線性代數(shù)向量的定義及運算

關于線性代數(shù)向量的定義及運算平面上的向量的全體：任意規(guī)定加法和數(shù)乘為：易見向量的加法和數(shù)乘滿足矩陣的8條運算規(guī)律.于是就是平面上全體向量的集合，具有兩個封閉的運算（加法和數(shù)乘），這兩個運算適合8條規(guī)律.§4.1向量的定義及運算第2頁,共18頁，2024年2月25日，星期天同樣，（歐式）空間中的向量視為即實數(shù)域上所有三維向量的全體.類似地規(guī)定向量加法和數(shù)乘，加法和數(shù)乘運算也適合8條規(guī)律.第3頁,共18頁，2024年2月25日，星期天n維行向量和n維列向量都稱為n維向量(vector)，n維向量常用小寫黑體字母表示.將2、3維向量推廣到n維向量.定義4.1.1由n個數(shù)構成的有序數(shù)組，記作稱為n維行向量；若記作則稱為n維列向量.稱數(shù)為的第i個分量.第4頁,共18頁，2024年2月25日，星期天例：n維實向量n維復向量第1個分量第n個分量第2個分量例：n-1次代數(shù)多項式系數(shù)向量n維向量的實際意義：第5頁,共18頁，2024年2月25日，星期天

時，維向量沒有直觀的幾何形象．例：確定飛機的狀態(tài)，需要以下6個參數(shù)：飛機重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)機身的水平轉角機身的仰角機翼的轉角所以，確定飛機的狀態(tài)，需用6維向量第6頁,共18頁，2024年2月25日，星期天定義4.1.2設兩個向量則稱向量α與β相等，記作α=β.（1）如果它們對應的分量分別相等，即（3）數(shù)量乘法：k為實數(shù)，稱向量（2）加法：稱向量為α與β的和，記作為k與α的數(shù)乘，記作第7頁,共18頁，2024年2月25日，星期天（5）稱為α的負向量，記作-α.因而可以定義向量的減法運算：（4）分量全為0的向量稱為零向量，記作0（注意區(qū)別數(shù)零和零向量）.第8頁,共18頁，2024年2月25日，星期天對任意的n維向量α,β,γ及任意的數(shù)k,l，向量的線性運算滿足下面八條基本的運算規(guī)律：

向量的加法以及數(shù)與向量的數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運算，這些運算可歸結為數(shù)（分量）的加法與乘法.顯然，向量的線性運算是矩陣的線性運算的特殊情形.第9頁,共18頁，2024年2月25日，星期天定義4.1.3全體n維實行向量構成的集合，對于上面定義的向量加法、實數(shù)與向量的數(shù)乘運算，構成n維（實）行向量空間；類似地，定義n維（實）列向量空間；用符號表示或，稱為n維（實）向量空間.第10頁,共18頁，2024年2月25日，星期天例4.1.1設求解：第11頁,共18頁，2024年2月25日，星期天得到的向量稱為向量組的線性組合，或稱可由線性表出.定義4.1.4給定中的向量實數(shù)經線性運算兩個向量的線性組合的幾何示意圖第12頁,共18頁，2024年2月25日，星期天證明：由向量的線性運算，得即例4.1.2向量和的幾個線性組合：例4.1.4證明：任意n維向量是向量組的線性組合.第13頁,共18頁，2024年2月25日，星期天例4.1.5令，能否寫成和的線性組合？解：根據(jù)定義，問題即判斷向量方程是否有解.即第14頁,共18頁，2024年2月25日，星期天利用初等行變換將增廣矩陣化成行最簡形：解是因此可以寫成和的線性組合：第15頁,共18頁，2024年2月25日，星期天其增廣矩陣為當是行向量空間時，上式兩端轉置，得當是列向量空間時，其增廣矩陣為有無解.一般地，判斷能否由向量組線性表出，即判斷向量方程線性方程組的向量表示形式第16頁,共18頁，2024年2月25日，星期天定義4.1.5設由的所有可能的線性組合構成的集合稱為由

張成（生成）的的子集，記為即

若和是非零向量，且不共線，則表示由向量和確定的平面.

從幾何上看，