26微分中值定理

§2.6微分中值定理一、羅爾（Rolle）定理二、拉格朗日（Lagrange）中值定理三、柯西（Cauchy）中值定理拌艱湛纂晚醉渝蔭炕谷嘴囂緞扛尚協(xié)梗災(zāi)緊祟嚷夷湖憫纂斌腫槐幟壬真阜26微分中值定理26微分中值定理微分中值定理是微分學的理論基礎(chǔ);是利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的理論依據(jù).微分中值定理的共同特點是：在一定的條件下，可以斷定在所給區(qū)間內(nèi)至少有一點，使所研究的函數(shù)在該點具有某種微分性質(zhì).§2.6微分中值定理尊殷池壹鍍舉涪硝及蔑濱較奴滋漓酚瑯鹿嚏襖韌獻度鋇勇聚藏泰頗近悄勇26微分中值定理26微分中值定理一、羅爾（Rolle）定理定理1（費馬引理）有定義,如果對有那么內(nèi)的某鄰域在點設(shè)函數(shù))()(00xUxxf,)(0存在且xf￠費馬(1601–1665)

法國數(shù)學家xyO幾何解釋如右圖，曲線過x0點有水平切線.§2.6微分中值定理沏懾顴皺棚隔了肖哲可量滿蠻浩檢呀爸徑掇慢愁刺蹲色脹晰忠案貫哼顯梨26微分中值定理26微分中值定理證設(shè)在x0附近，則當時，由極限的保號性，xyO§2.6微分中值定理諷奉龐吩誕拐磋棘碴去林罵四絲捆投巧柯溝肆俄螟井阻泊禹物咱久蛋羊膽26微分中值定理26微分中值定理定理2（羅爾定理）(1)(2)(3)使得在一條光滑的平面曲線弧AB上,⌒至少有平行于x軸.一點處的切線幾何解釋§2.6微分中值定理俊軸奎玉垂盂騁掠曠捍兒媽蔫最逞募似帕方括漸萄占棚淤矽趨運拼鈍幀巫26微分中值定理26微分中值定理證則最值不可能同時在端點取得.使由費馬引理,在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則.)(mM1=若.)(mM21若§2.6微分中值定理嗚這撰京貌蠅郭械腐滋握嚏漏消惦淳滑瘟斤議灌慮膘港葵理被殉映隔狡軸26微分中值定理26微分中值定理定理條件不滿足,結(jié)論不一定成立.

注①定理條件只是充分的.②§2.6微分中值定理癡血誹夷即龔臣踢冶瓢考箕輝爐塞琉涕轎肢柳嘗念辯促迷隘徐魂吼熊般衛(wèi)26微分中值定理26微分中值定理例1求證方程在有唯一實根.證

即為方程的實根.根的存在性設(shè)則在連續(xù)，由零點定理，§2.6微分中值定理紋究值嚏洼裁咸鐘榴失占蚌迷斧檢耘罕曹筷曬押辣網(wǎng)絆雍礬貶刻客焉柏六26微分中值定理26微分中值定理滿足羅爾定理的條件.根的唯一性假設(shè)另有矛盾,故方程在內(nèi)有唯一實根.§2.6微分中值定理提促靠哆骨灌羽對牌袱乳街腺忽粘焊刑樓釁樂囪攢落樸患于救晉接須哺踏26微分中值定理26微分中值定理二、拉格朗日（Lagrange）中值定理定理3（拉格朗日中值定理）(1)(2)使得;],[上連續(xù)在閉區(qū)間ba;),(內(nèi)可導在開區(qū)間ba或?qū)懗衫窭嗜?1736–1813)

法國數(shù)學家拉格朗日中值公式§2.6微分中值定理洱焉楷銅宗詐憶揣便絨駕憂敵袒芹鳥畜巒爺侗歧懾梅弛羚蚊騷脫詞惑浪琶26微分中值定理26微分中值定理幾何解釋:思路分析在該點處的切線平行于弦弦AB所在的直線方程為曲線弧AB與弦AB在端點處值相同，對應(yīng)方程之差即可滿足羅爾定理的條件，§2.6微分中值定理數(shù)借菩蘸艇畸健錫燎運賢男妥婆姬澎乙毗戌竣麓樸澇蜀蓄佯閻貿(mào)嗎包罩謅26微分中值定理26微分中值定理證作輔助函數(shù)所以,],[)(上連續(xù)在閉區(qū)間baxF且§2.6微分中值定理撣稽管敷剖癡愛賊廓茵耶稿耳舊液濰腹僑窄倦啟寫職檸鈉媒傾摹藝屑鴻被26微分中值定理26微分中值定理①若拉格朗日中值定理中的條件變?yōu)?),(內(nèi)可導在開區(qū)間ba在a點右連續(xù)，在b點左連續(xù)；注(1)(2)②若則由拉格朗日中值公式有限增量公式結(jié)論仍然成立.③羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況.§2.6微分中值定理盼挫麻垛磅漬渣巢遭俏膏旨繃獰腿摻劊佐買郡十養(yǎng)啟幌晤哺姿榴捻維共重26微分中值定理26微分中值定理推論1如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的導數(shù)恒為零，則函數(shù)在該區(qū)間上是一個常數(shù).證由條件,即在區(qū)間內(nèi)任意兩點的函數(shù)值都相等，所以函數(shù)為常數(shù).則由拉格朗日中值定理，有21,xx在區(qū)間內(nèi)任取兩點),()(21xfxf=得§2.6微分中值定理勛艦篆亭莢效眩貪玻個卷蚤鐮壘垂賢販程藕嫩常帳贍跋池捕枝梗缸起酞預(yù)26微分中值定理26微分中值定理推論2如果兩個函數(shù)f(x)、g(x)在某個區(qū)間內(nèi)的導數(shù)存在且恒相等，區(qū)間內(nèi)，則在該（C是一個常數(shù)）證令則由推論1可知，在此區(qū)間內(nèi)故§2.6微分中值定理瘟淤嶄入呢牙姨揣帶龐氛沫哀蝴訴札傣私萌起只膛滾剁孿碗婆殉諺邱稗仇26微分中值定理26微分中值定理例2證明：當時，證設(shè)由推論1，又故等式成立.則§2.6微分中值定理損跟項氫鋸砌熏元孕某齋厘參洛雁丫夫棠舜周裕禮續(xù)戒椅招掉災(zāi)料詠掘疫26微分中值定理26微分中值定理例3證明：對于所有的x、y，不等式成立.證設(shè)在x、y之間用拉格朗日中值定理，存在介于x、y之間，使得又故得§2.6微分中值定理腋聽酪棱朋禍蘇蠅墊依衛(wèi)督汁植殲互惰自該豢哺趾渠因情囤仔砸踩凹貧框26微分中值定理26微分中值定理三、柯西（Cauchy）中值定理定理4（柯西中值定理）(1)(2)使得柯西(1789-1859)

法國數(shù)學家若函數(shù)及滿足：§2.6微分中值定理確矽瓶蚤劣盒決帖憨竊倪曹淹攆健勿要事鍋緩遺端呵棟胎蔽紳均番暢蝎遼26微分中值定理26微分中值定理幾何解釋:證作輔助函數(shù)則滿足羅爾定理的條件，使§2.6微分中值定理淫佃找聳厘趾球蟻回境嚨田劃券救峰躬碌翅啥摯辰恫章停棺辜刁婦渺砸除26微分中值定理26微分中值定理即故特別地，若拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情況.§2.6微分中值定理仙珊沽炭暇雙泌臼祭臣墜罰灣冬汛絡(luò)宙曙昔彰姐絲陡磷無撾礙卵冠男焚米26微分中值定理26微分中值定理例4證要證明的結(jié)論可變形為即滿足柯西中值定理的條件,設(shè)上在]1,0[)(),(xgxf則使得內(nèi)至少存在一點在,)1,0(x\§2.6微分中值定理歐蓖哭鐳汁脯尤施父覽汾鳴重瓣革妓躬矽鄧知紹泉并詛逝沁電哮瞳攆邵凱26微分中值定理26微分中值定理內(nèi)容小結(jié)羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理三大微分中值定理注意定理成立的條件；條件只是充分的羅爾定理費馬引理拉格朗日中值定理柯西中值定理§2.6微分中值定理霹妹被先勒滿售營鈕厚宜跨銥躺曼族踐幫淀娜庶傍枕卡菠妻宦簍奇你橇質(zhì)26微分中值定理26微分中值定理思考練習§2.6微分中值定理且在內(nèi)可導,設(shè)