2021年山東省德州市中考數學試卷

2021年山東省德州市中考數學試卷一、選擇題：本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確的選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個均記分.1．（4分）﹣的相反數是（）A． B．3 C．﹣ D．﹣32．（4分）據國家統(tǒng)計局公布，我國第七次全國人口普查結果約為14.12億人，14.12億用科學記數法表示為（）A．14.12×109 B．0.1412×1010 C．1.412×109 D．1.412×1083．（4分）下列運算正確的是（）A．3a﹣4a＝﹣1 B．﹣2a3?a2＝﹣2a6 C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a24．（4分）如圖所示的幾何體，對其三視圖敘述正確的是（）A．左視圖和俯視圖相同 B．三個視圖都不相同 C．主視圖和左視圖相同 D．主視圖和俯視圖相同5．（4分）八年級二班在一次體重測量中，小明體重54.5kg，低于全班半數學生的體重，分析得到結論所用的統(tǒng)計量是（）A．中位數 B．眾數 C．平均數 D．方差6．（4分）下列選項中能使?ABCD成為菱形的是（）A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD7．（4分）為響應“綠色出行”的號召，小王上班由自駕車改為乘坐公交車．已知小王家距上班地點18km，他乘公交車平均每小時行駛的路程比他自駕車平均每小時行駛的路程多10km．他從家出發(fā)到上班地點，乘公交車所用的時間是自駕車所用時間的．小王乘公交車上班平均每小時行駛（）A．30km B．36km C．40km D．46km8．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧交BC于點E，連接AE，則陰影部分的面積為（）A．6﹣ B．4﹣ C．6﹣ D．6﹣9．（4分）已知點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函數y＝（a是常數）的圖象上，且y1＜y2＜0＜y3，則x1，x2，x3的大小關系為（）A．x2＞x1＞x3 B．x1＞x2＞x3 C．x3＞x2＞x1 D．x3＞x1＞x210．（4分）某商場準備改善原有樓梯的安全性能，把坡角由37°減至30°，已知原樓梯長為5米，調整后的樓梯會加長（）（參考數據：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．A．6米 B．3米 C．2米 D．1米11．（4分）將含有30°的三角板ABC按如圖所示放置，點A在直線DE上，其中∠BAD＝15°，分別過點B，C作直線DE的平行線FG，HI，點B到直線DE，HI的距離分別為h1，h2，則的值為（）A．1 B． C． D．12．（4分）小紅同學在研究函數y＝|x|+的圖象時，發(fā)現有如下結論：①該函數有最小值；②該函數圖象與坐標軸無交點；③當x＞0時，y隨x的增大而增大；④該函數圖象關于y軸對稱；⑤直線y＝8與該函數圖象有兩個交點，則上述結論中正確的個數為（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題：本大題共6小題，共24分，只要求填寫最后結果，每小題填對得4分.13．（4分）方程x2﹣4x＝0的解為．14．（4分）如圖，點E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．請?zhí)砑右粋€條件，使△ABF≌△DCE．15．（4分）如圖所示的電路圖中，當隨機閉合S1，S2，S3，S4中的兩個開關時，能夠讓燈泡發(fā)光的概率為．16．（4分）在平面直角坐標系xOy中，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點A，交y軸于點B，再分別以點A，B為圓心，以大于AB長為半徑畫弧，兩弧在y軸右側相交于點P，連接OP，若OP＝2，則點P的坐標為．17．（4分）小亮從學校步行回家，圖中的折線反映了小亮離家的距離S（米）與時間t（分鐘）的函數關系，根據圖象提供的信息，給出以下結論：①他在前12分鐘的平均速度是70米/分鐘；②他在第19分鐘到家；③他在第15分鐘離家的距離和第24分鐘離家的距離相等；④他在第33分鐘離家的距離是720米．其中正確的序號為．18．（4分）如圖，在等邊三角形ABC各邊上分別截取AD＝BE＝CF，DJ⊥BC交CA延長線于點J，EK⊥AC交AB延長線于點K，FL⊥AB交BC延長線于點L；直線DJ，EK，FL兩兩相交得到△GHI，若S△GHI＝3，則AD＝．三、解答題：本大題共7小題，共78分.解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.19．（8分）（1）計算：；（2）化簡：．20．（10分）國家航天局消息北京時間2021年5月15日，我國首次火星著陸任務宣告成功，某中學科技興趣小組為了解本校學生對航天科技的關注程度，在該校內進行了隨機調查統(tǒng)計，將調查結果分為不關注、關注、比較關注、非常關注四類，回收、整理好全部調查問卷后，得到下列不完整的統(tǒng)計圖：（1）此次調查中接受調查的人數為人；（2）補全圖1條形統(tǒng)計圖；（3）扇形統(tǒng)計圖中，“關注”對應扇形的圓心角為；（4）該校共有900人，根據調查結果估計該?！瓣P注”，“比較關注”及“非常關注”航天科技的人數共多少人？21．（10分）已知點A為函數y＝（x＞0）圖象上任意一點，連接OA并延長至點B，使AB＝OA，過點B作BC∥x軸交函數圖象于點C，連接OC．（1）如圖1，若點A的坐標為（4，n），求點C的坐標；（2）如圖2，過點A作AD⊥BC，垂足為D，求四邊形OCDA的面積．22．（12分）如圖，點E，F分別在正方形ABCD的邊AB，AD上，且AE＝DF，點G，H分別在邊AB，BC上，且FG⊥EH，垂足為P．（1）求證：FG＝EH；（2）若正方形ABCD邊長為5，AE＝2，tan∠AGF＝，求PF的長度．23．（12分）某公司分別在A，B兩城生產同種產品，共100件．A城生產產品的成本y（萬元）與產品數量x（件）之間具有函數關系y＝x2+20x+100，B城生產產品的每件成本為60萬元．（1）當A城生產多少件產品時，A，B兩城生產這批產品成本的和最小，最小值是多少？（2）從A城把該產品運往C，D兩地的費用分別為1萬元/件和3萬元/件；從B城把該產品運往C，D兩地的費用分別為1萬元/件和2萬元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（1）的條件下，怎樣調運可使A，B兩城運費的和最?。?4．（12分）已知⊙O為△ACD的外接圓，AD＝CD．（1）如圖1，延長AD至點B，使BD＝AD，連接CB．①求證：△ABC為直角三角形；②若⊙O的半徑為4，AD＝5，求BC的值；（2）如圖2，若∠ADC＝90°，E為⊙O上的一點，且點D，E位于AC兩側，作△ADE關于AD對稱的圖形△ADQ，連接QC，試猜想QA，QC，QD三者之間的數量關系并給予證明．25．（14分）小剛在用描點法畫拋物線C1：y＝ax2+bx+c時，列出了下面的表格：x…01234…y…36763…（1）請根據表格中的信息，寫出拋物線C1的一條性質：；（2）求拋物線C1的解析式；（3）將拋物線C1先向下平移3個單位長度，再向左平移4個單位長度，得到新的拋物線C2；①若直線y＝x+b與兩拋物線C1，C2共有兩個公共點，求b的取值范圍；②拋物線C2的頂點為A，與x軸交點為點B，C（點B在點C左側），點P（不與點A重合）在第二象限內，且為C2上任意一點，過點P作PD⊥x軸，垂足為D，直線AP交y軸于點Q，連接AB，DQ．求證：AB∥DQ．

2021年山東省德州市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確的選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個均記分.1．（4分）﹣的相反數是（）A． B．3 C．﹣ D．﹣3【分析】根據只有符號不同的兩個數互為相反數，可得答案．【解答】解：﹣的相反數是，故選：A．【點評】本題考查了相反數，在一個數的前面加上負號就是這個數的相反數．2．（4分）據國家統(tǒng)計局公布，我國第七次全國人口普查結果約為14.12億人，14.12億用科學記數法表示為（）A．14.12×109 B．0.1412×1010 C．1.412×109 D．1.412×108【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解答】解：14.12億＝1412000000＝1.412×109．故選：C．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．3．（4分）下列運算正確的是（）A．3a﹣4a＝﹣1 B．﹣2a3?a2＝﹣2a6 C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2【分析】根據平方差公式、積的乘方、合并同類項法則以及單項式乘以單項式的計算方法進行判斷．【解答】解：A.3a﹣4a＝﹣a，故錯誤；B．﹣2a3?a2＝﹣2a5，故錯誤；C．（﹣3a）3＝﹣27a3，故錯誤；D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，正確．故選：D．【點評】本題綜合考查了平方差公式，積的乘方與合并同類項，單項式乘單項式．此題屬于基礎題，難度一般．4．（4分）如圖所示的幾何體，對其三視圖敘述正確的是（）A．左視圖和俯視圖相同 B．三個視圖都不相同 C．主視圖和左視圖相同 D．主視圖和俯視圖相同【分析】分別得出該幾何體的三視圖，進而得出答案．【解答】解：如圖所示：故該幾何體的主視圖和左視圖相同．故選：C．【點評】本題考查了三視圖的知識，正確把握三視圖的畫法是解題關鍵．5．（4分）八年級二班在一次體重測量中，小明體重54.5kg，低于全班半數學生的體重，分析得到結論所用的統(tǒng)計量是（）A．中位數 B．眾數 C．平均數 D．方差【分析】根據中位數的意義求解可得．【解答】解：八年級二班在一次體重排列后，最中間一個數或最中間兩個體重數的平均數是這組體重數的中位數，半數學生的體重位于中位數或中位數以下，小明低于全班半數學生的體重所用的統(tǒng)計量是中位數，故選：A．【點評】本題主要考查統(tǒng)計量的選擇，解題的關鍵是掌握中位數、眾數、平均數及方差的定義和意義．6．（4分）下列選項中能使?ABCD成為菱形的是（）A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD【分析】由菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，故選項A不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，∴?ABCD為菱形，故選項B符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD＝90°，∴?ABCD為矩形，故選項C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，∴?ABCD為矩形，故選項D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質；熟練掌握菱形的判定和矩形的判定是解題的關鍵．7．（4分）為響應“綠色出行”的號召，小王上班由自駕車改為乘坐公交車．已知小王家距上班地點18km，他乘公交車平均每小時行駛的路程比他自駕車平均每小時行駛的路程多10km．他從家出發(fā)到上班地點，乘公交車所用的時間是自駕車所用時間的．小王乘公交車上班平均每小時行駛（）A．30km B．36km C．40km D．46km【分析】設小王用自駕車方式上班平均每小時行駛xkm，則乘公交車平均每小時行駛（x+10）km，由題意：小王家距上班地點18km，乘公交車所用的時間是自駕車所用時間的．列出分式方程，解方程即可．【解答】解：設小王用自駕車方式上班平均每小時行駛xkm，則乘公交車平均每小時行駛（x+10）km，由題意得：＝×，解得：x＝30，經檢驗，x＝30是原方程的解，則x+10＝40，即小王乘公交車上班平均每小時行駛40km，故選：C．【點評】本題考查了分式方程的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出分式方程8．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧交BC于點E，連接AE，則陰影部分的面積為（）A．6﹣ B．4﹣ C．6﹣ D．6﹣【分析】根據矩形的性質得出∠B＝∠DAB＝90°，AD＝BC＝AE＝2，求出BE，再分別求出扇形EAD和矩形ABCD、△ABE的面積，即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AD＝BC＝4，∴∠B＝∠DAB＝90°，AD＝AE＝4，∵AB＝2，∴cos∠BAE＝＝，∴∠BAE＝30°，∠EAD＝60°，∴BE＝AE＝2，∴陰影部分的面積S＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD＝2×4﹣××2﹣＝6﹣．故選：A．【點評】本題考查了矩形的性質、扇形的面積公式和直角三角形的性質等知識點，能求出BE長和∠EAD的度數是解此題的關鍵．9．（4分）已知點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函數y＝（a是常數）的圖象上，且y1＜y2＜0＜y3，則x1，x2，x3的大小關系為（）A．x2＞x1＞x3 B．x1＞x2＞x3 C．x3＞x2＞x1 D．x3＞x1＞x2【分析】先判斷k＝a2+1＞0，可知反比例函數的圖象在一、三象限，再利用圖象法可得答案．【解答】解：∵a2+1＞0，∴反比例函數y＝（a是常數）的圖象在一、三象限，如圖所示，當y1＜y2＜0＜y3時，x3＞0＞x1＞x2，故選：D．【點評】本題考查反比例函數的圖象和性質，理解“在每個象限內，y隨x的增大而減小”以及圖象法是解決問題的關鍵．10．（4分）某商場準備改善原有樓梯的安全性能，把坡角由37°減至30°，已知原樓梯長為5米，調整后的樓梯會加長（）（參考數據：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．A．6米 B．3米 C．2米 D．1米【分析】根據正弦的定義求出BD，根據直角三角形的性質計算，得到答案．【解答】解：在Rt△BAD中，AB＝5米，∠BAD＝37°，則BD＝AB?sin∠BAD≈5×＝3（米），在Rt△BCD中，∠C＝30°，∴BC＝2BD＝6（米），則調整后的樓梯會加長：6﹣5＝1（米），故選：D．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題，掌握坡角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．11．（4分）將含有30°的三角板ABC按如圖所示放置，點A在直線DE上，其中∠BAD＝15°，分別過點B，C作直線DE的平行線FG，HI，點B到直線DE，HI的距離分別為h1，h2，則的值為（）A．1 B． C． D．【分析】設CA交FG于點M，由∠DAC＝∠BAD+∠CAB＝45°得三角形BCM為等腰直角三角形，再由含30度角直角三角形三邊長比及等腰直角三角形的邊長比設BC為x可得MA為x﹣x，再由平行線分線段成比例求解．【解答】解：設CA交FG于點M，∵∠CAB＝30°，∠BAD＝15°，∴∠DAC＝∠BAD+∠CAB＝45°，∵FG∥DE，∴∠CMB＝∠DAC＝45°，∴三角形BCM為等腰直角三角形，在Rt△ABC中，設BC長為x，則CM＝BC＝x，∵∠CAB＝30°，∴CA＝BC＝x，∴MA＝x﹣x，∵HI∥FG∥DE，∴＝＝＝﹣1，故選：B．【點評】本題考查平行線的性質，含特殊角直角三角形的性質及平行線分線段成比例，解題關鍵是掌握含特殊角的直角三角形的邊長比．12．（4分）小紅同學在研究函數y＝|x|+的圖象時，發(fā)現有如下結論：①該函數有最小值；②該函數圖象與坐標軸無交點；③當x＞0時，y隨x的增大而增大；④該函數圖象關于y軸對稱；⑤直線y＝8與該函數圖象有兩個交點，則上述結論中正確的個數為（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】利用函數的圖象和函數的增減性的特征對每一個選項進行分析判斷得出結論．【解答】解：列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣11234…y…545545…畫出函數圖象如圖，觀察圖象：①該函數有最小值，符合題意；②該函數圖象與坐標軸無交點，符合題意；③當x＞0時，y隨x的增大而增大，不合題意；④該函數圖象關于y軸對稱，符合題意；⑤令|x|+＝8，整理得x2﹣8x+4＝0或x2+8x+4＝0，∵Δ＝82﹣4×1×4＞0，∴兩個方程均有兩個不相等的實數根，即共有四個根，且這四個根互不相等．∴直線y＝8與該函數圖象有四個交點，不符合題意，綜上，以上結論正確的有：①②④，故選：B．【點評】本題主要考查了函數的圖象，函數的增減性，圖象與x軸的交點，函數的極值．充分利用函數的圖象，利用數形結合的思想是解題的關鍵．二、填空題：本大題共6小題，共24分，只要求填寫最后結果，每小題填對得4分.13．（4分）方程x2﹣4x＝0的解為x1＝0，x2＝4．【分析】x2﹣4x提取公因式x，再根據“兩式的乘積為0，則至少有一個式子的值為0”求解．【解答】解：x2﹣4x＝0x（x﹣4）＝0x＝0或x﹣4＝0x1＝0，x2＝4故答案是：x1＝0，x2＝4．【點評】本題考查簡單的一元二次方程的解法，在解一元二次方程時應當注意要根據實際情況選擇最合適快捷的解法．該題運用了因式分解法．14．（4分）如圖，點E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．請?zhí)砑右粋€條件∠B＝∠C（答案不唯一），使△ABF≌△DCE．【分析】求出BF＝CE，再根據全等三角形的判定定理判斷即可．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，∴BF＝CE，添加∠B＝∠C，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（AAS），故答案為：∠B＝∠C（答案不唯一）．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵．15．（4分）如圖所示的電路圖中，當隨機閉合S1，S2，S3，S4中的兩個開關時，能夠讓燈泡發(fā)光的概率為．【分析】根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與能夠讓燈泡發(fā)光的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：設S1、S2、S3、S4分別用1、2、3、4表示，畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結果，能夠讓燈泡發(fā)光的有6種結果，∴能夠讓燈泡發(fā)光的概率為：＝，故答案為：．【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法求概率的知識．正確的畫出樹狀圖是解題的關鍵．16．（4分）在平面直角坐標系xOy中，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點A，交y軸于點B，再分別以點A，B為圓心，以大于AB長為半徑畫弧，兩弧在y軸右側相交于點P，連接OP，若OP＝2，則點P的坐標為（2，2）或（2，﹣2）．【分析】由作圖知點P在第一象限或第四象限角平分線上，從而得出m2+m2＝（2）2，解之可得．【解答】解：如圖，由作圖知點P在第一象限或第四象限角平分線上，∴設點P的坐標為（m，±m(xù)）（m＞0），∵OP＝2，∴m2+m2＝（2）2，∴m＝2，∴P（2，2）或（2，﹣2），故答案為（2，2）或（2，﹣2）．【點評】此題主要考查了每個象限內點的坐標特點，以及角平分線的性質，關鍵是掌握各象限角平分線上的點的坐標特點：|橫坐標|＝|縱坐標|．17．（4分）小亮從學校步行回家，圖中的折線反映了小亮離家的距離S（米）與時間t（分鐘）的函數關系，根據圖象提供的信息，給出以下結論：①他在前12分鐘的平均速度是70米/分鐘；②他在第19分鐘到家；③他在第15分鐘離家的距離和第24分鐘離家的距離相等；④他在第33分鐘離家的距離是720米．其中正確的序號為①④．【分析】由圖象可以直接得出前12分鐘小亮的平均速度，從而得出①正確；由圖象可知從12分到19分小亮又返回學校，可以判斷②錯誤；分別求出小亮第15分和第24分離家距離可以判斷③錯誤；求出小亮33分離家距離，可以判斷④正確．【解答】解：由圖象知，前12分中的平均速度為：（1800﹣960）÷12＝70（米/分），故①正確；由圖象知，小亮第19分中又返回學校，故②錯誤；小亮在返回學校時的速度為：（1800﹣960）÷（19﹣12）＝840÷7＝120（米/分），∴第15分離家距離：960+（15﹣12）×120＝1320，從21分到41分小亮的速度為：1800÷（41﹣21）＝1800÷20＝90（米/分），∴第24分離家距離：1800﹣（24﹣21）×90＝1800﹣270＝1530（米），∵1320≠1530，故③錯誤；小亮在33分離家距離：1800﹣（33﹣21）×90＝1800﹣1080＝720（米），故④正確，故答案為：①④．【點評】本題考查一次函數的應用，關鍵是利用已知信息和圖象所給的數據分析題意，依次解答．18．（4分）如圖，在等邊三角形ABC各邊上分別截取AD＝BE＝CF，DJ⊥BC交CA延長線于點J，EK⊥AC交AB延長線于點K，FL⊥AB交BC延長線于點L；直線DJ，EK，FL兩兩相交得到△GHI，若S△GHI＝3，則AD＝2．【分析】首先利用等邊三角形和直角三角形的性質分析得到三個全等的等腰三角形，△JHF≌△GEL≌△IDK，然后設等邊△ABC的邊長為a，AD＝x，利用含30°的直角三角形的性質分別求得△ABC和△JHF的面積，從而可得3S△JDA＝S△GHI，從而列方程求解．【解答】解：延長JD交BC于點N，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC＝AB，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠BDN＝∠JDA＝90°﹣60°＝30°，∴∠J＝∠BAC﹣∠JDA＝30°，同理可得：∠L＝∠K＝∠CFL＝∠JFH＝∠GEL＝∠BEK＝30°，∴AD＝AJ＝CF＝CL＝BE＝BK，∴DK＝EL＝JF，∴△JDA≌△LFC≌△KEB（AAS），△JHF≌△LGE≌△DIK（ASA），過點A作AT⊥BC，交BC于點T，設AB＝BC＝AC＝a，在Rt△ABT中，∠BAT＝30°，∴BT＝，AT＝，∴S△ABC＝，∵AD＝AJ＝CF＝CL＝BE＝BK，△JHF≌△LGE≌△DIK，∴JF＝EL＝DK＝a，過點H作HM⊥AC，交AC于點M，∵∠J＝∠JFH＝30°，∴JH＝FH，∴JM＝，在Rt△JHM中，HM＝，∴S△JHF＝，∴S△JHF+S△LJE+S△DIK＝3S△JHF＝3×＝S△ABC，∴S△JDA+S△FCL+S△BEK＝3S△JDA＝S△GHI，過點A作AP⊥DJ，交DJ于點P，設AD＝x，在Rt△APD中，∠ADP＝30°，∴AP＝，DP＝，∴JD＝2DP＝，∴3S△JDA＝3×，∴，解得：x＝±2（負值舍去），即AD的值為2，故答案為：2．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，等邊三角形的性質以及含30°的直角三角形的性質，正確添加輔助線，以證明△JDA≌△LFC≌△KEB，△JHF≌△LGE≌△DIK為突破口，從而利用等積變換的思想得到3S△JDA＝S△GHI是解題關鍵．三、解答題：本大題共7小題，共78分.解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.19．（8分）（1）計算：；（2）化簡：．【分析】（1）根據負整數指數冪，特殊角三角函數值，零指數冪先化簡題目中的式子，然后再計算；（2）根據分式的加法和乘除法法則可以解答本題．【解答】解：（1）原式＝1﹣4×+（﹣3）+3＝1﹣2﹣3+3＝﹣1；（2）原式＝＝?＝﹣a﹣b．【點評】本題考查了實數的運算和分式的混合運算．（1）解題的關鍵是先化簡負整數指數冪，特殊角三角函數值，零指數冪的運算是解題關鍵；（2）解題的關鍵是明確分式混合運算的計算方法．20．（10分）國家航天局消息北京時間2021年5月15日，我國首次火星著陸任務宣告成功，某中學科技興趣小組為了解本校學生對航天科技的關注程度，在該校內進行了隨機調查統(tǒng)計，將調查結果分為不關注、關注、比較關注、非常關注四類，回收、整理好全部調查問卷后，得到下列不完整的統(tǒng)計圖：（1）此次調查中接受調查的人數為50人；（2）補全圖1條形統(tǒng)計圖；（3）扇形統(tǒng)計圖中，“關注”對應扇形的圓心角為43.2°；（4）該校共有900人，根據調查結果估計該?！瓣P注”，“比較關注”及“非常關注”航天科技的人數共多少人？【分析】（1）從統(tǒng)計圖中可以得到不關注、關注、比較關注的共有34人，占調查人數的68%，可求出調查人數；（2）接受調查的人數乘以非常關注的百分比即可得到非常關注的人數，即可補全統(tǒng)計圖；（3）360°乘以關注”的比例即可得到“關注”對應扇形的圓心角度數；（4）樣本估計總體，樣本中“關注”，“比較關注”及“非常關注”的占比68%，乘以該校人數900人即可求解．【解答】解：（1）不關注、關注、比較關注的共有4+6+24＝34（人），占調查人數的1﹣32%＝68%，∴此次調查中接受調查的人數為34÷68%＝50（人），故答案為：50；（2）50×32%＝16（人），補全統(tǒng)計圖如圖所示：（3）360°×＝43.2°，故答案為：43.2°；（4）900×＝828（人），答：估計該?！瓣P注”，“比較關注”及“非常關注”航天科技的人數共有828人．【點評】考查扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖的意義和制作方法，從兩個統(tǒng)計圖中獲取數量和數量之間的關系是解決問題的關鍵，樣本估計總體是統(tǒng)計中常用的方法．21．（10分）已知點A為函數y＝（x＞0）圖象上任意一點，連接OA并延長至點B，使AB＝OA，過點B作BC∥x軸交函數圖象于點C，連接OC．（1）如圖1，若點A的坐標為（4，n），求點C的坐標；（2）如圖2，過點A作AD⊥BC，垂足為D，求四邊形OCDA的面積．【分析】（1）先由反比例函數解析式求出A點坐標，再由中點坐標公式求得B點坐標，由于BC∥x軸，得到點B和點C的縱坐標相同，從而得到點C的縱坐標，再由反比例函數解析式求出點C的橫坐標，即可解決；（2）設出A點坐標，由OA＝AB，得到B點坐標，由于BC∥x軸，AD⊥BC，可以得到AD∥y軸，由此寫出點D坐標，由于BC∥x軸，且點C在圖象上，求出點C的坐標，故可以得到BC和BD的長度，進而求得△OBC和△ADB的面積，△OBC與△ADB的面積之差即為四邊形OCDA的面積．【解答】解：（1）將點A坐標代入到反比例函數y＝中得，4n＝4，∴n＝1，∴點A的坐標為（4，1），∵AB＝OA，O（0，0），∴點B的坐標為（8，2），∵BC∥x軸，∴點C的縱坐標為2，令y＝2，則＝2，∴x＝2，∴點C的坐標為（2，2）；（2）設A（m，），∵AB＝OA，∴點B的坐標為（2m，），∵BC∥x軸，∴BC⊥y軸，又AD⊥BC，∴AD∥y軸，∴點D的坐標為（），∵BC∥x軸，且點C在函數圖象上，∴C（，），∵S△OBC＝?BC?＝（2m﹣）?＝＝6，S△ADB＝BD?AD＝?m?＝2，∴四邊形OCDA的面積為：S△OBC﹣S△ADB＝6﹣2＝4．【點評】本題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，熟知平行于坐標軸的直線上的點的坐標特征，是解決本題的關鍵．22．（12分）如圖，點E，F分別在正方形ABCD的邊AB，AD上，且AE＝DF，點G，H分別在邊AB，BC上，且FG⊥EH，垂足為P．（1）求證：FG＝EH；（2）若正方形ABCD邊長為5，AE＝2，tan∠AGF＝，求PF的長度．【分析】（1）根據正方形的性質得出AD＝AB，∠A＝∠B＝90°，得到AF＝BE，再根據垂直的定義進而得出∠AFG＝∠BEH，即可根據ASA證明△AFG≌△BEH，根據全等三角形的性質即可得解；（2）根據正方形的性質及解直角三角形得出AF＝3，AG＝4，EG＝2，根據勾股定理得出FG＝5，再根據相似三角形的性質得出PG＝，根據線段的和差即可得解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠A＝∠B＝90°，∴∠AGF+∠AFG＝90°，∵FG⊥EH，∴∠AGF+∠GEP＝90°，∴∠AFG＝∠GEP＝∠BEH，∵AE＝DF，∴AD﹣DF＝AB﹣AE，即AF＝BE，在△AFG和△BEH中，，∴△AFG≌△BEH（ASA），∴FG＝EH；（2）解：∵AD＝5，AE＝DF＝2，∴AF＝5﹣2＝3，在Rt△AFG中，tan∠AGF＝，即＝，∴AG＝4，∴EG＝2，在Rt△AFG中，FG＝＝＝5，∵∠A＝∠EPG＝90°，∠AGF＝∠PGE，∴△AFG∽△PEG，∴＝，即＝，∴PG＝，∴PF＝FG﹣PG＝5﹣＝．【點評】此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、解直角三角形等知識，熟記正方形的性質及全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．23．（12分）某公司分別在A，B兩城生產同種產品，共100件．A城生產產品的成本y（萬元）與產品數量x（件）之間具有函數關系y＝x2+20x+100，B城生產產品的每件成本為60萬元．（1）當A城生產多少件產品時，A，B兩城生產這批產品成本的和最小，最小值是多少？（2）從A城把該產品運往C，D兩地的費用分別為1萬元/件和3萬元/件；從B城把該產品運往C，D兩地的費用分別為1萬元/件和2萬元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（1）的條件下，怎樣調運可使A，B兩城運費的和最?。俊痉治觥浚?）設A，B兩城生產這批產品的總成本的和為W（萬元），則W等于A城生產產品的總成本加上B城生產產品的總成本，由此可列出W關于x的二次函數，將其寫成頂點式，根據二次函數的性質可得答案；（2）設從A城把該產品運往C地的產品數量為n件，分別用含n的式子表示出從A城把該產品運往D地的產品數量、從B城把該產品運往C地的產品數量及從B城把該產品運往D地的產品數量，再列不等式組求得n的取值范圍，然后用含n的式子表示出A，B兩城總運費之和P，根據一次函數的性質可得答案．【解答】解：（1）設A，B兩城生產這批產品的總成本的和為W（萬元），則W＝x2+20x+100+60（100﹣x）＝x2﹣40x+6100＝（x﹣20）2+5700，∴當x＝20時，W取得最小值，最小值為5700萬元，∴A城生產20件，A，B兩城生產這批產品成本的和最小，最小值是5700萬元；（2）設從A城把該產品運往C地的產品數量為n件，則從A城把該產品運往D地的產品數量為（20﹣n）件；從B城把該產品運往C地的產品數量為（90﹣n）件，則從B城把該產品運往D地的產品數量為（10﹣20+n）件，運費的和為P（萬元），由題意得：，解得10≤n≤20，P＝n+3（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n）＝n+60﹣3n+90﹣n+2n﹣20＝n﹣2n+130＝﹣n+130，根據一次函數的性質可得：P隨n的增大而減小，∴當n＝20時，P取得最小值，最小值為110，∴從A城把該產品運往C地的產品數量為20件，則從A城把該產品運往D地的產品數量為0件；從B城把該產品運往C地的產品數量為70件，則從B城把該產品運往D地的產品數量為10件時，可使A，B兩城運費的和最?。军c評】本題考查了二次函數和一次函數在實際問題中的應用，理清題中的數量關系并熟練掌握二次函數和一次函數的性質是解題的關鍵．24．（12分）已知⊙O為△ACD的外接圓，AD＝CD．（1）如圖1，延長AD至點B，使BD＝AD，連接CB．①求證：△ABC為直角三角形；②若⊙O的半徑為4，AD＝5，求BC的值；（2）如圖2，若∠ADC＝90°，E為⊙O上的一點，且點D，E位于AC兩側，作△ADE關于AD對稱的圖形△ADQ，連接QC，試猜想QA，QC，QD三者之間的數量關系并給予證明．【分析】（1）①利用如果三角形中一條邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形可得出結論；②連接OA，OD，利用垂徑定理得到OD⊥AC且AH＝CH，設DH＝x，則OH＝4﹣x，利用勾股定理列出方程求得DH的值，再利用三角形的中位線定理得到BC＝2DH；（2）猜想QA，QC，QD三者之間的數量關系為：QC2＝2QD2+QA2．延長QA交⊙O于點F，連接DF，FC，由已知可得∠DAC＝∠DCA＝45°；利用同弧所對的圓周角相等，得到∠DFA＝∠E＝∠DCA＝45°，∠DFC＝∠DAC＝45°，由于△ADQ△與ADE關于AD對稱，于是∠DQA＝∠E＝45°，則得△DQF為等腰直角三角形，△QFC為直角三角形；利用勾股定理可得：QC2＝QF2+CF2，QF2＝2DQ2；利用△QDA≌△FDC得到QA＝FC，等量代換可得結論．【解答】證明：（1）①∵AD＝CD，BD＝AD，∴DB＝DC．∴DC＝AB．∴△ABC為直角三角形；解：②連接OA，OD，如圖，∵AD＝CD，∴，∴OD⊥AC且AH＝CH．∵⊙O的半徑為4，∴OA＝OD＝4．設DH＝x，則OH＝4﹣x，∵AH2＝OA2﹣OH2，AH2＝AD2﹣DH2，∴52﹣x2＝42﹣（4﹣x）2．解得：x＝．∴DH＝．由①知：BC⊥AC，∵OD⊥AC，∴OD∥BC．∵AH＝CH，∴BC＝2DH＝．（2）QA，QC，QD三者之間的數量關系為：QC2＝2QD2+QA2．理由：延長QA交⊙O于點F，連接DF，FC，如圖，∵∠ADC＝90°，AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝45°．∴∠DFA＝∠E＝∠DCA＝45°，∠DFC＝∠DAC＝45°．∴∠QFC＝∠AFD+∠DFC＝90°．∴QC2＝QF2+CF2．∵△ADQ與△ADE關于AD對稱，∴∠DQA＝∠E＝45°，∴∠DQA＝∠DFA＝45°，∴DQ＝DF．∴∠QDF＝180°﹣∠DQA﹣∠QFD＝90°．∴DQ2+DF2＝QF2．即QF2＝2DQ2．∵∠QDF＝∠ADC＝90°，∴∠QDA＝∠CDF．在△QDA和△FDC中，，∴△QDA≌△FD