第6章 平行四邊形（教師版）-八年級數(shù)學下冊

第6章平行四邊形知識點01：平行四邊形的定義平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD記作“口ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.易錯指導：平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心.知識點02：平行四邊形的性質定理平行四邊形的對角相等；平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角線互相平分；易錯指導：（1）平行四邊形的性質定理中邊的性質可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質可以證明兩角相等或兩角互補；對角線的性質可以證明線段的相等關系或倍半關系.（2）由于平行四邊形的性質內容較多，在使用時根據(jù)需要進行選擇.（3）利用對角線互相平分可解決對角線或邊的取值范圍的問題，在解答時應聯(lián)系三角形三邊的不等關系來解決.知識點03：平行四邊形的判定定理1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；3.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.易錯指導：這些判定方法是學習本章的基礎，必須牢固掌握，當幾種方法都能判定同一個行四邊形時，應選擇較簡單的方法.（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).知識點04：平行線間的距離1.兩條平行線間的距離：（1）定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長度，是正值.2．平行線性質定理及其推論夾在兩條平行線間的平行線段相等.平行線性質定理的推論：夾在兩條平行線間的垂線段相等.知識點05：三角形的中位線三角形的中位線1．連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.2．定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.易錯指導：（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應的位置關系與數(shù)量關系.（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個小三角形.因而每個小三角形的周長為原三角形周長的，每個小三角形的面積為原三角形面積的.（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.知識點06：多邊形內角和、外角和邊形的內角和為(－2)·180°(≥3)．易錯指導：(1)內角和定理的應用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內角和；②已知多邊形內角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個內角都相等，都等于；多邊形的外角和為360°．邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023春?東臺市月考）如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，連接OE，下列結論：①∠CAD＝30°；②S?ABCD＝AB?AC；③OB＝AB；成立的個數(shù)有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，∵∠ABE＝∠ADC＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AB＝BE＝AE，∵AB＝BC，∴BE＝BC，∴BE＝CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝2∠ECA＝60°，∴∠ECA＝30°，∴∠CAD＝∠ECA＝30°，故①正確；∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°，∴∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°，∴AC⊥AB，∴S?ABCD＝AB?AC，故②正確；AB⊥OA，∴OB＞AB，∴OB≠AB，故③錯誤，故選：C．2．（2分）（2022春?福田區(qū)期末）如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，點E是BC的中點，且∠BCD＝120°，，連接OE．給出下列4個結論：①△ABE是等邊三角形；②∠EAC＝30°；③；④若AB＝3，則，上述結論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：①∵?ABCD中，點E是BC的中點，且∠BCD＝120°，，∴BE＝AB＝BC，∠ABC＝180°﹣120°﹣60°，∴△ABE是等邊三角形，故①正確；②∵△ABE是等邊三角形，∴AE＝BE＝CE，∠AEB＝60°，∴∠EAC＝∠AEB＝60°＝30°，故②正確；③∵O是AC的中點，E是BC的中點，∴OE是△ABC的中位線，∴OE＝AB，又∵AB＝BC，∴，故③正確；④∵AE＝CE，O是AC的中點，∴OE⊥AC，又∵AB＝AE＝3，∠EAO＝30°，∴OE＝AE＝，AO＝＝，∴△AOE的面積＝＝×＝，故④錯誤；綜上所述，結論正確的有3個．故選：C．3．（2分）（2022春?鄞州區(qū)校級期末）如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，AE平分BAD交BC于點E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，連接OE．下列結論：①AE＝CE；②S△ABC＝AB?AC；③S△ABE＝2S△ACE；④OE⊥AC，成立的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，∵AB＝BC，∴AE＝BE＝BC，∴AE＝CE，故①正確；∴∠EAC＝∠ACE＝30°∴∠BAC＝90°，∴S△ABC＝AB?AC，故②錯誤；∵BE＝EC，∴E為BC中點，∴S△ABE＝S△ACE，故③錯誤；∵OA＝OC，AE＝EC，∴OE⊥AC，故④正確；故正確的個數(shù)為2個，故選：B．4．（2分）（2021春?嵊州市期末）如圖，在?ABCD中，∠ADC＝60°，點F在CD的延長線上，連結BF，G為BF的中點，連結AG．若AB＝2，BC＝6，DF＝3，則AG的長為（）A．3 B． C． D．解：延長AG交DF于M，過A作AN⊥CF，垂足為N，在?ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝2，AB∥CD，∠AND＝90°，在Rt△ANM中，AM＝，∵∠ADC＝60°，在Rt△AND中，cos60°＝＝，∴DN＝3，sin60°＝，AN＝3．∵G為BF的中點，∴AG＝GM，∵AB∥CD，∴∠ABG＝∠GFM，∠BAG＝∠MGF，∴△ABG≌△MFG（AAS）．∴AG＝GM，MF＝AB＝2，DM＝1，MN＝4，∴AG＝故選：C．5．（2分）（2022?寧波模擬）如圖，O是?ABCD對角線AC上一點，過O作EF∥AD交AB于點E，交CD于點F，GH∥AB交AD于點G，交BC于點H，連結GE，GF，HE，HF，若已知下列圖形的面積，不能求出?ABCD面積的是（）A．四邊形EHFG B．△AEG和△CHF C．四邊形EBHO和四邊形GOFD D．△AEO和四邊形GOFD解：A、在?ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∵EF∥AD，GH∥AB，∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，∴四邊形AEOG，BEOH，CFOH，DFOG都是平行四邊形，∴S△EOG＝S?AEOG，S△EOH＝S?BEOH，S△FOH＝S?OHCF，S△FOG＝S?OGDF，∴四邊形EHFG的面積＝×?ABCD的面積，∴已知四邊形EHFG的面積，可求出?ABCD的面積，故A不符合題意；B、∵S△ABC﹣S△AEO﹣S△CHO＝S△ACD﹣S△AOG﹣S△CFO，∴S?BEOH＝S?GOFD，∵＝，∴S?BEOH＝S?OGDF＝＝2，∴已知△AEG和△CHF的面積，可求出?ABCD的面積，故B不符合題意；C、已知四邊形EBHO和四邊形GOFD的面積，不能求出?ABCD面積，故C符合題意；D、∵＝，∴＝，∴S?OHCF＝S2?OGDF?，∴已知△AEO和四邊形GOFD的面積，能求出?ABCD面積；故D不符合題意；故選：C．6．（2分）（2022春?婁底期中）如圖，①是一個三角形，分別連接這個三角形三邊中點得到圖②，再連接圖②中間小三角形三邊的中點得到圖③，按這樣的方法進行下去，第n個圖形中共有4005個三角形，則n的值是（）A．1002 B．1001 C．1000 D．999解：分別數(shù)出圖①、圖②、圖③中的三角形的個數(shù)，圖①中三角形的個數(shù)為1＝4×1﹣3；圖②中三角形的個數(shù)為5＝4×2﹣3；圖③中三角形的個數(shù)為9＝4×3﹣3；…可以發(fā)現(xiàn)，第幾個圖形中三角形的個數(shù)就是4與幾的乘積減去3．按照這個規(guī)律，第n個圖形中共有三角形的個數(shù)為4n﹣3，即4n﹣3＝4005，n＝1002，故選：A．7．（2分）（2021春?青島期末）平行四邊形ABCD中，∠ACB＝45°，AC，BD交于點O，E是BC邊上一點，連接AE，過點B作BF⊥AE并延長交AC于點G，交CD于點H，已知AB＝AE，AF＝3，EF＝1，則下列結論：①∠BAE＝2∠CBH；②S△ABE＝2；③BE＝CO；④GH＝CH中正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：①如圖1，過A作AM⊥BC于M，交BH于點P，∵AB＝AE，∴∠BAE＝2∠EAM，∵AE⊥BH，AM⊥BC，∴∠AFP＝∠BMP＝90°，∵∠APF＝∠BPM，∴∠EAM＝∠CBH，∴∠BAE＝2∠CBH；故①正確；②∵AF＝3，EF＝1，∴AB＝AE＝3+1＝4，Rt△ABF中，由勾股定理得：BF＝＝＝，∴S△ABE＝?AE?BF＝×4×＝2，故②正確；③在Rt△BFE中，BF＝，EF＝1，∴BE＝＝＝2，∴S△ABE＝?BE?AM＝2，∴AM＝2，∴AM＝，∵∠ACB＝45°，∠AMC＝90°，∴△AMC是等腰直角三角形，∴AC＝AM＝×＝2，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OC＝AC＝，∴OC＝×＝≠BE；故③不正確；④如圖2，過A作AM⊥BC于M，過點G作GN⊥BC于N，則∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠MAC＝∠NCG＝45°，∵AB＝AE，∴∠BAM＝∠EAM，設∠BAM＝α，則∠MAE＝∠NBG＝α，則∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α，∴∠BAG＝∠AGB，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠GCH，∵∠AGB＝∠CGH，∴∠CGH＝∠GCH，∴GH＝CH；所以④正確；所以本題正確的結論有3個，是①②④．故選：C．8．（2分）（2022春?綦江區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，分別以AB、AD為邊向外作等邊△ABE和等邊△ADF，延長CB交AE于點G，點G在點A、E之間，連接CE、CF、EF，則以下四個結論，正確的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③CG⊥AE；④△CEF是等邊三角形．A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④解：∵△ABE、△ADF是等邊三角形，∴FD＝AD，BE＝AB，∵AD＝BC，AB＝DC，∴FD＝BC，BE＝DC，∵∠CBE＝∠FDC，∠FDA＝∠ABE，∴∠CDF＝∠EBC，∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正確；∵∠FAE＝∠FAD+∠EAB+∠BAD＝60°+60°+（180°﹣∠CDA）＝300°﹣∠CDA，∠FDC＝360°﹣∠FDA﹣∠ADC＝300°﹣∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故②正確；在等邊三角形ABE中，∵等邊三角形頂角平分線、底邊上的中線、高和垂直平分線是同一條線段，∴如果CG⊥AE，則G是AE的中點，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，題目缺少這個條件，CG⊥AE不能求證，故③錯誤；同理①②可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC（SAS），∴∠AEF＝∠BEC，∵∠AEF+∠FEB＝∠BEC+∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°，∵CF＝CE，∴△ECF是等邊三角形，故④正確．故選：B．9．（2分）（2023春?沭陽縣月考）如圖，BD為平行四邊形ABCD的對角線，∠DBC＝45°，DE⊥BC于點E，BF⊥CD于點F，DE、BF相交于點H，直線BF交線段AD的延長線于點G，下列結論：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG；⑤BH2+BG2＝AG2．其中正確的結論有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，∴△DEB是等腰直角三角形，∴BE＝DE，∵BF⊥CD，∴∠FHD+∠FDH＝90°，∵∠C+∠FDH＝90°，∴∠C＝∠FHD，∵∠C＝∠A，∠FHD＝∠BHE，∴∠A＝∠BHE，故②正確；在△BEH和△DEC中，，∴△BEH≌△DEC（AAS），∴EH＝EC，∵H不是DE的中點，∴BE＝DE≠2EC，故①錯誤；∵AB＝CD，BH＝CD，∴AB＝BH，故③正確；∵∠BHD＝90°+∠HBE，∠BDG＝90°+∠BDE，∵∠BDE＞∠HBE，∴∠BDG＞∠BHD，故④錯誤；∵BF⊥CD，AB∥CD，∴BF⊥AB，∴∠ABG＝90°，∴AB2+BG2＝AG2，∵AB＝BH，∴BH2+BG2＝AG2，故⑤正確．∴其中正確的結論有②③⑤，共3個．故選：C．10．（2分）（2023春?瑞安市期中）如圖，?ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，動點E從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B運動，動點F從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿著CD向D運動，當點E到達點B時，兩個點同時停止．則EF的長為10cm時點E的運動時間是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s解：在?ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如圖，過點D作DG⊥AB于點G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，過點F作FH⊥AB于點H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由題意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE＝EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，∴EF的長為10cm時點E的運動時間是8s，故選：C．二．填空題（共11小題，滿分22分，每小題2分）11．（2分）（2023春?長春期中）如圖，作平行四邊形ABCD的高CE，B是AE的中點．如果BE：CE＝1：，BC＝cm，則CD長為cm．解：如圖，連接BD，∵ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB且CD＝AB．又∵B是AE的中點，∴CD∥BE且CD＝BE．∴BD∥CE，∵CE⊥AE，∴BD⊥AE；設BE＝x，則CE＝x，在Rt△BEC中：x2+（x）2＝9，解得：x＝，故CD＝AB＝BE＝（cm）．故答案為：．12．（2分）（2023?天津二模）如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝10，D為AB上一點，DB＝AB，DE⊥AB與BC的延長線相交于點E，F(xiàn)為DE的中點，H為BC的中點，連接FH．則FH的長為．解：如圖，過點F作FG⊥BC于點G，∵△ABC是等邊三角形，AB＝10，∴BC＝AB＝10，∠B＝60°，∵DB＝，∴DB＝6，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠B＝30°，∴BE＝2DB＝12，∴DE＝，∵F為DE的中點，∴DF＝EF＝，∵FG⊥BC，∴∠FGH＝∠FGE＝90°，∴FG＝，∴EG＝，∵H為BC的中點，∴BH＝CH＝，∴GH＝BE﹣BH﹣EG＝，∴FH＝，故答案為：．13．（2分）（2023春?新市區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分線BE、CF分別與AD相交于點E、F，BE與CF相交于點G，若AB＝6，BC＝11，則EF的長為1．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝6，AD∥BC，AD＝BC＝11，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝6，同理DF＝CD，∴AE＝DF，即AE﹣EF＝DF﹣EF，∴AF＝DE，∵AB＝6，BC＝11，∴DE＝AD﹣AE＝11﹣6＝5，∴EF＝DF﹣DE＝6﹣5＝1．故答案為：1．14．（2分）（2023春?泉港區(qū)期中）如圖，平行四邊形ABCD的周長是14cm，對角線AC、BD相交于點O，OE⊥BD交AD于點E，則△ABE的周長為7cm．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，∵?ABCD的周長為14cm，∴AB+AD＝7cm，∵OE⊥BD，∴OE是線段BD的中垂線，∴BE＝ED，∴△ABE的周長＝AB+BE+AE＝AB+AD＝7cm，故答案為：7．15．（2分）（2023春?鼓樓區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標系中，A（2，0），點P為y軸上一動點，連接AP并延長至點D，使DP＝AP，取y軸上一點B，以AB，AD為邊作?ABCD，連接OC，則OC長度的取值范圍為OC≥4．解：∵A（2，0），∴OA＝2，如圖，過點D作x軸的平行線交y軸于點F，過點C作y軸的平行線交FD于點E，∴∠OAP＝∠FDP，∵∠APO＝∠DPF，AP＝DP，∴△AOP≌△DFP（ASA），∴OA＝DF＝2，在?ABCD中，AB＝CD，∵EF∥OA，∴∠EDA+∠OAD＝180°，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD＝180°，∴∠EDA+∠OAD﹣∠CDA﹣∠BAD＝0，∴∠EDA﹣∠CDA＝∠BAD﹣∠OAD，∴∠EDC＝∠OAB，∵∠CED＝∠BOA＝90°，CD＝BA，∴△ECD≌△OBA（AAS），∴DE＝OA＝2，∴EF＝DE+DF＝4，∵CE⊥EF，EF∥y軸，∴C點始終在平行于y軸的直線上運動，并且這條直線與y軸的距離為4，則O到這條直線的距離為4，∴OC長度的取值范圍為OC≥4．故答案為：OC≥4．16．（2分）（2023?玄武區(qū)一模）如圖，在?ABCD中，E是邊BC的中點，連接AE，若BC＝4，∠BAE＝30°，則對角線BD的取值范圍為2﹣2≤BD≤2+2．?解：∵點E是BC的中點，BC＝4，∴BE＝BC＝2，如圖，在BC的延長線上取一點F，使CF＝BE＝2，連接DF，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠ABE＝∠DCF，AB＝DC，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠CDF＝∠BAE＝30°，以CF為邊在CF上方作等邊△OCF，∴∠COF＝60°，OC＝CF＝2，以點O為圓心，OC為半徑作⊙O，則點D在⊙O上，過點O作射線BO交⊙O于M，N，則BD的最小值等于BN，最大值等于BM，過點O作OH⊥CF于H，則CH＝1，OH＝，∴BH＝BC+CH＝5，在Rt△BHO中，根據(jù)勾股定理得，BO＝＝＝2，∴BN＝BO﹣ON＝2﹣2，BM＝BO+OM＝2+2，∴2﹣2≤BD≤2+2，故答案為：2﹣2≤BD≤2+2．17．（2分）（2023春?海淀區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，D、E、F分別是BC、CA、AB的中點，G、M、N分別是線段AE、AF、BD上的點，且GM∥BC，GN∥AB，GN與EF交于點K，如果四邊形FKGM面積是2，四邊形EKND的面積是3，則△GKE的面積是．解：過A作AQ∥BC，延長DE交AQ于Q，延長NG交AQ于P，延長MG交QE于L，∵D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點，∴DE，EF是△ABC的中位線，∴EQ∥FA，EF∥BC，∴EF∥AQ，∴四邊形AFEQ是平行四邊形，∵ML∥BC，NG∥AB，∴四邊形AMGP，四邊形GKEL是平行四邊形，∴△AFE的面積＝△AQE的面積，△AMG的面積＝△APG的面積，△KGE的面積＝△LGE的面積，∴平行四邊形MFKG的面積＝平行四邊形QPGL的面積＝2，∵NK＝BF，PK＝AF，∵AF＝BF，∴NK＝PK，∴平行四邊形PKEQ的面積＝平行四邊形NDEK的面積＝3，∴平行四邊形GKEL的面積＝3﹣2＝1，∴△GKE的面積＝．故答案為：．18．（2分）（2023春?鹿城區(qū)校級期中）如圖，點E是?ABCD的AD邊上的中點，連結BE，點F為BE中點，若AB＝9，AD＝6，∠BAD＝120°，則DF的長是．解：過點F作FM∥AD交DC于點M，∵F為BE中點，且FM∥AD，∴M為DC中點，∠ADM＝∠FMC，∵DC＝AB＝9，∴DM＝CM＝4.5，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A+∠ADM＝180°，∴∠ADM＝∠FMC＝60°，∵點E是?ABCD的AD邊上的中點，BC＝AD＝6，∴DE＝3，∴FM＝（DE+BC）＝（2+4）＝4.5＝CD，∴∠DFC＝90°，∵AD∥FM，∴∠EDF＝∠DFM，∵FM＝DM，∴∠FDM＝∠DFM，∴∠FDM＝∠EDF＝30°，∴FC＝DC＝4.5，∴DF＝FC＝．故答案為：．19．（2分）（2022春?魏都區(qū)校級期中）如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝6cm，射線AG∥BC，點E從點A出發(fā)，沿射線AG以1cm/s的速度運動，同時點F從點B出發(fā)，沿射線BC以2cm/s的速度運動，設運動時間為2或6秒時，以A，F(xiàn)，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形．解：①當點F在C的左側時，根據(jù)題意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，則CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴當AE＝CF時，四邊形AECF是平行四邊形，即t＝6﹣2t，解得：t＝2；②當點F在C的右側時，根據(jù)題意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，則CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），∵AG∥BC，∴當AE＝CF時，四邊形AEFC是平行四邊形，即t＝2t﹣6，解得：t＝6；綜上可得：當t＝2或6s時，以A、C、E、F為頂點四邊形是平行四邊形．故答案為：2或6．20．（2分）（2022春?碑林區(qū)校級月考）如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點E，G為線段AE上一點且滿足EG＝BC，AG＝CE，連CG并延長交AB于點F，則∠BFC的度數(shù)為45°．解：如圖，連接DG，在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠DAG＝∠GEC＝90°，∵EG＝BC，∴EG＝AD，在△ADG和△EGC中，，∴△ADG≌△EGC（SAS），∴DG＝CG，∠ADG＝∠EGC，∵∠ADG+∠AGD＝90°，∴∠EGC+∠AGD＝90°，∴∠DGC＝90°，∴△DGC是等腰直角三角形，∴∠DCG＝45°，∵AB∥CD，∴∠BFC＝∠DCG＝45°．故答案為：45°．21．（2分）（2022春?溫州校級期中）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AD，BC邊的中點，延長CD至點G，使DG＝CD，以DG，DE為邊向?ABCD外構造?DGME，連結BM交AD于點N，連結FN．若DG＝DE＝1，∠ADC＝60°，則FN的長為．解：如圖，連接EF，AF，∵四邊形DGME是平行四邊形，DG＝CD＝DE＝1，∴DC∥EF，∵∠ADC＝60°，∴∠AEF＝60°，∵點E，F(xiàn)分別是AD，BC邊的中點，∴AB∥EF，AE＝DE，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴∠BAN＝∠MEN，∵DG＝DC，DG＝DE，∴AE＝EF＝AB＝ME＝1，∵∠AEF＝60°，∴△AEF是等邊三角形，在△ABN和△EMN中，，∴△ABN≌△EMN（AAS），∴AN＝NE，∴NE＝AE＝，∵FN⊥AE，∴FN＝＝．故答案為：．三．解答題（共7小題，滿分58分）22．（8分）（2023?綿陽三模）如圖，在?ABCD中，點E在CD上，連接BE，并延長BE至點F，連接CF，DF，BC＝CF，∠ABF＝∠DFB，連接BD交AE于點G，若AG＝DF．（1）求證：△ADE≌△CFD；（2）求證：CG垂直平分線段BF．（1）證明：由?ABCD得AD＝BC，AB∥CD，∠ADC＝∠ABC，∴∠ABF＝∠DEF．∵BC＝CF，∴AD＝CF，∠CFB＝∠CBF．∵∠ABF＝∠DFB，∴∠DEF＝∠DFB，∴DE＝DF．∴∠DFB+∠CFB＝∠ABF+∠CBF，即∠CFD＝∠ABC，∴∠ADC＝∠CFD．在△ADE和△CFD中，∴△ADE≌△CFD（SAS）．（2）證明：如圖：連接GF．∵△ADE≌△CFD，∴∠DEA＝∠FDE，∴DF∥AG．∵AG＝DF，∴四邊形ADFG為平行四邊形，∴AD∥GF，AD＝GF．∵AD∥BC，AD＝BC，∴BC∥GF，BC＝GF，∴四邊形BCFG為平行四邊形，∵BC＝CF，∴四邊形BCFG為菱形，∴CG垂直平分線段BF．23．（8分）（2023春?老城區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E為DC延長線上的一點，且CE＝DC，連接AE，分別交BC和BD于點F和G，連接AC交BD于點O，連接OF，求證：AB＝2OF．?證明：連接BE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，O是AC的中點，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴F是BC的中點，∴OF是△ABC的中位線，∴AB＝2OF．24．（8分）（2023春?徐州期中）如圖，已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥AC，求證：BE＝CF．證明：∵DE∥BC，EF∥AC，∴四邊形EFCD為平行四邊形，∴ED＝CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠FBD，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠FBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝ED，∴BE＝CF．25．（8分）（2023春?鼓樓區(qū)期中）如圖1，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點．對“中位線定理”逆向思考，可得以下3則命題：Ⅰ．若D是AB的中點，，則E是AC的中點；Ⅱ．若DE∥BC，，則D，E分別是AB，AC的中點；Ⅲ．若D是AB的中點，DE∥BC，則E是AC的中點．?（1）從以上命題中選出一個假命題，并在圖2中畫出反例（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）從以上命題中選出一個真命題，并進行證明．解：（1）選擇I，理由如下：如圖，D是AB中點，但E顯然不是AC的中點，（2）真命題是Ⅱ或Ⅲ．選擇命題Ⅲ．證明：如圖，延長ED到點F使DF＝DE，連接BF．∵D為AB中點，∴AD＝BD．在△ADE與△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴BF＝AE，∠F＝∠AED，∴AC∥BF，又∵DF∥BC，∴四邊形BCEF為平行四邊形，∴BF＝CE，又∵BF＝AE，∴CE＝AE，即E是AC的中點．26．（8分）（2023春?鄞州區(qū)校級期中）如圖1，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別為AD，BC的中點，點G，H在對角線BD上，且BG＝DH．（1）求證：四邊形EHFG是平行四邊形．