條件的時間t=_____．【答案】5秒或95秒【分析】分①AB與CD在EF的兩側(cè)，分別表示出∠ACD與∠BAC，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行，列式計算即可得解；②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計算即可得解；③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計算即可得解．【詳解】∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，分三種情況：如圖①，AB與CD在EF的兩側(cè)時，∠ACD＝120°?(3t)°，∠BAC＝110°?t°，要使，則∠ACD＝∠BAC，即120°?(3t)°＝110°?t°，解得t＝5；如圖②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時，∠DCF＝360°?(3t)°?60°＝300°?(3t)°，∠BAC＝110°?t°，要使，則∠DCF＝∠BAC，即300°?(3t)°＝110°?t°，解得t＝95；如圖③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)時，∠DCF＝(3t)°?(180°?60°＋180°)＝(3t)°?300°，∠BAC＝t°?110°，要使，則∠DCF＝∠BAC，即(3t)°?300°＝t°?110°，解得t＝95，此時∠BAC＝t°?110°＜0°，∴此情況不存在．綜上所述，當時間t的值為5秒或95秒時，CD與AB平行．故答案為：5秒或95秒．【點睛】本題考查了平行線的判定，讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵，要注意分情況討論．【變式3】(2023春·北京·七年級校考期中）“一帶一路”讓中國和世界聯(lián)系更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖所示，燈A射線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒，燈轉(zhuǎn)動的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且．(1)填空：______；(2)若燈射線先轉(zhuǎn)動秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈射線到達之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)若兩燈同時開始轉(zhuǎn)動，兩燈射出的光束交于點，且，則在燈射線到達之前，轉(zhuǎn)動的時間為______秒．【答案】(1)60(2)秒或秒(3)或【分析】（1）設，則，根據(jù)，可列出關(guān)于x的等式，解出x即可求解；（2）設A燈轉(zhuǎn)動秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進行討論：當時，根據(jù)，可得；當時，根據(jù)，可得；（3）分類討論當時和當時，畫出圖形，分別根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合題意構(gòu)建方程解決問題即可．（1）設，則，∵，即，∴，∴．故答案為：60；（2）設A燈轉(zhuǎn)動秒，兩燈的光束互相平行，由題意可知，．當時，如圖，，．，，．，解得；當時，如圖，，．，，．∵，∴，，解得

．綜上所述，當30秒或110秒時，兩燈的光束互相平行；（3）設燈A射線轉(zhuǎn)動時間為秒，當時，過點作，，，，，，，，又，∴，解得：，∴，此時與共線，不符合題意；當時，同的圖可得，則，解得：；如圖中，當時，同可知．因為此時，，解得：．綜上可知，t的值為100或140．故答案為：100或140．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，平行公理及推論，一元一次方程的應用．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．【培優(yōu)檢測】1．(2023春·內(nèi)蒙古包頭·七年級統(tǒng)考期中）在下列說法中，正確的有（

）個．①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；

②已知、的兩邊分別平行，那么；③垂直于同一條直線的兩條直線平行；

④從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到直線的距離．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】利用平行公理，平行線的性質(zhì)定理，點到直線的距離的定義逐項判斷即可．【詳解】解：同一平面內(nèi)，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，因此①錯誤；、的兩邊分別平行時，或，因此②錯誤；同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，因此③錯誤；從直線外一點到這條直線所畫的垂線段的長度叫做這點到直線的距離，故④錯誤；故選：D．【點睛】本題考查平行公理，平行線的性質(zhì)定理，點到直線的距離的定義等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握上述基本知識，不要漏掉前置條件．2．(2023春·福建寧德·七年級統(tǒng)考期末）如圖，由兩個完全相同的三角板拼成一個四邊形，則下列條件能直接判斷的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線的判定對每一項分別進行分析即可得出答案．【詳解】解：A、，，故本選項正確，符合題意；B、，，故本選項錯誤，不符合題意；C、由，無法得到，故本選項錯誤，不符合題意；D、，，故本選項錯誤，不符合題意；故選A．【點睛】本題主要考查直線平行的判定方法，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握平行線的判定.3．(2023春·貴州安順·七年級統(tǒng)考期末）如圖，某沿湖公路有三次拐彎，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角為∠C，第三次拐彎后的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C的度數(shù)是（

）A．130° B．140° C．145° D．150°【答案】D【分析】過點B作BEAD，利用平行線的性質(zhì)可得∠ABE＝110°，從而求出∠EBC＝30°，然后再利用平行線的性質(zhì)，即可解答．【詳解】解：過點B作BEAD，∴∠A＝∠ABE＝110°，∵∠ABC＝140°，∴∠EBC＝∠ABC?∠ABE＝30°，∵ADCF，∴BECF，∴∠C＝180°?∠EBC＝150°，故選：D．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．4．(2023春·廣東江門·七年級江門市福泉奧林匹克學校?？茧A段練習）①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C=180°；②如圖2，ABCD，則∠E=∠A+∠C;③如圖3，ABCD，則∠A+∠E－∠1=180°；④如圖4，ABCD，則∠A=∠C+∠P．以上結(jié)論正確的個數(shù)是(

)

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①過點E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②過點E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；③過點E作直線，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠E-∠1=180°；④先過點P作直線，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等和同位角相等即可作出判斷．【詳解】解：①過點E作直線，∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①錯誤；②過點E作直線，∵，∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正確；③過點E作直線，∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正確；④如圖，過點P作直線，∵，∴，∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，∴∠1＝∠C＋∠CPA，∵ABCD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正確．綜上所述，正確的小題有②③④．故選：C．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及平行公理的推論，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．5．(2023秋·浙江·八年級開學考試）如圖，在科學《光的反射》活動課中，小麥同學將支架平面鏡放置在水平桌面MN上，鏡面AB的調(diào)節(jié)角的調(diào)節(jié)范圍為12°~69°，激光筆發(fā)出的光束DG射到平面鏡上，若激光筆與水平天花板（直線EF）的夾角，則反射光束GH與天花板所形成的角不可能取到的度數(shù)為（

）A．129° B．72° C．51° D．18°【答案】C【分析】分當時，如圖1所示，當時，如圖2所示，兩種情況，利用平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：當時，如圖1所示，過點G作，∵，∴，∴∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM，由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM，∴∠PGH=180°-∠AGH-∠PGB=120°-2∠ABM，∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM，∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM，∴當時，如圖2所示，過點G作，同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ，∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM，∴∠PGH=180°-∠AGP-∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM，∴∠HGP=∠PGQ-∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°，∴∠PHG=150°-2∠ABM，∴，綜上所述，或，故選C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線和利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．6．(2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，AB∥CD，點E，P在直線AB上（P在E的右側(cè)），點G在直線CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線段EF上的一動點，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線交與點Q，且點Q在直線AB，CD之間的區(qū)域，下列結(jié)論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．