工程水文：第四章第四節(jié) 理論頻率曲線

一、正態(tài)分布密度函數(shù)

（1）單峰左右對稱

（3）曲線兩端趨于無限，并以

x軸為漸進(jìn)線。

（2）在第四節(jié)理論頻率曲線1、特點(diǎn)2、正態(tài)分布函數(shù)：F（x）=P(X>x)=

正態(tài)頻率曲線在普通格紙上是一條規(guī)則的S形曲線，他在P=50%前后的曲線方向相反，但形狀完全一樣。50

水文計(jì)算中的“頻率格紙”的橫坐標(biāo)就是將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)頻率曲線拉成直線的原理計(jì)算出來的。P=50%時(shí),x=0;P=0.01%,x=3.72;

頻率格紙中間分隔較密，越往兩端越稀。

把頻率曲線畫在普通方格紙上，因頻率曲線兩端特別陡，加上圖幅的限制特大頻率或特小頻率難點(diǎn)在圖上，頻率格紙能解決這樣的困難。二、皮爾遜Ⅲ型分布

英國生物學(xué)家皮爾遜注意到物理學(xué)、生物學(xué)、以及經(jīng)濟(jì)學(xué)上有些隨機(jī)變量不具有正態(tài)分布，因此致力于探討各種非正態(tài)的分布曲線，最后提出13種分布曲線的類型。其中第Ⅲ型曲線被引入水文計(jì)算中。

１、密度函數(shù)：

f(x)=----------參數(shù)：

α的伽瑪函數(shù)2、密度函數(shù)的特點(diǎn)（1）一端有限，一端無限（2）不對稱單峰鈴形分布

可證這三參數(shù)與統(tǒng)計(jì)參數(shù)密度函數(shù)中三參數(shù)確定后，f(x)

也就確定了。所以，有下列關(guān)系：α，β，a0

就確定了，f(x)也定了。三參數(shù)確定后，3、分布函數(shù)：P=p(X>xp)=βα/Г(α)XP

取決于P，P又取決于α，β，a0，這三個(gè)參數(shù)又取決于。水文中的問題是：指定頻率P求與P對應(yīng)的隨機(jī)變量XpXP與P是一一對應(yīng)關(guān)系，但直接由積分式計(jì)算較復(fù)雜。前人（美國的福斯特和俄羅斯的雷布京）已將此項(xiàng)工作完成，制成了表）取標(biāo)準(zhǔn)變量Φ=（離均系數(shù)）Φ的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。當(dāng)x=xp

時(shí)，由上式可得得：XP=（ΦPCV+1）則皮爾遜Ⅲ型分布函數(shù)變?yōu)椋?/p>

P（Φ>ΦP）=式中被積函數(shù)只含有一個(gè)參數(shù)CS

，只要給定CS

就可算出ΦP

和P

的對應(yīng)值。對于若干給定的CS

值，ΦP

和P的對應(yīng)數(shù)值已制成表，見附表1例某站平均年徑流量=1000mm,CV=0.25,CS=0.5

若年徑流的分布符合皮爾遜Ⅲ型分布，求P=1%的年徑流為多少？查Φ值表ΦP=2.68

R1%=（1+CVΦ）=1000（1+0.25*2.68）=1670mm為實(shí)用方便，對常用的若干CV

，CS

，采用模比系數(shù)KP由附表1的ΦP

和P的對應(yīng)關(guān)系，經(jīng)KP=ΦPCV+1的轉(zhuǎn)換，建立KP

與P的直接對應(yīng)數(shù)值關(guān)系。常用的KP

與P的關(guān)系見附表2。在已有的Ф值表基礎(chǔ)上作數(shù)值外延或內(nèi)插：與數(shù)值積分法相比，插值法具有計(jì)算簡便、迅速、省力等優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用十分廣泛，但其精度受到Ф值表的精度、密度和插值方法的限制。目前所使用的Ф值表，一般都具有三到四位有效數(shù)字，已能滿足要求，但節(jié)點(diǎn)密度各表相差較大。若將頻率P化分為十幾到幾十個(gè)節(jié)點(diǎn)，將偏態(tài)系數(shù)CS，每隔0.05----0.5化分一個(gè)節(jié)點(diǎn)，那么一張Ф值表共有數(shù)千甚至上萬個(gè)數(shù)據(jù)因此，試圖用擴(kuò)充Ф值表的辦法來提高Ф值計(jì)算精度是不足取的，也是不現(xiàn)實(shí)的。且不說制作這樣的數(shù)表將要花費(fèi)的人力、物力和經(jīng)費(fèi)，就是在應(yīng)用過程中也將因占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存空間太多，使用起來極不方便，而且耗時(shí)、費(fèi)力，從而喪失其實(shí)用價(jià)值。

因此，提高Ф值計(jì)算精度的可行出路是尋求一種簡便易行的高精度插值法．P—Ⅲ型分布離均系數(shù)Ф值隨偏態(tài)系數(shù)CS的變化比較平緩，一般的Ф值表經(jīng)線性內(nèi)插所帶來的誤差都小于Ф值表自身四舍五入的容許誤差，實(shí)際應(yīng)用時(shí)采用拋物線插值即可，無需再作處理。然而Ф值隨頻率P的變化十分劇烈即使密度最大的函值表采用三點(diǎn)甚至四點(diǎn)插值所產(chǎn)生的誤差都很大。由插值理論可知，僅提高插值函數(shù)的階數(shù)是不可能無限降低插值誤差的。三、經(jīng)驗(yàn)頻率曲線由數(shù)學(xué)方程表示的頻率曲線屬于理論頻率曲線由實(shí)測資料（樣本）繪制的頻率曲線是經(jīng)驗(yàn)頻率曲線。它是水文頻率計(jì)算的基礎(chǔ)。設(shè)某水文要素的實(shí)測系列有n項(xiàng)，將它們由大到小排序：X1，X2

，X3

，。。。。。。。。Xn-2，Xn-1

，Xn

經(jīng)驗(yàn)頻率：在系列中大于及等于樣本Xi

的出現(xiàn)次數(shù)與樣本容量之比值。P=P:大于及等于Xm

的經(jīng)驗(yàn)頻率

m：Xm

的序號(hào)，即觀測資料中大于及等于樣本Xm

項(xiàng)數(shù)n:樣本容量，即觀測資料的總項(xiàng)數(shù)*100%系列中大于及等于X1

的頻率為。。。。。。當(dāng)m=n時(shí)，最末項(xiàng)Xn

頻率為100%，

大于及等于X2的頻率為系列中大于及等于X1

的頻率為=

大于及等于X2的頻率為。。。。。。最末項(xiàng)大于等于的頻率為即樣本的末項(xiàng)Xn

是總體中的最小值，樣本以外不會(huì)出現(xiàn)比Xn

更小的值，不符合實(shí)際。若n項(xiàng)實(shí)測資料