2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)ⅲ）（含解析版）

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2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo)m)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1

1.已知集合A={-1,0,1,2},B={x\x<Vi,則A「5=

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2)

2.若z(l+i)=2i,則2=

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

3.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古

典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其

中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80

位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》

的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為

A....

4.(1+2d)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為

A.12B.16C.20D.24

5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{〃〃}的前4項(xiàng)為和為15,且〃5=3俏+4〃1,則6二

A.16B.8C.4D.2

6.已知曲線y=〃e*+xln%在點(diǎn)(1,ae)處的切線方程為產(chǎn)2x+。，貝!J

A.〃=e,b=—lB.a=e,b-\C.a=e-1,b=lD.a=eT1

b=-l

7函數(shù)在［一6,6］的圖象大致為

A.B.

C.D.

8.如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，AECD為正三角形，平面EC。，平面ABCD,M

是線段中的中點(diǎn)，則

A.BM=EN,且直線BM、EN是相交直線

B.BM主EN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM、EN是異面直線

D.BM+EN,且直線BM,EN是異面直線

9.執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的的值等于

B.2-■5-

A.2-■CD.2v

242527

X22

10.雙曲線C：-匕=1的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸在C的一條漸進(jìn)線上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

~42

\PO\=\PF\,則△PPO的面積為

A.嫗R30

D.-----C.2A/2D.3A/2

42

11.設(shè)/(X)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0,8)單調(diào)遞減，則

-

A.f(log3l)>f(22)>f(2-3)

1-23

B.f(log3l)>f(23)>f(2個(gè))

c.f(2-32)>f(2個(gè)2)>/(log31()

231

D.f(2-3)>f35)>/(log3；)

12.設(shè)函數(shù)/(x)=sin(ox+g)(0>0),已知/(x)在［0,2可有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述

四個(gè)結(jié)論：

①"％)在(。,2兀)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)

②/(%)在(0,2兀)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)

③/(%)在(0,木)單調(diào)遞增

1229

④。的取值范圍是［不，記)

其中所有正確結(jié)論的編號是

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知a,b為單位向量，且a?8=0,若c=2a—?dú)v，貝i］cos<a,c>=.

14.記S.為等差數(shù)列｛斯｝的前”項(xiàng)和，%W0,?2-3q,則肅-.

35

22

15.設(shè)耳，鳥為橢圓C：L+2L=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若△河耳心

3620

為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為.

16.學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體

ABC。-A耳挖去四棱錐。一跖GX后所得幾何體，其中。為長方體的中心，E,

F,G,"分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm,AA1=4cm,3,不考慮打印損耗，

制作該模型所需原料的質(zhì)量為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（-）必考題：共60分。

17.（12分）

為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成

A、B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，

每組小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出

殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記C為事件：“”，根據(jù)直方圖得到P（C

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中m6的值；

（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值

為代表）.

18.（12分）

A+C

△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為°、6、c,已知asin-----=bsinA.

2

（1）求B；

（2）若△ABC為銳角三角形，且c=l,求△ABC面積的取值范圍.

19.（12分）

圖1是由矩形班、和菱形MGC組成的一個(gè)平面圖形，其中A3=1,BE=BP=2,

/FBC=60。,將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)。G,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面ABC,平面BCGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

20.(12分)

已知函數(shù)/(x)=2X3-?X2+b.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)是否存在。力，使得/(%)在區(qū)間［0,1］的最小值為-1且最大值為1?若存在，求出

。力的所有值；若不存在，說明理由.

r21

21.已知曲線C：y=—,。為直線尸-一上的動點(diǎn)，過。作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,

22

B.

(1)證明：直線AB過定點(diǎn)：

(2)若以E(0,2)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形

2

ADBE的面積.

(-)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，4(2,0),3("；),C("爭，。(2,兀)，弧AB，BC，

所在圓的圓心分別是(1,0),(1,方,(1,兀)，曲線是弧A3,曲線“2是弧BC，

曲線“3是弧0。.

(1)分別寫出A/】，M2,M3的極坐標(biāo)方程;

(2)曲線"由M],M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP|=J§\求尸的極坐標(biāo).

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

設(shè)x,y,zeR,且x+y+z=l.

(1)求(x—l)2+(y+iy+(z+l)2的最小值；

(2)若(x—2/+(y—iy+(z—a)2?；成立，證明：aW—3或1.

2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo)m)

參考答案

一、選擇題

1.A2.D3.C4.A5.C6.D7.B8.B9.C10.A

11.C12.D

二、填空題

13.114.415.(3,V15)16.

三、解答題

17.解：(1)由已知得。，故a.

b,

(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為

乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為

A+C

18.解：(1)由題設(shè)及正弦定理得sinAsin----=sinBsinA.

2

A+C

因?yàn)閟inAwO,所以sin-----=sinB.

2

,.1or\°-r/RA+CB,B..5B

由A+JB+C=180,可得sin-----=cos—,故cos—=2sin—cos—.

22222

B]

因?yàn)閏os—w0,故sin———,因止匕5=60。.

222

（2）由題設(shè)及（1）知△ABC的面積5小80=。.

?丁廿…皿/口csinAsin(120°-C)_豆1

由正弦定理得〃二------

sinCsinC2tanC2

由于△ABC為銳角三角形，故0。<4<90。，0°<C<90°,由（1）知A+O120。，所以30。<。<90。,

.>1。H6cy[3

故不<。<2，從而WVSAABCVK

Zo2

因此，AABC面積的取值范圍是

19.解：（1）由已知得AO〃BE,CG//BE,所以AQ〃CG,故A。，CG確定一個(gè)平面，從

而A,C,G,。四點(diǎn)共面.

由已知得AB_LBE,ABLBC,Sfc4B_L平面BCGE.

又因?yàn)?Bu平面4BC,所以平面ABC_L平面BCGE.

（2）作E//_LBC,垂足為因?yàn)椤闣u平面3CGE,平面2CGE_L平面ABC,所以E"_L

平面ABC.

由已知，菱形3CGE的邊長為2,NEBC=60°,可求得①f=l,EH=^.

以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，沅的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H—yz,

則A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,73),CG=(1,0,73),AC=

(2,-1,0).

設(shè)平面ACG。的法向量為“(x,y,z),貝ij

CGn=0,x+V3z=0,

<__即V

ACn=0,[2x-y=0.

所以可取"二(3,6,一代).

nm

又平面3CGE的法向量可取為初二(0,1,0),所以cos〈〃,m〉二

|帆|2

因此二面角5-CG-A的大小為30。.

20.解：(1)/'(%)=6x2-lax=2x(3x-a).

令/'(%)=。，得%=?；騲二三.

若。>0,則當(dāng)x￡(—oo,0)u1'1,+oc)時(shí)，/'(x)>0；當(dāng)時(shí)，f\x)<0.故

/(X)在(-8,0),，,+8］單調(diào)遞增，在，￡|單調(diào)遞減；

若4=0,f(x)在(-00,+00)單調(diào)遞增；

若。<0,則當(dāng)X￡1—GO,'1)u(0,+00)時(shí)，/,(%)>0；當(dāng)［■!，())時(shí)，/,(X)<0.故

f(x)在1-8,|po,+?)單調(diào)遞增,在1］，0］單調(diào)遞減.

(2)滿足題設(shè)條件的a,6存在.

⑴當(dāng)aWO時(shí)，由(1)知，/(x)在［0,1］單調(diào)遞增，所以/(x)在區(qū)間［0,1］的最小

值為/(0)=匕，最大值為/(1)=2—a+b.此時(shí)a,b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)Z?=—1,

2—a+b=1,即a=0,b=—l.

(ii)當(dāng)〃23時(shí)，由(1)知，/(%)在［0,3單調(diào)遞減,所以/(%)在區(qū)間［0,1］的最大

值為了(0尸人，最小值為/(1)=2—。+人,此時(shí)〃，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)

2—〃+/?=—1,b=l,即。=4,b=l.

（iii）當(dāng)0<〃<3時(shí)，由（1）知，/（X）在［0,1］的最小值為/—/y+匕，最大值

為"或2-.

若-----\-b=,b=l,則〃=3§2,與0<〃<3矛盾.

27

3

若—，—+/?=—1,2—a+6=1,則a=3/^或a=—3A/^或〃=0,與0<。<3矛盾.

27

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)4=0,6=-1或〃=4,5=1時(shí)，/（x）在［0,1］的最小值為-1,最大值

為1.

21.解：（1）設(shè)。，A（XQJ,則x；=2y「

1

MH—

由于y，=x,所以切線D4的斜率為X］,故^—2-=%）.

Xx-t

整理得2處-2%+1=0.

設(shè)8（%，%），同理可得2笈2-2%+1=0.

故直線A3的方程為2比—2y+1=0.

所以直線A3過定點(diǎn)（0,f.

（2）由（1）得直線A3的方程為y=fx+g.

1

y=tx+^

由V2,可得無2—2比—1=0.

X

y=T

于是％+x2=2t,XyX2=一1,%+%=乂%+%2)+[=2/+1，

|AB|=Jl+/卜_司=X+%2『-4%1%2=292+1).

設(shè)4,%分別為點(diǎn)。，E到直線A3的距離，則4=爐71%=-^.

Vr+1

因此，四邊形ADBE的面積S=；|AB|(4+4)=?2+3)J/+l.

設(shè)M為線段A3的中點(diǎn)，則M

由于畫九瓶，而畫7=’,廣—2),通與向量(1,6平行，所以/+,2一2＞=0.

解得七0或/=±1.

當(dāng)f=0時(shí)，5=3；當(dāng)，=±1時(shí)，S=4A/2.

因此，四邊形AD3E的面積為3或40.

22.解：(1)由題設(shè)可得，弧AB,BC,CD所在圓的極坐標(biāo)方程分別為°=2cos。，

p=2smO,夕=-2cosd.

所以M的極坐標(biāo)方程為夕=2cos，加2的極坐標(biāo)方程為

夕=2sin6?E＜，d,M的極坐標(biāo)方程為P=—2cos。＜兀

(2)設(shè)尸(夕,夕)，由題設(shè)及(1)知

若巴，則2cos￡=百，解得。=4；

46

若二＜夕〈電，則2sin，=百，解得。=巴或。=斑；

4433

若‘W9W兀，則—2cos￡=&，解得。=三.

46

23.解：(1)由于[(x—l)+(y+l)+(z+l)F

<3[(x-l)2+(y+l)2+(z+l)2],

故由已知得(x_l)2+(y+l)2+(2+l)22：,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=--,z=-g時(shí)等號成立.

333

4

所以(犬―1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值為—.

(2)由于

<3〔(x-2)2+(y-1)?+(z-a)2],

故由已知(x—2)2+(y—1)2+(z—a)22Q1a),

當(dāng)且僅當(dāng)工=-y=」，z=——時(shí)等號成立.

3-33

因止匕(X—2)2+(y—1)2+(Z—?)2的最小值為(272.

由題設(shè)知(2+“廠。工,解得aW—3或1.

33

絕密★啟用前

2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)IH）

答案解析版

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A={-l,0,L2},B={X|X2<1},則AcB=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-14}D.

{0,1,2）

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出集合8再求出交集.

【詳解】由題意得，B={x|-l<x<l）,則4八8={—1,0,1}.故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的求法，是基礎(chǔ)題.

2.若z(l+i)=2i,則z=()

A.-1—iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求解即可.

2i_2i(l-i)

故選

【詳解】zT+i-(l+i)(l-i)=1+i.D.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的商的運(yùn)算，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取運(yùn)算法則法，利用方程思想

解題.

3.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小

說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀

過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過

《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與

該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題先求出閱讀過西游記的人數(shù)，進(jìn)而得解.

【詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70,則其與該校學(xué)生人數(shù)之

比為70X00=0.7.故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取去重法，利用轉(zhuǎn)

化與化歸思想解題.

4.（1+2/）（1+X）4的展開式中的系數(shù)為

A.12B.16C.20D.24

【答案】A

【解析】

【分析】

本題利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式求展開式指定項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】由題意得如的系數(shù)為C；+2C：=4+8=12,故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理，利用展開式通項(xiàng)公式求展開式指定項(xiàng)的系數(shù).

5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前4項(xiàng)和為15,且％=3%+4。1，則%=（）

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用方程思想列出關(guān)于q,q的方程組，求出q,q,再利用通項(xiàng)公式即可求得久的值?

【詳解】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列｛詼｝的公比為。，則,

axq=3々闖+4〃]

=1，7

解得5，,;a3=axq=4,故選C.

q=2

【點(diǎn)睛】應(yīng)用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式解題時(shí)，要注意公比是否等于1,防止出錯(cuò).

6.已知曲線y=ae'+%ln%在點(diǎn)(Lae)處的切線方程為y=2x+3,則()

A.a=e,b=-lB,a=e,b=lC.a=e~l,b=lD.

a=e~\b=-1

【答案】D

【解析】

【分析】

通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，求得從

【詳解】詳解：y1=aex+lnx+l,

將(1,1)代入y=2無+＞得2+6=1力=_1,故選D.

【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步計(jì)算的基礎(chǔ)，本題易因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則掌握不熟，二導(dǎo)致計(jì)

算錯(cuò)誤.求導(dǎo)要“慢”，計(jì)算要準(zhǔn)，是解答此類問題的基本要求.

Q3

7.函數(shù)y=在I-6,6]的圖像大致為

【答案】B

【解析】

【分析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由/'（4）的近似值即可得出結(jié)果

2丫3%_丫)323

【詳解】設(shè)y=/(%)=，則/(-%)=I切=——士」=—/(%),所以/(x)是

」2X+2-X2T+2*2X+2-X

2X43

奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，排除選項(xiàng)C.又/（4）=hF〉0,排除選項(xiàng)D；

7x63

〃6)=117，排除選項(xiàng)A,故選B.

八26+2-6

【點(diǎn)睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計(jì)算特殊函數(shù)值,最后做出選擇.本

題較易，注重了基礎(chǔ)知識、基本計(jì)算能力的考查.

8.如圖，點(diǎn)N為正方形A3CD的中心，AECD為正三角形，平面ECD1平面是

線段石D的中點(diǎn)，則（）

A.BM=EN,且直線是相交直線

B.BM彳EN,且直線引欣,硒是相交直線

C.BM=EN,且直線是異面直線

D.BM手EN,且直線是異面直線

【答案】B

【解析】

【分析】

利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問題.

【詳解】?:KBDE，N為BD中點(diǎn)、M為DE中點(diǎn)、，，BM，EN共面相交，選項(xiàng)C,D

為錯(cuò).作EOJ_C。于O,連接ON,過M作MRLOD于尸.

連BF，「平面CDE1平面ABCZ).

石0,8,石0匚平面°￡>￡,，石0，平面.8,MF1平面ABCE,

AMFB與AEON均為直角三角形.

設(shè)正方形邊長2,易知￡。=相，QN=1EN=2,

MF=—,BF=(22+-=-BM=J-+—=V7.

2V42V44

BM^EN,故選B.

【點(diǎn)睛】本題為立體幾何中等問題，考查垂直關(guān)系，線面、線線位置關(guān)系.

9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的￡為0.01,則輸出S的值等于()

A2一最B.2-±C2-±D.

2--

【答案】D

【解析】

分析】

根據(jù)程序框圖，結(jié)合循環(huán)關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算，可得結(jié)果.

【詳解】x=LS=0,S=0+l,%=工<0。1?不成立

2

S=o+1+-,無=4<0.。1?不成立

24

S=o+1+L…+。，x=0.0078125<0.01?成立

22128

2

【點(diǎn)睛】循環(huán)運(yùn)算，何時(shí)滿足精確度成為關(guān)鍵，加大了運(yùn)算量，輸出前項(xiàng)數(shù)需準(zhǔn)確，此為易

錯(cuò)點(diǎn).

22

10.雙曲線C：---上=1的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

42

\PO\=\PF\,則的面積為

A.B.C.—D.3V2

42x2

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素

養(yǎng).采取公式法，利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題.

【詳解】由a=2,Z?=e\c=Ja2+廿=屈，.

■印。|=5，%=牛

b

又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在y=—X上，

【點(diǎn)睛】忽視圓錐曲線方程和兩點(diǎn)間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢，采取列方程組的

方式解出三角形的高，便可求三角形面積.

1L設(shè)/(%)是定義域?yàn)槌叩呐己瘮?shù)，且在(0,+力)單調(diào)遞減，則()

Z(_3A(_2\

A./log5->/2一耳>/2^

(_3\(_2\Z['

c.f2一5>f2一§>/log5-

(2A(_3\Z]

D.于戶>f2">/log5-

\7\74

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把/(1。83；),/［2后)，/［24),轉(zhuǎn)化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，再

比較大小.

【詳解】?."(%)是R的偶函數(shù)，/log3-=/(log34).

3(

-32

.?.log,4>l=2°>22'又/(%)在(0,+⑼單調(diào)遞減,/(log34)</2</2,

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸及分析問題解決問題的

能力.

12.設(shè)函數(shù)/(X)=sin+(0)>0),已知/(X)在［0,2句有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下

述四個(gè)結(jié)論：

①/(%)在(。,2兀)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)

②/(%)在(0,2兀)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)

③/(%)在(°，三)單調(diào)遞增

1229

④0的取值范圍是［(，三)

其中所有正確結(jié)論的編號是

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

【答案】D

【解析】

【分析】

本題為三角函數(shù)與零點(diǎn)結(jié)合問題，難度大，可數(shù)形結(jié)合，分析得出答案，要求大，理解深度

高，考查數(shù)形結(jié)合思想.

(兀、

【詳解】V/U)=sinw+-(w>0),在［0,2句有且僅有5個(gè)零點(diǎn).0<X<2K,

1K711229

—<wx<w<,④正確.如圖西,元2，*3為極大值點(diǎn)為3個(gè)，①正

確；極小值點(diǎn)為2個(gè)或3個(gè).二②不正確.

TI71717129

當(dāng)0cX＜一時(shí)，一＜松+一＜——+—,當(dāng)川=一時(shí)，

105/10510

wn兀29萬20萬49萬兀

105-100100—1002■

③正確，故選D.

【點(diǎn)睛】極小值點(diǎn)個(gè)數(shù)動態(tài)的，易錯(cuò)，③正確性考查需認(rèn)真計(jì)算，易出錯(cuò).

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知a,》為單位向量，且a?/＞=(),若c=2a-小b,則cos＜方,乙＞=.

2

【答案】§.

【解析】

【分析】

根據(jù)恬F結(jié)合向量夾角公式求出歸1,進(jìn)一步求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤?2彳一下5，ab=01

所以如以=2萬2-后萬萬=2,

|現(xiàn)2=4團(tuán)2-4辰石+5|52=9,所以|詐3,

a-c_2_2

所以8s〈萬忑＞=麗=汨=§.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的夾角.滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素

養(yǎng).使用轉(zhuǎn)化思想得出答案.

14.記S,為等差數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和,tZjWO,dr,=3fl|,貝!]

【答案】4.

【解析】

【分析】

根據(jù)已知求出％和d的關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求得結(jié)果.

【詳解】因所以用+—=3。1，即2。］=",

s10x9」

10aH——--

所以〉la100%_4

35_5x47

5〃]H———a25q

【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計(jì)算.滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).使用轉(zhuǎn)

化思想得出答案.

15.設(shè)琦氏為橢圓C：土+匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若AMFE

3620

為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為.

【答案】（3,厲）

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓定義分別求出4I，設(shè)出M的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積可求出M的坐標(biāo).

【詳解】由已知可得a2=36,b2=36,.1.c2=a2-b2=16,.1.c=4,

.?J阿卜忸閭=2c=8.

■.■\MFi\+\MF^2a=n,\MF2\=4.

設(shè)點(diǎn)”的坐標(biāo)為（％,%）（毛〉0,%〉0）,則以M4F2=gME卜為=4%,

又色凡府―2?=4后,;.4%=4后,解得%=厲，

.看?（詬）「1，解得%=3（%=-3舍去），

"3620

\M的坐標(biāo)為

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很

好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

16.學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體

ABCD-ABCD］挖去四棱錐O—ER汨后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，

￡,尸,G,〃分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm,A41=4cm,3D打印所用原料密度

為0.9g/。?？，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

【答案】118.8

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可知模型的體積為四棱錐體積與四棱錐體積之差進(jìn)而求得模型的體積，再求出模型

的質(zhì)量.

【詳解】由題意得，四棱錐O-EFGH的底面積為4x6—4xLx2x3=12cm2,其高為點(diǎn)O

2

到底面33CC的距離為3cm,則此四棱錐的體積為M=gxl2x3=12an2.又長方體

ABCD-A^C^的體積為14=4x6x6=14W,所以該模型體積為

丫=匕_匕=144-12=132cm2,其質(zhì)量為0.9xl32=118.8g.

【點(diǎn)睛】此題牽涉到的是3D打印新時(shí)代背景下的幾何體質(zhì)量，忽略問題易致誤，理解題中

信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答。

（一）必考題：共60分。

17.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成

A,3兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，石組小鼠給服乙離子溶液.每只

小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小

鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記。為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到尸（。）的估計(jì)

值為0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中。力的值；

（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代

表）.

【答案】⑴a=0.35,Z?=O.1O；（2）4.05,6.

【解析】

【分析】

⑴由尸（0=0.70可解得和6的值；⑵根據(jù)公式求平均數(shù).

【詳解】(1)由題得?+0.20+0.15=0.70，解得a=0.35,由

0.05+6+0.15=1—P(C)=1—0.70,解得沙=0.10.

(2)由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為

0.15x2+0.20x3+0.30x4+0.20x5+0.10x6+0.05x7=4.05，

乙離子殘留百分比的平均值為

0.05x3+0.10x4+0.15x5+0.35x6+0.20x7+0.15x8=6

【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖和平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

4「

18.AABC的內(nèi)角A瓦C的對邊分別為a,b,c,已知asin-----=bsinA.

2

(1)求3；

(2)若AA5C為銳角三角形，且c=l,求AA5c面積的取值范圍.

【答案】(1)5=彳;(2)(玄,當(dāng)).

【解析】

分析】

(1)利用正弦定理化簡題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角

解得5=(.(2)根據(jù)三角形面積公式I/=；ac-sinB,又根據(jù)正弦定理和￡得到印枷

關(guān)于。的函數(shù)，由于VA3C是銳角三角形，所以利用三個(gè)內(nèi)角都小于工來計(jì)算C的定義

2

域，最后求解S.ABC(C)的值域?

【詳解】⑴根據(jù)題意asin6sinA由正弦定理得sinAsin=sinBsinA因

A+r

為0<Av?,故sinA>0,消去sinA得sin---=sinB

2o

??A+CE、Irr.-A+C*n_p,也A+Cn

0<B,0<-----<萬因?yàn)楣?-----=5或者------+B=7T,而根據(jù)題意

222

A+B+C=?,故「^+5=%不成立，所以一^=5,又因?yàn)锳+B+C=?,代入得

22

JT

33=兀，所以B=

JTTTTC

(2)因?yàn)閂A5C是銳角三角形，又由前問/=二，-<A,C<-,A+B+C=〃得到

362

DnTTCIc17

A+C=Z萬，故7<。<式又應(yīng)用正弦定理一^=「；，―,由三角形面積公式有

362sinAsinC25

1?a/?sin(------C)

12sinA.八3

□△ABC—c--------sinB=---------------

22c2sinC4sinC

?2TC「21.「

Hsin——cosC-cos——sinC0cca/?Tim

73334327r2萬3.又因

=----------------------------------------=------(sin——cotC—cos——)=—cotCd------

4sinC43388

，故

—<c<—8<SJBC

628828A8682

故SABC的取值范圍是

【點(diǎn)睛】這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，和正弦定理或者余弦定理的使用（此題也可以

用余弦定理求解），最后考查VA3C是銳角三角形這個(gè)條件的利用?？疾榈暮苋妫且坏?/p>

很好的考題.

19.圖1是由矩形ADEbRt^ABC和菱形班'GC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1,BE=BP=2,

ZFBC=6Q°,將其沿AB,BC折起使得BE與BE重合，連結(jié)。G,如圖2.

（1）證明：圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面，且平面ABC,平面3CGE；

（2）求圖2中的二面角3-CG-/的大小.

【答案】⑴見詳解；（2）30。.

【解析】

【分析】

⑴因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦蜛BED，和菱形3FGC內(nèi)部的夾角，所以

AD//BE,5尸//CG依然成立，又因石和尸粘在一起，所以得證.因?yàn)槭瞧矫?/p>

3CGE垂線，所以易證.（2）在圖中找到8—CG-A對應(yīng)的平面角，再求此平面角即可.于是

考慮B關(guān)于GC的垂線，發(fā)現(xiàn)此垂足與A的連線也垂直于CG.按照此思路即證.

【詳解】（1）證：--AD//BE,BFHCG,又因?yàn)槭褪吃谝黄?

AD//CG,A,C,G,D四點(diǎn)共面.

又AB_L8瓦AB_L6C.

.?.AB,平面BCGE,?.?ABu平面ABC,二平面ABC,平面BCGE,得證.

（2）過B作延長線于H,連結(jié)AH,因?yàn)锳B,平面BCGE,所以A3J_GC

而又BHLGC,故GC1平面/MB，所以AHLGC又因?yàn)樗郧嵌?/p>

面角3—CG—A的平面角，而在ZkB/Z。中NBHC=90。，又因?yàn)?/^。=60。故

NBCH=60。，所以=BCsin60°=山.

AB1

而在AABH中ZABH=90。，NBHA=arctan——=arctan亍=30°,即二面角

BHJ3

8—CG—A的度數(shù)為30。.

【點(diǎn)睛】很新穎的立體幾何考題。首先是多面體粘合問題，考查考生在粘合過程中哪些量是

不變的。再者粘合后的多面體不是直棱柱，建系的向量解法在本題中略顯麻煩，突出考查幾

何方法。最后將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角問題考查考生的空間想象能力。

20.已知函數(shù)/（%）=2/-ax2+b.

（1）討論/（x）的單調(diào)性；

（2）是否存在a力，使得/（尤）在區(qū)間［0,1］最小值為-1且最大值為1?若存在，求出a力的

所有值；若不存在，說明理由.

a=0a=4

【答案】（1）見詳解；（2）,,或<

b=-lb=1

【解析】

【分析】

（1）先求/（X）的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；（2）根據(jù)的各種范圍，利用函數(shù)

單調(diào)性進(jìn)行最大值和最小值的判斷，最終得出劣的值.

【詳解】（1）對f（x）=2x3-ax2+b求導(dǎo)得/'（X）=6爐—2公=6x（x—會.所以有

當(dāng)。<0時(shí)，（―8,2）區(qū)間上單調(diào)遞增，q,o）區(qū)間上單調(diào)遞減，（0,+8）區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)a=0時(shí)，（—8,+8）區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，（—8,0）區(qū)間上單調(diào)遞增，（0,三）區(qū)間上單調(diào)遞減，（^,+8）區(qū)間上單調(diào)遞增.

⑵若/（x）在區(qū)間［0,1］有最大值1和最小值-1,所以

若a<0,（―8,￡）區(qū)間上單調(diào)遞增，（/0）區(qū)間上單調(diào)遞減，（0,+8）區(qū)