2021年高考【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】：熱點(diǎn)08概率與統(tǒng)計(jì)（解析版）

熱點(diǎn)08概率與統(tǒng)計(jì)

，命題襄京）

統(tǒng)計(jì)主要考查抽樣的統(tǒng)計(jì)分析、變量的相關(guān)關(guān)系，獨(dú)立性檢驗(yàn)、用樣本估計(jì)總體及其特征的思想，以

排列組合為工具，考查對(duì)五個(gè)概率事件的判斷識(shí)別及其概率的計(jì)算.試題考查特點(diǎn)是以實(shí)際應(yīng)用問題為載

體，小題部分主要是考查排列組合與古典概型，幾何概型解答題部分主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、超幾何分布、

離散型分布以及正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望以及方差.概率的應(yīng)用立意高，情境新，賦予時(shí)代氣息，貼近學(xué)生

的實(shí)際生活.取代了傳統(tǒng)意義上的應(yīng)用題，成為高考中的亮點(diǎn).解答題中概率與統(tǒng)計(jì)的交匯是近幾年考查的

熱點(diǎn)趨勢(shì)，應(yīng)該引起關(guān)注

【滿分技巧】

1.抽樣方法是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，在復(fù)習(xí)時(shí)要抓住各種抽樣方法的概念以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系.莖葉圖也成

為高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)重點(diǎn)掌握.明確變量間的相關(guān)關(guān)系，體會(huì)最小二乘法和線性回歸方法是解決兩個(gè)變量

線性相關(guān)的基本方法，就能適應(yīng)高考的要求.

2.求解概率問題首先確定是何值概型再用相應(yīng)公式進(jìn)行計(jì)算，特別對(duì)于解互斥事件（獨(dú)立事件）的概率時(shí)，

要注意兩點(diǎn)：（1）仔細(xì)審題，明確題中的幾個(gè)事件是否為互斥事件（獨(dú)立事件），要結(jié)合題意分析清楚這

些事件互斥（獨(dú)立）的原因.（2）要注意所求的事件是包含這些互斥事件（獨(dú)立事件）中的哪幾個(gè)事件的和

（積），如果不符合以上兩點(diǎn)，就不能用互斥事件的和的概率.

3.離散型隨機(jī)變量的均值和方差是概率知識(shí)的進(jìn)一步延伸，是當(dāng)前高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.解決均值和方差問題，

都離不開隨機(jī)變量的分布列，另外在求解分布列時(shí)還要注意分布列性質(zhì)的應(yīng)用.

【考查題型】填空

【限時(shí)檢測(cè)】（建議用時(shí)：55分鐘）

一、單選題

1.（2020?上海市七寶中學(xué)高三其他模擬）某學(xué)校有2500名學(xué)生，其中高一600人，高二800人，高三1100

人，為了了解學(xué)生的身體健康狀況，采用分層抽樣的方法，若從本校學(xué)生中抽取100人，從高一和高二抽

取樣本本數(shù)分別為a、h,且直線辦+勿+48=0與以為圓心的圓交于8、。兩點(diǎn)，且

ABAC=120°,則圓C的方程為（）

A.（x-l）2+（y+l）2=1B.（x—l）2+（y+l）2=9

C.(f2+(y+l)2=4D.(1)2+6,+1)2=3

【答案】c

【分析】利用分層抽樣的概念，先求出。與人,然后求出直線方程，然后，根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系求出圓

心到直線的距離，進(jìn)而求解即可.

【詳解】

68

,高一:高二:高二為6:8:11,二.a=100x=24-Z?=100x=32

6+8+116+8+11

該直線方程為24x+32y+48=0,即3x+4y+6=0,

|3-4+6|

圓心到直線的距離d又NBAC=120":.r=2d=2,

A/32+47

,該圓的方程為（x-l）2+（y+l>=4.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的概念，屬于基礎(chǔ)題

2.（2020?上海奉賢區(qū)?高三二模）某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們?cè)?/p>

某一天各自課外閱讀所用時(shí)間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用如圖的條形圖表示，根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均

每人的課外閱讀時(shí)間為（）

人數(shù)（人）

A.1.5小時(shí)B.1.0小時(shí)

C.0.9小時(shí)D.0.6小時(shí)

【答案】C

【分析】直接利用加權(quán)平均數(shù)公式求解

【詳解】解：由題意得，50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為

—x（5x0+20x0.5+10xl.0+10xl.5+5x2.0）=0.9

故選：C

【點(diǎn)睛】此題考查的是利用條形圖中的數(shù)據(jù)求平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題

3.（2020?上海青浦區(qū)?復(fù)旦附中青浦分校高三開學(xué)考試）一個(gè)學(xué)生期末數(shù)學(xué)的平時(shí)成績(jī)?yōu)锽的標(biāo)準(zhǔn)為“平時(shí)

的五次成績(jī)均不小于80分”.根據(jù)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)五次平時(shí)成績(jī)的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）,

平時(shí)成績(jī)一定為8的是（）

A.甲同學(xué)：中位數(shù)為85,總體均值為82B.乙同學(xué)：眾數(shù)為83,總體均值為82

C.丙同學(xué)：總體均值為84,總體方差為6D.丁同學(xué)：中位數(shù)為83,總體方差為6

【答案】C

【分析】一一舉反例否定即可.

【詳解】

對(duì)于A.甲同學(xué)：中位數(shù)為85,總體均值為82,可以找到很多反例，如74,80,85,85,86,故A.不正確;

對(duì)于B.乙同學(xué)：眾數(shù)為83,總體均值為82,可以找到很多反例，如79,80,83,83,85,故B不正確；

對(duì)于D.丁同學(xué)：中位數(shù)為83,總體方差為6,比如反例，78,78,83,83,83,故D不正確：

故選C.

【點(diǎn)睛】此題考統(tǒng)計(jì)相關(guān)概念，屬于簡(jiǎn)單題.

二、填空題

4.（2019?上海市建平中學(xué)高三月考）某學(xué)校高一、高二、高三共有2400名學(xué)生，為了調(diào)查學(xué)生的課余學(xué)習(xí)

情況,擬采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為120的樣本已知高一有820名學(xué)生,高二有780名學(xué)生,則在該

學(xué)校的高三應(yīng)抽取名學(xué)生.

【答案】40.

試題分析：高三學(xué)生人數(shù)為800,如設(shè)高一、高二、高三抽取的人數(shù)分別為x,?z,則忌=急=扁，

又x+y+z=120,解得z=40.

考點(diǎn)：分層抽樣.

5.（2020?上海市建平中學(xué)高三月考）從某校高中3個(gè)年級(jí)按分層抽樣抽取了100人作為調(diào)研樣本，其中有

80人來(lái)自高一和高二，若知高一和高二總?cè)藬?shù)共計(jì)900人，則高三學(xué)生的總?cè)藬?shù)為.

【答案】225

【分析】先根據(jù)題意建立方程，再求解即可.

【詳解】解：設(shè)高三學(xué)生的總?cè)藬?shù)為工人，有題意：—=10°-80,

900x

解得：x=225,所以高三學(xué)生的總?cè)藬?shù)為225人.

故答案為：225.

【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，是基礎(chǔ)題.

6.（2020?上海市金山中學(xué)高三期中）《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓，下圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、

震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成表示一根陽(yáng)線，1^?：表示一根

陰線），從八卦中任取一卦，這一卦的三根線中恰有2根陽(yáng)線和1根陰線的概率.

%上1?

癸子壬

【答案】f3

O

【分析】先算任取一卦的所有等可能的結(jié)果，再計(jì)算恰有2根陽(yáng)線和1根陰線包含的基本事件的個(gè)數(shù)，利用

古典概型的概率公式即可求解.

【詳解】任取一卦的所有可能的結(jié)果有8圭卜，

其中恰有2根陽(yáng)線和1根陰線包含的基本事件有3卦，

所以恰有2根陽(yáng)線和1根陰線的概率為P=?,

O

3

故答案為：-

8

7.（2020?上海虹口區(qū)?高三一模）從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則甲、乙兩人都沒

有被選到的概率為__________（用數(shù)字作答）.

【答案】-

6

【分析】先計(jì)算出從4名同學(xué)中選2名同學(xué)的情況，再計(jì)算出甲、乙兩人都沒有被選到的情況，即可求出概

率.

4x3

【詳解】解：從4名同學(xué)中選2名同學(xué)共有C：=——=6種，

2x1

甲、乙兩人都沒有被選到有1種，

甲、乙兩人都沒有被選到的概率為!.

6

8.（2020.上海高三一模）一個(gè)袋中裝有同樣大小、質(zhì)量的10個(gè)球，其中2個(gè)紅色、3個(gè)藍(lán)色、5個(gè)黑色.經(jīng)

過充分混合后，若從此袋中任意取出4個(gè)球，則三種顏色的球均取到的概率為.

【答案】工

2

【分析】三種顏色均取得有3種情形：2個(gè)紅色，1個(gè)藍(lán)色和1個(gè)黑色；1個(gè)紅色，兩個(gè)藍(lán)色和1個(gè)黑色；1

個(gè)紅色，1個(gè)藍(lán)色和2個(gè)黑色，分類計(jì)數(shù)后可得所求的概率.

10x9xXx7

【詳解】10個(gè)球中任取4個(gè)共有C1=---=210(種)，

三種顏色均取得有3種情形：

(1)2個(gè)紅色，1個(gè)藍(lán)色和1個(gè)黑色，共有3x5=15種，

(2)1個(gè)紅色，兩個(gè)藍(lán)色和1個(gè)黑色，共有2xC；x5=30種，

(3)1個(gè)紅色，1個(gè)藍(lán)色和2個(gè)黑色，共有2x3xC；=60種，

故三種顏色均取共有105種,

故所求的概率為變=’.

2102

故答案為：

2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：古典概型的概率的計(jì)算，關(guān)鍵是基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中含有的基本事件的個(gè)數(shù)

的計(jì)算，可采用列舉法、樹形圖法來(lái)計(jì)數(shù)，如果數(shù)目較大，可以利用排列組合的方法來(lái)計(jì)數(shù).

9.(2020?上海長(zhǎng)寧區(qū)?高三一模)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，從集合｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中任取兩個(gè)不同的元素X、兒

組成A、3兩點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)、(y,x),則Z.AOB=2arctang的概率為.

【答案】:

9

【分析】設(shè)A8與直線丁=》的交點(diǎn)為C，由對(duì)稱性得NAOC=arctang,同時(shí)求解時(shí)不妨設(shè)y>x,求

出滿足條件的A點(diǎn)的個(gè)數(shù)及任選2數(shù)的A點(diǎn)的個(gè)數(shù)后可得概率.

【詳解】不妨設(shè)y>x，由題意Q4與直線y=x的夾角為arctang,設(shè)A3與直線N=%的交點(diǎn)為C，則

v21

所以tanZ.AOC―————,因?yàn)閥>x>0,故解得y—2x

(x+?3

V2

從集合｛1,23,4,5,6,7,8,9｝中任取兩個(gè)不同的兀素％、V,滿足>>%的點(diǎn)A的取法為C；=36,其中滿足

y=2x的有(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)共4個(gè),

41

所以所求概率為「=一=一.

369

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查古典概型，解題關(guān)鍵是求出事件的個(gè)數(shù).本題求解時(shí)，為了求解方便，不

妨設(shè)y>x,這樣易于求出事件的個(gè)數(shù).同時(shí)把已知的角轉(zhuǎn)化到直角三角形中，易于求解.

10.（2020?上海徐匯區(qū)?位育中學(xué)高三月考）某電視臺(tái)連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)

不同的奧運(yùn)宣傳廣告，則最后播放的是奧運(yùn)宣傳廣告，且2個(gè)奧運(yùn)宣傳廣告不連續(xù)播放的概率是.

3

【答案】W

【分析】本題是一個(gè)等可能事件的概率，滿足條件的事件是首先從兩個(gè)奧運(yùn)廣告中選一個(gè)放在最后位置，

第二個(gè)奧運(yùn)廣告只能從前三個(gè)中選一個(gè)位置排列，余下的三個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，共有種結(jié)果，得

到概率.

【詳解】解：由題意知本題是等可能事件的概率,

所有事件數(shù)是8=120

滿足條件的首先從兩個(gè)奧運(yùn)廣告中選一個(gè)放在最后位置，有C；=2種結(jié)果,

兩個(gè)奧運(yùn)廣告不能連放，第二個(gè)奧運(yùn)廣告只能從前三個(gè)中選一個(gè)位置排列，有3種結(jié)果，余下的三個(gè)元素

在三個(gè)位置全排列，共有8種結(jié)果，共有2x3xA：=36種結(jié)果，

二要求的概率是言得，

3

故答案為：—

【點(diǎn)睛】本題考查等可能事件的概率，本題解題的關(guān)鍵是做出符合題意的事件數(shù)，這里要應(yīng)用排列組合的

原理來(lái)解出結(jié)果，屬于中檔題.

11.(2020?上海市建平中學(xué)高三月考)在(x+l)9的展開式中任取兩項(xiàng)，其系數(shù)的乘積是偶數(shù)的概率為

13

【答案注

【分析】二項(xiàng)式(x+l)9的展開式共10項(xiàng)，分別計(jì)算奇數(shù)和偶數(shù)的個(gè)數(shù)，從中任取2項(xiàng)，共有種取法,

再研究其系數(shù)乘積為偶數(shù)的情形即可得結(jié)果..

【詳解】二項(xiàng)式(x+l)9的展開式共10項(xiàng)，從中任取2項(xiàng)，共有C：)=45種取法，

展開式系數(shù)為奇數(shù)的有C；,C；,C；,共四個(gè)，故偶數(shù)項(xiàng)共有6個(gè)；

取出的2項(xiàng)中系數(shù)乘積是偶數(shù)取法有C：C：+=39種取法，

3913

取出的2項(xiàng)中系數(shù)的乘積是偶數(shù)的概率為—,

4515

13

故答案為：~.

【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及等可能事件的概率，本題中兩知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合方式比較新穎，正確求解本題

的關(guān)鍵是找出數(shù)乘積為偶數(shù)，屬于中檔題.

三、解答題

12.(2020?上海高三專題練習(xí))為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.

現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)

動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一

個(gè)協(xié)會(huì)”.求事件A發(fā)生的概率.

【答案】—

35

【分析】根據(jù)組合的實(shí)際應(yīng)用和古典概型的概率公式，計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】解：由題可知，甲乙種子選手分別為2名和3名，

則8人中，種子選手共有5名，非種子選手共有3名，

從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽，共有=70種,

其中事件A所包含的基本事件數(shù)為：C；+C；?C；=12,

_12__6_

所以P（4）

70-35

所以事件A發(fā)生的概率為9.

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查組合的實(shí)際應(yīng)用和組合數(shù)的計(jì)算，以及古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

13.（2020?上海高三專題練習(xí)）甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是

一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為工，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是

4

12

一等品的概率為一，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.

（1）分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；

（2）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率.

1I?5

【答案】（1）—>—,—：（2）—

3436

【分析】

-1

P(AB)=~,

4

-1

（1）設(shè)4、8、C分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件,則＜P0C)==，再利用

12

P(A?=|,

9

獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，解方程組即可得到答案.

（2）記。為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)至少有一個(gè)一等品的事件，利用對(duì)立事件，即

P（D）=1-P（力）計(jì)算即可.

【詳解】（1）設(shè)4、8、。分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件,

-1

P(A?3)=：,P(A)-[1-P(B)]=7?

44

_1

由題設(shè)條件有，P(6?C)=F，即v

P(A?=，，P(A).P(C)=：

99

解得P(A)=；,P(8)=；,P(C)=1.

112

即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率分別是一，一，一；

343

(2)記。為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)至少有一個(gè)一等品的事件，則

P(D)=1-P(D)=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]

,2315

=1x—x—=—.

3436

故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率為2.

6

【點(diǎn)晴】本題主要考查獨(dú)立.事件的概率計(jì)算問題，涉及到對(duì)立事件的概率計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,

是一道容易題.

14.(2020.上海高三專題練習(xí))甲、乙兩高射炮同時(shí)向一架敵機(jī)射擊，已知甲擊中敵機(jī)的概率是0.6,乙擊

中敵機(jī)的概率為0.5,求敵機(jī)被擊中的概率.

【答案】0.8

【分析】法一：先求出敵機(jī)沒有被擊中的概率為(1-0.6)(1-。5),用1減去此概率，即得敵機(jī)被擊中的概率;

法二：由題可知，敵機(jī)被擊中有三種情況：甲擊中而乙不擊中，乙擊中而甲不擊中，甲、乙同時(shí)擊中，再

分步乘法的計(jì)數(shù)原理跟分類加法計(jì)數(shù)原理，即可求出敵機(jī)被擊中的概率.

【詳解】

解法I：兩高射炮是否擊中敵機(jī)可看成相互獨(dú)立事件，

兩高射炮都沒有擊中敵機(jī)可看成敵機(jī)被擊中的對(duì)立事件，

則敵機(jī)沒有被擊中的概率為：(1-0.6)(l-0.5)=0.2,

所以敵機(jī)被擊中的概率為：

p=l-0.2=0.8.

解法2：敵機(jī)被擊中有三種情況：

甲擊中而乙不擊中，乙擊中而甲不擊中，甲、乙同時(shí)擊中，

所以敵機(jī)被擊中的概率為：

p=0.6x(1-0.5)+0.5x(1-0.6)+0.6x0.5=0.8.

【點(diǎn)睛】本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，所求的事件與它的對(duì)立事件概率間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

15.(2020?上海高三專題練習(xí))甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和臼球，甲袋裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙

袋裝有2個(gè)紅球和〃個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩袋中各任取2個(gè)球.

(1)若〃=3,求取到的4個(gè)球全是紅球的概率;

3

(2)若取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率為